資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.1.1 從分數到分式
學習目標
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件．
3.能熟練地求出分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件．
重點：了解分式的概念，確定分式有意義的條件.
難點：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件.
老師告訴你
1.分式值為0的條件：
分式的分子為0，并且分母不為0
分式值為0的解題步驟：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母檢驗其是否等于0.
知識點撥
知識點1 、 分式的概念
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式與分數的類比理解：
1、分式的形式和分數類似，但它們是有區別的.分數是整式，不是分式，分式是兩個
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分數的分子、分母中都不含字母.
2、分式與分數是相互聯系的：由于分式中的字母可以表示不同的數，所以分式比分數
更具有一般性；分數是分式中字母取特定值后的特殊情況.
3、分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區別，是整式，即只看形式，
【新知導學】
例1-1．下列代數式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
例1-2．下列各式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．在、、、、、中，分式的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，，，.
知識點2、 分式有意義，無意義的條件
1.分式有意義的條件：分母不等于零.
2.分式無意義的條件：分母等于零.
特別指出
分式有無意義與分母有關但與分子無關，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.
本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.
必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.
【新知導學】
例2-1 .分式有意義的條件是( )
A. B. C. D.
例2-2．要使分式無意義,則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1. .x滿足什么條件時下列分式有意義？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．當______時，分式無意義.
3 .當　 　時，分式無意義．
4 .若分式有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
.
知識點3、 分式值為0的條件
1 .分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.
2.分式值為0的解題步驟：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母檢驗其是否等于0.
【新知導學】
例3-1．若分式 的值為0，則x的值是　 　.
例3-2．分式，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【對應導練】
1．已知分式，則　 　．
2．當x　 　時，分式 的值為零.
二、題型訓練
1.利用分式定義識別分式
1．在式子 ， ， ， ， 中，分式的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．下列代數式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2.利用分式值為0的條件求字母的值
3．當　 　時，分式．
4．若分式的值為，則的值是　 　．
5．已知分式（a，b為常數）滿足表格中的信息，則下列結論中錯誤的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 無解
A．； B．； C．； D．.
6．已知分式，當取時，該分式的值為0；當取時，分式無意義，則的值等于　 　．
3.利用分式的特殊值求字母的值
7．當x為何值時，分式的值為1？當x為何值時，分式的值為-1？
8．已知當時,分式無意義；當時,此分式的值為0.
(1)求a,b的值.
(2)當分式的值為正整數時,求整數x的值.
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1． 下列代數式 其中屬于分式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．若分式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
3．用整式，，組成的代數式有，，，，，（所有式子中的），其中屬于分式的有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
4．若分式的值為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．若分式 的值為負數，則x的取值范圍是（　　）
A．x為任意數 B． C． D．
6．若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
7．如圖，若x為正整數，則表示分式的值落在（　　）
A．線①處 B．線②處 C．線③處 D．線④處
8．下列結論：①無論a為何實數，都有意義；②當時， 分式的值為0；③若的值為負， 則x的取值范圍是； ④若有意義，則x的取值范圍是且.其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．分式有意義，則字母m滿足的條件是　 　．
10．若分式的值為正，則x的取值范圍是　 　．
11．如果分式有意義，那么的取值范圍是　 　，如果分式的值為零，那么　 　，如果有意義，那么　 　．
12．當x　 　時，分式無意義.
13．當=　 　時，分式的值是零．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14． 當x為何值時，分式的值為零？
15．已知x＝﹣4時，分式 無意義，x＝2時，此分式的值為零，求分式 的值．
16．已知：代數式
（1）當m為何值時，該式無意義？
（2）若該式的值為正數，求m的取值范圍；
17．若a，b為實數，且 ，求3a﹣b的值.
18．是否存在x，使得當y＝5時，分式 的值為0 若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
19．已知分式，回答下列問題．
（1）若分式無意義，求x的取值范圍；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正數，求x的取值范圍．
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.1.1 從分數到分式
學習目標
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件．
3.能熟練地求出分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件．
重點：了解分式的概念，確定分式有意義的條件.
難點：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件.
老師告訴你
1.分式值為0的條件：
分式的分子為0，并且分母不為0
分式值為0的解題步驟：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母檢驗其是否等于0.
知識點撥
知識點1 、 分式的概念
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式與分數的類比理解：
1、分式的形式和分數類似，但它們是有區別的.分數是整式，不是分式，分式是兩個
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分數的分子、分母中都不含字母.
2、分式與分數是相互聯系的：由于分式中的字母可以表示不同的數，所以分式比分數
更具有一般性；分數是分式中字母取特定值后的特殊情況.
3、分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區別，是整式，即只看形式，
【新知導學】
例1-1．下列代數式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、是單項式,屬于整式,故選項不符合題意；
B、是多項式,屬于整式,故選項不符合題意；
C、是分式,故選項符合題意；
D、是多項式,屬于整式,故選項不符合題意.
故選：C.
【知識點】分式的概念
例1-2．下列各式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.是整式,故選項不符合題意；
B.是整式,故選項不符合題意；
C.是整式,故選項不符合題意；
D.是分式,故選項符合題意；
故選：D.
【知識點】分式的概念
【對應導練】
1．在、、、、、中，分式的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：、、、的分母中均不含有字母，因此它們是整式，不是分式，
、的分母中含有字母，因此是分式，
故分式的個數是2，
故選：A.
【知識點】分式的概念
2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，，，.
答案：見解析
解析：整式：，，，.
分式：，，，，.
【知識點】分式的概念
知識點2、 分式有意義，無意義的條件
1.分式有意義的條件：分母不等于零.
2.分式無意義的條件：分母等于零.
特別指出
分式有無意義與分母有關但與分子無關，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.
本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.
必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.
【新知導學】
例2-1 .分式有意義的條件是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵分式有意義,
∴,
∴.
故選D.
【知識點】分式有無意義的條件
例2-2．要使分式無意義,則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據題意得：,
.
故選：A.
【知識點】分式有無意義的條件
【對應導練】
1. .x滿足什么條件時下列分式有意義？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）當，即時，有意義；
（2）當，即時，有意義；
（3）當，即時，有意義；
（4）當，即時，有意義.
2．當______時，分式無意義.
答案：
解析：分式無意義，
，解得.
故答案為：.
【知識點】分式有無意義的條件
3 .當　 　時，分式無意義．
【答案】-2
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】∵分式無意義，
∴a+2=0，
解得：a=-2，
故答案為：-2.
【分析】利用分式無意義的條件可得a+2=0，再求出a的值即可.
4 .若分式有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：根據題意得：．
解得：．
故答案為：A．
【分析】先利用分式有意義的條件可得，再求出x的取值范圍即可.
知識點3、 分式值為0的條件
1 .分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.
2.分式值為0的解題步驟：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母檢驗其是否等于0.
【新知導學】
例3-1．若分式 的值為0，則x的值是　 　.
【答案】0
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：∵分式 的值為0，
∴x＝0.
將x＝0代入x+1＝1≠0.
當x＝0時，分式分式 的值為0.
故答案為：0.
【分析】分式值為0的條件：分子為0且分母不為0，據此解答即可.
例3-2．分式，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：分式 ，
且，
解得：x=1.
故答案為：A.
【分析】根據分式的值為零，則分子為零，且分母不為零即可解答.
【對應導練】
1．已知分式，則　 　．
【答案】
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：x=-2，
故答案為：-2.
【分析】利用分式的值為0的條件：①分子為0，②分母不為0，列出方程和不等式求解即可.
2．當x　 　時，分式 的值為零.
【答案】= -3
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：根據題意，
∵分式 的值為零，
∴ ，
∴ ；
故答案為： .
【分析】根據分式值為0的條件：分子等于0且分母不為0，可得關于x的方程與不等式，求解就可得到x的值.
二、題型訓練
1.利用分式定義識別分式
1．在式子 ， ， ， ， 中，分式的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】解： ， ， 這3個式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，
故答案為：B．
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
2．下列代數式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】A、不為分式，本項不符合題意；
B、不為分式，本項不符合題意；
C、為分式，本項符合題意；
D、為分式，則本項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據分式的定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中A稱為分子，B稱為分母，據此逐項分析即可.
2.利用分式值為0的條件求字母的值
3．當　 　時，分式．
【答案】-3
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】∵，
∴，
解得：x=-3，
故答案為：-3.
【分析】利用分式的值為0的條件可得，再求出x的值即可.
4．若分式的值為，則的值是　 　．
【答案】1
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：∵的值為，
∴x2-1=0，且（x-2）(x+1)0，
∴x=且x2或-1，
∴x=1；
故答案為：1
【分析】考查分式值為0的條件，分子等于0且分母不等于0，列式求解即可.
5．已知分式（a，b為常數）滿足表格中的信息，則下列結論中錯誤的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 無解
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【知識點】分式的值為零的條件；分式的值
【解析】【解答】解：當x=2時，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合題意；
當x=-2時，分式無解，即無解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合題意；D不符合題意；
將a=-2、b=-4代入分式得：，
當x=m時，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合題意；
故答案為：B.
【分析】將表中的三組數據分別代入分式，分別求出a、b、m的值，即可得出答案.
6．已知分式，當取時，該分式的值為0；當取時，分式無意義，則的值等于　 　．
【答案】1
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】當分式的值是零時，根據題意得，x+1=0 且2-x≠0 解得：x=-1 即a=-1
分式無意義時，根據題意得 2-x=0 解得：x=2 即b=2 則：a+b=1 . 故答案為： 1 .
【分析】首先根據分式值是零的條件以及無意義的條件求出a ，b的值，然后代入代數式求值即可。
3.利用分式的特殊值求字母的值
7．當x為何值時，分式的值為1？當x為何值時，分式的值為-1？
答案：因為分式的值為1，
所以，解得.
當時，，故.
因為分式的值為-1，
所以這個分式的分子、分母互為相反數，
即，解得.
當時，，故.
解析：
8．已知當時,分式無意義；當時,此分式的值為0.
(1)求a,b的值.
(2)當分式的值為正整數時,求整數x的值.
答案：(1),
(2)整數x的值為0,1,3
解析：(1)當時,分式無意義,
,
解得,
當時,此分式的值為0,
,
解得,
(2),,
,
當,,
,,
,,
綜上,整數x的值為0,1,3.
三、課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1． 下列代數式 其中屬于分式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】解：根據題意可得：屬于分式，共3個，
故答案為：B.
【分析】利用分式的定義（一般地，如果A、B（B不等于0）表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫作分式）分析求解即可.
2．若分式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：∵分式在實數范圍內有意義，
∴x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案為：A.
【分析】利用分式有意義的條件（分母不為0）列出不等式求解即可.
3．用整式，，組成的代數式有，，，，，（所有式子中的），其中屬于分式的有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】解：根據分式定義可得：
符合分式定義，是分式；
不符合分式定義，不是分式；
符合分式定義，是分式；
不符合分式定義，不是分式；
不符合分式定義，不是分式；
不符合分式定義，不是分式．
屬于分式的有個．
故選：A．
【分析】根據分式定義（如果、表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）對代數式進行逐一判斷
4．若分式的值為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：由題意得，
解得x=3
故答案為：D.
【分析】根據分式值為零的條件“分子等于零且分母不為零”建立混合組，求解即可.
5．若分式 的值為負數，則x的取值范圍是（　　）
A．x為任意數 B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的值；偶次方的非負性
【解析】【解答】解：∵分式 的值為負數，而分母x2+4>0，
∴2x-5<0，
解得 .
故答案為：B.
【分析】根據分式的值為負數可得分子、分母異號，由分母為正數可得分子為負數，從而列出不等式求解可得x的范圍.
6．若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【答案】A
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：由題意得，
∴x=3，
故答案為：A
【分析】根據分式值為零和分式有意義的條件結合題意即可得到，進而即可求解。
7．如圖，若x為正整數，則表示分式的值落在（　　）
A．線①處 B．線②處 C．線③處 D．線④處
【答案】B
【知識點】分式的值；分式的約分
【解析】【解答】解： 原式=，是正整數，分子比分母小1，當時取最小值等于，，故表示這個數的點落在線②處.
故答案為：B.
【分析】先將分式因式分解，然后約分，再對分式的值進行估算，即可得到答案.
8．下列結論：①無論a為何實數，都有意義；②當時， 分式的值為0；③若的值為負， 則x的取值范圍是； ④若有意義，則x的取值范圍是且.其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件；偶次方的非負性
【解析】【解答】解：①，
，故無論a為何實數，都有意義，①正確；
②當時 ，，分母為0分式無意義，②錯誤；
③，
若分式的值為負，則，
，③正確；
④有意義 ，
，
解得：，④錯誤.
綜上所述，正確的有兩個.
故答案為：B.
【分析】①，可知無論a為何實數，都有意義，即可判斷；②當時，，分母為0分式無意義，即可判斷；③先判斷的符號為正，再根據兩數相除，同號得正，異號得負，得到，求解即可得到x的取值范圍；④根據分式有意義的條件為分母不等于零，即，解不等式即可判斷④錯誤.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．分式有意義，則字母m滿足的條件是　 　．
【答案】
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：如果 分式有意義 ，則分母必不為0，所以，解得：；
故答案為：。
【分析】本題考查的是分式成立的條件.分式有意義條件：分母不為0.
10．若分式的值為正，則x的取值范圍是　 　．
【答案】且
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值；解一元一次不等式
【解析】【解答】∵的值為正，
又∵，
∴且，
且，
故答案為：且．
【分析】本題考查分式的性質.根據平方具有非負性可得：，再根據分式的值為正，分母不等于0可得：且，解不等式組可求出x的取值范圍.
11．如果分式有意義，那么的取值范圍是　 　，如果分式的值為零，那么　 　，如果有意義，那么　 　．
【答案】；；
【知識點】分式有無意義的條件；零指數冪
【解析】【解答】解：由題意可得：當分式有意義時，分母不能為零，
則，
解得：；
當分式的值為零時，則分子為零，分母不為零，
∴
解得：；
當有意義時，，
即，
故答案為：、、．
【分析】本題考查分式有意義的條件，零指數冪的運算法則．根據分式有意義條件；分母不能為零，據此可得，解不等式可求出答案；根據分式等于0的條件：分母不為0，分子等于0，據此可列出不等式，解不等式可求出x的值，進而求出答案；根據零次冪有意義的條件：底數不為0，據此可列出不等式，解不等式可求出答案．
12．當x　 　時，分式無意義.
【答案】
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：分式無意義，
，
解得：．
故答案為：．
【分析】分式無意義的條件是分母為零，據此求解．
13．當=　 　時，分式的值是零．
【答案】1
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由題意得，
解得x=1，
∴當=1時，分式的值是零．
故答案為：1
【分析】根據分式值為0結合分式有意義的條件解一元二次方程即可求解。
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14． 當x為何值時，分式的值為零？
【答案】解：∵的值為零，
∴|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0，
解得：x＝±2，
當x＝2時，x2+5x+6＝20≠0，
當x＝﹣2時，x2+5x+6＝0，故舍去．
綜上：x＝2．
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【分析】根據分式的值為0的條件：分子為0，分母不等于0得到|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0， 解得x的值并取符合題意的x的值即可求解.
15．已知x＝﹣4時，分式 無意義，x＝2時，此分式的值為零，求分式 的值．
【答案】解：∵分式無意義， ∴2x+a＝0
即當x＝﹣4時，2x+a＝0．
解得a＝8
∵分式的值為0， ∴x﹣b＝0，
即當x＝2時，x﹣b＝0．
解得b＝2 ∴ ．
【知識點】分式有無意義的條件；分式的化簡求值
【解析】【分析】由分式無意義，可求出a的值，由分式的值為0，可求出b的值．把a、b的值代入分式中求值即可．
16．已知：代數式
（1）當m為何值時，該式無意義？
（2）若該式的值為正數，求m的取值范圍；
【答案】（1）解：由題意得，當時，代數式無意義；
所以時，該式無意義.
（2）解：由題意得，該式的值為正數時，，即m＞－1.
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值
【解析】【分析】（1）根據分式無意義的條件可得，再求出m的值即可；
（2）根據分式的值為正數可得，再求出m的取值范圍即可.
17．若a，b為實數，且 ，求3a﹣b的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴3a﹣b=6﹣4=2.
故3a﹣b的值是2.
【知識點】分式的值為零的條件；非負數之和為0
【解析】【分析】根據分式的值為0，則分子等于且分母不為0及非負數的和為0，則每一個數都為0可得，據此求出a、b的值，然后代入計算即可.
18．是否存在x，使得當y＝5時，分式 的值為0 若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】解：不存在．
對于分式 ， 當 時，分式 的值為0，
而當x＋5＝0時，x＝－5，x2－25＝0，
故不存在這樣的x值使分式 的值為0．
【知識點】分式有無意義的條件；分式的值為零的條件
【解析】【分析】由y=5，結合分式的值為零的條件，可得x+5=0，同時x2-25≠0，據此即可解答。
19．已知分式，回答下列問題．
（1）若分式無意義，求x的取值范圍；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正數，求x的取值范圍．
【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【分析】
（1）分式無意義，分母值為零，進而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值為零，分子為零，分母不為零，進而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值為正數，則分子分母同號，進而可得兩個不等式組，再解即可．
【詳解】
解：（1）由題意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由題意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由題意得：①，
此不等式組無解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正數時，＜x＜1．
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