資源簡介

第7講　一元二次方程及其應用
(6年6考,3~9分)
【知識清單】
知識點1 一元二次方程的一般形式
一般形式:
溫馨提示:注意方程的右邊為0,方程左邊每項前面都是“+”,其中① 為二次項系數(shù),② 為一次項系數(shù).
知識點2 一元二次方程ax2+bx+c=0的解法
解法
溫馨提示:一元二次方程的求根公式為⑧ ,當Δ=0時,方程根的情況為⑨ .
知識點3 根與系數(shù)的關系
若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=⑩ ,x1x2=
溫馨提示:應用根與系數(shù)的關系的前提是原方程有實數(shù)根.
知識點4 一元二次方程的應用
一元二次方程的應用
【參考答案】
①a?、赽　③降次?、芡耆椒健、輇2-4ac　⑥-m?、?n　⑧x=?、嵊袃蓚€相等的實數(shù)根
⑩-　
【自我診斷】
1.已知一元二次方程x2-2x=4,配方后正確的是 ( )
A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=5
C.(x-1)2=4 D.(x-1)2=8
2.已知關于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是 ( )
A.a<2 B.a>2
C.a<2且a≠1 D.a>2且a≠1
3.(2023·揭陽一模)已知x1、x2是方程x2-6x-3=0的兩個實數(shù)根,則+= ( )
A.-2 B.- C.2 D.
4.電影《長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史,一上映就獲得全國人民的追捧,已知第一天票房約2億元,前三天票房累計約10億元,若每天票房的增長率都為x,依題意可列方程 ( )
A.2(1+x)=10
B.2(1+x)2=10
C.2+2(1+x)2=10
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=10
【參考答案】
1.B　2.C　3.A　4.D
【核心突破】
題型1 解一元二次方程
例題1 解方程:x2-2x+1=0.
方法總結
合理選擇一元二次方程的解法:
(1)若方程具有(mx+n)2=p(p≥0)的形式,可直接用開平方法求解;
(2)若一元二次方程一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的積時,可用因式分解法求解;
(3)公式法是一種常用的方法,用公式法解方程時一定要把一元二次方程化成一般式,確定a,b,c的值,在b2-4ac≥0的條件下代入公式求解.
變式1 解方程:x2-4x-5=0.
解方程:3x(x-3)=2(x-3).
題型2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
例題2 已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)若方程的兩個不相等的實數(shù)根是a,b,求-的值.
變式2 已知關于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍.
(2)若該方程的兩個根都是符號相同的整數(shù),求整數(shù)m的值.
題型3 一元二次方程的應用
例題3 自然資源部提出“保經(jīng)濟增長、保耕地紅線”行動,堅持實行最嚴格的耕地保護制度,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應國家號召,2020年有耕地7200畝,經(jīng)過改造后,2022年有耕地8712畝.
(1)求該村耕地兩年的平均增長率.
(2)按照(1)中的平均增長率,求2023年該村耕地擁有量.
變式3 1.(2023·湛江二模)某超市一月份的營業(yè)額為300萬元,第一季度的營業(yè)額共1200萬元,如果平均每月增長率為x,則由題意可列方程 ( )
A.300(1+x)2=1200
B.300+300×2x=1200
C.300+300×3x=1200
D.300[1+(x+1)+(x+1)2]=1200
2.建設美麗城市,改造老舊小區(qū).某市2020年投入資金1000萬元,2022年投入資金1440萬元,現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同.
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率.
(2)2022年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元,2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì),每個小區(qū)改造費用增加15%.如果投入資金的年增長率保持不變,問該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)
【參考答案】
例題1　【自主解答】x2-2x+1=0,
∵a=1,b=-2,c=1,
∴x===±1,
∴x1=+1,x2=-1.
變式特訓
1.【解析】∵x2-4x-5=0,∴(x-5)(x+1)=0,
則x-5=0或x+1=0,解得x1=5,x2=-1.
2.【解析】∵3x(x-3)=2(x-3),
∴3x(x-3)-2(x-3)=0,
∴(x-3)(3x-2)=0,
∴x1=3,x2=.
例題2　【自主解答】(1)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,
∴Δ=4+4k>0,
解得k>-1,
∴k的取值范圍為k>-1.
(2)由根與系數(shù)的關系得a+b=-2,a·b=-k,
∴-===1.
變式特訓　【解析】(1)根據(jù)題意得Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,
解得m>.
(2)設x1,x2是方程的兩個根,
根據(jù)題意得x1+x2=4>0,x1x2=-2m+5>0,
解得m<,
所以m的取值范圍為所以m=1或m=2(此時根不是整數(shù),不符合條件,舍去),
所以整數(shù)m的值為1.
例題3　【自主解答】(1)設該村耕地兩年的平均增長率為x,
依題意得7200(1+x)2=8712,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合題意,舍去).
答:該村耕地兩年的平均增長率為10%.
(2)8712×(1+10%)=9583.2(畝).
答:2023年該村擁有耕地9583.2畝.
變式特訓
1.D
2.【解析】(1)設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x,
依題意得1000(1+x)2=1440,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).
答:該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%.
(2)設該市在2023年可以改造y個老舊小區(qū),依題意得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%),
解得y≤.
又∵y為整數(shù),∴y的最大值為18.
答:該市在2023年最多可以改造18個老舊小區(qū).
【真題精粹】
考向1 一元二次方程的解(6年3考)
1.(2017·廣東4題3分)若2是關于x的方程x2-3x+k=0的一個根,則常數(shù)k的值為 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
2.(2022·廣東14題3分)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,則a= .
3.(2021·廣東14題3分)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c為常數(shù))的兩根x1,x2滿足-3考向2 解一元二次方程
真題拓展
解方程:x2-4x-1=0.
考向3 一元二次方程根的判別式(僅2018.T9考查)
5.(2018·廣東9題3分)關于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.m< B.m≤
C.m> D.m≥
真題拓展
6.關于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有實數(shù)根,則k的取值范圍是 ( )
A.k≤5
B.k<5且k≠3
C.k≤5且k≠3
D.k≥5且k≠3
7.若一元二次方程2x2-4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則m= .
考向4 一元二次方程根與系數(shù)的關系(僅2019.T9考查)
8.(2019·廣東9題3分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數(shù)根,則下列結論錯誤的是 ( )
A.x1≠x2 B.-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
真題拓展
9.設x1,x2是方程2x2-4x-3=0的兩個根,則x1+x1x2+x2的值是 .
10.已知關于x的方程x2-2mx+m2-9=0.
(1)求證:此方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)設此方程的兩個根分別為x1,x2,若x1+x2=6,求m的值.
考向5 一元二次方程的應用
真題拓展
11.[真情境]某商場以每件210元的價格購進一批商品,當每件商品售價為270元時,每天可售出30件,為了迎接“雙十一購物節(jié)”,商場決定采取適當降價的方式促銷,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件商品降價1元,那么商場每天就可以多售出3件.
(1)降價前商場每天銷售該商品的利潤是多少元
(2)要使商場每天銷售這種商品的利潤達到降價前每天利潤的兩倍,且更有利于減少庫存,則每件商品應降價多少元
【參考答案】
1.B　2.1　3.x2-4=0(答案不唯一)
4.【解析】∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,
∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.
5.A　6.A　7.2　8.D　9.0.5
10.【解析】(1)證明:∵Δ=(-2m)2-4×(m2-9)=4m2-4m2+36=36>0,
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)∵x1+x2=6,
∴2m=6,
解得m=3.
11.【解析】(1)(270-210)×30=1800(元).
∴降價前商場每天銷售該商品的利潤是1800元.
(2)設每件商品應降價x元,
由題意,得(270-x-210)(30+3x)=1800×2,
解得x1=20,x2=30.
∵要更有利于減少庫存,∴x=30.
答:每件商品應降價30元.

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