資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.2.3整數指數冪
學習目標
1.類比正整數指數冪，探究負指數整數冪的運算性質.
2.會用整數指數冪的運算性質進行計算.
3.理解負整數指數冪的性質并應用其解決實際問題．
4.會用科學計數法表示較小的數
重點：理解負整數指數幕的意義，掌握運算性質.
難點：理解負整數指數幕的產生過程和意義.
老師告訴你
求負整數指數冪的方法
1.負整數指數冪的變形= =(a≠0,n是正整數）
2.底數為正數的任何次冪都是正數，底數為負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數。
3.運算結果要化為正整數指數冪。
知識點撥
知識點1 、負整數指數冪
任何不等于零的數的（為正整數）次冪，等于這個數的次冪的倒數，即（≠0，是正整數）.
引進了零指數冪和負整數指數冪后，指數的范圍已經擴大到了全體整數，以前所學的冪的運算性質仍然成立.
注意：是的倒數，可以是不等于0的數，也可以是不等于0的代數式.例如（），（）.
【新知導學】
例1-1．下列運算結果是正數的是( )
A. B. C. D.
例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小關系為( )
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．計算：.
2．計算：
3．若，則_______.
4．計算：______.
知識點2 、整數指數冪的性質
整數指數冪的運算性質：
同底數冪的乘法
同底數冪的除法
冪的乘方
積的乘方
分式的乘方
0指數冪
【新知導學】
例2-1．計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
.
例2-2．我們規定：完成下列問題：
（1）已知，則x的取值范圍是__________；
（2）已知，求x的值.
【對應導練】
1．計算：.
2．化簡下列各式，使結果只含有正整數指數冪.
（1）；
（2）.
3．計算下列各式：
（1）；
（2）.
知識點3 、科學記數法
（1）把一個絕對值大于10的數表示成的形式，其中是正整數，
（2）利用10的負整數次冪表示一些絕對值較小的數，即的形式，其中是正整數，.
用以上兩種形式表示數的方法，叫做科學記數法.
【新知導學】
例3-1．下列各數用科學記數法可表示為的是( )
A.108000 B. C.0.0000108 D.
例3-2．華為手機使用了自主研發的海思麒麟芯片，目前最新的型號是麒麟990.芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術追求是體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的電力功耗，而麒麟990的晶體管柵極的寬度達到了毫米，將數據用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．石墨烯是2004年科學家從石墨中分離出的單層石墨片，這是目前世界上人工制得的最薄的材料，僅為米，數據用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
2．5G是第五代移動通信技術的簡稱,5G網絡理論下載速度可以達到每秒1300000KB以上,這意味著下載一部高清電影只需要1秒.將1300000用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
3．中國人民解放軍海軍福建艦(舷號：18,簡稱福建艦),是中國完全自主設計建造的首艘彈射型航空母艦,采用平直通長飛行甲板,配置電磁彈射和阻攔裝置,滿載排水量8萬余噸.將數字8萬用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
4．用科學記數法表示下列數：
，，，.
二、題型訓練
1.利用整數指數冪計算
1 .計算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2 .計算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3．
3 .計算：
(1)
(2)．
2.利用整數指數冪化簡
4 .化簡
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5 .化簡：
(1)；
(2)
(3)
(4)
6 .計算下列各式，并把結果化為正整數指數冪的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
3.利用整數指數冪求待定系數的值
7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　．
4.科學記數法表示較小的數
10 .祖國主權，寸土不讓．釣魚島列島是我國固有領土，共由個島嶼組成，其中最小的島是飛瀨島，面積約為平方公里，請用科學記數法表示飛瀨島的面積約為____________平方公里．（ ）
A． B． C． D．
11 .芝麻被稱為“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．據測，一粒芝麻的質量約為，將用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
12 .嫦娥五號返回器攜帶月球樣品安全著陸，標志著中國航天業向前又邁出了一大步．嫦娥五號返回器在接近大氣層時，飛行大約需要秒．將數據用小數表示為（ ）
A． B． C． D．
5.根據式子有無意義的條件求值
13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
14 .若沒有意義，則x﹣2的值為（　　）
A． B．﹣4 C．4 D．
15 .已知（x﹣1）x+2＝1，則整數x＝__________
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．世界上體積最小的動物要比螞蟻小很多倍，它是被命名為的原生動物，它的最長直徑才0.0000003米，數據0.0000003用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
2．下列計算正確的是( )
A. B. C. D.
3．若有意義，則x的取值范圍是( )
A. B.且 C.或 D.
4．下列各式中，正確的是( )
A. B. C. D.
5．已知：，，，則a，b，c大小關系是( )
A. B. C. D.
6．下列四個數中,值最大的是( )
A. B. C. D.
7．已知，下列關于a的敘述中，正確的是( )
A. B. C. D.
8．若有意義，則x的取值范圍是( )
A. B. C.或 D.且
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．_______.
10．將代數式寫成只含有正整數指數冪的形式：_________.
若x滿足，則整數x的值為__________.
12．已知，，，用“<”連接a，b，c為___________.
13．計算：__________.
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．計算：
（1）；
（2）.
15．用科學記數法表示下列數：
，，，.
16．計算：
（1）.
（2）.
（3）.
.
17．與的大小，我們可以采用“從特殊到一般”的思想方法：
（1）通過計算比較下列各式中兩數的大小：（填“>”“<“=”）
①___；
②____；
③____；
④____.
（2）由（1）可以猜測與（n為正整數）的大小關系：當n______時，；當n______時，.
（3）根據上面的猜想，則有_______（填“>”“<”或“=”）.
18．根據如圖所示的程序，求輸出D的化簡結果；已知x的立方根是它本身，選取一個合適的x的值代入，求D的值.
19．在初一，我們學習了“有理數的乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算，定義：am與an（a≠0，m、n都是正整數）叫做同底數冪，同底數冪除法記作am÷an．
運算法則如下：
am÷an＝．
解決問題
根據“同底數冪除法”的運算法則，回答下列問題：
（1）填空：＝　　，23÷27＝　　；
（2）如果，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，請直接寫出x的值．
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.2.3整數指數冪
學習目標
1.類比正整數指數冪，探究負指數整數冪的運算性質.
2.會用整數指數冪的運算性質進行計算.
3.理解負整數指數冪的性質并應用其解決實際問題．
4.會用科學計數法表示較小的數
重點：理解負整數指數幕的意義，掌握運算性質.
難點：理解負整數指數幕的產生過程和意義.
老師告訴你
求負整數指數冪的方法
1.負整數指數冪的變形= =(a≠0,n是正整數）
2.底數為正數的任何次冪都是正數，底數為負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數。
3.運算結果要化為正整數指數冪。
知識點撥
知識點1 、負整數指數冪
任何不等于零的數的（為正整數）次冪，等于這個數的次冪的倒數，即（≠0，是正整數）.
引進了零指數冪和負整數指數冪后，指數的范圍已經擴大到了全體整數，以前所學的冪的運算性質仍然成立.
注意：是的倒數，可以是不等于0的數，也可以是不等于0的代數式.例如（），（）.
【新知導學】
例1-1．下列運算結果是正數的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A、是正數，符合題意；
B、是負數，不符合題意；
C、是負數，不符合題意；
D、是負數，不符合題意；
故選：A.
例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小關系為( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：,,,
所以,
故選：B.
【對應導練】
1．計算：.
答案：
解析：
.
2．計算：
答案：
解析：原式
.
3．若，則_______.
答案：-3
解析：∵，
∴，
∴.
故答案為：-3.
4．計算：______.
答案：3
解析：
.
故答案為：3.
知識點2 、整數指數冪的性質
整數指數冪的運算性質：
同底數冪的乘法
同底數冪的除法
冪的乘方
積的乘方
分式的乘方
0指數冪
【新知導學】
例2-1．計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
例2-2．我們規定：完成下列問題：
（1）已知，則x的取值范圍是__________；
（2）已知，求x的值.
答案：（1）
（2），，
解析：（1）由題意得：，
解得：，
x的取值范圍是：，
故答案為：；
（2），
或且為偶數或時，，
解得：或或，
x的值為，，.
【對應導練】
1．計算：.
答案：
.
解析：
2．化簡下列各式，使結果只含有正整數指數冪.
（1）；
（2）.
答案：（1）
.
（2）
.
解析：
3．計算下列各式：
（1）；
（2）.
答案：（1）
.
（2）
.
解析：
知識點3 、科學記數法
（1）把一個絕對值大于10的數表示成的形式，其中是正整數，
（2）利用10的負整數次冪表示一些絕對值較小的數，即的形式，其中是正整數，.
用以上兩種形式表示數的方法，叫做科學記數法.
【新知導學】
例3-1．下列各數用科學記數法可表示為的是( )
A.108000 B. C.0.0000108 D.
答案：C
解析：A: 108000=1.08x105
B; -108000=-1.08x105
C : 0.0000108=1.08x10-5
D: -0.0000108=-1.08x10-5
故選C
例3-2．華為手機使用了自主研發的海思麒麟芯片，目前最新的型號是麒麟990.芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術追求是體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的電力功耗，而麒麟990的晶體管柵極的寬度達到了毫米，將數據用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.
故選：B.
【對應導練】
1．石墨烯是2004年科學家從石墨中分離出的單層石墨片，這是目前世界上人工制得的最薄的材料，僅為米，數據用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
故選：B
2．5G是第五代移動通信技術的簡稱,5G網絡理論下載速度可以達到每秒1300000KB以上,這意味著下載一部高清電影只需要1秒.將1300000用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：科學記數法的表示形式為,其中,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值時,n是正數；當原數絕對值時,n是負數.將1300000轉變為大于等于1,小于10的數字,即,小數點向左移動了6位,所以,用科學記數法表示為,
答案選B.
3．中國人民解放軍海軍福建艦(舷號：18,簡稱福建艦),是中國完全自主設計建造的首艘彈射型航空母艦,采用平直通長飛行甲板,配置電磁彈射和阻攔裝置,滿載排水量8萬余噸.將數字8萬用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：8萬用科學記數法表示為,
故選C.
4．用科學記數法表示下列數：
，，，.
答案：見解析
解析：，
，
，
.
二、題型訓練
1.利用整數指數冪計算
1 .計算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【分析】根據負整數指數冪的意義進行計算，即可解答．
【解答】解：2024﹣1＝，
故選：D．
2 .計算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3．
【分析】直接根據負整數指數冪的運算法則求解即可．
【解答】解：原式＝﹣﹣+8+8＝．
3 .計算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了絕對值化簡，零指數冪，負整數指數冪，整數指數冪，以及實數的混合運算，解題的關鍵在于熟練掌握相關運算法則．
（1）根據負整數指數冪，整數指數冪，以及實數的混合運算法則計算即可；
（2）根據絕對值化簡，零指數冪，負整數指數冪，整數指數冪，以及實數的混合運算法則計算即可．
【詳解】（1）解：原式，，；
（2）解：原式，，．
2.利用整數指數冪化簡
4 .化簡
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)8
【分析】本題考查分式的運算：
（1）根據分式的乘法法則進行計算即可；
（2）除法變乘法，約分化簡即可；
（3）先乘方，再進行乘除運算；
（4）先乘方，再進行乘除運算；
（5）除法變乘法，約分化簡即可；
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
5 .化簡：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查整式的運算、有理數的混合運算：
（1）先進行積的乘方，再進行同底數冪的乘法計算即可；
（2）先進行零指數冪，負整數指數冪，乘方計算，再進行加減運算即可；
（3）先進行積的乘方，再進行單項式乘以單項式的運算，再進行加減運算即可；
（4）利用同底數冪的除法法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）解：．
．
6 .計算下列各式，并把結果化為正整數指數冪的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
【分析】（1）根據單項式的乘法進行計算即可；
（2）根據冪的乘方的性質進行計算，再根據負整數指數次冪等于正整數指數次冪的倒數解答；
（3）先根據積的乘方的性質與單項式的除法進行計算，再根據負整數指數次冪等于正整數指數次冪的倒數解答．
【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，
＝a6b3c﹣3，
＝；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，
＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），
＝8a4b6c﹣6，
＝．
3.利用整數指數冪求待定系數的值
7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
【分析】根據負整數指數冪的性質解答即可．
【解答】解：a﹣2m﹣2n＝＝＝，
∵am＝5，an＝2，
∴a﹣2m﹣2n＝＝．
8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
【分析】根據負整數指數冪的性質及完全平方公式對原式進行化簡，然后代入即可得出答案．
【解答】解：由已知，，
∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3．
9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　．
【分析】根據冪的乘方，可得負整數指數冪，再根據負整數指數冪與正整數指數冪互為倒數，可得答案．
【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝，
y﹣n＝（yn）﹣1＝．
（x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝，
故答案為：．
4.科學記數法表示較小的數
10 .祖國主權，寸土不讓．釣魚島列島是我國固有領土，共由個島嶼組成，其中最小的島是飛瀨島，面積約為平方公里，請用科學記數法表示飛瀨島的面積約為____________平方公里．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查科學記數法，解題的關鍵是掌握科學記數法的定義：將一個數表示成的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于時，是正整數；當原數的絕對值小于時，是負整數．據此解答即可．
【詳解】解：用科學記數法表示飛瀨島的面積約為平方公里．
故選：B．
11 .芝麻被稱為“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．據測，一粒芝麻的質量約為，將用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查利用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪．
【詳解】解：將數用科學記數法表示為，
故答案為：．
12 .嫦娥五號返回器攜帶月球樣品安全著陸，標志著中國航天業向前又邁出了一大步．嫦娥五號返回器在接近大氣層時，飛行大約需要秒．將數據用小數表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查科學記數法，解題的關鍵是熟記科學記數法的定義：將一個數表示成的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于時，是正整數；當原數的絕對值小于時，是負整數．
【詳解】解：將數據用小數表示為．
故選：B．
5.根據式子有無意義的條件求值
13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
【分析】根據零指數冪及負整數指數冪有意義的條件列出關于x的不等式組，求出x的取值范圍即可．
【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意義，
∴，
解得x≠4且x≠3．
故選：D．
14 .若沒有意義，則x﹣2的值為（　　）
A． B．﹣4 C．4 D．
【分析】根據零指數冪的意義即可求出x的值．
【解答】解：由題意可知：，
∴，
∴，
故選：C．
15 .已知（x﹣1）x+2＝1，則整數x＝__________
【答案】2、0、﹣2
【分析】直接利用零指數冪的性質以及有理數的乘方運算法則計算得出答案．
解：∵（x﹣1）x+2＝1，
∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2為偶數，
解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0，
故x＝﹣2或2或0．
故答案為：2、0、﹣2．
【點撥】此題主要考查了零指數冪的性質以及有理數的乘方運算，正確分類討論是解題關鍵．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．世界上體積最小的動物要比螞蟻小很多倍，它是被命名為的原生動物，它的最長直徑才0.0000003米，數據0.0000003用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
故選：C.
2．下列計算正確的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項符合題意，
故選：D.
3．若有意義，則x的取值范圍是( )
A. B.且 C.或 D.
答案：B
解析：由題意得且，
解得且.
故選B
4．下列各式中，正確的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，故D符合題意；
故選：D.
5．已知：，，，則a，b，c大小關系是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵，，，
∵，
∴，
故選：A.
6．下列四個數中,值最大的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、；
B、；
C、；
D、.
∴
故選：C.
7．已知，下列關于a的敘述中，正確的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：已知，
則，
故選：B.
8．若有意義，則x的取值范圍是( )
A. B. C.或 D.且
答案：D
解析：有意義，
，
解得且.
故選：D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．_______.
答案：
解析：,
故答案為：.
10．將代數式寫成只含有正整數指數冪的形式：_________.
答案：
若x滿足，則整數x的值為__________.
答案：-1或3或1
解析：分三種情況討論：
①，且，解得.
②，解得.
③，為偶數，解得，符合題意.
綜上，x的值為-1或3或1.
12．已知，，，用“<”連接a，b，c為___________.
答案：
解析：因為，，，所以.故答案為.
13．計算：__________.
答案：3
解析：
故答案為:3.
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．計算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．用科學記數法表示下列數：
，，，.
答案：見解析
解析：，
，
，
.
16．計算：
（1）.
（2）.
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
17．與的大小，我們可以采用“從特殊到一般”的思想方法：
（1）通過計算比較下列各式中兩數的大小：（填“>”“<“=”）
①___；
②____；
③____；
④____.
（2）由（1）可以猜測與（n為正整數）的大小關系：當n______時，；當n______時，.
（3）根據上面的猜想，則有_______（填“>”“<”或“=”）.
答案：（1）①>
②>
③<
④<
（2）；
（3）<
解析：（1）①因為，，所以.故答案為>.
②因為，，所以.故答案為>.
③因為，，所以.故答案為<.
④因為，，所以.故答案為<.
（2）由（1）可以猜測n為正整數時，當時，；
當時，.故答案為，.
（3）由（2）得，則.故答案為<.
18．根據如圖所示的程序，求輸出D的化簡結果；已知x的立方根是它本身，選取一個合適的x的值代入，求D的值.
答案：（答案不唯一）
解析：.
.
.
由題意可知或，
由分式有意義的條件可知x不能取0，
當時，.（答案不唯一）
19．在初一，我們學習了“有理數的乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算，定義：am與an（a≠0，m、n都是正整數）叫做同底數冪，同底數冪除法記作am÷an．
運算法則如下：
am÷an＝．
解決問題
根據“同底數冪除法”的運算法則，回答下列問題：
（1）填空：＝　　，23÷27＝　　；
（2）如果，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，請直接寫出x的值．
【分析】（1）根據同底數冪的除法法則進行計算即可；
（2）先把81化為34的形式，再進行計算即可；
（3）根據同底數冪的除法法則進行計算即可．
【解答】解：（1）＝（）4﹣2＝（）2＝，23÷27＝＝＝．
故答案為：，；
（2）∵＝，
∴3x+4﹣1＝4，
解得x＝；
（3）∵（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，
∴3x﹣1＝x+7或5﹣2x＝1或5﹣2x＝﹣1，
解得x＝4或2或3．
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