資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第15章 分式
15.2.2 分式的加減
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握分式的加減運(yùn)算法則并運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算.
2.能夠進(jìn)行異分母的分式加減法運(yùn)算．
重點(diǎn)：運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行運(yùn)算.
難點(diǎn)：異分母分式加減的運(yùn)算(異分母轉(zhuǎn)化為同分母).
老師告訴你
同分母分式的加減運(yùn)算。要把每個(gè)分式的分子看成一個(gè)整體，加上括號(hào)，避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。
分母互為相反數(shù)的分式加減法，先通過(guò)分式的符號(hào)法則變成同分母后，再加減。
分式的化簡(jiǎn)求值的方法：
一般是先運(yùn)用分式的運(yùn)算法則把分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，然后將已知的數(shù)值代入求值。
技巧：（1）當(dāng)所給的字母的取值較復(fù)雜或是以條件等式的形式給出時(shí)，一般考慮整體代入法：（2）當(dāng)所給的是幾個(gè)量的比時(shí)，用設(shè)參數(shù)法或倒數(shù)法求值。
知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 、同分母分式的加減
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
上述法則可用式子表為：
.
注意
“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個(gè)分子都應(yīng)用括號(hào)，
當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)可以省略；當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，特別是分子相減時(shí)，括號(hào)不能省，不然，容易導(dǎo)致符號(hào)上的錯(cuò)誤.
（2）分式的加減法運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式或整式.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1 .計(jì)算：．
華華的計(jì)算過(guò)程如下：
解：原式．
請(qǐng)問(wèn)華華的計(jì)算結(jié)果正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例1-2 .計(jì)算： -
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1 .計(jì)算： -
2．計(jì)算的結(jié)果是　 　．
3．計(jì)算：
4．計(jì)算：　 　．
5．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（　　）
A． B．1 C．2 D．0
知識(shí)點(diǎn)2 分母互為相反數(shù)的分式加減
首先根據(jù)分式變號(hào)法則轉(zhuǎn)化為同分母分式加減。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．如圖是某同學(xué)分式求值的錯(cuò)誤過(guò)程．
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中解：原式
（1）求原式正確的化簡(jiǎn)結(jié)果；
（2）老師說(shuō)：“雖然該過(guò)程有錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的．”求圖中被污染的x的值．
例2-2．計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B．1 C． D．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．化簡(jiǎn) + 的結(jié)果為　 　
2．化簡(jiǎn)： =　 　．
3．化簡(jiǎn)：的結(jié)果為　 　．
知識(shí)點(diǎn)3 、異分母分式的加減
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.
上述法則可用式子表為：
.
注意
異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.
（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算，③把結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．下面是小明同學(xué)的一篇回顧與反思，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
異分母的分式加減法回顧與反思
【回顧】
今天我們學(xué)習(xí)了異分母的分式加減法，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)我的總結(jié)如下：
下面是我在課堂上化簡(jiǎn)分式的過(guò)程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
總之，在學(xué)習(xí)中我們要善于思考與反思，總結(jié)與歸納，在總結(jié)中收獲經(jīng)驗(yàn)，為今后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．
任務(wù)：
（1）在探究異分母的分式加減法法則時(shí)主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______；
A．方程思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．統(tǒng)計(jì)思想
（2）以上化簡(jiǎn)過(guò)程中，第______步是分式的通分，通分的依據(jù)是______；
（3）我們?cè)谧鲱}時(shí)一定要養(yǎng)成認(rèn)真檢查的好習(xí)慣，由于小明的馬虎，解題過(guò)程出現(xiàn)了錯(cuò)誤，從第_____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果應(yīng)該是______．
例3-2． 先化簡(jiǎn)，再求值：，并從－2，2，4中選一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1． 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
2．計(jì)算：
3．已知分式，，其中，則與的關(guān)系是 （　　）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)4 、分式的加減的應(yīng)用
例4-1．一輛汽車開(kāi)往距離出發(fā)地的目的地． 出發(fā)后第一小時(shí)內(nèi)按原計(jì)劃的速度勻速行駛，一小時(shí)后以原來(lái)速度的倍勻速行駛，并比原計(jì)劃提前到達(dá)目的地，
（1）求汽車實(shí)際走完全程所花的時(shí)間．
（2）若汽車按原路返回，司機(jī)準(zhǔn)備一半路程以的速度行駛，另一半路程以的速度行駛（），則用時(shí)小時(shí)，若用一半時(shí)間以 的速度行駛，另一半時(shí)間以的速度行駛，則用時(shí)小時(shí)，請(qǐng)比較 的大小，并說(shuō)明理由．
例4-2．小明發(fā)現(xiàn)爸爸和媽媽的加油習(xí)慣不同，媽媽每次加油都說(shuō)“師傅，給我加元油”（油箱未加滿），而爸爸則說(shuō)：“師傅，幫我把油箱加滿”小明很好奇：現(xiàn)實(shí)生活中油價(jià)常有變動(dòng)，爸爸媽媽不同的加油方式，哪種方式會(huì)更省錢呢？現(xiàn)以兩次加油為例來(lái)研究．設(shè)爸爸媽媽第一次加油油價(jià)為元/升，第二次加油油價(jià)為元/升，
（1）求媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價(jià)格．用含，的代數(shù)式表示
（2）爸爸和媽媽的兩種加油方式中，誰(shuí)的加油方式更省錢？用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．現(xiàn)有甲、乙、丙三張正方形卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示．某同學(xué)將甲和丙卡片的一個(gè)直角重疊在一起拼成圖2，其陰影部分面積記為；圖3為乙卡片，其面積記為．
（1）化簡(jiǎn)式子，并求當(dāng)時(shí)，該式子的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
2．科學(xué)中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將甲、乙兩種密度分別為，的液體混合，研究混合物的密度（物體的密度物體的質(zhì)量的體積．假設(shè)混合前后液體的總體積不變，令等體積的甲乙兩種液體的混合溶液密度為，等質(zhì)量的甲乙兩種液體的混合溶液的密度為．
（1）請(qǐng)用含，式子表示；
（2）比較，的大小，并通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明理由；
（3）現(xiàn)有密度為的鹽水，加適量的水（密度為）進(jìn)行稀釋，問(wèn)：需要加水多少，才能使密度為的雞蛋懸浮在稀釋后的鹽水中？
二、題型訓(xùn)練
利用分式的加減法則計(jì)算
1．計(jì)算：．
2．計(jì)算：．
3．若，那么　 　．
4．計(jì)算
（1）
（2）先化簡(jiǎn)再求值：，其中
利用分式的加減法則化簡(jiǎn)求值
5．已知，．
（1）化簡(jiǎn)A；
（2）當(dāng)時(shí)，求A的值
7．已知，求代數(shù)式的值．
利用分式的加減法則比較大小
8．比較大小有求差、求比等方法，但靈活應(yīng)用已知巧妙變形也會(huì)起到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果．已知a、b為實(shí)數(shù)，且ab=1，設(shè)P=+，Q=+，比較P、Q的大小．
9．已知a、b為實(shí)數(shù)，且，設(shè)，則M、N的大小關(guān)系是M　 　 N（填=、>、<、≥、≤）．
10． 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論現(xiàn)有克糖水，其中含有克糖，則糖水的濃度即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為．
（1）糖水實(shí)驗(yàn)一：加入克水，則糖水的濃度為　 　生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式　 　，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”．
（2）糖水實(shí)驗(yàn)二：
將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入克水”改為“加入克糖”，則糖水的濃度為　 　根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的“糖水不等式”　 　．
（3）請(qǐng)結(jié)合探究得到的結(jié)論嘗試證明：
設(shè)、、為三邊的長(zhǎng)，求證：．
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
30．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
4．化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（　　）
A． B．1 C． D．
5．在復(fù)習(xí)分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，老師把甲、乙兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別展示如下則（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都錯(cuò) B．甲、乙都對(duì) C．甲對(duì)，乙錯(cuò) D．甲錯(cuò)，乙對(duì)
6．已知：a，b，c三個(gè)數(shù)滿足：，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，若約定：上方相鄰兩個(gè)代數(shù)式之和等于兩個(gè)代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)式，則代數(shù)式M是（　　）
A． B． C． D．
8．在計(jì)算 時(shí)， 嘉嘉和琪琪使用方法不同， 但計(jì)算結(jié)果相同， 則 ( )
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若 ，則 　 　.
10．計(jì)算：　 　．
11．化簡(jiǎn)：　 　．
12．若，且，，則m，n的大小關(guān)系是　 　．
13．如果，，滿足，，則　 　．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．計(jì)算：
15．學(xué)完分式運(yùn)算后，老師出了一道題：“計(jì)算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解題過(guò)程中的錯(cuò)誤從第　 　步開(kāi)始；
（2）當(dāng)x為x﹣3＜0的正整數(shù)解時(shí)，求的值．
16．?dāng)?shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，開(kāi)水中加入適量的糖沖泡成甜糖水很受一些人的喜愛(ài)，人們常用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），則該糖水的甜度為　 　；
（2）現(xiàn)向（1）中的糖水中再加入適量的糖，充分?jǐn)噭蚝螅杏X(jué)糖水更甜了.
請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象.（提示：我們?cè)谂袛鄡蓚€(gè)數(shù)的大小時(shí)，常常會(huì)用到作差法，如所以，同樣如果，就說(shuō)明）
17．下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）任務(wù)一：填空：
①以上化簡(jiǎn)步驟中，第 　 　步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是 　 　或填為：　 　；
②第 　 　步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 　 　；
（2）任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果是 　 　；
（3）任務(wù)三：根據(jù)小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程：完成下列分式的計(jì)算：．
18．先化簡(jiǎn)分式，然后請(qǐng)你選取一個(gè)合適的a值代入，求分式的值．
19．【閱讀理解】閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了法則：______；第②步運(yùn)用了公式：______；（法則，公式都用式子表示）
【類比探究】
（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：
已知，求的值；
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第15章 分式
15.2.2 分式的加減
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握分式的加減運(yùn)算法則并運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算.
2.能夠進(jìn)行異分母的分式加減法運(yùn)算．
重點(diǎn)：運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行運(yùn)算.
難點(diǎn)：異分母分式加減的運(yùn)算(異分母轉(zhuǎn)化為同分母).
老師告訴你
同分母分式的加減運(yùn)算。要把每個(gè)分式的分子看成一個(gè)整體，加上括號(hào)，避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。
分母互為相反數(shù)的分式加減法，先通過(guò)分式的符號(hào)法則變成同分母后，再加減。
分式的化簡(jiǎn)求值的方法：
一般是先運(yùn)用分式的運(yùn)算法則把分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，然后將已知的數(shù)值代入求值。
技巧：（1）當(dāng)所給的字母的取值較復(fù)雜或是以條件等式的形式給出時(shí)，一般考慮整體代入法：（2）當(dāng)所給的是幾個(gè)量的比時(shí)，用設(shè)參數(shù)法或倒數(shù)法求值。
知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 、同分母分式的加減
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
上述法則可用式子表為：
.
注意
“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個(gè)分子都應(yīng)用括號(hào)，
當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)可以省略；當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，特別是分子相減時(shí)，括號(hào)不能省，不然，容易導(dǎo)致符號(hào)上的錯(cuò)誤.
（2）分式的加減法運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式或整式.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1 .計(jì)算：．
華華的計(jì)算過(guò)程如下：
解：原式．
請(qǐng)問(wèn)華華的計(jì)算結(jié)果正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】不正確，理由見(jiàn)解析
【分析】按照同分母的減法法則計(jì)算即可．
解：華華的計(jì)算結(jié)果不正確，
理由：減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，沒(méi)有注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用；
正確的運(yùn)算是：
原式．
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意： 減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，運(yùn)算時(shí)要注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，防止出現(xiàn)的錯(cuò)誤．
例1-2 .計(jì)算： -
【答案】m-1
【分析】按照同分母的減法法則計(jì)算即可．
解: -
=
=
=
=m-1
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意： 減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，運(yùn)算時(shí)要注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1 .計(jì)算： -
【答案】a+1
【分析】按照同分母的減法法則計(jì)算即可．
解: -
=
=
=a+1
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意： 減式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，運(yùn)算時(shí)要注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，
2．計(jì)算的結(jié)果是　 　．
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：；
故答案為：1．
【分析】本題考查同分母的分式的加法.根據(jù)同分母的分式的加法法則：分母不變，分子相加可得：原式，再進(jìn)行計(jì)算可求出答案．
3．計(jì)算：
【答案】解：
．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【分析】本題考查同分母分式減法計(jì)算．同分母的分式相加減，分母不變，分子直接相加減，據(jù)此可得：原式=，再進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出答案.
4．計(jì)算：　 　．
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：.
故答案為：1.
【分析】根據(jù)同分母相加減，分母不變，分子相加減，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.
5．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（　　）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】，
故答案為：C.
【分析】利用分式的加法計(jì)算方法分析求解即可.
知識(shí)點(diǎn)2 分母互為相反數(shù)的分式加減
首先根據(jù)分式變號(hào)法則轉(zhuǎn)化為同分母分式加減。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．如圖是某同學(xué)分式求值的錯(cuò)誤過(guò)程．
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中解：原式
（1）求原式正確的化簡(jiǎn)結(jié)果；
（2）老師說(shuō)：“雖然該過(guò)程有錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的．”求圖中被污染的x的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：根據(jù)（1）可得：
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程；分式的化簡(jiǎn)求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分式的加減法的定義及計(jì)算方法（①分母相同，分子相加減；②分母不同，先通分，再將分子相加減）分析求解即可；
（2）利用（1）的化簡(jiǎn)結(jié)果可得：，再利用分式方程的計(jì)算方法及步驟分析求解即可.
（1）解：
（2）解；由題意得，，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
例2-2．計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．化簡(jiǎn) + 的結(jié)果為　 　
【答案】x
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】原式= ，故答案為：x.
【分析】根據(jù)同分母的分式相加減，分母不變分子相加減，化為最簡(jiǎn)分式.
2．化簡(jiǎn)： =　 　．
【答案】x+2
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：
= ﹣
=
=x+2．
故答案為：x+2．
【分析】先轉(zhuǎn)化為同分母（x﹣2）的分式相加減，然后約分即可得解．
3．化簡(jiǎn)：的結(jié)果為　 　．
【答案】-2
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】，
故答案為：-2.
【分析】利用分式的減法計(jì)算方法分析求解即可.
知識(shí)點(diǎn)3 、異分母分式的加減
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.
上述法則可用式子表為：
.
注意
異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.
（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算，③把結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1．下面是小明同學(xué)的一篇回顧與反思，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
異分母的分式加減法回顧與反思
【回顧】
今天我們學(xué)習(xí)了異分母的分式加減法，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)我的總結(jié)如下：
下面是我在課堂上化簡(jiǎn)分式的過(guò)程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
總之，在學(xué)習(xí)中我們要善于思考與反思，總結(jié)與歸納，在總結(jié)中收獲經(jīng)驗(yàn)，為今后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．
任務(wù)：
（1）在探究異分母的分式加減法法則時(shí)主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______；
A．方程思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．統(tǒng)計(jì)思想
（2）以上化簡(jiǎn)過(guò)程中，第______步是分式的通分，通分的依據(jù)是______；
（3）我們?cè)谧鲱}時(shí)一定要養(yǎng)成認(rèn)真檢查的好習(xí)慣，由于小明的馬虎，解題過(guò)程出現(xiàn)了錯(cuò)誤，從第_____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果應(yīng)該是______．
【答案】（1）C
（2）三，分式的基本性質(zhì)
（3）四，
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】（1）解：在探究異分母的分式加減法法則時(shí)主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故C正確；
故選：C．
（2）解：以上化簡(jiǎn)過(guò)程中，第三步是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)．
故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；
（3）解：從第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，
．
因此正確結(jié)果為：．
【分析】本題考查分式加減運(yùn)算．
（1）根據(jù) 異分母的分式加減法法則時(shí)主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想 ，據(jù)此可選出選項(xiàng)；
（2）原式 變形為：原式 ，是通分；通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)：分子和分母同時(shí)乘以一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變；
（3）原式變形為：原式，錯(cuò)誤，x+2是一個(gè)整體，需要加上括號(hào)，正確的為： 原式 ，再進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出答案.
（1）解：在探究異分母的分式加減法法則時(shí)主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故C正確；
故選：C．
（2）解：以上化簡(jiǎn)過(guò)程中，第三步是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)．
故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；
（3）解：從第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，
．
因此正確結(jié)果為：．
例3-2． 先化簡(jiǎn)，再求值：，并從－2，2，4中選一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】解：
∵x不能取2，，
∴，
∴原式．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】先利用分式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，再將x的值代入計(jì)算即可.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1． 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
=；
當(dāng)時(shí)，原式=
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而代入數(shù)值即可求解。
2．計(jì)算：
【答案】原式 =
=
=
=．
=
=．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【分析】本題考查分式的加減法.先進(jìn)行通分可得：原式=，再根據(jù)同分母分式相減，分母不變，分子相減可得：原式=，再將括號(hào)進(jìn)行展開(kāi)，合并同類項(xiàng)可求出答案.
3．已知分式，，其中，則與的關(guān)系是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)平方差公式對(duì)A化簡(jiǎn)，利用分式的通分對(duì)B化簡(jiǎn)，即可比較與的關(guān)系.
知識(shí)點(diǎn)4 、分式的加減的應(yīng)用
例4-1．一輛汽車開(kāi)往距離出發(fā)地的目的地． 出發(fā)后第一小時(shí)內(nèi)按原計(jì)劃的速度勻速行駛，一小時(shí)后以原來(lái)速度的倍勻速行駛，并比原計(jì)劃提前到達(dá)目的地，
（1）求汽車實(shí)際走完全程所花的時(shí)間．
（2）若汽車按原路返回，司機(jī)準(zhǔn)備一半路程以的速度行駛，另一半路程以的速度行駛（），則用時(shí)小時(shí)，若用一半時(shí)間以 的速度行駛，另一半時(shí)間以的速度行駛，則用時(shí)小時(shí)，請(qǐng)比較 的大小，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）解：設(shè)前一小時(shí)行駛的速度為，則提速后的速度為，依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：汽車實(shí)際走完全程所花的時(shí)間為；
（2）解：，理由如下：由題意得，，，，
∵a，b均為正數(shù)，且，
∴，，
∴，
即，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法；分式方程的實(shí)際應(yīng)用-行程問(wèn)題
【解析】【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，分式加減法的實(shí)際應(yīng)用：
（1）設(shè)前一小時(shí)行駛的速度為，則提速后的速度為， 根據(jù)實(shí)際比并比原計(jì)劃提前到達(dá)目的地可列出方程，解方程可求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)可求出方程的解，進(jìn)而可求出答案；
（2）利用時(shí)間等于路程除以速度，利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可分別求出兩種方案所需時(shí)間，，再進(jìn)行比較（做差）可得：，利用符號(hào)法則可推出，據(jù)此可得出結(jié)論．
（1）解：設(shè)前一小時(shí)行駛的速度為，則提速后的速度為，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：汽車實(shí)際走完全程所花的時(shí)間為；
（2）解：，理由如下：
由題意得，，，，
∵a，b均為正數(shù)，且，
∴，，
∴，
即，
∴．
例4-2．小明發(fā)現(xiàn)爸爸和媽媽的加油習(xí)慣不同，媽媽每次加油都說(shuō)“師傅，給我加元油”（油箱未加滿），而爸爸則說(shuō)：“師傅，幫我把油箱加滿”小明很好奇：現(xiàn)實(shí)生活中油價(jià)常有變動(dòng)，爸爸媽媽不同的加油方式，哪種方式會(huì)更省錢呢？現(xiàn)以兩次加油為例來(lái)研究．設(shè)爸爸媽媽第一次加油油價(jià)為元/升，第二次加油油價(jià)為元/升，
（1）求媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價(jià)格．用含，的代數(shù)式表示
（2）爸爸和媽媽的兩種加油方式中，誰(shuí)的加油方式更省錢？用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．
【答案】（1）解：根據(jù)題意可得，
媽媽兩次加油的總量是：(升)，
媽媽兩次加油的平均價(jià)格是：(元/升)，
即媽媽兩次加油的總量是升，媽媽兩次加油的平均價(jià)格是元/升；
（2）解：設(shè)爸爸每次加滿油箱的油是升，
則爸爸兩次加油的平均價(jià)格是(元/升)，
，
當(dāng)時(shí)，爸爸的加油方式和媽媽的加油方式一樣省錢；
當(dāng)時(shí)，媽媽的加油方式更省錢．
【知識(shí)點(diǎn)】用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】（1）先分別求出第一次和第二次加油的量，再相加可得兩次加油的總量，再利用“平均價(jià)格=總價(jià)格÷總油量”列出代數(shù)式即可；
（2）設(shè)爸爸每次加滿油箱的油是升，再利用“平均價(jià)格=總價(jià)格÷總油量”求出爸爸兩次加油的平均價(jià)，再比較大小即可.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．現(xiàn)有甲、乙、丙三張正方形卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示．某同學(xué)將甲和丙卡片的一個(gè)直角重疊在一起拼成圖2，其陰影部分面積記為；圖3為乙卡片，其面積記為．
（1）化簡(jiǎn)式子，并求當(dāng)時(shí)，該式子的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）解：根據(jù)題意可知，，，
，
當(dāng)時(shí)，．
（2）解：，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先結(jié)合圖形求出，，再將其代入計(jì)算并化簡(jiǎn)，最后將a=10代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)可得，再求解即可.
（1）解：由題意可知，，，
，
當(dāng)時(shí)，．
（2），
，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．
2．科學(xué)中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將甲、乙兩種密度分別為，的液體混合，研究混合物的密度（物體的密度物體的質(zhì)量的體積．假設(shè)混合前后液體的總體積不變，令等體積的甲乙兩種液體的混合溶液密度為，等質(zhì)量的甲乙兩種液體的混合溶液的密度為．
（1）請(qǐng)用含，式子表示；
（2）比較，的大小，并通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明理由；
（3）現(xiàn)有密度為的鹽水，加適量的水（密度為）進(jìn)行稀釋，問(wèn)：需要加水多少，才能使密度為的雞蛋懸浮在稀釋后的鹽水中？
【答案】（1）解：由題意得，，
則
（2）解：設(shè)選取的甲、乙兩種溶液的質(zhì)量都是，則
，
，．
（3）解：設(shè)需要加水，根據(jù)題意得：
去分母，得：，解這個(gè)整式方程，得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解．
答：需要加水
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；分式方程的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出分式，化簡(jiǎn)即可。
（2）先表示出，結(jié)合（1）得到的 ，利用求差法求得并化簡(jiǎn)分析即可。
（3）根據(jù)密度公式列出方程，解方程并檢驗(yàn)即可。
二、題型訓(xùn)練
利用分式的加減法則計(jì)算
1．計(jì)算：．
【答案】解：
．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【分析】本題考查分式的減法.根據(jù)同分母分式相減，分母不變，分子相減可得：原式，再進(jìn)括號(hào)展開(kāi)可得：原式，再進(jìn)行計(jì)算可求出答案.
2．計(jì)算：．
【答案】解：
．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】本題考查分式的加減運(yùn)算，平方差公式的運(yùn)用.先運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解可得：原式 ，再根據(jù)異分母分式的運(yùn)算法則進(jìn)行通分可得：原式，再對(duì)分子進(jìn)行去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，再分子和分母同時(shí)進(jìn)行約分可求出答案．
3．若，那么　 　．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴A-B=3，
故答案為：3.
【分析】先利用分式的加法的計(jì)算方法可得，再利用待定系數(shù)法可得A-B=3.
4．計(jì)算
（1）
（2）先化簡(jiǎn)再求值：，其中
【答案】（1）解：原式=
=
；
（2）解：原式=
當(dāng)時(shí)，
.
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先乘除，再加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的.約分時(shí)需要先分解因式.最后代入求值即可.
利用分式的加減法則化簡(jiǎn)求值
5．已知，．
（1）化簡(jiǎn)A；
（2）當(dāng)時(shí)，求A的值
【答案】（1）
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】分式的值；分式的加減法；因式分解法解一元二次方程
6．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
當(dāng)時(shí)，
原式．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】先利用平方差公式將第二個(gè)分式的分母分解因式，再計(jì)算分式乘法，進(jìn)而根據(jù)同分母分式減法計(jì)算，最后把x=2代入化簡(jiǎn)后的式子即可求解.
7．已知，求代數(shù)式的值．
【答案】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】先計(jì)算分式乘法，再通分計(jì)算分式減法，化簡(jiǎn)出最簡(jiǎn)結(jié)果，最后整體代入，計(jì)算求解即可．
利用分式的加減法則比較大小
8．比較大小有求差、求比等方法，但靈活應(yīng)用已知巧妙變形也會(huì)起到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果．已知a、b為實(shí)數(shù)，且ab=1，設(shè)P=+，Q=+，比較P、Q的大小．
【答案】解：P=+===，Q=+=，則P=Q．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把a(bǔ)b=1代入，然后進(jìn)行比較即可．
9．已知a、b為實(shí)數(shù)，且，設(shè)，則M、N的大小關(guān)系是M　 　 N（填=、>、<、≥、≤）．
【答案】=
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴M＝N，
故答案為：＝．
【分析】利用分式的加減法可得M、N的值，即可得到M＝N。
10． 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論現(xiàn)有克糖水，其中含有克糖，則糖水的濃度即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為．
（1）糖水實(shí)驗(yàn)一：加入克水，則糖水的濃度為　 　生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式　 　，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”．
（2）糖水實(shí)驗(yàn)二：
將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入克水”改為“加入克糖”，則糖水的濃度為　 　根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的“糖水不等式”　 　．
（3）請(qǐng)結(jié)合探究得到的結(jié)論嘗試證明：
設(shè)、、為三邊的長(zhǎng)，求證：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：在中，，，，且，，，
，，，
由糖水不等式得，，，，
，
．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；用字母表示數(shù)；用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系
【解析】【解答】解：（1）①根據(jù)題意可得：加入m克水后，糖水的濃度為，
②∵糖水加水后會(huì)變淡，
∴，
故答案為：；；
（2）根據(jù)題意可得：加入m克糖后，糖水的濃度為，
∵根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)， 糖水加糖后會(huì)變濃，
∴，
故答案為：；.
【分析】（1）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式，再根據(jù)生活常識(shí)分析求解即可；
（2）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式，再根據(jù)生活常識(shí)分析求解即可；
（3）利用三角形三角形的關(guān)系可得，，，且，，，再求出，，，最后利用“糖水不等式”的變形進(jìn)行分析求解即可.
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解：A、 ，故A錯(cuò)誤；
B、原式= ，故B正確；
C、 ，故C錯(cuò)誤；
D、原式= ，故D錯(cuò)誤；
故答案為：B.
【分析】（1）由同分母的分式加減法法則“把同分母的分子相加，分母不變”計(jì)算可得原式=；
（2）觀察分式的分母可知，兩個(gè)分母相差一個(gè)負(fù)號(hào)，將第二個(gè)分式變形并根據(jù)同分母的分式加減法法則“把同分母的分子相加，分母不變”計(jì)算可得原式=；
（3）由異分母的分式加減法法則“先將異分母化為同分母，再根據(jù)同分母的分式加減法法則計(jì)算可得原式=；
（4）根據(jù)（2）的方法計(jì)算即可求解.
30．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)；分式的加減法
【解析】【解答】解：A、 ≠ ，故A選項(xiàng)不成立；
B、 = ，故B選項(xiàng)成立；
C、 不能約分，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、 ，故D選項(xiàng)不成立.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)“分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)或式子，分式的值不變”并結(jié)合各選項(xiàng)可判斷求解.
3．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】原式
故答案為：B.
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算即可求出值.
4．化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】解： 。
故答案為：B。
【分析】根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可。
5．在復(fù)習(xí)分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，老師把甲、乙兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別展示如下則（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都錯(cuò) B．甲、乙都對(duì) C．甲對(duì)，乙錯(cuò) D．甲錯(cuò)，乙對(duì)
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】甲第①步中沒(méi)有通分，故計(jì)算錯(cuò)誤；乙第③步中，同分母分式相加，分母應(yīng)保持不變，故計(jì)算錯(cuò)誤.
故答案為：A．
【分析】根據(jù)分式的加減乘除運(yùn)算法則即可求解.
6．已知：a，b，c三個(gè)數(shù)滿足：，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意可知： ，，，再把它們相加可得，從而可得的值.
7．如圖，若約定：上方相鄰兩個(gè)代數(shù)式之和等于兩個(gè)代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)式，則代數(shù)式M是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：由題意得：，∴，∴D正確。
故答案為：D。
【分析】根據(jù)題意，列出等式，化簡(jiǎn)約分后，求出代數(shù)式M即可。
8．在計(jì)算 時(shí)， 嘉嘉和琪琪使用方法不同， 但計(jì)算結(jié)果相同， 則 ( )
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：嘉嘉：；
琪琪：，
∴嘉嘉和琪琪的計(jì)算都不正確，
故答案為：D.
【分析】有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算分式的乘除法（先將除法變成乘法，再約分，最后將分式的分母相乘作為積的分母，分式的分子相乘作為積的分子），最后計(jì)算分式的加減法（①分母相同，分子相加減；②分母不同，先通分，再將分子相加減）即可.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．若 ，則 　 　.
【答案】8
【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；分式的基本性質(zhì)；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】∵ 可化為 ， 化為
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化為 ，再將 化為 ，然后代入即可解答。
10．計(jì)算：　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案為：.
【分析】有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算分式的乘除法（先將除法變成乘法，再約分，最后將分式的分母相乘作為積的分母，分式的分子相乘作為積的分子），最后計(jì)算分式的加減法（①分母相同，分子相加減；②分母不同，先通分，再將分子相加減）即可.
11．化簡(jiǎn)：　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：原式
故答案為：.
【分析】先將分母化為一致，然后分子進(jìn)行加減，再利用平方差公式把分母分解，最后化簡(jiǎn)即可.
12．若，且，，則m，n的大小關(guān)系是　 　．
【答案】m=n
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：，
，
∵ab=1，
故，
，
∴m=n；
故答案為：m=n.
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)將m、n化簡(jiǎn)，再將ab=1代入求出m、n的值，即可得出答案.
13．如果，，滿足，，則　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：，
，，，
．
故答案為：．
【分析】先求出，，，再將其代入計(jì)算即可.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．計(jì)算：
【答案】解：原式=
=
=
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【分析】利用分式減法的計(jì)算方法求解即可。
15．學(xué)完分式運(yùn)算后，老師出了一道題：“計(jì)算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解題過(guò)程中的錯(cuò)誤從第　 　步開(kāi)始；
（2）當(dāng)x為x﹣3＜0的正整數(shù)解時(shí)，求的值．
【答案】（1）2
（2）解：當(dāng)x﹣3＜0時(shí)，
∴x＜3
∵x是整數(shù)，
∴x＝2
∴原式＝
＝
＝
＝
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：
原式＝ ……第一步
＝……第二步
對(duì)比原題，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤從第二步開(kāi)始
故填：2
【分析】（1）通分步驟正確，通分后分式的分母不變，分子相加減，錯(cuò)誤出現(xiàn)在丟掉了分母；（2）根據(jù)題意，本題屬于化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)后，篩選符合條件的x值，要考慮使分式有意義，x只能是2.
16．?dāng)?shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，開(kāi)水中加入適量的糖沖泡成甜糖水很受一些人的喜愛(ài)，人們常用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），則該糖水的甜度為　 　；
（2）現(xiàn)向（1）中的糖水中再加入適量的糖，充分?jǐn)噭蚝螅杏X(jué)糖水更甜了.
請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象.（提示：我們?cè)谂袛鄡蓚€(gè)數(shù)的大小時(shí)，常常會(huì)用到作差法，如所以，同樣如果，就說(shuō)明）
【答案】（1）
（2）解：設(shè)往杯中加入克糖，則此時(shí)糖水的甜度為：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，∴，
∴向（1）中的糖水中再加入適量的糖，充分?jǐn)噭蚝螅撬?
【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減法
【解析】【解答】（1）解：∵糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度
∴a克糖水里面含糖b克（），則該糖水的甜度為
【分析】本題考查分式加減的應(yīng)用。
（1）根據(jù)題中”甜度“的定義，可得a克糖水里面含糖b克（），則該糖水的甜度為；
（2）設(shè)往杯中加入c克糖，則此時(shí)糖水的甜度為：，作差法得，由，得，，則，可解釋這一現(xiàn)象。
17．下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）任務(wù)一：填空：
①以上化簡(jiǎn)步驟中，第 　 　步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是 　 　或填為：　 　；
②第 　 　步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 　 　；
（2）任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果是 　 　；
（3）任務(wù)三：根據(jù)小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程：完成下列分式的計(jì)算：．
【答案】（1）三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變；五；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)
（2）
（3）解：
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：(1)①以上化簡(jiǎn)步驟中，第三步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)或填為：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變；
故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變.
②第五步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是''-''號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào).
故答案為：五；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是''-''號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào).
(2)，
，
，
，
，
，
.
故答案為：.
【分析】(1)①分式的分子和分母同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)化為所有分母的最小公倍數(shù)進(jìn)行通分，分式的值不變.
②去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是''-''號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào).
(2)對(duì)第五步錯(cuò)誤的地方進(jìn)行更改，化簡(jiǎn)即可.
(3)先對(duì)分母進(jìn)行因式分解，再化簡(jiǎn)通分，然后進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算.
18．先化簡(jiǎn)分式，然后請(qǐng)你選取一個(gè)合適的a值代入，求分式的值．
【答案】解：
∵a取0，1，-1時(shí)，分式無(wú)意義，
∴當(dāng)a＝3時(shí)，
原式＝（答案不唯一）．
【知識(shí)點(diǎn)】分式有無(wú)意義的條件；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】先利用分式的分子、分母進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)后代入x的值求解即可.
19．【閱讀理解】閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了法則：______；第②步運(yùn)用了公式：______；（法則，公式都用式子表示）
【類比探究】
（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的倒數(shù)；完全平方公式及運(yùn)用；分式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法則：；第②步運(yùn)用了公式：；
故答案為：；；
【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則及完全平方公式的變形即可求出答案.
（2）根據(jù)題意計(jì)算即可求出答案.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑