資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性質
學習目標
1.理解并掌握分式的基本性質．
2.理解約分和最簡分式的意義，能夠運用分式的基本性質對分式進行變形．
3.會運用分式的基本性質進行分式的約分和通分．
重點：使學生理解并掌握分式的基本性質，這是學好本章的關鍵.
難點：靈活運用分式的基本性質和變號法則進行分式的恒等變形
老師告訴你
1.約分的關鍵步驟----確定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是單項式，則公因式是它們系數的最大公因數和相同字母的最低次冪的積；
若分子和分母中至少有一個是一個多項式，則先分解因式，再約分。
約分的方法：
把分子和分母寫成公因式與非公因式乘積的形式，約去公因式，結果保留最簡分式或整式。
知識點撥
知識點1 、 分式的基本性質
分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M≠0這個前提條件.
（2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.
【新知導學】
例1-1．下列分式變形從左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
例1-2．下列分式變形中正確的是( )
A. B. C. D.
例1-3．下列各式從左到右的變形正確的是( )
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．下列各式從左向右變形正確的是( )
A. B. C. D.
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
3．利用分式基本性質變形可得,則整式_________.
知識點2 、分式的變號法則
對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數.
注意：
根據分式的基本性質有，.根據有理數除法的符號法則有.分式與互為相反數.分式的符號法則在以后關于分式的運算中起起著重要的作用
例2-1．根據分式的基本性質,分式可變形為( )
A. B. C. D.
例2-2．分式可變形為( )
A. B. C. D.
3．下列各式中,與分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．分式可變形為( )
A. B. C. D.
2．不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3 .對于分式，下列變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
4 .若 成立，求a的取值范圍.
知識點3 、分式的約分及最簡分式
1.與分數的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.
2.最簡分式
如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.
注意：
約分的實質是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.
（2）約分的關鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數的最大公約數與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.
【新知導學】
例3-1．約分：
（1）；
（2）．
例3-2．計算： .
例3-3．約分：
（1） ；
（2） .
【對應導練】
1．下列各式中，是最簡分式的是（　　）
A． B． C． D．
2 .化簡下列分式：
（1）；（2）；（3）
3 .約分：
（1）；
（2）．
二、題型訓練
1.利用分式基本性質化簡
1．化簡：　 　 ．
2．化簡分式的結果是（　　）
A． B． C． D．
3．不改變分式的值，把下列各分式的分子和分母中各項系數化為整數．
（1）；
（2）．
4．已知 ，求 的值．
2.利用分式的基本性質辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道習題：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了還是減小了？”．
嘉嘉想到了“用減去判斷差的正負性”的思路．
淇淇想到了“可以將兩個分式化成分母相同，再比較分子的大小”的思路．
兩人的解題思路都正確．
（1）請你任選一個思路說明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）當所加的這個數為時，所得分式的值　 　填“增大了”或“減小了”．
（3）當所加的這個數為時，你能得到什么結論？請說明理由．
6．在學完分式的基本性質后，小剛和小明兩人對下面兩個式子產生了激烈的爭論：
①，②．
小剛說：“①，②兩式都是對的．”
小明說：“①，②兩式都是錯的．”
他們兩人的說法到底誰對誰錯？為什么？
3.分式的基本性質閱讀理解題
7．材料一：小學時，我們學習了把假分數改寫成帶分數的問題.其實就是把假分數寫成一個整數和一個真分數的和.例如：.
類似的，我們也可以將下面這類分式寫成一個整數與一個新分式的和.
例如：.
.
材料二：為了研究字母a和分式的變化關系，李磊制作了表格，并得到如下數據：
a … 0 1 2 3 4 …
… 無意義 1 …
請根據上述材料完成下列問題：
（1）把分式寫成一個整數和一個新分式的和的形式：　 　；　 　；
（2）當時.隨著a的增大，分式的值　 　（填“增大”或“減小”）；
（3）當時，隨著a的增大，分式的值無限趨近一個數，請寫出這個數，并說明理由.
8 .閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數，如：我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．
如這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）
如：；
解決下列問題：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)將假分式化為帶分式；
(3)如果x為整數，分式的值為整數，求所有符合條件的x的值．
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列式子從左到右變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．若把分式 的x、y同時擴大3倍，則分式值（　　）
A．不變 B．擴大為原來的3倍
C．縮小為原來的 D．擴大為原來的9倍
3．下列分式是最簡分式的(　　)
A． B． C． D．
4．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．與分式相等的是（　　）
A． B． C． D．
7．關于分式 ，下列說法正確的是（　　）
A．分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值也擴大2倍
B．分子、分母的中m擴大2倍，n不變，分式的值擴大2倍
C．分子、分母的中n擴大2倍，m不變，分式的值不變
D．分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值不變
8．將分式 約分后的結果是（　　）.
A． B． C． D．
二、填空題
9．約分：　 　 ．
10．不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數都化為整數，　 　
11．若 ，則 　 　.
12．化簡：　 　．
13．約分：　 　．
三、解答題（共8小題，每小題8分，共48分）
14．當 為何值時，關于 的方程 的解為負數
15．仿照例子，將分式拆分成一個整式與一個分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
16．不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數都是正數．
(1)
(2)．
17．不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “號．
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知數x，y滿足，求的值．
19．已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是a、b、c，滿足，且點C到點A的距離為1個單位長度．
（1）根據題意，求出c的值為__________
（2）若點C在線段AB上，動點M、N兩點分別同時從A、B出發，向x軸正半軸運動．M、N的運動速度分別為4個單位長度/秒、5個單位長度/秒，記點M運動的時間為t秒．當M點運動至點B時，點P才從C點出發，并以10個單位長度/秒的速度向x軸正半軸運動．在運動過程中，如果點Q為線段MN的中點．
①請問的值是否會發生變化？若不變，請求出相應的數值；若變化，請說明理由．
②當點Q到點Р的距離是點Q到點B的距離的倍時，求時間t的值．
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性質
學習目標
1.理解并掌握分式的基本性質．
2.理解約分和最簡分式的意義，能夠運用分式的基本性質對分式進行變形．
3.會運用分式的基本性質進行分式的約分和通分．
重點：使學生理解并掌握分式的基本性質，這是學好本章的關鍵.
難點：靈活運用分式的基本性質和變號法則進行分式的恒等變形
老師告訴你
1.約分的關鍵步驟----確定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是單項式，則公因式是它們系數的最大公因數和相同字母的最低次冪的積；
若分子和分母中至少有一個是一個多項式，則先分解因式，再約分。
約分的方法：
把分子和分母寫成公因式與非公因式乘積的形式，約去公因式，結果保留最簡分式或整式。
知識點撥
知識點1 、 分式的基本性質
分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M≠0這個前提條件.
（2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.
【新知導學】
例1-1．下列分式變形從左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故本選項不符合題意；
B、當時才成立，故本選項不符合題意；
C、，故本選項符合題意；
D、，故本選項不符合題意；
故選：C.
【知識點】分式的基本性質
例1-2．下列分式變形中正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、,故A不符合題意；
B、,故B不符合題意；
C、,故C符合題意；
D、,故D不符合題意；
故選：C.
【知識點】分式的基本性質
例1-3．下列各式從左到右的變形正確的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A.從左到右的變形不正確；
B.從左到右的變形不正確；
C.從左到右的變形不正確；
D.從左到右的變形正確.
故選擇：D.
【知識點】分式的基本性質
【對應導練】
1．下列各式從左向右變形正確的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、分子、分母都加2,分式的值改變,故A錯誤；
,故B正確；
,故C錯誤；
,故D錯誤.
故選：B.
【知識點】分式的基本性質
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故A不成立.
B、，故B不成立.
C、，故C成立.
D、，故D不成立.
故選：C.
【知識點】分式的基本性質
3．利用分式基本性質變形可得,則整式_________.
答案：
解析：,
∴,
故答案為：.
【知識點】分式的基本性質
知識點2 、分式的變號法則
對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數.
注意：
根據分式的基本性質有，.根據有理數除法的符號法則有.分式與互為相反數.分式的符號法則在以后關于分式的運算中起起著重要的作用
例2-1．根據分式的基本性質,分式可變形為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故選：C.
【知識點】分式的基本性質
例2-2．分式可變形為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，故A正確.
故選：A.
【知識點】分式的基本性質
3．下列各式中,與分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析:把分式的分子,分母同時乘以得,
故選D.
【對應導練】
1．分式可變形為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
2．不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
3 .對于分式，下列變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】
故答案為：B.
【分析】根據分式的基本性質：分子分母同時乘以-1，即可求解.
4 .若 成立，求a的取值范圍.
【答案】a≠3.
【知識點】分式的值為零的條件；分式的基本性質
【解析】【解答】等式的左邊可變為 ，從左邊到右邊是利用分式的基本性質，分子和分母都除以a-3，所以要保證a-3≠0，即a≠3.
【分析】本題除了考查分式的基本性質外，還注重了考查分式的值不為0的條件。
知識點3 、分式的約分及最簡分式
1.與分數的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.
2.最簡分式
如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.
注意：
約分的實質是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.
（2）約分的關鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數的最大公約數與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.
【新知導學】
例3-1．約分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=．
（2）解：
=
=
=．
【知識點】分式的約分
【解析】【分析】（1）直接利用分式的基本性質（分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變）化簡得出答案；
（2）直接將分子與分母分解因式，進而化簡得出答案；
（3）公式法分解因式：①完全平方公式：；②平方差公式：.
例3-2．計算： .
【答案】解：
= .
【知識點】分式的約分
【解析】【分析】進行約分即可得到結果.
例3-3．約分：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【知識點】分式的約分
【解析】【分析】（1）觀察分子分母中的公因式是4xy3，再約分，可解答。
（2）先將分子分母分解因式，再約分即可解答。
【對應導練】
1．下列各式中，是最簡分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】最簡分式的概念
2 .化簡下列分式：
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根據分式的基本性質，提取出分子分母的公因式，再同時約去公因式使分式化簡．
【詳解】解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
【點睛】本題考查分式的化簡，找出公因式根據分式的性質進行約分化簡是關鍵．
3 .約分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）找到分子、分母的公因式，根據分式的性質約去公因式即可；
（2）先把分子、分母因式分解，根據分式的性質約去公因式即可．
【詳解】（1）=．
（2）
=
=
=．
【點睛】本題考查約分，約分一定要先找到分子和分母的公因式，對于分子和分母都是多項式的分式，首先要對分子和分母分別進行分解因式．
二、題型訓練
1.利用分式基本性質化簡
1．化簡：　 　 ．
【答案】2a
【知識點】分式的約分
【解析】【解答】 ，
故答案為： 2a.
【分析】分式的約分化簡，把分子分母的公因式約去。
2．化簡分式的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的約分
【解析】【解答】解：
故答案為：B.
【分析】 根據約分的方法化簡題目中的式子，即可得出答案。
3．不改變分式的值，把下列各分式的分子和分母中各項系數化為整數．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知識點】分式的基本性質
4．已知 ，求 的值．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得
= = ，
∵ ﹣ =3，
∴原式= = ．
故 的值為
【知識點】分式的基本性質；分式的混合運算
【解析】【分析】根據分式的基本性質，分式的分子分母都除以ab，分式的值不變，再把 ﹣ 換成﹣3計算即可．
2.利用分式的基本性質辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道習題：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了還是減小了？”．
嘉嘉想到了“用減去判斷差的正負性”的思路．
淇淇想到了“可以將兩個分式化成分母相同，再比較分子的大小”的思路．
兩人的解題思路都正確．
（1）請你任選一個思路說明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）當所加的這個數為時，所得分式的值　 　填“增大了”或“減小了”．
（3）當所加的這個數為時，你能得到什么結論？請說明理由．
【答案】（1）解：琪琪的思路：，
，
∵m>n>0，∴mn+m>mn+n，m(m+1)>0，
∴
即：
所以分式的值增大了。
（2）增大了
（3）解：當所加的這個數為時，所得分式的值增大了，
理由：，
，
，，
，
，
即所得分式的值增大了．
【知識點】分式的基本性質；分式的加減法
【解析】【解答】解：⑵、，
∵m>n>0，∴2n-2m<0，m(m+2)>0，
∴，
∴
∴分式的值增大了。
【分析】分式大小的比較，方法一比差法，若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a方法二，利用同分母分式比較大小，同分母（分母大于零）分式，分子大時，分式也大；同分母（分母小于零），分子大的反而小。
6．在學完分式的基本性質后，小剛和小明兩人對下面兩個式子產生了激烈的爭論：
①，②．
小剛說：“①，②兩式都是對的．”
小明說：“①，②兩式都是錯的．”
他們兩人的說法到底誰對誰錯？為什么？
【答案】兩人的說法都是錯的，見解析
【分析】本題考查了分式的性質，掌握分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式仍成立是解題關鍵．根據分式的性質分析即可．
【詳解】解：他們兩人的說法都是錯的．
①式是對的，
左邊的分式是一定有意義的，
，
分式的分子、分母同時除以，分式的值不變．
②式是錯的，
分式的分子、分母同時乘，這里的有可能為，
分式的值可能改變．
3.分式的基本性質閱讀理解題
7．材料一：小學時，我們學習了把假分數改寫成帶分數的問題.其實就是把假分數寫成一個整數和一個真分數的和.例如：.
類似的，我們也可以將下面這類分式寫成一個整數與一個新分式的和.
例如：.
.
材料二：為了研究字母a和分式的變化關系，李磊制作了表格，并得到如下數據：
a … 0 1 2 3 4 …
… 無意義 1 …
請根據上述材料完成下列問題：
（1）把分式寫成一個整數和一個新分式的和的形式：　 　；　 　；
（2）當時.隨著a的增大，分式的值　 　（填“增大”或“減小”）；
（3）當時，隨著a的增大，分式的值無限趨近一個數，請寫出這個數，并說明理由.
【答案】（1）；
（2）減小
（3）解：2，理由如下：
∵，
隨著的增大，的值越來越小，
∴隨著a的增大，分式的值無限趨近于2.
【知識點】分式的值；分式的約分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案為：；；
（2）當時，，
當時，，
當時，，……
∵
∴當a增大時，的值越來越小.
故答案為：減小；
【分析】（1），，化簡即可；
（2）分別求出a=2、3、4時分式的值，然后進行比較即可解答；
（3），隨著a的增大，的值越來越小，據此解答.
8 .閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數，如：我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．
如這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）
如：；
解決下列問題：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)將假分式化為帶分式；
(3)如果x為整數，分式的值為整數，求所有符合條件的x的值．
【答案】解：（1）真分式；
（2）∵，
∴分式化為帶分式的結果為：；
（3）∵，且的值為整數，
∴的值為整數，
又∵的值為整數，
∴，
解得：或，
即的整數值為：0或2.
【知識點】分式的基本性質；分式的化簡求值-拆項變形法
【解析】【解答】解：（1）由“真分式、假分式”的定義可知，分式是真分式；
故答案為：真分式
【分析】（1）由“真分式、假分式”的定義即可求出答案.
（2）根據題意將分式的分子化為即可把原分式化為帶分式.
（3）將分式化成帶分式的形式可得：，由原分式的值為整數，可得的值為整數，由此即可分析得到整數的值.
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列式子從左到右變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：A、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意，A錯誤；
B、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意，B錯誤；
C、，原式變形正確，符合題意，C正確；
D、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意，D錯誤；
故選：C．
【分析】本題考查分式的基本性質.當m與n異號時可得：與不一定相等，據此可判斷A選項；根據，據此可判斷B選項；直接將-1提到前可得：，據此可判斷C選項；根據與不一定相等，據此可判斷D選項.
2．若把分式 的x、y同時擴大3倍，則分式值（　　）
A．不變 B．擴大為原來的3倍
C．縮小為原來的 D．擴大為原來的9倍
【答案】B
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解： ，
分式值擴大3倍．
故答案為：B．
【分析】將 ， 擴大3倍，即將 ， 用 ， 代替，就可以解出此題．
3．下列分式是最簡分式的(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】最簡分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵屬于最簡分式，∴A符合題意；
B、∵，∴B不符合題意；
C、∵，∴C不符合題意；
D、∵，∴D不符合題意；
故答案為：A.
【分析】利用最簡分式的定義（分式的分子和分母除1以外，沒有其它的公因式，這樣的分式叫最簡分式）逐個分析判斷即可．
4．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：A、∵當a≠b時，原式不成立，∴A錯誤；
B、∵，∴原式不成立，∴B錯誤；
C、∵，∴原式不成立，∴C錯誤；
D、∵，∴原式成立，∴D正確．
故答案為：D.
【分析】利用分式的基本性質（分式的分子、分母同時乘以或除以一個不等式的數或等式，分式的值不變）逐項分析求解即可.
5．下列各式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】分式的基本性質；分式的約分
【解析】【解答】解：A、∵只有當a=b時，，∴A不正確；
B、∵當a=2、b=3時，則，∴B不正確；
C、∵當x=2，y=3時，則，∴C不正確；
D、∵，∴D正確；
故答案為：D.
【分析】利用分式的基本性質及特殊值法逐項分析判斷即可.
6．與分式相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：，
故答案為：B．
【分析】利用分式的基本性質逐項判斷即可。
7．關于分式 ，下列說法正確的是（　　）
A．分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值也擴大2倍
B．分子、分母的中m擴大2倍，n不變，分式的值擴大2倍
C．分子、分母的中n擴大2倍，m不變，分式的值不變
D．分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值不變
【答案】D
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：A、 ，故分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值不變，故該說法不符合題意；
B、 ，故分子、分母的中m擴大2倍，n不變，分式的值沒有擴大2倍，故該說法不符合題意；
C、 ，故分子、分母的中n擴大2倍，m不變，分式的值發生變化，故該說法不符合題意；
D、 ，故分子、分母中的m、n均擴大2倍，分式的值不變，符合題意；
故答案為：D．
【分析】A、將分式中的m、n分用2m、2n替換，再求出分式的值，最后比較即可；
B、將分式中的m用2m替換，再求出分式的值，最后比較即可；
C、將分式中的n用2n替換，再求出分式的值，最后比較即可；
D、將分式中的m、n分用2m、2n替換，再求出分式的值，最后比較即可.
8．將分式 約分后的結果是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式的約分
【解析】【解答】解： .
故答案為：A.
【分析】分子、分母的公因式是2a，分子、分母都除以2a得到最簡分式.
二、填空題
9．約分：　 　 ．
【答案】
【知識點】分式的約分
【解析】【解答】原式=.
故答案為：．
【分析】找到分子分母的公因式約分即可.
10．不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數都化為整數，　 　
【答案】（答案不唯一）
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：把分式的分子分母同時乘以10得，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
【分析】本題考查分式的基本性質. 根據分式的性質：分式的分子和分母只能同時乘或除以一個不等于0 的數或整式，分式的值不變，據此把分式的分子分母同時乘以10，再進行化簡可求出答案．
11．若 ，則 　 　.
【答案】8
【知識點】代數式求值；分式的基本性質；分式的化簡求值
【解析】【解答】∵ 可化為 ， 化為
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化為 ，再將 化為 ，然后代入即可解答。
12．化簡：　 　．
【答案】
【知識點】分式的約分
【解析】【解答】解： .
故答案為：.
【分析】根據分式的基本性質進行約分即可得出答案。
13．約分：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的約分
【解析】【解答】解：由題意得，
故答案為：
【分析】根據平方差公式、提公因式進行運算，進而進行約分即可求解。
三、解答題（共8小題，每小題8分，共48分）
14．當 為何值時，關于 的方程 的解為負數
【答案】解：
去分母，得： ，
去括號，得： ，
移項、合并同類項，得： ，
解得： ，
∵方程的解為負數，且使得分式有意義，
∴ ，解得 且 ．
【知識點】分式的基本性質；解分式方程
【解析】【分析】根據分式的基本性質，解出分式方程的解，根據解為負數，即可得到關于k的不等死，求出k的值即可。
15．仿照例子，將分式拆分成一個整式與一個分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
【答案】=
【知識點】分式的約分；分式的化簡求值
【解析】【分析】根據題意，對分子進行化簡，運用平方
16．不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數都是正數．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了分式的基本性質，能夠熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
（1）對分式的分子分母均乘以即可；
（2）將分式的分子部分提取即可．
【詳解】（1）解：原式
;
（2）解: 原式
．
17．不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “號．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查的是分式的變形，掌握分式的基本性質是解決此題的關鍵．
（1）根據分式的基本性質變形即可；
（2）根據分式的基本性質變形即可；
（3）根據分式的基本性質變形即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
18．已知數x，y滿足，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了分式的加減法，求分式的值，得到是解題的關鍵．
由去分母得到，代入即可求得答案．
【詳解】解： x，y滿足，
，
．
19．已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是a、b、c，滿足，且點C到點A的距離為1個單位長度．
（1）根據題意，求出c的值為__________
（2）若點C在線段AB上，動點M、N兩點分別同時從A、B出發，向x軸正半軸運動．M、N的運動速度分別為4個單位長度/秒、5個單位長度/秒，記點M運動的時間為t秒．當M點運動至點B時，點P才從C點出發，并以10個單位長度/秒的速度向x軸正半軸運動．在運動過程中，如果點Q為線段MN的中點．
①請問的值是否會發生變化？若不變，請求出相應的數值；若變化，請說明理由．
②當點Q到點Р的距離是點Q到點B的距離的倍時，求時間t的值．
【答案】（1）﹣9或﹣7；（2）①不變，；②
【分析】（1）根據非負數的性質可求出a、b，然后根據點C到點A的距離為1個單位長度即可求出點C表示的數，進而可得c的值；
（2）①先根據題意畫出圖形，然后即可依次用含t的代數式表示出AN、MN和CQ，再代入原式化簡即得結果；
②先求出M點運動至點B時的用時，然后分點P在點Q左側與點P在點Q右側兩種情況，分別用含t的代數式表示出PQ與QB，進而可得關于t的方程，解方程即得結果．
【詳解】解：（1）因為，
所以a+8=0，b－12=0，
所以a=﹣8，b=12；
所以點A表示的數是﹣8，
因為點C到點A的距離為1個單位長度，
所以點C表示的數是﹣9或﹣7，即c=﹣9或﹣7；
故答案為：﹣9或﹣7；
（2）的值不會發生變化，且；理由如下：
因為點C在線段AB上，所以點C表示的數是﹣7，
如圖，根據題意可得：AB=20，CB=19，AM=4t，BN=5t，
所以AN=20+5t，MN=AN－AM=20+5t－4t=20+t，
因為點Q為MN的中點，所以，
所以，
所以；
②M點運動至點B時用了20÷4=5秒，
當點P在點Q左側時，，，
根據題意得：，即，解得：；
當點P在點Q右側時，，，
由得，解得：（舍去）；
綜上，當點Q到點Р的距離是點Q到點B的距離的倍時，．
【點睛】本題考查了數軸、非負數的性質、數軸上兩點間的距離、一元一次方程的應用以及分式的化簡等知識，綜合性較強、具有相當的難度，正確理解題意、靈活應用相關知識和數形結合思想是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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