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第三章 圓
《垂徑定理》教學(xué)設(shè)計(jì)說明
一、學(xué)生起點(diǎn)分析
學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七、八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念和性質(zhì)，等腰三角形的對(duì)稱性，以及本節(jié)定理的證明要用到的三角形全等的知識(shí)，在本章前兩節(jié)課中也已經(jīng)初步理解了圓的軸對(duì)稱性和圓弧的表示等知識(shí)，具備探索證明幾何定理的基本技能．
學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握探究圖形性質(zhì)的不同手段和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力．
二、教學(xué)任務(wù)分析
該節(jié)內(nèi)容為1課時(shí)．圓是一種特殊圖形，它是軸對(duì)稱圖形，學(xué)生通過類比等腰三角形的軸對(duì)稱性，能利用圓的軸對(duì)稱性探索、證明得出圓的垂徑定理及其逆定理．具體地說，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：
知識(shí)與技能
1．利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理；
2．運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決問題．[]
過程與方法
1．經(jīng)歷運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性探索圓的相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法．
情感與態(tài)度
1. 培養(yǎng)學(xué)生類比分析，猜想探索的能力．
2. 通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神．
教學(xué)重點(diǎn)：利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理．
教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時(shí)如何添加輔助線．
三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析
本節(jié)課設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：
回顧舊知，猜想探索，知識(shí)應(yīng)用，歸納小結(jié).
第一環(huán)節(jié) 回顧舊知
1、判斷下列圖形是否是軸對(duì)稱圖形，若是，請(qǐng)畫出它相應(yīng)的對(duì)稱軸.
2、說出圓心角、弧、弦之間存在的相等關(guān)系定理
第二環(huán)節(jié) 猜想探索
活動(dòng)內(nèi)容：
1．如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M．
（1）該圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？
（2）你能圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由．
條件：① CD是直徑；② CD⊥AB
結(jié)論（等量關(guān)系）：③AM=BM；
④=；⑤=.
證明：連接OA,OB,則OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.
∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,
∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí), 點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,
和重合, 和重合.[]
∴ =，=.
2．證明完畢后，讓學(xué)生自行用文字語言表述這一結(jié)論，最后提煉出垂徑定理的內(nèi)容——垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
3．辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？
注意：定理中的兩個(gè)條件缺一不可——直徑（半徑），垂直于弦．
通過以上辨析，讓學(xué)生對(duì)垂徑定理的兩個(gè)條件的必要性有更充分的認(rèn)識(shí)．
4．垂徑定理逆定理的探索
如圖，AB是⊙O 的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M.
（1）下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？
（2）圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.
條件：① CD是直徑；② AM=BM
結(jié)論（等量關(guān)系）：③CD⊥AB；
④=；⑤=.
讓學(xué)生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容
——平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
5．辨析：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧．”如果該定理少了“不是直徑”，是否也能成立？
反例：
活動(dòng)目的：
活動(dòng)1的主要目的是通過讓學(xué)生猜想、類比、探索和證明獲得新知，從而得到研究數(shù)學(xué)的多種方法的體會(huì)，獲取經(jīng)驗(yàn)；活動(dòng)2 的主要目的是讓學(xué)生通過對(duì)定理表述反復(fù)的語言提煉，鍛煉學(xué)生的歸納能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎瞿芰Γ?duì)定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)；活動(dòng)3的主要目的是通過反例使學(xué)生對(duì)定理的嚴(yán)謹(jǐn)性有更深的認(rèn)識(shí)；活動(dòng)4的主要目的與活動(dòng)1相似，并讓學(xué)生與活動(dòng)1類比，提高探索能力；活動(dòng)5的主要目的與活動(dòng)3相似．
第三環(huán)節(jié) 知識(shí)應(yīng)用
活動(dòng)內(nèi)容：
講解例題及完成隨堂練習(xí)．
1．例:如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
2．例：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（即圖中,點(diǎn)0是所在圓的圓心），其中CD=600m，E為上的一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑．
解：連接OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
根據(jù)勾股定理，得
OC =CF +OF
即 R =300 +(R-90) .
解這個(gè)方程，得R=545.
所以，這段彎路的半徑為545m.
3. 隨堂練習(xí)
(1)、如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，下列結(jié)論中一定正確的是（ ）　
A. AE=OE B. ∠AOC=60°
C. CE=DE D. OE=CE
（2）、AB是⊙O的弦，半徑OA=2，∠AOB=120°，則弦AB的長(zhǎng)是 .
（3）、若⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM的長(zhǎng)度范圍是 .
第四環(huán)節(jié) 歸納小結(jié)
活動(dòng)內(nèi)容：
學(xué)生交流總結(jié)[]
1．利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理.
2．解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.
活動(dòng)目的：
通過回顧本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的收獲和感想，加深對(duì)本節(jié)課知識(shí)和探索方法的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成歸納反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣．
四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思
1．要從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的角度使用教材
教材為教師提供了基本的教學(xué)素材，但如何使用這些素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整．學(xué)生在探索垂徑定理的時(shí)候，其中一個(gè)難點(diǎn)在于如何證明垂徑定理，這時(shí)通過類比等腰三角形的軸對(duì)稱性，可以使學(xué)生對(duì)證明的思考得到突破，從而尋找出合理的證明方向．這既使學(xué)生掌握了新知識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的類比思想和觀察、猜想的能力．
2．要鼓勵(lì)學(xué)生敢于表述和善于糾錯(cuò)
垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個(gè)難點(diǎn)，教師如果直接給出，則學(xué)生就少了一個(gè)鍛煉表述能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龅臋C(jī)會(huì)．因此，應(yīng)該讓學(xué)生大膽表述，并對(duì)各人的表述嚴(yán)謹(jǐn)分析，找出漏洞，反復(fù)提煉，直至得出正確的說法，使學(xué)生得到更好的鍛煉．
3．注意改進(jìn)的方面
本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)是如何添加輔助線，這在最后的歸納反思中應(yīng)該要有足夠的時(shí)間讓學(xué)生交流討論，但是限于本節(jié)課的時(shí)間，這是一個(gè)客觀限制，不應(yīng)該勉強(qiáng)在課堂上完成，效果并不理想，應(yīng)該留作課后作業(yè)，讓學(xué)生能通過更充分的討論才得出結(jié)論，這樣才能起到更好地交流和反思的作用．
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