資源簡介

專題09（垂線與平等線的應用）-2024-2025學年四年級數學上學期
期末備考真題分類匯編（江蘇專版）
當前教育形式，對于小學數學核心素養能力的培養非常重要，小學生必需具有以下數學核心素養（即教師培養學生的目標和方向）：
數 學 核 心 素 養
會用數學眼光 觀察現實世界 抽象能力（包括數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創新意識。數學眼光提供了觀察、探究世界的新視野，能將實際情境抽象為數學問題，能體會數學知識的實際意義。
會用數學思維 思考現實世界 運算能力、推理意識或推理能力。數學為人們提供了理解、解釋現實世界的思維途徑，在邏輯推理中體會數學的嚴謹性。
會用數學語言 表達現實世界 數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。數學建模與數據分析可以作為工具廣泛應用于其他學科，體現了數學具有應用的廣泛性。
四基：學生通過學習所獲得的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。這些是數學學習的基礎，旨在讓學生不僅掌握必要的知識和技能，而且在學習過程中積累經驗，形成數學思維和處理問題的方法。
四能：學生通過學習所獲得的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。這些是數學學習的基礎，旨在讓學生不僅掌握必要的知識和技能，而且在學習過程中積累經驗，形成數學思維和處理問題的方法。
垂線與平等線的應用
1、直線和射線的認識與比較
線段、射線和直線的聯系和區別。
名稱 圖示 端點個數 延伸情況 長度 聯系
線段 兩個 不能向兩端延伸 可以測量
射線 一個 只能向一端無限延伸 無法測量
直線 無 可以向兩端無限延伸 無法測量
直線和射線都是無限長的，射線可以一端無限延長，直線可以向兩端無限延長；經過一點可以畫無數條直線，經過兩點只能畫一條直線。
直線和射線都是無限長的，無法比較兩者的長度。
2、兩點間的距離
連接兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離。兩點之間，線段最短。
3、角的認識
（1）認識角。
從一點起引出的兩條射線，可以組成一個叫。這個點叫做角的定點，兩條射線叫做角的邊。如圖
角通常用符號“∠”來表示，上圖的角記作∠ 1，∠ 1讀作角一角的組成：一個頂點、兩條邊
（2）畫角。
從角的組成，畫角時要先確定頂點（即在適當的地方畫一個點），然后畫角的兩條邊（從這一點向不同方向畫出兩條射線）。可以畫不同方向的角。
4、認識量角器
（1）測量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一個點叫做中心點。量角器上180°的刻度線與90°的刻度線相交的點是量角器的中心，量角器上有兩條0刻度線和兩圈
刻度。量角器里按順時針方向表示的刻度叫做外圈刻度，量角器里按逆時針方向表示的刻度叫做內圈刻度。
（2）角的計量單位是和表示符號：把半圓分成180等份，每一份所對的角就是1度的角。“度”是計量角的單位，用符號“°”表示，如1度記作1°，“°”要寫在數字的右上角。
量角器是半圓形的。把這個半圓平均分成180等份，每一份所對的角是1°。內圈刻度和外圈刻度分別是逆時針和順時針方向排列的。
5、用量角器量角
“三個重合、一個注意”。
（1）點點重合：量角器的中心點與角的頂點重合。
（2）線邊重合：量角器的0刻度線與角的一條邊重合。
（3）線邊重合：刻度線與另一條邊重合，即讀出幾度。
注意點：內圈刻度線與外圈刻度線不能混合使用。
6、三角尺上的角的度數
三角尺含有不同的度數：30°、45°、60°、90°
用一副三角尺可以拼成的角有15°（45°-30°）、
75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（90°+30°）
135°（90°+45°）、150°（90°+60°）
一副三角尺拼成的角的度數都是15的倍數。
8、角的分類
名稱 角
類別 銳角 直角 鈍角 平角 周角
圖形
特點 小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360°
銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角
1周角=2平角=4直角
9、畫指定度數的角
特定度數的角可以利用三角尺上對應的角來畫（30°、45°、60°、90°……15的倍數都可以畫出）
量角器畫角的基本方法：
（1）先在紙上畫出角的頂點和一條邊。
（2）用量角器的0°刻度線與所畫的邊重合，量角器的中心與所畫的頂點重合；
（3）如果用內圈的0°刻度線與所畫的邊重合，就在內圈所對應的刻度處點上一個點。
如果用外圈的0°刻度線與所畫的邊重合，就在外圈所對應的刻度處點上一個點。
（4）拿走量角器，連接頂點和點出的點，畫出角的另一條邊。
（5）在所畫的角中標出角的符號，并標明度數。
10、給定角的一條邊，畫指定度數的角
射線方向向右的，如圖 ，這時選擇量角器的內圈刻度畫角。
射線方向向左的，如圖 ，這時選擇量角器的外圈刻度畫角。
11、平行線：同一平面內，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線是另一條直線的平行線。
12、過一點畫已知直線的平行線：重合、平移、緊挨
（1）重合：三角尺的一條直角邊與已知直線重合；
（2）平移：把三角尺沿著緊貼的直尺平移。
（3）緊挨：三角尺的直角邊平移到緊挨著這個點，畫出一條直線即可。
13、垂線：兩條直線相交成直角是，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線。
垂足：兩條垂線的交點叫做垂足。
14、畫垂線的方法：
用三角尺過一點畫已知直線的垂線：
（1）將三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
（2）再將三角尺的另一條直角邊與直線上（外）的點重合。
（3）過這個點沿這條直角邊畫一條直線，即是這條直線的垂線。
15、點到直線的距離：點到直線的垂直線段的長度。
16、平行線間垂直線段的長度就是平行線間的距離。
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一、作圖題
1．（23-24四年級上·江蘇常州·期末）如圖，點P為貨船位置，它要先到補給站轉載補給，然后盡快開到a岸，請畫出最短路線。
【答案】見詳解
【分析】先根據同一平面內，兩點之間，線段最短可知，P點到補給站最近的路線為兩點的連線；再根據直線外一點，到直線的所有線段中垂線最短，做出過補給站的點到a岸的垂線即可。
【詳解】
如圖：
2．（23-24四年級上·江蘇鹽城·期末）以下面的射線為一條邊，分別畫一個85°和110°的角。
【答案】圖見詳解
【分析】根據角的畫法，先畫一射線，再把量角器的圓心與射線的端點重合，0刻度線與射線重合，在要求所畫的度數的刻度上點點，再以原射線的端點為端點過這一點畫射線，兩射線所成的角就是所畫的角。
【詳解】畫圖如下：
3．（23-24四年級上·江蘇蘇州·期末）如圖：
（1）過點A畫直線的垂線。
（2）以點B為頂點，引出一條射線，與已知直線相交成80°的角。
【答案】見詳解
【分析】（1）過A點作垂線的方法：先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合，沿著直線移動三角尺，使A點在三角尺的另一條直角邊上，再沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號，這條直線就是已知直線的垂線，據此畫圖；
（2）使量角器的中心和B點重合，0°刻度線和已知直線重合，在量角器80°刻度線的地方點一個點，以B點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，據此畫出80°的角。
【詳解】根據上述分析，作圖如下：
4．（22-23四年級上·江蘇南通·期末）濠河是南通城匯自然和人文于一體的風景名勝區，泛舟濠河，不亦樂乎。
（1）給游船A設計一條路線，使其航行的路線總是平行于a岸。請在圖中畫出這條路線。
（2）請給游船B設計一條路線，使其去b岸的線路最近。請在圖中畫出這條路線。
【答案】（1）見詳解
（2）見詳解
【分析】（1）把三角尺的一條直角邊和已知直線a重合，用直尺靠緊三角尺的另一條直角邊，沿直尺移動三角尺，使三角尺原來和已知直線a重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角尺的直角邊畫直線即可。
（2）用直角三角尺的一條直角邊和直線b重合，移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊和點B重合，過B點沿直角邊向已知直線畫直線即可。
【詳解】如圖：
【點睛】此題考查了學生用三角尺和直尺作垂線和平行線的能力。
5．（23-24四年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，小螞蟻外出覓食時，發現E、F兩處有較多的食物，于是它想在家附近的直線a上建一個倉庫，將E、F兩處的食物儲存在該倉庫中，為過冬做準備，那么它應該把倉庫建在哪里，可使自己的搬運路線最短？畫一畫。
【答案】見詳解
【分析】從直線外一點到這條直線的線段中，垂直線段最短。據此可知，分別過點E和點F向直線a作垂線，這兩條垂線就是點E和點F到直線a的最短路線。因為共有兩處食物點，所以將兩個垂足中間的點作為倉庫位置。
【詳解】如下圖所示，點P就是倉庫所在位置。
6．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）小鴨在岸上走比較費勁，卻擅長在水里游泳。它想從自己家出發，到小雞家玩，怎樣走比較省力？畫一畫。
【答案】見詳解
【分析】從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫作點到直線的距離。
過一點作已知直線的垂線：把三角板的一直角邊靠緊直線，沿這條直線滑動三角板，當另一直角邊經過該點時，沿這條直角邊畫的直線就是過該點作的直線的垂線，依此畫圖并標上垂直符號即可；兩點之間的距離，線段距離最短。
【詳解】畫圖如下：
7．（23-24四年級上·江蘇宿遷·期末）如圖是某街區的示意圖。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）解放路經過城市廣場，與人民路平行，請你在圖中畫出來。
（3）新村需要安裝液化氣管道，主管道在幸福路上，你認為應怎樣安裝，液化氣管道最短？請你在圖中畫出來。
【答案】（1）30
（2）（3）見詳解
【分析】（1）根據用量角器量角的方法，把量角器的中心點與角的頂點重合，0°刻度線與角的一條邊重合，角的另一條邊指著的度數，就是這個角的度數；據此量出∠1的度數。
（2）過城市廣場這一點，作人民路這條直線的平行線，可以先過城市廣場這一點作人民路的垂線，再過這一點作垂線的垂線，即作出解放路。
（3）根據點到直線上任意一點的距離中，垂直線段最短，可知：要使新村的液化氣管道最短，則從新村這一點向幸福路這條直線作垂直線段，即是最短的液化氣管道。
【詳解】（1）根據分析并測量可知：
∠1＝30°
（2）（3）如下圖：
8．（23-24四年級上·江蘇泰州·期末）如圖，華華要從點A游到河對岸，怎樣游路線最短？請在圖中畫出來。
【答案】見詳解
【分析】根據從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，所以要想從點A游到河對岸，游的路線最短，需要過點A向河對岸所在的直線做垂線。
【詳解】
9．（24-25四年級上·江蘇·期末）過點A畫已知直線的平行線，過點B畫已知直線的垂線。
【答案】見詳解
【分析】過直線上或直線外一點作垂線的步驟：
1、把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
2、沿著直線移動三角尺，使直線上或直線外的點在三角尺的另一條直角邊上。
3、沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號。
這條直線就是已知直線的垂線。
過直線外一點，畫已知直線的平行線可以借助直尺和三角尺來完成。
1、把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
2、用直尺緊靠著三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后沿著直尺平移三角尺。
3、平移后，使直線外的點在三角尺的一條直角邊（剛才與已知直線重合的那一條直角邊）上，沿直角邊畫出另一條直線。
這條直線就是已知直線的平行線。
【詳解】
10．（24-25四年級上·江蘇·期末）甲、乙兩村分別位于公路的兩邊，現在要從這兩村各修一條路與公路連接起來，怎樣修路使兩村都距公路最近？請畫在圖上。
【答案】見詳解
【分析】直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短，據此畫圖即可。
【詳解】只要分別作出甲村、乙村兩點到公路的垂線段，這兩條小路就是最短的。
如下圖：
11．（24-25四年級上·江蘇·期末）先過點A畫出直線a的垂線，再過點A畫出直線b的平行線。
【答案】見詳解
【分析】（1）過直線上或直線外一點作作垂線的步驟：把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；沿著直線移動三角尺，使直線上或直線外的點在三角尺的另一條直角邊上；沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號。這條直線就是已知直線的垂線。
（2）畫已知直線的平行線可以借助直尺和三角尺來完成：固定三角尺，沿一條直角邊先畫一條直線或先讓三角形的直角邊與已知直線重合；用直尺緊靠著三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后沿著直尺平移三角尺直至三角尺的直角邊經過已知的點；最后，沿直角邊畫出另一條直線。
【詳解】
12．（22-23四年級上·江蘇揚州·期末）一只小鴨子要從C點游到河對岸，怎樣游路線最短？請畫出來。如果要游到B點，怎樣游路線最短？請畫出來。
【答案】見詳解
【分析】要使從C點游到河對岸的路程最短，即所走路線是從點C向河對岸作垂線段，把直角三角尺的一條直角邊與點B所在的直線重合，使得點C在直角三角尺的另一條直角邊上，固定三角尺，過點C沿著這條直角邊向河對岸畫線段即為垂線段，這條垂線段即為最短的路線。若要從C點游到B點的路程最短，連接B點與C點的線段即為最短路線。
【詳解】
二、解答題
13．（23-24四年級上·江蘇徐州·期末）（1）以O為頂點，已知射線為一條邊，在它的下面畫一個75°的角。
（2）過點A分別向角的兩邊畫垂線。
（3）圍成的四邊形中有1個是鈍角，這個鈍角的度數是（ ）°。
【答案】（1）（2）見詳解
（3）105°
【分析】（1）用量角器的圓點和射線的端點O重合，0刻度線和射線重合，在量角器75°的刻度上點上點，過射線的端點O和剛作的點，畫射線即可。
（2）將三角板的一條直角邊和角的一邊重合，然后平移三角板，讓其另一條直角邊與A點重合，過A點和三角板的直角頂點作直線，就是這條邊的垂線；同樣的方法即可作出過A點的角的另一條邊的垂線。
（3）根據垂直的定義可知，圍成的四邊形中有2個直角，因為四邊形的內角和是360度，所以另外兩個角的度數之和是180度，已知一個角是75度，則另一個角就是105度，據此即可解答。
【詳解】（1）（2）根據題干分析畫圖如下：
（3）由分析知，360°－75°－90°－90°＝105°
這個鈍角的度數是105°。
14．（22-23四年級上·江蘇徐州·期末）（1）過點A畫已知直線L的垂線和平行線。
（2）量出點A到直線L的距離是（ ）厘米。
【答案】（1）圖見詳解；（2）2
【分析】（1）過一點作直線的垂線：把三角板的一直角邊靠緊直線，沿這條直線滑動三角板，當另一直角邊經過該點時，沿這條直角邊畫的直線就是過該點作的直線的垂線；
過直線外一點作直線的平行線：把三角板的一邊靠緊直線，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動三角板，當與直線重合的一邊經過已知點時，沿這邊畫直線就是過該點作的直線的平行線。
（2）從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度叫這點到這條直線的距離。這個點與垂足之間的線段叫做垂線段。點A到直線L的垂線段的長度即為點A到直線L的距離，測量出這條垂線段的長度即可解答。
【詳解】
（1）
（2）經測量，點A到直線L的距離是2厘米。
15．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）過點A畫出下面直線的垂線和平行線，并量出畫圖后平行線之間的距離大約是（ ）毫米。
【答案】圖見詳解；30（以實際測量為主）
【分析】用三角板畫垂線：將三角板任意放到紙上，沿著三角板的兩條直角邊畫兩條線， 這兩條線就互相垂直。也可以先用直尺任意畫一條直線，然后將三角板的一 條直角邊與這條直線重合，沿三角板的另一條直角邊畫線與這條直線相交，這樣畫的兩條線互相垂直；畫平行線的方法：（1）用三角板的一條直角邊與已知直線重合。 （2）用直尺緊靠三角板的另一條邊。（3）沿著直尺平移三角板，使與已知直線重合的直角邊通過已知點。（4）沿著這條直角邊畫一條直線，所畫的直線與已知直線平行。再用直尺測量出平行線之間的距離，0刻度線對齊A點。
【詳解】根據垂線和平行線的作圖方法，作圖如下：
用直尺測量出平行線之間的距離為30毫米。（以實際測量為主）
16．（22-23四年級上·江蘇宿遷·期末）過點A畫已知直線的垂線和平行線，并量出點A到已知直線的距離。點A到已知直線的距離（ ）毫米。
【答案】見詳解
【分析】平行線的畫法：固定三角尺，使其一條直角邊和已知直線重合，用直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后平移三角尺，使點A位于該直角邊上，沿著這條直角邊再畫出另一條直線，這條直線就是已知直線的平行線；過直線外一點畫垂線的方法：把三角尺的一條直角邊與已知直線重合，讓三角尺的另一條直角邊通過點A，沿著三角尺的另一條直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線，根據長度的測量方法：用直尺的“0”刻度線和線段的一個端點重合，另一個端點在直尺上的刻度，就是點A到已知直線的距離。
【詳解】
20毫米
過點A畫已知直線的垂線和平行線，并量出點A到已知直線的距離。點A到已知直線的距離20毫米。
17．（22-23四年級上·江蘇南通·期末）根據要求在圖中量一量，畫一畫。
（1）用量角器量出∠AOB是（ ）°。
（2）過A點作OB邊的垂線。
（3）過B點作OA邊的平行線。
【答案】（1）35
（2）（3）圖見詳解過程
【分析】（1）用量角器的圓點和角的頂點重合，0刻度線和角的一條邊重合，另一條邊在量角器上的刻度就是該角的度數；
（2）過直線外一點畫已知直線的垂線的方法：把三角尺的一條直角邊與已知直線重合，沿著直線平移三角尺，使三角尺的另一條直角邊過直線外的一點，沿著三角尺的另一條直角邊畫一條直線，這條直線就是已知直線的垂線，最后再標出直角符合；
（3）過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合，再用直尺緊靠著三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后沿著直尺平移三角尺，使直線外的點在三角尺上，沿直角邊畫出另一條直線即可。
【詳解】（1）用量角器量出∠AOB是35°。
（2）過A點作OB邊的垂線。作圖如下：
（3）過B點作OA邊的平行線。作圖如下：
18．（22-23四年級上·江蘇鎮江·期末）畫一畫，填一填。
①過A點作已知直線的垂線。
②量出A點到直線的距離是（ ）毫米。
③以B點為頂點，引一條射線與已知直線相交組成70°的角。
【答案】①見詳解
②25
③見詳解
【分析】①用直角三角尺的一條直角邊和直線重合，移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊和點A重合，過A點沿直角邊向已知直線畫直線即可。
②直線外一點到這條直線的垂線段的長度就是點到直線的距離。量出點A到已知直線的垂線段的長度即可。
③使量角器的中心點和B點重合，0刻度線和已知直線重合，在量角器上找到70°度數的地方點一個點，以B點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，組成的圖形就是70°的角，在角內標上角的符號和度數。
【詳解】①如圖
②量出A點到直線的距離是（25）毫米。
③如圖
19．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）在直線右邊畫2個與已知直線的距離都是2厘米的點。
過這兩個點能畫（ ）條直線，請畫一畫；畫出的直線與已知直線（ ）。
【答案】圖見詳解；1；平行
【分析】用三角板的一條直線邊與已知直線重合，沿另一條直角邊向已知直線畫直線即可得到已知直線的一條垂線，從垂足開始截取一段2厘米線段，過兩個點畫一條直線，畫的直線與已知直線是平行線。據此解答。
【詳解】根據題意畫圖如下：
過這兩個點能畫1條直線，畫圖如上圖所見；畫出的直線與已知直線平行。
20．（22-23四年級上·江蘇常州·期末）
（1）上圖的平行四邊形中，∠B＝（ ）°。
（2）以A為頂點，AD為一條邊，畫一個60°的角。
（3）一只小螞蟻在圖中的黑點處，它想快點爬到平行四邊形的邊線上，請你幫它設計一條最近的爬行路線，在圖中畫出來。
【答案】（1）60°
（2）見詳解
（3）見詳解
【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角時，先把量角器的中心與角的頂點B重合， 0°刻度線與角的一條邊重合。角的另一條邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數；
（2）畫角時先使量角器的中心點和A點重合，0刻度線和AD重合，在量角器上找到60°處點一個點，以A點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，在角內標上角的符號和度數；
（3）從直線外一點到這條直線的線段中，垂直線段最短。據此可知，要求一條最近到邊線的路線，則從黑點向下面的那條邊作垂線，這條垂線即為所求。
【詳解】（1）經測量，∠B＝60°。
（2）（3）作圖如下：
21．（22-23四年級上·江蘇淮安·期末）操作題。
（1）過A點作已知直線的平行線。
（2）量出A點到直線的距離是（ ）毫米。
（3）以B點為頂點，引一條射線與已知直線相交組成120°的角，并標為∠1。
【答案】（1）（3）見詳解
（2）14
【分析】（1）過直線外一點作已知直線的平行線的方法：先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；再用直尺緊靠著三角尺的另一條直角邊。固定直尺，然后沿著直尺平移三角尺，使直線外的點在三角尺上。沿直角邊畫出另一條直線即可。
（2）從直線外一點到這條直線的線段中，垂直線段最短，這條垂直線段的長度叫做點到直線的距離。據此先過A點作直線的垂線，再用直尺量出A點到直線的距離。
（3）使量角器的中心和B點重合，0°刻度線和直線重合。在量角器120°刻度線的地方點一個點。以B點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線。據此畫出120°的角，并標為∠1。
【詳解】（1）（3）
（2）量出A點到直線的距離是14毫米。
22．（22-23四年級上·山東濰坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它們經常到對方家里去做客，于是兩個好朋友商量，要在兩家之間修一條最近的路，請你將兩家門口A、B的最短路線畫一畫，并說明這樣畫的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分別從水管主道接一條水管到自己家，怎樣接用的材料最少？請你畫一畫。
【答案】（1）畫圖見詳；兩點之間，線段距離最短。
（2）見詳解
【分析】（1）兩點之間，線段距離最短，依此畫圖并解答即可。
（2）從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫作點到直線的距離。
過一點作已知直線的垂線：把三角板的一直角邊靠緊直線，沿這條直線滑動三角板，當另一直角邊經過該點時，沿這條直角邊畫的直線就是過該點作的直線的垂線，依此畫圖并標上垂直符號即可。
【詳解】（1）、（2）畫圖如下：
（1）這樣畫的理由是：兩點之間，線段距離最短。
【點睛】此題考查了兩點間線段最短與兩點間的距離，以及過直線外一點作垂線，應熟練掌握垂直的特點。
23．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）下圖是某街區的示意圖。
（1）用量角器量出∠l＝（ ）°。
（2）解放路在勝利小學的西北面，與和平路平行，并且在圖上量得勝利小學與解放路的距離是1厘米。在圖上利用一條直線表示解放路。
（3）勝利小區鋪設天然氣管道，主管道在華山路，怎么鋪最節省材料？把它畫出來。
【答案】（1）40
（2）見詳解
（3）見詳解
【分析】（1）用量角器量角的度數方法，把量角器的中心點與角的頂點重合，0度刻度線與所畫的邊重合，另一條邊所在的刻度線，就是這個角的度數。
（2）根據題圖可知上方表示的方向是北，則西北面就在左上方；據此用直角三角尺一條直角邊與和平路重合，過勝利小學向左上方做和平路的垂線段，使其長度為1厘米，再過垂線段的左上方的端點畫和平路的平行線，把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和已知點重合，過點沿三角板的直角邊畫直線即是已知直線的平行線；
（3）點到直線的距離，垂線段最短，過勝利小區的點向華山路做垂線段，此時距離最短，最節省材料。
【詳解】（1）經測量，∠l＝40°。
（2）（3）作圖如下：
24．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）填一填，畫一畫。
跳遠比賽規定：測量跳遠成績是測量運動員離起跳線最近的落腳點到起跳線的距離。下圖是王明跳遠的示意圖，最近的落腳點是A，從點A到起跳線p的（ ）的長度就是王明的跳遠的成績。在下圖中畫一畫。
【答案】垂線段；圖見詳解
【分析】測量跳遠成績是測量運動員離起跳線最近的落腳點到起跳線的距離就是點到直線的距離；
過直線上或直線外一點作作垂線的步驟：1、把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。2、沿著直線移動三角尺，使直線上或直線外的點在三角尺的另一條直角邊上。3、沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號。這條直線就是已知直線的垂線。過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，據此解答。
【詳解】跳遠比賽規定：測量跳遠成績是測量運動員離起跳線最近的落腳點到起跳線的距離。下圖是王明跳遠的示意圖，最近的落腳點是A，從點A到起跳線p的垂線段的長度就是王明的跳遠的成績。
25．（23-24四年級上·江蘇徐州·期末）按要求完成：
（1）過點A畫出已知直線的垂線；點A到直線的距離是（ ）毫米。
（2）以B為頂點，畫出一條射線，使所畫射線與已知直線形成60°的角。
【答案】（1）見詳解圖；20
（2）見詳解
【分析】（1）過直線外一點作已知直線的垂線：把三角板的一直角邊靠緊直線，沿這條直線滑動三角板，當另一直角邊經過A點時，沿這條直角邊畫的直線就是過A點作的已知直線的垂線，兩直線相交于C點；依此畫圖并標上垂直符號即可；
從直線外一點到這條直線的線段中，垂直線段最短，這條垂直線段的長度叫做點到直線的距離。用直尺的“0”刻度線和端點重合，另一個端點在直尺上的刻度，就是該線段的長度，據此測量出線段AC的長度即可。
（2）使量角器的中心與給出的頂點重合，0刻度線與給出的射線重合；再在量角器上對準要畫角的度數的刻度線，并點上一點；然后以已畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，這兩條射線所成的夾角就是所要畫的角度；據此畫圖。
【詳解】（1）點A到直線的距離是20毫米。
（1）、（2）如下圖
26．（22-23四年級上·江蘇泰州·期末）過點A先畫出已知直線的垂線，再畫出這條垂線的平行線并填空。
你畫的垂線的平行線與已知直線互相（ ）。
A．平行 B．垂直 C．無法確定
【答案】作圖見詳解；
B；
【分析】用直角三角板的一條直角邊與已知直線重合，另一條直角邊與A點重合，過A點沿直角邊做垂線即可；
用直角三角板的一條直角邊和這條垂線重合，另一條直角邊和已知直線重合，直角三角板沿著已知直線慢慢移動，在任意位置沿著第一條直角邊畫出的直線就是這條垂線的平行線；
兩條平行線中的一條垂直于一條直線，另一條也一定垂直于這條直線，據此即可解答；
【詳解】根據題干分析畫圖如下：
因為兩條平行線中的一條垂直于一條直線，另一條也一定垂直于這條直線，故答案為：B。
【點睛】此題考查了學生畫平行線和垂線的能力。
27．（22-23四年級上·江蘇徐州·期末）（1）在下圖中，過A點作直線B的平行線。
（2）過點A畫直線B的垂線，點A到直線B的距離是（ ）毫米。
（3）以點C為端點畫一條射線，使其于直線B相交成70°的角
【答案】（1）圖見詳解
（2）圖見詳解；19
（3）圖見詳解
【分析】（1）把三角尺的一條直角邊和已知直線B重合，用直尺靠緊三角尺的另一條直角邊，沿直尺移動三角尺，使三角尺原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角尺的直角邊畫直線即可。
（2）用直角三角尺的一條直角邊和直線B重合，移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊和點A重合，過A點沿直角邊向已知直線畫直線即可，點A到直線B的垂線段的長度就是點A到直線B的距離。
（3）使量角器的中心點和C點重合，0刻度線和直線B重合，在量角器上找到70°度數的地方點一個點，以畫出射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，組成的圖形就是70°的角，在角內標上角的符號和度數。
【詳解】如圖：
【點睛】此題主要考查了學生用三角尺和直尺作垂線和平行線的能力。
28．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）過A點畫已知直線的垂線量一量，A點到已知直線的距離是（ ）厘米。
【答案】圖見詳解；2
【分析】把直角三角尺一條直角邊與已知直線重合，使得點A在另一條直角邊上，沿著這條直角邊過點A向已知直線畫線段即為所求的垂線；再把直尺的零刻度線與點A重合，垂線段與直線的交點指向直尺的哪個刻度，那么這條垂線段的長度就是幾厘米。
【詳解】
A點到已知直線的距離是2厘米。
29．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）運動會跳遠比賽時，每個運動員都有三次試跳機會，以最好的一次成績作為最終成績。張陽在跳遠比賽中，第一次犯規，后兩次分別跳到了圖中的位置。
（1）用線段畫出兩次跳遠的距離。
（2）你畫的兩條線段互相（ ）。（填：“垂直”或“平行”）
（3）張陽兩次成績分別為220厘米和196厘米，李康的成績分別為：215厘米、205厘米和210厘米。你認為他倆誰會獲勝？說說你的理由。
【答案】（1）見詳解；
（2）平行；
（3）張陽；因為比賽規則是以最好的一次成績作為最終成績（理由答案不唯一）
【分析】（1）從圖中2個位置分別畫2條到踏跳板的垂線段，過直線上或直線外一點作垂線的步驟：把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；沿著直線移動三角尺，使直線上或直線外的點在三角尺的另一條直角邊上；沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號；這條直線就是已知直線的垂線；
（2）同一平面內兩條直線的位置關系：在同一平面內的兩條不重合的直線，只有兩種位置關系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情況；
（3）根據比賽規則，因為是以最好的一次成績作為最終成績，先分別比較出各自最好的成績，再比較兩人最好的成績即可；據此解答。
【詳解】根據分析：
（1）
（2）我畫的兩條線段互相平行。
（3）張陽：220＞196
李康：215＞210＞205
220＞215
答：我認為張陽會獲勝，因為比賽規則是以最好的一次成績作為最終成績。（理由答案不唯一）
30．（22-23四年級上·江蘇南京·期末）操作。
（1）量出圖中角的度數，并在圖中標出來。
（2）過點M畫射線OB的垂直線段MN，垂足為N。過點M作射線OA的平行線MQ，交OB于點Q。
（3）點M到射線OB的距離是（ ）厘米。
【答案】（1）（2）見詳解；（3）4
【分析】（1）用量角器量角的度數：首先把量角器放在所畫角的上面，然后找到角的頂點，使量角器的中心位置和角O的頂點重合，然后使角的一邊OB和零刻度線重合（兩個重合很重要）。然后找到角的另外一邊OA，看角的另外一邊OA落在量角器的哪個刻度上，此時這個角的度數就是多少；
（2）過直線外一點畫垂線的方法：把三角尺的一條直角邊與直線OB重合，讓三角尺的另一條直角邊通過點M，沿著三角尺的另一條直角邊畫直線，這條直線就是直線OB的垂線MN。
平行線的畫法：固定三角尺，使其一條直角邊和直線OA重合，用直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后平移三角尺，使點M位于該直角邊上，沿著這條直角邊再畫出另一條直線，這條直線就是直線OA的平行線MQ；
（3） 用直尺的“0”刻度線和線段的一個端點M重合，另一個端點在直線OB的N點在直尺上的刻度，就是該線段的長度。
【詳解】（1）（2）如圖：
（3）點M到射線OB的距離是4厘米。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題09（垂線與平等線的應用）-2024-2025學年四年級數學上學期
期末備考真題分類匯編（江蘇專版）
當前教育形式，對于小學數學核心素養能力的培養非常重要，小學生必需具有以下數學核心素養（即教師培養學生的目標和方向）：
數 學 核 心 素 養
會用數學眼光 觀察現實世界 抽象能力（包括數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創新意識。數學眼光提供了觀察、探究世界的新視野，能將實際情境抽象為數學問題，能體會數學知識的實際意義。
會用數學思維 思考現實世界 運算能力、推理意識或推理能力。數學為人們提供了理解、解釋現實世界的思維途徑，在邏輯推理中體會數學的嚴謹性。
會用數學語言 表達現實世界 數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。數學建模與數據分析可以作為工具廣泛應用于其他學科，體現了數學具有應用的廣泛性。
四基：學生通過學習所獲得的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。這些是數學學習的基礎，旨在讓學生不僅掌握必要的知識和技能，而且在學習過程中積累經驗，形成數學思維和處理問題的方法。
四能：學生通過學習所獲得的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。這些是數學學習的基礎，旨在讓學生不僅掌握必要的知識和技能，而且在學習過程中積累經驗，形成數學思維和處理問題的方法。
垂線與平等線的應用
1、直線和射線的認識與比較
線段、射線和直線的聯系和區別。
名稱 圖示 端點個數 延伸情況 長度 聯系
線段 兩個 不能向兩端延伸 可以測量
射線 一個 只能向一端無限延伸 無法測量
直線 無 可以向兩端無限延伸 無法測量
直線和射線都是無限長的，射線可以一端無限延長，直線可以向兩端無限延長；經過一點可以畫無數條直線，經過兩點只能畫一條直線。
直線和射線都是無限長的，無法比較兩者的長度。
2、兩點間的距離
連接兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離。兩點之間，線段最短。
3、角的認識
（1）認識角。
從一點起引出的兩條射線，可以組成一個叫。這個點叫做角的定點，兩條射線叫做角的邊。如圖
角通常用符號“∠”來表示，上圖的角記作∠ 1，∠ 1讀作角一角的組成：一個頂點、兩條邊
（2）畫角。
從角的組成，畫角時要先確定頂點（即在適當的地方畫一個點），然后畫角的兩條邊（從這一點向不同方向畫出兩條射線）。可以畫不同方向的角。
4、認識量角器
（1）測量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一個點叫做中心點。量角器上180°的刻度線與90°的刻度線相交的點是量角器的中心，量角器上有兩條0刻度線和兩圈
刻度。量角器里按順時針方向表示的刻度叫做外圈刻度，量角器里按逆時針方向表示的刻度叫做內圈刻度。
（2）角的計量單位是和表示符號：把半圓分成180等份，每一份所對的角就是1度的角。“度”是計量角的單位，用符號“°”表示，如1度記作1°，“°”要寫在數字的右上角。
量角器是半圓形的。把這個半圓平均分成180等份，每一份所對的角是1°。內圈刻度和外圈刻度分別是逆時針和順時針方向排列的。
5、用量角器量角
“三個重合、一個注意”。
（1）點點重合：量角器的中心點與角的頂點重合。
（2）線邊重合：量角器的0刻度線與角的一條邊重合。
（3）線邊重合：刻度線與另一條邊重合，即讀出幾度。
注意點：內圈刻度線與外圈刻度線不能混合使用。
6、三角尺上的角的度數
三角尺含有不同的度數：30°、45°、60°、90°
用一副三角尺可以拼成的角有15°（45°-30°）、
75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（90°+30°）
135°（90°+45°）、150°（90°+60°）
一副三角尺拼成的角的度數都是15的倍數。
8、角的分類
名稱 角
類別 銳角 直角 鈍角 平角 周角
圖形
特點 小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360°
銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角
1周角=2平角=4直角
9、畫指定度數的角
特定度數的角可以利用三角尺上對應的角來畫（30°、45°、60°、90°……15的倍數都可以畫出）
量角器畫角的基本方法：
（1）先在紙上畫出角的頂點和一條邊。
（2）用量角器的0°刻度線與所畫的邊重合，量角器的中心與所畫的頂點重合；
（3）如果用內圈的0°刻度線與所畫的邊重合，就在內圈所對應的刻度處點上一個點。
如果用外圈的0°刻度線與所畫的邊重合，就在外圈所對應的刻度處點上一個點。
（4）拿走量角器，連接頂點和點出的點，畫出角的另一條邊。
（5）在所畫的角中標出角的符號，并標明度數。
10、給定角的一條邊，畫指定度數的角
射線方向向右的，如圖 ，這時選擇量角器的內圈刻度畫角。
射線方向向左的，如圖 ，這時選擇量角器的外圈刻度畫角。
11、平行線：同一平面內，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線是另一條直線的平行線。
12、過一點畫已知直線的平行線：重合、平移、緊挨
（1）重合：三角尺的一條直角邊與已知直線重合；
（2）平移：把三角尺沿著緊貼的直尺平移。
（3）緊挨：三角尺的直角邊平移到緊挨著這個點，畫出一條直線即可。
13、垂線：兩條直線相交成直角是，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線。
垂足：兩條垂線的交點叫做垂足。
14、畫垂線的方法：
用三角尺過一點畫已知直線的垂線：
（1）將三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
（2）再將三角尺的另一條直角邊與直線上（外）的點重合。
（3）過這個點沿這條直角邊畫一條直線，即是這條直線的垂線。
15、點到直線的距離：點到直線的垂直線段的長度。
16、平行線間垂直線段的長度就是平行線間的距離。
.
一、作圖題
1．（23-24四年級上·江蘇常州·期末）如圖，點P為貨船位置，它要先到補給站轉載補給，然后盡快開到a岸，請畫出最短路線。
2．（23-24四年級上·江蘇鹽城·期末）以下面的射線為一條邊，分別畫一個85°和110°的角。
3．（23-24四年級上·江蘇蘇州·期末）如圖：
（1）過點A畫直線的垂線。
（2）以點B為頂點，引出一條射線，與已知直線相交成80°的角。
4．（22-23四年級上·江蘇南通·期末）濠河是南通城匯自然和人文于一體的風景名勝區，泛舟濠河，不亦樂乎。
（1）給游船A設計一條路線，使其航行的路線總是平行于a岸。請在圖中畫出這條路線。
（2）請給游船B設計一條路線，使其去b岸的線路最近。請在圖中畫出這條路線。
5．（23-24四年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，小螞蟻外出覓食時，發現E、F兩處有較多的食物，于是它想在家附近的直線a上建一個倉庫，將E、F兩處的食物儲存在該倉庫中，為過冬做準備，那么它應該把倉庫建在哪里，可使自己的搬運路線最短？畫一畫。
6．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）小鴨在岸上走比較費勁，卻擅長在水里游泳。它想從自己家出發，到小雞家玩，怎樣走比較省力？畫一畫。
7．（23-24四年級上·江蘇宿遷·期末）如圖是某街區的示意圖。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）解放路經過城市廣場，與人民路平行，請你在圖中畫出來。
（3）新村需要安裝液化氣管道，主管道在幸福路上，你認為應怎樣安裝，液化氣管道最短？請你在圖中畫出來。
8．（23-24四年級上·江蘇泰州·期末）如圖，華華要從點A游到河對岸，怎樣游路線最短？請在圖中畫出來。
9．（24-25四年級上·江蘇·期末）過點A畫已知直線的平行線，過點B畫已知直線的垂線。
10．（24-25四年級上·江蘇·期末）甲、乙兩村分別位于公路的兩邊，現在要從這兩村各修一條路與公路連接起來，怎樣修路使兩村都距公路最近？請畫在圖上。
11．（24-25四年級上·江蘇·期末）先過點A畫出直線a的垂線，再過點A畫出直線b的平行線。
12．（22-23四年級上·江蘇揚州·期末）一只小鴨子要從C點游到河對岸，怎樣游路線最短？請畫出來。如果要游到B點，怎樣游路線最短？請畫出來。
13．（23-24四年級上·江蘇徐州·期末）（1）以O為頂點，已知射線為一條邊，在它的下面畫一個75°的角。
（2）過點A分別向角的兩邊畫垂線。
（3）圍成的四邊形中有1個是鈍角，這個鈍角的度數是（ ）°。
14．（22-23四年級上·江蘇徐州·期末）（1）過點A畫已知直線L的垂線和平行線。
（2）量出點A到直線L的距離是（ ）厘米。
15．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）過點A畫出下面直線的垂線和平行線，并量出畫圖后平行線之間的距離大約是（ ）毫米。
16．（22-23四年級上·江蘇宿遷·期末）過點A畫已知直線的垂線和平行線，并量出點A到已知直線的距離。點A到已知直線的距離（ ）毫米。
17．（22-23四年級上·江蘇南通·期末）根據要求在圖中量一量，畫一畫。
（1）用量角器量出∠AOB是（ ）°。
（2）過A點作OB邊的垂線。
（3）過B點作OA邊的平行線。
18．（22-23四年級上·江蘇鎮江·期末）畫一畫，填一填。
①過A點作已知直線的垂線。
②量出A點到直線的距離是（ ）毫米。
③以B點為頂點，引一條射線與已知直線相交組成70°的角。
19．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）在直線右邊畫2個與已知直線的距離都是2厘米的點。
過這兩個點能畫（ ）條直線，請畫一畫；畫出的直線與已知直線（ ）。
20．（22-23四年級上·江蘇常州·期末）
（1）上圖的平行四邊形中，∠B＝（ ）°。
（2）以A為頂點，AD為一條邊，畫一個60°的角。
（3）一只小螞蟻在圖中的黑點處，它想快點爬到平行四邊形的邊線上，請你幫它設計一條最近的爬行路線，在圖中畫出來。
21．（22-23四年級上·江蘇淮安·期末）操作題。
（1）過A點作已知直線的平行線。
（2）量出A點到直線的距離是（ ）毫米。
（3）以B點為頂點，引一條射線與已知直線相交組成120°的角，并標為∠1。
22．（22-23四年級上·山東濰坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它們經常到對方家里去做客，于是兩個好朋友商量，要在兩家之間修一條最近的路，請你將兩家門口A、B的最短路線畫一畫，并說明這樣畫的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分別從水管主道接一條水管到自己家，怎樣接用的材料最少？請你畫一畫。
23．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）下圖是某街區的示意圖。
（1）用量角器量出∠l＝（ ）°。
（2）解放路在勝利小學的西北面，與和平路平行，并且在圖上量得勝利小學與解放路的距離是1厘米。在圖上利用一條直線表示解放路。
（3）勝利小區鋪設天然氣管道，主管道在華山路，怎么鋪最節省材料？把它畫出來。
24．（23-24四年級上·江蘇南京·期末）填一填，畫一畫。
跳遠比賽規定：測量跳遠成績是測量運動員離起跳線最近的落腳點到起跳線的距離。下圖是王明跳遠的示意圖，最近的落腳點是A，從點A到起跳線p的（ ）的長度就是王明的跳遠的成績。在下圖中畫一畫。
25．（23-24四年級上·江蘇徐州·期末）按要求完成：
（1）過點A畫出已知直線的垂線；點A到直線的距離是（ ）毫米。
（2）以B為頂點，畫出一條射線，使所畫射線與已知直線形成60°的角。
26．（22-23四年級上·江蘇泰州·期末）過點A先畫出已知直線的垂線，再畫出這條垂線的平行線并填空。
你畫的垂線的平行線與已知直線互相（ ）。
A．平行 B．垂直 C．無法確定
27．（22-23四年級上·江蘇徐州·期末）（1）在下圖中，過A點作直線B的平行線。
（2）過點A畫直線B的垂線，點A到直線B的距離是（ ）毫米。
（3）以點C為端點畫一條射線，使其于直線B相交成70°的角
28．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）過A點畫已知直線的垂線量一量，A點到已知直線的距離是（ ）厘米。
29．（22-23四年級上·江蘇鹽城·期末）運動會跳遠比賽時，每個運動員都有三次試跳機會，以最好的一次成績作為最終成績。張陽在跳遠比賽中，第一次犯規，后兩次分別跳到了圖中的位置。
（1）用線段畫出兩次跳遠的距離。
（2）你畫的兩條線段互相（ ）。（填：“垂直”或“平行”）
（3）張陽兩次成績分別為220厘米和196厘米，李康的成績分別為：215厘米、205厘米和210厘米。你認為他倆誰會獲勝？說說你的理由。
30．（22-23四年級上·江蘇南京·期末）操作。
（1）量出圖中角的度數，并在圖中標出來。
（2）過點M畫射線OB的垂直線段MN，垂足為N。過點M作射線OA的平行線MQ，交OB于點Q。
（3）點M到射線OB的距離是（ ）厘米。
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