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人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式化簡求值常見八種題型
老師告訴你
分式化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟。
代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．
題型1 字母是指定的數
解題策略
化簡分式為最簡分式。
代入求值
【例1-1】．先化簡,再求值,,其中.
【例1-2】．先化簡,再求值：計算,其中.
【變式1-1】．先化簡,再求值：,其中
【變式1-2】．先化簡,再求值：,其中.
【變式1-3】．先化簡，再求值：其中m＝2.
題型2 選擇合適的使分式有意義的數
解題策略
（1）化簡分式為最簡分式
（2）所選值必須滿足原分式中的各分式都有意義，且除數不能為0．代入求值.
【例2-1】．先化簡,并在-1、0、1這三個數中取一個你喜歡的數代入求值.
【例2-2】．先化簡,再求值：,請從1、2、3中選取的一個合適的數作為x的值.
【變式2-1】．先化簡，再從，2，，3中選擇一個合適的數作為x的值代入求值.
【變式2-2】．先化簡，再求值：，選擇一個合適的整數作為a的值代入求值.
【例2-3】．化簡：,并請在,0,1,2中選取一個合適的數代入求值.
題型3 字母滿足方程或不等式組
解題策略
（1）化簡分式為最簡分式
（2）解不等式或方程求出字母取值范圍或字母的值.
（3）在取值范圍內，所選值必須滿足原分式中的各分式都有意義，且除數不能為0．代入求值.
【例3-1】先化簡，再求值：（x2﹣xy），其中x，y滿足．
【例3-2】．先化簡：,再從中選擇一個合適的整數代入求值.
【變式3-1】．先化簡,再求值.其中x為的整數.
【變式3-2】．先化簡，再求值：，若，請你選取一個合適的整數x的值，求出原式的值.
【變式3-3】．先化簡，再求值：，其中x的值是方程的根.
題型4 根據分式的基本性質變式求值.
解題策略
（1）根據分式的基本性質將所求式子變形，或者將已知條件變形。
（2）代入求值.
【例4-1】已知：，求分式的值．
解：設，
則a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
（1）上述解題過程中，第①步運用了　 　的基本性質；
第②步中，由求得結果運用了　 　的基本性質；
（2）參照上述材料解題：
已知：，求分式的值．
【例4-2】．已知,那么______.
【變式4-1】．已知，則_____.
【變式4-2】．已知實數x、y滿足條件：，則代數式的值為___________.
【變式4-3】．已知，則的值為______________.
【變式4-4】．已知,則的值.
.
題型5 整體代入求分式的值
解題策略
化簡分式為最簡分式。
整體代入求值。
【例5-1】先化簡,再求值：.其中m是方程的根.
【例5-2】．先化簡，再求值：，其中.
【變式5-1】如果實數x滿足,求代數式的值
【變式5-2】．已知.求代數式的值.
【變式5-3】．若，則的值為________
【變式5-4】．已知,,,則的值等于( )
A. B. C. D.
題型6 利用非負數性質挖掘條件求分式的值
解題策略
把所給條件利用幾個非負數的和；
利用非負數性質確定字母的值；
代入求值。
【例6-1】．先化簡，再求值：，其中a，b滿足.
【變式6-1】．先化簡,再求值：,其中.
【變式6-2】先化簡，再求值：，其中滿足．
題型7 新定義型化簡求值
【例7-1】對于兩個非零的實數a，b，定義運算如下：.例如：.若，則的值為___________.
【變式7-1】對于任意兩個非零實數a，b，定義新運算“*”如下：，例如：.若，則的值為_______.
題型8 倒數型化簡求值
【例8-1】【閱讀學習】閱讀下面的解題過程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值為.
【類比探究】
上題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解題.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
【變式8-1】【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了法則：______；第②步運用了公式：______；（法則，公式都用式子表示）
【類比探究】
（2）上題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面的問題：
已知，求的值；
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式化簡求值常見八種題型
老師告訴你
分式化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟。
代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．
題型1 字母是指定的數
解題策略
化簡分式為最簡分式。
代入求值
【例1-1】．先化簡,再求值,,其中.
答案：,
解析：原式；
；
.
把代入,
原式.
【例1-2】．先化簡,再求值：計算,其中.
答案：,2
解析：原式,
當時,
原式.
【變式1-1】．先化簡,再求值：,其中
答案：,
解析：
當時,
原式.
【變式1-2】．先化簡,再求值：,其中.
答案：,
解析：
,
當時,
原式.
【變式1-3】．先化簡，再求值：其中m＝2.
答案：6
解析：
當m＝2時，
原式.
題型2 選擇合適的使分式有意義的數
解題策略
（1）化簡分式為最簡分式
（2）所選值必須滿足原分式中的各分式都有意義，且除數不能為0．代入求值.
【例2-1】．先化簡,并在-1、0、1這三個數中取一個你喜歡的數代入求值.
答案：見解析
解析：原式
分式分母不為0,
和0
當時,
原式
【例2-2】．先化簡,再求值：,請從1、2、3中選取的一個合適的數作為x的值.
答案：,-2
解析：
∵,故取.
當時,
原式
.
【變式2-1】．先化簡，再從，2，，3中選擇一個合適的數作為x的值代入求值.
答案：當時，原式或當時，原式
解析：
.
由分式有意義的條件可知，x不能取和3，
的值可以為或2.
當時，
原式.
或當時，
原式.
【變式2-2】．先化簡，再求值：，選擇一個合適的整數作為a的值代入求值.
答案：；2，答案不唯一
解析：
，
∵，，，
當時，
原始.
【例2-3】．化簡：,并請在,0,1,2中選取一個合適的數代入求值.
答案：,0
解析：
原式
,
,,,
,,,
時,
原式.
題型3 字母滿足方程或不等式組
解題策略
（1）化簡分式為最簡分式
（2）解不等式或方程求出字母取值范圍或字母的值.
（3）在取值范圍內，所選值必須滿足原分式中的各分式都有意義，且除數不能為0．代入求值.
【例3-1】先化簡，再求值：（x2﹣xy），其中x，y滿足．
解：原式＝x（x﹣y），
＝x（x﹣y）
＝xy，
∵，
∴①﹣②×2得：
7y＝﹣7，
解得：y＝﹣1，
故2x﹣3＝3，
解得：x＝3，
把x＝3，y＝﹣1代入上式得：原式＝﹣3．
【例3-2】．先化簡：,再從中選擇一個合適的整數代入求值.
答案：,
解析：
,
,,
且,
當時,
原式.
【變式3-1】．先化簡,再求值.其中x為的整數.
答案：,或
解析：
,
要使分式有意義,,,,
∴x不能為1,0,2,
∵x為的整數是 2, 1,0,1,2,
∴或 1,
當時,原式,
當時,原式,
即分式的值是或.
【變式3-2】．先化簡，再求值：，若，請你選取一個合適的整數x的值，求出原式的值.
答案：，
解析：原式
；
∵，
∴，，
∵，x為整數，
∴，此時原式.
【變式3-3】．先化簡，再求值：，其中x的值是方程的根.
答案：，
解析：原式
x的值是方程的根，
，
當時，原式.
題型4 根據分式的基本性質變式求值.
解題策略
（1）根據分式的基本性質將所求式子變形，或者將已知條件變形。
（2）代入求值.
【例4-1】已知：，求分式的值．
解：設，
則a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
（1）上述解題過程中，第①步運用了　 　的基本性質；
第②步中，由求得結果運用了　 　的基本性質；
（2）參照上述材料解題：
已知：，求分式的值．
【分析】（1）根據等式的基本性質分式的基本性質即可判斷；
（2）按照閱讀材料中的設k法即可解答．
【解答】解：（1）上述解題過程中，第①步運用了等式的基本性質，
第②步中，由求得結果運用了分式的基本性質，
故答案為：等式，分式；
（2）設，
則x＝2k，y＝3k，z＝6k，
所以 ，
∴分式的值為：．
【點評】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握閱讀材料中的設k法是解題的關鍵
【例4-2】．已知,那么______.
答案：
解析：由得,,
,
故答案為：.
【變式4-1】．已知，則_____.
答案：19
解析：，
，
，
.
故答案為：19.
【變式4-2】．已知實數x、y滿足條件：，則代數式的值為___________.
答案：
解析：
兩邊同乘以得，
，
，
，
令，則，
，
，
所以.
故答案為：.
【變式4-3】．已知，則的值為______________.
答案：
解析：，
，
.
故答案為：.
【變式4-4】．已知,則的值.
答案：7
解析：∵,
∴,
∴,
∴.
題型5 整體代入求分式的值
解題策略
化簡分式為最簡分式。
整體代入求值。
【例5-1】先化簡,再求值：.其中m是方程的根.
答案：,
解析：
.
∵m是方程的根,
∴,
∴原式.
【例5-2】．先化簡，再求值：，其中.
答案：，6
解析：原式，
，
，
，
，
，
原式.
【變式5-1】如果實數x滿足,求代數式的值
答案：,2.5
解析：
,
,
,
∴原式.
【變式5-2】．已知.求代數式的值.
答案：
解析：
,
∵,
∴,
∴原式.
【變式5-3】．若，則的值為________
答案：
解析：由已知變換得
將代入
故答案為：.
【變式5-4】．已知,,,則的值等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵,,,
∴,,,
∴,
故選A.
題型6 利用非負數性質挖掘條件求分式的值
解題策略
把所給條件利用幾個非負數的和；
利用非負數性質確定字母的值；
代入求值。
【例6-1】．先化簡，再求值：，其中a，b滿足.
答案：，
解析：
，
，
，，
解得，，
當，時，
原式.
【變式6-1】．先化簡,再求值：,其中.
答案：,2
解析：原式,
,
,
∵,
∴,,
∴,,
∴原式,
.
【變式6-2】先化簡，再求值：，其中滿足．
【答案】，2
【分析】本題考查了分式的化簡求值，絕對值和平方式的非負性，熟練掌握分式的化簡求值方法是解題的關鍵．先將分式的分子分母因式分解，然后將除法轉化為乘法計算，再計算分式的加減即可，最后根據絕對值和平方式的非負性求出，再代入求值即可．
【詳解】解：
，
∵
∴，
∴，
解得：，
∴．
題型7 新定義型化簡求值
【例7-1】對于兩個非零的實數a，b，定義運算如下：.例如：.若，則的值為___________.
答案：
解析：，
.
故答案為：.
【變式7-1】對于任意兩個非零實數a，b，定義新運算“*”如下：，例如：.若，則的值為_______.
答案：1012
解析：，
，（x，y不為0）
，
，
故答案為：1012.
題型8 倒數型化簡求值
【例8-1】【閱讀學習】閱讀下面的解題過程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值為.
【類比探究】
上題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解題.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
答案：【類比探究】
【拓展延伸】
解析：【類比探究】由知，
，
即，
，
，
.
【拓展延伸】，，，
，且，
.
，
.
【變式8-1】【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了法則：______；第②步運用了公式：______；（法則，公式都用式子表示）
【類比探究】
（2）上題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面的問題：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識點】有理數的倒數；完全平方公式及運用；分式的化簡求值
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法則：；第②步運用了公式：；
故答案為：；；
【分析】（1）根據同分母分式的加法法則及完全平方公式的變形即可求出答案.
（2）根據題意計算即可求出答案.
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