資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式及其運算的十種常見題型
老師告訴你
（1）分式無意義 分母為0
分式有意義 分母不為0
分式值為0 分子為0且分母不為0；
分式值為正數 分子、分母同號；
分式的值為負數 分子、分母異號。
2.負數運算注意以下幾點
（1）弄清楚各種運算的法則，分式的基本性質（約分和通分）是分式運算的依據；
（2）區分混合運算順序，結果要化為最簡分式或整式；
（3）正確使用運算律。
題型1 利用分式定義識別分式
【例1-1】．下列各式：,,,,其中是分式的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【變式1-1】．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，.
【變式1-1】．在，，，，五個式子中，分式有___________個.
題型2 分式有無意義的條件
【例2--1】若分式有意義，則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【例2--2】要使分式有意義，x的取值應滿足( )
A. B. C.或 D.且
【變式2--1】．無論a取何值，下列分式中，總有意義的是( )
A. B. C. D.
【變式2--2】．當時，下列分式沒有意義的是( )
A. B. C. D.
【變式2--3】．當x取什么值時，下列分式有意義？
（1）；
（2）.
題型3 分式值為0的條件
【例3-1】．若分式的值為0,則x的值為______.
【例3-2】．當______時,分式的值為0.
【變式3-1】．若分式的值為零，則x的值為________.
【變式3-2】．能使分式的值為零的所有x的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2或1
【變式3--3】．若a，b為實數，，求的值.
題型4 分式值為正數的條件
【變式4-1】．填空：
（1）當x為__________時，分式的值為0；
（2）當為__________時，分式的值為正；
（3）當為__________時，分式的值為負.
【例4--2】．當x的取值范圍是多少時，
（1）.分式的值為負數？
（2）.分式的值為正數？
（3）.分式的值為負數？
【變式4-1】．回答下列問題：
（1）若分式的值為正數，求x的取值范圍；
（2）若分式的值為負數，求x的取值范圍.
【變式4-2】．已知分式.
(1)當m為何值時，該分式無意義；
(2)當m為何整數值時，該分式的值為正整數.
【變式4-3】．若分式的值為正數，則x的取值范圍是( )
A. B. C.且 D.
題型5 分式的基本性質化整數系數
【例5-1】．不改變分式的值，把它的分子和分母中各項系數都化為整數，則所得結果為( )
A. B. C. D.
【例5-2】．如果把分式中的x，y都擴大到原來的3倍，那么分式的值( )
A.不變 B.縮小 C.擴大3倍 D.擴大9倍
【變式5-1】．將分式中的x，y的值都變為原來的2倍，則該分式的值( )
A.變為原來的2倍 B.變為原來的4倍 C.不變 D.變為原來的一半
【變式5-2】．不改變分式的值，把分子、分母中x，y的系數化為整數.
（1）；
（2）.
【變式5-3】．不改變分式的值，使分子、分母中次數最高項的系數為正數，可以得到_________.
題型6 根據分式的基本性質變號
【例6-1】根據分式的基本性質,分式可變形為( )
A. B. C. D.
【例6-2】．與分式的值相等的分式是( )
A. B. C. D.
【變式6-1】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【變式6-2】．不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含負號.
（1）；
（2）.
【變式6-3】．下列各式中的變形，錯誤的是( )
A. B. C. D.
題型7 根據分式的基本性質求值
【例7-1】．已知，求分式的值.
【例7-2】．閱讀理解題.
因為,所以,(第一步)
所以 (第二步).
（1）.回答下列問題:
①第一步運用了 的基本性質;
②第二步的解題過程運用了 的方法,由得,是對分式進行了 .
（2）.模仿材料解題:
已知,求的值.
答案：1.①等式;②代人消元;約分.; 2.設,
則
所以.
【變式7-1】．當時，求分式的值.
【變式7-2】．閱讀下面的解題過程：
已知，求的值.
解：由，可知，
所以，即，
所以.
仿照上面的方法，解決下列問題：
已知，求的值.
【變式7-3】．已知：，求下列各式的值
(1)；
(2).
題型8 分式的混合運算
【例8-1】計算：.
【變式8-1】．化簡：.
【變式8-2】．計算：.
【變式8-3】．計算：
【變式8-4】．計算：
(1)；
(2).
題型9 分式運算在化簡（計算）中的應用
【例9-1】．化簡：______.
【例9-2】．化簡：.
【變式9-1】化簡：.
【變式9-2】．化簡：.
【變式9-3】．化簡：.
題型10 分式運算在求值中的應用
【例10-1】．先化簡,再求值：,且x滿足,取一個值即可.
【例10-2】化簡,再在1,2,3中選取一個適當的數代入求值.
【變式10-1】．先化簡,再求值：.其中m是方程的根.
【變式10-2】．先化簡,再求值：,其中
【變式10-3】．先化簡,再求值：,其中.
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式及其運算的十種常見題型
老師告訴你
（1）分式無意義 分母為0
分式有意義 分母不為0
分式值為0 分子為0且分母不為0；
分式值為正數 分子、分母同號；
分式的值為負數 分子、分母異號。
2.負數運算注意以下幾點
（1）弄清楚各種運算的法則，分式的基本性質（約分和通分）是分式運算的依據；
（2）區分混合運算順序，結果要化為最簡分式或整式；
（3）正確使用運算律。
題型1 利用分式定義識別分式
【例1-1】．下列各式：,,,,其中是分式的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：B
解析：是整式,是分式,是整式,是分式,是整式,
其中是分式的有2個,
故選B.
【變式1-1】．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，.
答案：見解析
解析：整式：，.
分式：，，，.
【變式1-1】．在，，，，五個式子中，分式有___________個.
答案：2
解析：根據分式的概念，得，是分式，所以分式有2個.
題型2 分式有無意義的條件
【例2--1】若分式有意義，則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵分式有意義，
∴，解得：.
故選：B.
【例2--2】要使分式有意義，x的取值應滿足( )
A. B. C.或 D.且
答案：D
解析：∵要使分式有意義，
∴x-2≠0且x-3≠0
即且
故選D
【變式2--1】．無論a取何值，下列分式中，總有意義的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：當時，分式沒有意義；當時，分式沒有意義；
當時，分式沒有意義；因為，所以，所以分式總有意義.
【變式2--2】．當時，下列分式沒有意義的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A.，當時，分式有意義，不符合題意；
B.，當時，，分式無意義，符合題意；
C.，當時，分式有意義，不符合題意；
D.，當時，分式有意義，不符合題意.
故選：B.
【變式2--3】．當x取什么值時，下列分式有意義？
（1）；
（2）.
答案：（1）當時，分式有意義
（2）當時，分式有意義
解析：（1）分母，
所以，當時，分式有意義.
（2）分母，即，
所以，當時，分式有意義.
題型3 分式值為0的條件
【例3-1】．若分式的值為0,則x的值為______.
答案：-2
解析：分式的值為0,
解得：,
故答案為:-2.
【例3-2】．當______時,分式的值為0.
答案：6
解析：根據題意得且,
所以.
故答案為：6.
【變式3-1】．若分式的值為零，則x的值為________.
答案：
解析：由題意得：，解得，
，解得：，，
綜上：
故答案為：.
【變式3-2】．能使分式的值為零的所有x的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2或1
答案：B
解析：由題意可得且，解得.
故選B
【變式3--3】．若a，b為實數，，求的值.
答案：2
解析：由，
得，且，
所以且，
所以，，所以.
題型4 分式值為正數的條件
【變式4-1】．填空：
（1）當x為__________時，分式的值為0；
（2）當為__________時，分式的值為正；
（3）當為__________時，分式的值為負.
答案：（1）2
（2）大于的實數
（3）小于2的實數
解析：
【例4--2】．當x的取值范圍是多少時，
（1）.分式的值為負數？
（2）.分式的值為正數？
（3）.分式的值為負數？
答案：（1）.，要使，則，.故當時，分式的值為負數，
（2）.由題意知①，或②.解①得，不等式組②無解，當時，分式的值為正數
（3）.由題意知①，解①得，解②得，當或時，分式時，分式的值為負數.
解析：
【變式4-1】．回答下列問題：
（1）若分式的值為正數，求x的取值范圍；
（2）若分式的值為負數，求x的取值范圍.
答案：（1）由題意知①或②
解①得，不等式組②無解，
當時，分式的值為正數.
（2）由題意知①或②
解①得，解②得，
當或時，分式的值為負數.
解析：
【變式4-2】．已知分式.
(1)當m為何值時，該分式無意義；
(2)當m為何整數值時，該分式的值為正整數.
答案：(1)
(2)或
解析：（1）該分式無意義，
，
解得，
即當時，該分式無意義.
（2）該分式的值為正整數，且m也為整數，
或，
解得或，
即當或時，該分式的值為正整數.
【變式4-3】．若分式的值為正數，則x的取值范圍是( )
A. B. C.且 D.
答案：C
解析：原式=，
當時，，
當時，分式的值為正數，
且.
故選：C.
題型5 分式的基本性質化整數系數
【例5-1】．不改變分式的值，把它的分子和分母中各項系數都化為整數，則所得結果為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
故選：A.
【例5-2】．如果把分式中的x，y都擴大到原來的3倍，那么分式的值( )
A.不變 B.縮小 C.擴大3倍 D.擴大9倍
答案：A
解析：根據題意得，擴大后的分式為，所以分式的值不變.
【變式5-1】．將分式中的x，y的值都變為原來的2倍，則該分式的值( )
A.變為原來的2倍 B.變為原來的4倍 C.不變 D.變為原來的一半
答案：A
解析：，
故選：A.
【變式5-2】．不改變分式的值，把分子、分母中x，y的系數化為整數.
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
【變式5-3】．不改變分式的值，使分子、分母中次數最高項的系數為正數，可以得到_________.
答案：
解析：分子中次數最高的項為，分母中次數最高的項為，系數均為負數，所以分子與分母都乘-1，可得.
題型6 根據分式的基本性質變號
【例6-1】根據分式的基本性質,分式可變形為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故選：C.
【例6-2】．與分式的值相等的分式是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
【變式6-1】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：
【變式6-2】．不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含負號.
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
【變式6-3】．下列各式中的變形，錯誤的是( )
A. B. C. D.
答案：BD
解析：A、，原式變形正確，不符合題意；
B、，原式變形錯誤，符合題意；
C、，原式變形正確，不符合題意；
D、，原式變形錯誤，符合題意；
故選：BD.
題型7 根據分式的基本性質求值
【例7-1】．已知，求分式的值.
答案：解：由條件可知，所以.
原式.
解析：
【例7-2】．閱讀理解題.
因為,所以,(第一步)
所以 (第二步).
（1）.回答下列問題:
①第一步運用了 的基本性質;
②第二步的解題過程運用了 的方法,由得,是對分式進行了 .
（2）.模仿材料解題:
已知,求的值.
答案：1.①等式;②代人消元;約分.; 2.設,
則
所以.
【變式7-1】．當時，求分式的值.
答案：解：原式.
把代入，得原式.
解析：
【變式7-2】．閱讀下面的解題過程：
已知，求的值.
解：由，可知，
所以，即，
所以.
仿照上面的方法，解決下列問題：
已知，求的值.
答案：由，可知，
所以，即，
所以.
解析：
【變式7-3】．已知：，求下列各式的值
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1），
，
.
（2），
，，
.
題型8 分式的混合運算
【例8-1】計算：.
答案：
解析：.
【例8-2】．計算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）
.
【變式8-1】．化簡：.
答案：
解析：原式，
，
，
.
【變式8-2】．計算：.
答案：
解析：
.
【變式8-3】．計算：
答案：
解析：
.
【變式8-4】．計算：
(1)；
(2).
答案：(1)2
(2)
解析：(1)原式，
(2)原式
.
題型9 分式運算在化簡（計算）中的應用
【例9-1】．化簡：______.
答案：/
解析：原式
.
故答案為：.
【例9-2】．化簡：.
答案：原式
解析：
.
【變式9-1】化簡：.
答案：
解析：原式
.
【變式9-2】．化簡：.
答案：
解析：原式，
，
，
.
【變式9-3】．化簡：.
答案：
解析：
.
題型10 分式運算在求值中的應用
【例10-1】．先化簡,再求值：,且x滿足,取一個值即可.
答案：
解析：原式
,
∵,且,
∴整數或-1,
∴當時,原式.
【例10-2】化簡,再在1,2,3中選取一個適當的數代入求值.
答案：；-2
解析：
∵,
∴,
把代入原式.
【變式10-1】．先化簡,再求值：.其中m是方程的根.
答案：,
解析：
.
∵m是方程的根,
∴,
∴原式.
【變式10-2】．先化簡,再求值：,其中
答案：,
解析：
當時,
原式.
【變式10-3】．先化簡,再求值：,其中.
答案：；
解析：
,
當時,上式.
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