資源簡介

第6講　分式方程及其應用
(6年3考,4或7分)
【知識清單】
知識點1 分式方程的有關概念及解法
解法思路:
溫馨提示:去分母時,先確定最簡公分母,若分母是多項式,要進行因式分解;若分子是多項式,則需將其看作一個整體,加括號后再進行下一步計算.
知識點2 分式方程的實際應用
一般步驟:
【參考答案】
①分母　②去分母　③最簡公分母不為0　④最簡公分母為0　⑤檢驗所解得的根是不是分式方程的解　⑥檢驗解是否符合題意
【自我診斷】
1.(北師八下P125議一議變式)下列關于x的方程,是分式方程的是 ( )
A.-3= B.=
C.+1= D.=1-
2.(人教八上P155第4題變式)數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題,一組人平分10元錢,每人分得若干;若再加上6人,平分40元錢,則第二次每人所得與第一次相同,求第二次分錢的人數.設第二次分錢的人數為x,則可列方程 ( )
A.10x=40(x+6) B.10(x-6)=40x
C.= D.=
3.(2023·廣州一模)方程=的解為 .
4.(2021·衡陽)“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環境,計劃種植樹木6000棵.由于志愿者的加入,實際每天植樹的棵數比原計劃增加了25%,結果提前3天完成任務.則實際每天植樹 棵.
【參考答案】
1.D　2.D　3.x=2　4.500
【核心突破】
題型1 分式方程的解法
例題1 解方程:+1=.
方法總結
解分式方程注意事項:
1.去分母時,不要漏乘常數項;
2.去括號時,若括號前面是負號,則括號內每一項都要變號;
3.解得根后,要代入原分式方程或最簡公分母中檢驗.
變式1 若關于x的分式方程=+1有增根,則m= .
2.解方程:=+1.
題型2 分式方程的應用
例題2 [真情境]某校團委開展以感恩為主題的有獎征文活動,并為獲獎的同學頒發獎品,到書店購買甲、乙兩種書籍作為獎品.已知乙種書籍的單價是甲種書籍單價的1.25倍,用400元購買甲種書籍的數量比用同等金額購買乙種書籍的數量多4冊.
(1)求甲、乙兩種書籍的單價.
(2)團委決定用2000元購買甲、乙兩種書籍共100冊,此時,甲種書籍因改版售價比原價增加了20%,乙種書籍的售價按原價的七折出售.問最多能購買多少冊甲種書籍
方法總結
分式方程應用題“雙檢驗”:
在利用分式方程解決問題時,必須進行“雙檢驗”:既要檢驗去分母化成的整式方程的解是否為原分式方程的解,又要檢驗分式方程的解是否符合實際意義.
變式2 2022年3月12日是第44個植樹節,某街道辦現計劃采購樟樹苗和柳樹苗共600棵,已知一棵柳樹苗比一棵樟樹苗貴4元,用2400元所購買的樟樹苗與用3200元所購買的柳樹苗數量相同.
(1)請問一棵樟樹苗的價格是多少元
(2)若購買樟樹苗的數量不超過柳樹苗的2倍,怎樣采購所花費用最少 最少多少元
【參考答案】
例題1　【自主解答】+1=,
去分母,得2x-2+x2-1=x2+x,解得x=3,
檢驗:將x=3代入(x+1)(x-1)中,得(x+1)(x-1)≠0,∴x=3是該分式方程的解.
變式特訓
1.3
【解析】去分母,得3x=m+3+(x-2),
整理,得2x=m+1.
∵關于x的分式方程=+1有增根,即x-2=0,∴x=2.
把x=2代入2x=m+1中,得2×2=m+1,解得m=3.
故答案為3.
2.【解析】=+1,
方程兩邊都乘(x-1)(x+1),得x(x+1)=4+(x-1)(x+1),解得x=3,
經檢驗,當x=3時,(x-1)(x+1)=8≠0.
故x=3是原方程的解.
例題2　【解析】(1)設甲種書籍的單價為x元,則乙種書籍的單價為1.25x元,由題意得-=4,
解得x=20,
經檢驗,x=20是原方程的解,且符合題意,
則1.25x=1.25×20=25.
答:甲種書籍的單價為20元,乙種書籍的單價為25元.
(2)設購買m冊甲種書籍,則購買(100-m)冊乙種書籍,由題意得(1+20%)×20m+25×0.7×(100-m)≤2000,解得m≤38.
∵m為正整數,∴m的最大值為38.
答:最多能購買38冊甲種書籍.
變式特訓　【解析】(1)設一棵樟樹苗的價格是x元,則一棵柳樹苗的價格為(x+4)元,
根據題意,得=,
解得x=12,
經檢驗,x=12是原分式方程的根,
∴一棵樟樹苗的價格是12元.
(2)設購買m棵樟樹苗,則購買了(600-m)棵柳樹苗,總費用為w元,
根據題意,得m≤2(600-m),
解得m≤400,
w=12m+16(600-m)=-4m+9600.
∵-4<0,
∴w隨著m的增大而減小,
∴當m=400時,w最小,
此時購買400棵樟樹苗,200棵柳樹苗,
最小花費w=-4×400+9600=8000(元).
【真題精粹】
考向1 解分式方程
真題拓展
1.下面是小明解方程-=1的過程,認真閱讀并回答問題.
解:方程兩邊同時乘以最簡公分母　　　,
得(x-1)2-3=x2-1, 第一步
∴x2-2x+1-3=x2-1, 第二步
∴-2x=-1+3-1, 第三步
∴-2x=1, 第四步
∴x=-. 第五步
任務一:
①上述解題過程中,第一步的最簡公分母是　　　　;
②上述第二步到第三步變形的依據是　.
任務二:上述解題過程是否完整,若不完整,請補充完整.
考向2 分式方程的應用(6年3考)
2.(2020·廣東23題8分)某社區擬建A,B兩類攤位以搞活“地攤經濟”,每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米.建A類攤位每平方米的費用為40元,建B類攤位每平方米的費用為30元.用60平方米建A類攤位的個數恰好是用同樣面積建B類攤位個數的.
(1)問每個A,B類攤位占地面積各為多少平方米
(2)該社區擬建A,B兩類攤位共90個,且B類攤位的數量不少于A類攤位數量的3倍.求建造這90個攤位的最大費用.
真題拓展
3.[真情境]紅燈籠,象征著闔家團圓,紅紅火火,掛燈籠成為我國的一種傳統文化.小明在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠,用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數量相同,已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元.
(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價.
(2)經市場調查發現,當乙燈籠每對售價50元時,每天可售出98對,售價每提高1元,則每天少售出2對,物價部門規定其銷售單價不高于每對65元,設乙燈籠每對漲價x元,小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元.
①求y與x之間的函數解析式;
②乙種燈籠的銷售單價為多少元時,一天獲得的利潤最大 最大利潤是多少元
【參考答案】
1.【解析】任務一:①x2-1;
②等式的基本性質1:等式兩邊都加上(或都減去)同一個數或同一個式子,結果仍相等.
任務二:不完整,在第五步后補充如下內容:
檢驗:當x=-時,(x+1)(x-1)≠0,
所以,分式方程的解為x=-.
2.【解析】(1)設每個B類攤位的占地面積為x平方米,則每個A類攤位占地面積為(x+2)平方米,
根據題意得=×,
解得x=3,經檢驗x=3是原方程的解,
所以3+2=5.
答:每個A類攤位占地面積為5平方米,每個B類攤位的占地面積為3平方米.
(2)設建A類攤位a(a>0)個,則建B類攤位(90-a)個,
由題意得90-a≥3a,
解得a≤22.5.
∵建A類攤位每平方米的費用為40元,建B類攤位每平方米的費用為30元,
∴要想使建造這90個攤位有最大費用,所以要多建造A類攤位,即當a取最大值22時,費用最大,此時最大費用為22×40×5+30×(90-22)×3=10520.
答:建造這90個攤位的最大費用是10520元.
3.【解析】(1)設甲種燈籠進價為n元/對,則乙種燈籠的進價為(n+9)元/對,由題意得=,
解得n=26,
經檢驗,n=26是原方程的解,且符合題意,
∴n+9=26+9=35.
答:甲種燈籠的進價為26元/對,乙種燈籠的進價為35元/對.
(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470,
則y與x之間的函數解析式為y=-2x2+68x+1470.
②∵a=-2<0,
∴函數y有最大值,該二次函數的對稱軸為x=-=17,∵物價部門規定其銷售單價不高于每對65元,∴x+50≤65,∴x≤15.
∵當x<17時,y隨x的增大而增大,
∴當x=15時,y最大=2040.
15+50=65.
答:乙種燈籠的銷售單價為每對65元時,一天獲得的利潤最大,最大利潤是2040元.

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