資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
學習目標
1.掌握分式的乘除運算法則.
2.能夠進行分子、分母為多項式的分式乘除法運算．
重點：分式的乘除法法則的運用.
難點：進行分式的乘除運算.
老師告訴你
乘法、除法是同級運算，進行分式乘除混合運算時，應按照從左到右的順序進行運算；
對于除法運算，要先將除法轉化為乘法，注意“一變一倒”：即變除號為乘號時，把除式的分子、分母顛倒位置，并注意除式是整式時，可以把整式看成分母為1的式子進行運算。
知識點撥
知識點1 、分式的乘法
分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.
【新知導學】
例1-1．計算 的結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
例1-2．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．x
【對應導練】
1．計算：　 　．
2．計算 的結果是（　　）
A． B． C． D．
3．先化簡 ，再在1，2，3中選取一個適當的數代入求值．
4． =　 　。
知識點2 、分式的除法
分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.
【新知導學】
例2-1．計算：．
例2-2．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
【對應導練】
1．若運算的結果為整式，則“□”中的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
2．化簡：．
3．先化簡，再求值：，其中．
知識點3 、分式的乘除混合運算
（1）分式的乘除法都能統一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.
（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.
（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.
（4）分式的乘除法計算結果，要通過約分，化為最簡分式或整式.
【新知導學】
例3-1．化簡 結果為（　　）
A． B． C． D．1
【對應導練】
1．計算分式結果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
2．計算
（1）
（2）；
（3）
3．計算：；
二、題型訓練
1.利用分式乘除法則化簡求值
1．先化簡，再求值． ，其中x＝- ．
2．先化簡： ，再選擇一個恰當的x值代入求值．
2.分式乘除混合運算的應用
3．某商店有A、B兩箱水果，A箱水果重量為千克，B箱水果重量為千克（其中），兩箱水果均賣了120元，那么A箱水果的單價是B箱水果單價的（　　）
A． B． C． D．
4．化簡： ÷ ．
5．某人從A地步行到B地時，速度為a，再從B地原路返回到A地時，速度為b，則他自A地到B地再返回A地的平均速度為（　　）
A． B． C． D．
3.利用分式乘除法則巧計算
（1）巧用分配律
6．先化簡，再求值 ，其中x滿足 ．
（2）巧用結果化簡
7．先化簡再求值：，其中．
（3）巧用整體思想
8． 已知，則的值為（　　）
A． B． C．4 D．－4
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．已知，則與的積為1的是（　　）
A． B． C． D．
2．小麗在化簡分式時，*部分不小心滴上了墨水，請你推測，*部分的式子應該是（　　）
A． B． C． D．
3．若，則M為（　　）
A． B． C． D．
4．下面是某同學化簡分式的部分計算過程，則在化簡過程中的橫線上依次填入的序號為（　　）
．
A． B． C． D．
5．計算的結果是（　　）
A． B．
C． D．
6．現有A，B兩個圓，A圓的半徑為(a>6)，B圓的半徑為，則A圓的面積是B圓面積的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．化簡 的結果是（　　）
A． B． C． D．
8．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．計算：　 　 ．
10．計算的結果是　 　.
11．計算：　 　．
12．計算： 　 　 .
13．計算 　 　.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
15．計算：
（1）；
（2）．
16．閱讀下列 材料，并解答總題：
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：由分母x+1，可設
則
=
∵對于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
這樣，分式就拆分成一個整式與一個分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式為　 　；
（2）已知整數使分式的值為整數，則滿足條件的整數=　 　．
17．化簡：
（1）
（2）化簡代數式：，再從，，2，3，中選取一個喜歡的數值代入，并求出代數式的值．
18．（1）若，化簡A；
（2）若a滿足，求A值.
19．“雜交水稻之父”袁隆平團隊示范基地的“水稻1號”的試驗田是邊長為a米（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2號”的試驗田是邊長為（a-1）米的正方形，兩塊試驗田的水稻都收獲了1000千克．
（1）試說明哪種水稻的單位面積產量高？
（2）高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
學習目標
1.掌握分式的乘除運算法則.
2.能夠進行分子、分母為多項式的分式乘除法運算．
重點：分式的乘除法法則的運用.
難點：進行分式的乘除運算.
老師告訴你
乘法、除法是同級運算，進行分式乘除混合運算時，應按照從左到右的順序進行運算；
對于除法運算，要先將除法轉化為乘法，注意“一變一倒”：即變除號為乘號時，把除式的分子、分母顛倒位置，并注意除式是整式時，可以把整式看成分母為1的式子進行運算。
知識點撥
知識點1 、分式的乘法
分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.
【新知導學】
例1-1．計算 的結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】 = = .
故答案為：A.
【分析】利用分式的乘除法的性質化簡即可。
例1-2．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案為：A.
【分析】利用分式的乘法的計算方法分析求解即可.
【對應導練】
1．計算：　 　．
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案為：2a.
【分析】根據分式的乘法法則計算求解即可。
2．計算 的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
故答案為：D．
【分析】利用分式的乘法法則計算求解即可。
3．先化簡 ，再在1，2，3中選取一個適當的數代入求值．
【答案】解：原式= = =
當x=2時，原式= .
【知識點】分式的約分；分式的乘除法
【解析】【分析】根據分式化簡，然后約分代入數值帶出答案即可
4． =　 　。
【答案】-x2y
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】 =﹣x（x﹣y） =-x2y．
【分析】考查了簡單的分式計算．
知識點2 、分式的除法
分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.
【新知導學】
例2-1．計算：．
【答案】解：
．

【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】本題考查分式的除法運算．先把除法運算轉化為乘法運算可得：原式=，再進行約分可求出答案．
例2-2．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案為：B.
【分析】先將分數的除法轉換為乘法，再利用分式的乘法的計算方法分析求解即可.
【對應導練】
1．若運算的結果為整式，則“□”中的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】A、當“□”為時，不是整式，∴A不符合題意；
B、當“□”為時，不是整式，∴B不符合題意；
C、當“□”為時，不是整式，∴C不符合題意；
D、當“□”為時，是整式，∴D符合題意；
故答案為：D.
【分析】將各選項分別代入代數式，再利用分式的除法的計算方法逐項分析判斷即可.
2．化簡：．
【答案】解：
．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；分式的乘除法
【解析】【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式將式子變形，再將除法轉化為乘法，最后約分即可得到答案．
3．先化簡，再求值：，其中．
【答案】解：，
當時，代入得：
原式．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；分式的乘除法；分式的化簡求值
【解析】【分析】先利用分式的除法法則將原式變形，再利用完全平方公式和平方差公式進行化簡，最后帶入的值計算即可
知識點3 、分式的乘除混合運算
（1）分式的乘除法都能統一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.
（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.
（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.
（4）分式的乘除法計算結果，要通過約分，化為最簡分式或整式.
【新知導學】
例3-1．化簡 結果為（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式 .
故答案為：B.
【分析】首先將除法化為乘法，然后根據分式的乘法法則進行化簡.
【對應導練】
1．計算分式結果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案為：B.
【分析】先將除法轉換為乘法，再利用分式的乘法計算方法分析求解即可.
2．計算
（1）
（2）；
（3）
【答案】（1）解：-
（2）解：4
（3）解：
【知識點】分式的乘除法；分式的加減法；分式的混合運算
【解析】【解答】解：（1）原式=
=
=
(2)原式=
=
=
=4；
(3)原式=
=
=
=
=；
【分析】(1)先計算乘方，再根據分式的乘除運算即可求解；
（2）先將分母進行因式分解，再計算括號，最后根據分式的除法運算即可求解；
（3）根據分式的混合運算，先計算除法運算，再計算減法運算即可求解.
3．計算：；
【答案】解：
【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】根據分式的乘法，除法運算法則，正確進行運算，即可得出答案。
二、題型訓練
1.利用分式乘除法則化簡求值
1．先化簡，再求值． ，其中x＝- ．
【答案】解：原式
當 時，原式
【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】先將分子分母能分解因式的先分解因式，再約分化簡，然后代入求值。
2．先化簡： ，再選擇一個恰當的x值代入求值．
【答案】解：解：原式= = =﹣x+1。
當x=2時，原式=﹣2+1=﹣1。
【知識點】平方差公式及應用；分式的乘除法
【解析】【分析】將分式通過通分，利用平方差公式，最后約分，化為最簡，再將x賦值，代入計算出結果。
2.分式乘除混合運算的應用
3．某商店有A、B兩箱水果，A箱水果重量為千克，B箱水果重量為千克（其中），兩箱水果均賣了120元，那么A箱水果的單價是B箱水果單價的（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由，
故選：D．
【分析】根據題意列出算式，應用平方差公式，再進行約分化簡即可
4．化簡： ÷ ．
【答案】解：原式= =（a﹣1） =a+1
【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結果．
5．某人從A地步行到B地時，速度為a，再從B地原路返回到A地時，速度為b，則他自A地到B地再返回A地的平均速度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法；用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】設AB之間的距離為S，
∵從A地步行到B地時，速度為a，
∴從A地步行到B地時，時間為：，
∵從B地原路返回到A地時，速度為b，
∴從B地原路返回到A地時，時間為：，
∴自A地到B地再返回A地的平均速度為，
故答案為：D.
【分析】先利用“時間=路程÷速度”求出從A地步行到B地的時間和從B地原路返回到A地的時間，再利用“速度=路程÷時間”列出算式求出自A地到B地再返回A地的平均速度即可.
3.利用分式乘除法則巧計算
（1）巧用分配律
6．先化簡，再求值 ，其中x滿足 ．
【答案】解：原式=
=
=x2﹣3﹣2x+2
=x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3，∴原式=3﹣1=2.
【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】依據已知條件可得到x2﹣2x=3，然后將除法轉化為乘法，然后再按照乘法分配律進行計算，然后，再去括號，合并同類項，最后將x2﹣2x=3整體代入求解即可.
（2）巧用結果化簡
7．先化簡再求值：，其中．
【答案】原式
，
當時，原式．
【知識點】完全平方公式及運用；分式的乘除法；求代數式的值-化簡代入求值
【解析】【分析】根據完全平方式將第二個分式分子括號展開，合并同類項，再根據分式的除法進行化簡，再將代入原式即可求出答案.
（3）巧用整體思想
8． 已知，則的值為（　　）
A． B． C．4 D．－4
【答案】C
【知識點】分式的通分；分式的化簡求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =4
故答案為 ： C
【分析】本題考查分式的化簡求值（分式通分和倒數），常用方法有直接代入，變形后整體帶入等。所給等式不能直接求出未知數值，則考慮變形后，整體代入來解題。
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．已知，則與的積為1的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，∴與的積為1的是．
故選：A．
【分析】根據分式的乘法運算法則求解即可
2．小麗在化簡分式時，*部分不小心滴上了墨水，請你推測，*部分的式子應該是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式的約分；分式的乘除法
【解析】【解答】解：，.
故答案為：A.
【分析】根據被除數=商除數，可得，再通過分式的約分、整理即可得到答案.
3．若，則M為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：M=。
故答案為：B。
【分析】根據除法算式各部分之間的關系，可得出M=，然后根據分式除法法則，正確計算即可得出答案。
4．下面是某同學化簡分式的部分計算過程，則在化簡過程中的橫線上依次填入的序號為（　　）
．
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】
故C正確，A、B、D錯誤；
故答案為： C
【分析】分式除法化簡，除法轉化為乘法，分子分母分別分解因式，約分化簡。
5．計算的結果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】.
故答案為：C．
【分析】利用分式乘法運算法則計算求解即可.
6．現有A，B兩個圓，A圓的半徑為(a>6)，B圓的半徑為，則A圓的面積是B圓面積的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由題意得：A圓的面積為，B圓的面積為，
π（）2÷[π（）2]=．
∴ A圓的面積是B圓面積的倍 .
故答案為：B．
【分析】根據圓的面積公式分別表示出A、B兩個圓的面積，進而用A圓面積除以B圓面積，列式求解即可．
7．化簡 的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】首先將各分式的分子和分母進行因式分解，然后進行計算．
∴原式=
【分析】首先將各分式的分子和分母進行因式分解，然后進行計算。
8．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式．
故答案為：D．
【分析】利用分式的除法計算方法求解即可。
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．計算：　 　 ．
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案為：.
【分析】分式的除法，除以一個不為零的數等于乘上這個數的倒數，再運用分式的乘法法則計算即可.
10．計算的結果是　 　.
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案為：
【分析】根據分式的乘除運算即可求出答案.
11．計算：　 　．
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案為：．
【分析】利用分式的乘除法則計算求解即可。
12．計算： 　 　 .
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】 .
故答案是：
【分析】利用分式的除法計算方法求解即可。
13．計算 　 　.
【答案】
【知識點】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案為： .
【分析】首先利用平方差公式以、完全平方公式及提取公因式法對分式的分子、分母進行因式分解，然后將除法化為乘法，接下來進行約分即可.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：由題意知，
．
【知識點】平方差公式及應用；分式的通分；完全平方式
【解析】【分析】解：（1）將m、n直接帶入m2+n2，再運用完全平方公式計算即可；
（2）將原式通分后代入m、n的值，再運用完全平方公式和平方差公式計算即可.
15．計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知識點】分式的乘除法；分式的混合運算
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的計算方法方法和步驟（先將除法變成乘法，再約分，最后將分式的分母相乘作為積的分母，分式的分子相乘作為積的分子）分析求解即可；
（2）有括號先計算括號內的，再計算分式的乘除法（先將除法變成乘法，再約分，最后將分式的分母相乘作為積的分母，分式的分子相乘作為積的分子），最后計算分式的加減法（①分母相同，分子相加減；②分母不同，先通分，再將分子相加減）即可.
（1）解：
．
（2）解：
．
16．閱讀下列 材料，并解答總題：
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：由分母x+1，可設
則
=
∵對于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
這樣，分式就拆分成一個整式與一個分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式為　 　；
（2）已知整數使分式的值為整數，則滿足條件的整數=　 　．
【答案】（1）
（2）16、4、2、-10
【知識點】多項式乘多項式；分式的值；分式的乘除法；分式的加減法
【解析】【解答】解：（1） 由分母x－1，可設
則
=
∵對于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
這樣，分式就拆分成一個整式與一個分式的和的形式．
故答案為：
（2） ，
∴
∴
∴.
當的值為整數時，的值也是整數，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
從而x=16、4、2、-10.
故答案為：16、4、2、-10.
【分析】（1）按照給的例題步驟設，求出a和b的值，然后計算化簡即可.
（2）按照例題的步驟設，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根據題意，當的值為整數時，分母只能取13，1，-1，-13，從而可得對應的x的取值.
17．化簡：
（1）
（2）化簡代數式：，再從，，2，3，中選取一個喜歡的數值代入，并求出代數式的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意義，則且且，
不能為2，，3，
當時，原式．
【知識點】分式的乘除法；分式的化簡求值
【解析】【分析】（1）利用分式的混合運算的計算方法求解即可；
（2）先利用分式的混合運算的計算方法化簡，再將x的值代入計算即可。
18．（1）若，化簡A；
（2）若a滿足，求A值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：滿足，
，即或，
根據（1）的化簡過程可知，則得，
.
【知識點】分式的乘除法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）對第二個分式的分子、分母進行分解，將除法化為乘法，再根據分式的乘法法則即可對原式進行化簡；
（2）利用因式分解法可求出a的值，然后由分式有意義的條件選取一個a值代入計算即可.
19．“雜交水稻之父”袁隆平團隊示范基地的“水稻1號”的試驗田是邊長為a米（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2號”的試驗田是邊長為（a-1）米的正方形，兩塊試驗田的水稻都收獲了1000千克．
（1）試說明哪種水稻的單位面積產量高？
（2）高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？
【答案】（1）解：∵“水稻1號”小麥的試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2號”小麥的試驗田是邊長為（a 1）米的正方形，
∴“水稻1號”小麥的試驗田的面積＝a2 1；
“水稻2號”小麥的試驗田的面積＝（a 1）2，
∵a2 1 （a 1）2＝a2 1 a2＋2a 1＝2（a 1），
由題意可知，a＞1，
∴2（a 1）＞0，
即a2 1＞（a 1）2，
∵兩塊試驗田的水稻都收獲了1000千克，
∴“水稻2號”小麥的試驗田小麥的單位面積產量高；
（2）解：∵“水稻1號”小麥的試驗田的面積＝a2 1；
“水稻2號”小麥的試驗田的面積＝（a 1）2，兩塊試驗田的小麥都收獲了1000千克，
∴“水稻2號”小麥的試驗田小麥的單位面積產量高，
∴=．
答：單位面積產量高是低的倍．
【知識點】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）分別求出兩種水稻的單位面積產量，再比較即可；
（2）利用“水稻2號” 單位面積產量除以“水稻1號” 單位面積產量即得結論.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑