資源簡介

第二單元 《分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算》 單元復(fù)習(xí)講義（講義）
（結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖+素養(yǎng)目標(biāo)+知識(shí)梳理+易錯(cuò)集錦+典例精講+專項(xiàng)精練）
（高清導(dǎo)圖，放大更清晰。）
一、核心素養(yǎng)目標(biāo)：
1、能夠理解分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的意義，掌握分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基本規(guī)則。
2、發(fā)展邏輯推理能力，能夠正確處理分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中的運(yùn)算順序和運(yùn)算律。
3、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算問題并解決。
4、增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，通過分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算解決生活中的實(shí)際問題。
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、掌握分?jǐn)?shù)加減乘除的運(yùn)算規(guī)則，能夠熟練進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。
2、理解并應(yīng)用運(yùn)算順序，能夠正確處理包含多種運(yùn)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
3、能夠運(yùn)用分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算解決涉及比例、百分比等實(shí)際問題。
4、學(xué)會(huì)使用括號(hào)改變運(yùn)算順序，并能正確運(yùn)用乘法分配律等運(yùn)算定律簡化計(jì)算。
5、培養(yǎng)檢查和評(píng)估自己運(yùn)算結(jié)果的習(xí)慣，確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和合理性。
1、連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少及連乘的運(yùn)算順序
(1) 解決“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問題，用連乘計(jì)算。
(2)分?jǐn)?shù)連乘的運(yùn)算順序與整數(shù)連乘的運(yùn)算順序相同：沒有括號(hào)的，按從左到右的順序計(jì)算；有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。
2、分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序
(1)分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)乘除混合運(yùn)算的順序一樣：沒有括號(hào)的，按從左到右的順序計(jì)算；有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。計(jì)算過程中，能約分的要先約分，再計(jì)算。
(2)根據(jù)“除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，可以把分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算或分?jǐn)?shù)連除直接轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)連乘進(jìn)行計(jì)算。
1、求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少
“求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少”的解題方法:
方法1:所求的量=單位“1”的量+單位“1”的量 x 比單位“1”多的分率；
方法2:所求的量=單位“1”的量 x (1+比單位“1”多的分率)。
2、已知總量和其中一部分量占總量的幾分之幾，求另一部分量
已知總量和其中一部分量所占的分率，求另一部分量有兩種方法：
方法 1:另一部分量 = 總量 - 總量X部分量所占的分率;
方法 2:另一部分量=總量X (1-部分量所占的分率)。
3、整數(shù)乘法運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的運(yùn)用
整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)運(yùn)算同樣適用。在分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中，運(yùn)用運(yùn)算律可以使計(jì)算簡便。
1、已知比一個(gè)數(shù)多 (或少) 幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)
“已知比一個(gè)數(shù)多(或少) 幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的解題方法：設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，根據(jù)等量關(guān)系列方程求解。
等量關(guān)系1: 多 (或少)的幾分之幾=已知量；
等量關(guān)系2:=已知量。
2、已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
“已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量”的解題方法：
方法1: 設(shè)總量為未知數(shù)，根據(jù)“總量 - 總量×一部分量占總量的幾分之幾= 另一部分量”列方程解答;
方法 2: 設(shè)總量為未知數(shù)，根據(jù)“總量× (1-一部分量占總量的幾分之幾)=另一部分量”列方程解答。
誤區(qū)點(diǎn)撥：
（1）在進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)運(yùn)算律理解不透。例如，9 ÷ + 9÷ = 9÷（ + ），錯(cuò)誤地將除數(shù)合并。
（2）整數(shù)的運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中同樣適用。對(duì)于含有除法的，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為乘法，再計(jì)算。例如，9÷ + 9 ÷ =9 × 9 + 9 × =9×（9 + ）= 。
誤區(qū)點(diǎn)撥：
（1）在有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題中，經(jīng)常把帶單位的具體量當(dāng)作分率來計(jì)算。
（2）帶有單位的分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量，不帶有單位的分?jǐn)?shù)表示分率。
【典例精講1】（24-25六年級(jí)上·福建泉州·期中）學(xué)校舉行“高歌百年路·奮進(jìn)新時(shí)代”慶“七一”歌詠比賽。經(jīng)過評(píng)選，獲得一等獎(jiǎng)的有6人，是參賽總?cè)藬?shù)的；獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的。獲得二等獎(jiǎng)的有多少人？請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系式，再解答。
【答案】獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)÷×＝獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)
12人
【分析】把參賽總?cè)藬?shù)看作單位“1”，獲得一等獎(jiǎng)的6人是參賽總?cè)藬?shù)的，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出參賽總?cè)藬?shù)；
已知獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的，把參賽總?cè)藬?shù)看作單位“1”，單位“1”已知，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)。
【詳解】獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)÷×＝獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)
6÷×
＝6×6×
＝36×
＝12（人）
答：獲得二等獎(jiǎng)的有12人。
【典例精講2】（24-25六年級(jí)上·遼寧·期中）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，陽光小學(xué)舉行了“向黨獻(xiàn)禮”手繪報(bào)比賽，共150幅作品，其中五、六年級(jí)作品占全部作品的，一、二年級(jí)作品占五、六年級(jí)作品的，一、二年級(jí)作品有多少幅？
【答案】20幅
【分析】把作品的總數(shù)看作單位“1”，已知五、六年級(jí)作品占全部作品的，單位“1”已知，用作品的總數(shù)乘，求出五、六年級(jí)的作品數(shù)量；
已知一、二年級(jí)作品占五、六年級(jí)作品的，是把五、六年級(jí)的作品數(shù)量看作單位“1”，單位“1”已知，用五、六年級(jí)的作品數(shù)量乘，求出一、二年級(jí)的作品數(shù)量。
【詳解】150××
＝90×
＝20（幅）
答：一、二年級(jí)作品有20幅。
【典例精講3】（23-24六年級(jí)上·四川成都·期末）學(xué)校圖書室購進(jìn)一批圖書，其中童話書有1500本，故事書的本數(shù)是童話書的，漫畫書的本數(shù)是故事書的，這批圖書中有多少本漫畫書？
【答案】400本
【分析】將童話書本數(shù)看作單位“1”，童話書本數(shù)×故事書對(duì)應(yīng)分率＝故事書本數(shù)；再將故事書本數(shù)看作單位“1”，故事書本數(shù)×漫畫書對(duì)應(yīng)分率＝漫畫書本數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】（本）
答：這批圖書中有400本漫畫書。
【典例精講4】（22-23六年級(jí)上·陜西漢中·期末）為貫徹習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”理念，學(xué)校在植樹節(jié)組織全校師生參加義務(wù)植樹活動(dòng)，原計(jì)劃植樹600棵，實(shí)際比原計(jì)劃多植了，實(shí)際植樹多少棵？
【答案】760棵
【分析】把原計(jì)劃植樹的棵數(shù)看作單位“1”，實(shí)際植樹是原計(jì)劃的（1＋），求實(shí)際植樹的棵數(shù)，用原計(jì)劃植樹的棵數(shù)×（1＋），即可解答。
【詳解】600×（1＋）
＝600×
＝760（棵）
答：實(shí)際植樹760棵。
【點(diǎn)睛】熟練掌握求比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵。
【典例精講5】（23-24六年級(jí)上·陜西西安·期末）某路段為了防止內(nèi)澇，需要挖一條1200米長的下水道，第一周挖了總長的，比第二周挖的長度短，第二周挖了多少米？
【答案】210米
【分析】把下水道的總長度看作單位“1”，第一周挖了總長的，用下水道的總長度×，求出第一周挖的長度，再把第二周挖的長度看作單位“1”，第一周挖的長度是第二周長度的（1－），求單位“1”，用第一周挖的長度÷（1－），即可求出第二周挖的長度，據(jù)此解答。
【詳解】1200×÷（1－）
＝180÷
＝180×
＝210（米）
答：第二周挖了210米。
學(xué)校:___________ 姓名：___________ 班級(jí)：___________
應(yīng)用題
1．越野賽跑全程24千米，其中環(huán)山路段占，海濱路段占，環(huán)山路段比海濱路段長多少千米？
【答案】3千米
【分析】把全程看作單位“1”，用賽跑全程千米數(shù)乘環(huán)山路段占的分率減海濱路段占的分率的差即可。
【詳解】24×（－）
＝24×
＝24×
＝3（千米）
答：環(huán)山路段比海濱路段長3千米。
【點(diǎn)睛】此題考查了分?jǐn)?shù)四則復(fù)合應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是確定單位“1”。
2．希望小學(xué)為了防止內(nèi)澇，需要挖一條下水道。第一天挖了全長的，第二天挖了全長的，還剩440米。這條下水道長多少米？
【答案】720米
【分析】根據(jù)題意可知，把全長看作單位“1”，剩下的長度是全長的（1－－），根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用440÷（1－－）即可求出這條水道的全長。
【詳解】440÷（1－－）
＝440÷
＝440×
＝720（米）
答：這條下水道長720米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，明確已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)用除法計(jì)算。
3．某科研所內(nèi)有一塊試驗(yàn)田，其中種大豆的面積比這塊試驗(yàn)田的還多12.5公頃，其余的種小麥。已知小麥的種植面積占這塊試驗(yàn)田的，這塊試驗(yàn)田的占地面積是多少公頃？
【答案】250公頃
【分析】設(shè)這塊試驗(yàn)田的占地面積是x公頃，種大豆的面積比這塊試驗(yàn)田的還多12.5公頃，種大豆的面積是（x＋12.5）公頃，用x－（x＋12.5）求出種小麥的占地面積，已知小麥的種植面積占這塊試驗(yàn)田的，種小麥的面積是x公頃；小麥種植面積不變，列方程：x－（x＋12.5）＝x，解方程，即可解答。
【詳解】解：設(shè)這塊試驗(yàn)田的占地面積是x公頃。
x－（x＋12.5）＝x
x－x－12.5＝x
x－x＝12.5
x－x＝12.5
x＝12.5
x＝12.5÷
x＝12.5×20
x＝250
答：這塊試驗(yàn)田的占地面積是250公頃。
【點(diǎn)睛】本題考查方程的實(shí)際應(yīng)用，利用總面積與種植大豆面積、小麥面積之間的關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，找出相關(guān)的量，列方程，解方程。
4．武漢建造火神山醫(yī)院時(shí)，甲、乙兩個(gè)工廠接到了生產(chǎn)一批活動(dòng)板房的任務(wù)。甲工廠分到的任務(wù)占這批生產(chǎn)任務(wù)的，當(dāng)甲工廠生產(chǎn)了360套時(shí)，正好完成了分到任務(wù)的，甲、乙兩個(gè)工廠共需要生產(chǎn)多少套活動(dòng)板房？
【答案】810套
【分析】先把甲工廠分到的生產(chǎn)活動(dòng)板房的套數(shù)看作“1”，完成分到任務(wù)的，對(duì)應(yīng)的是甲工廠生產(chǎn)的360套活動(dòng)板房，求單位“1”，用360÷，求甲工廠分到生產(chǎn)活動(dòng)板房的套數(shù)；再把甲、乙兩個(gè)工廠接到了生產(chǎn)活動(dòng)板房的總套數(shù)看作單位“1”，甲工廠分到的任務(wù)占這批生產(chǎn)任務(wù)的，對(duì)應(yīng)的是甲工廠生產(chǎn)的活動(dòng)板房的套數(shù)，求單位“1”，用甲工廠分到生產(chǎn)活動(dòng)板房的數(shù)量÷，求出甲、乙兩個(gè)工廠接到了生產(chǎn)活動(dòng)板房的總套數(shù)。
【詳解】360÷÷
＝360××
＝450×
＝810（套）
答：甲、乙兩個(gè)工廠共需要生產(chǎn)810套活動(dòng)板房。
5．蛇冬眠的時(shí)間大約180天，青蛙冬眠的時(shí)間大約是蛇的。熊冬眠的時(shí)間大約是青蛙的。熊冬眠的時(shí)間大約是多少天？
【答案】120天
【分析】求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，據(jù)此用蛇冬眠的時(shí)間乘求出青蛙冬眠的時(shí)間，再乘即可求出熊冬眠的時(shí)間。
【詳解】180××
＝150×
＝120（天）
答：熊冬眠的時(shí)間大約是120天。
6．湛江經(jīng)開區(qū)某學(xué)校六（1）班有學(xué)生40人，其中男生人數(shù)占全班人數(shù)的，女生有多少人？
【答案】24人
【分析】把六（1）班的人數(shù)看作單位“1”，男生人數(shù)占全班人數(shù)的，則女生人數(shù)占全班人數(shù)的（1－），再根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，即用40乘（1－）進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】40×（1－）
＝40×
＝24（人）
答：女生有24人。
7．一段路，全長1200米，第一天修了，第二天修了剩下的，第二天修了多少米？
【答案】360米
【分析】把全長看作單位“1”，根據(jù)題意可知，第一天剩下的長度占全長的（1－），根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用1200×（1－）即可求出第一天剩下的長度；再把第一天剩下的長度看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用第一天剩下的長度×即可求出第二天修的長度。
【詳解】1200×（1－）×
＝1200××
＝360（米）
答：第二天修了360米。
8．運(yùn)動(dòng)員村的非遺文化體驗(yàn)區(qū)是不少運(yùn)動(dòng)員的“打卡點(diǎn)”。在運(yùn)動(dòng)員村，一位運(yùn)動(dòng)員嘗試“點(diǎn)米成畫”的手工制作，用大米、紅豆、綠豆拼出了一只蝴蝶，她一共用了120粒紅豆，綠豆的數(shù)量是紅豆數(shù)量的，綠豆比大米的數(shù)量少。用了多少粒大米？
【答案】56粒
【分析】將紅豆數(shù)量看作單位“1”，紅豆數(shù)量×綠豆對(duì)應(yīng)分率＝綠豆的數(shù)量；再將大米的數(shù)量看作單位“1”，綠豆數(shù)量是大米的（1－），綠豆數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率＝大米的數(shù)量，據(jù)此列式解答。
【詳解】120×＝48（粒）
48÷（1－）
＝48÷
＝48×
＝56（粒）
答：用了56粒大米。
9．賣完這筐蘋果一共收入多少元？
【答案】348元
【分析】先把蘋果的總重量看作單位“1”，求它是是多少千克，用120×＝100千克，求出按每千克3元賣出的是多少千克，用100×3＝300元，求出按每千克3元賣出的錢數(shù)；再用蘋果的總重量－賣出它的之后，剩下的重量；即120－100＝20千克；再把原來按3元的價(jià)格看作單位“1”，降價(jià)后的價(jià)格是原來價(jià)格的（1－），用3×（1－），求出降價(jià)后的價(jià)格，再用剩下的蘋果的重量×降價(jià)后的價(jià)格，求出剩下蘋果賣出的錢數(shù)，再把它們相加，即可求出這筐蘋果一共收入的錢數(shù)。
【詳解】120××3＋（120－120×）×3×（1－）
＝100×3＋（120－100）×3×
＝300＋20×3×
＝300＋60×
＝300＋48
＝348（元）
答：賣完這筐蘋果一共收入348元。
10．甲乙兩袋大米，甲袋重60千克，甲袋用去，乙袋用去后，兩袋剩下的一樣重。乙袋大米原來有多少千克？
【答案】48千克
【分析】將甲袋重量看作單位“1”，甲袋用去，還剩（1－），甲袋重量×剩下的對(duì)應(yīng)分率＝甲袋剩下的重量，因?yàn)閮纱Ｏ碌囊粯又兀状Ｏ碌闹亓恳彩且掖Ｏ碌闹亓浚瑢⒁掖瓉碇亓靠醋鲉挝弧?”，乙袋用去后，還剩（1－），乙袋剩下的重量÷對(duì)應(yīng)分率＝乙袋原來重量，據(jù)此列式解答。
【詳解】60×（1－）÷（1－）
＝60×÷
＝40×
＝48（千克）
答：乙袋大米原來有48千克。
11．希望小學(xué)有一塊面積為560平方米的勞動(dòng)基地，其中種黃瓜，黃瓜的種植面積是西紅柿種植面積的，西紅柿的種植面積是多少平方米？
【答案】280平方米
【分析】將勞動(dòng)基地的面積看作單位“1”，勞動(dòng)基地的面積×黃瓜對(duì)應(yīng)分率＝黃瓜種植面積；再將西紅柿種植面積看作單位“1”，黃瓜種植面積÷對(duì)應(yīng)分率＝西紅柿種植面積，據(jù)此列式解答。
【詳解】
＝
＝280（平方米）
答：西紅柿的種植面積是280平方米。
12．一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行駛了84千米，第二小時(shí)行駛了全程的，這時(shí)距離乙地還有196千米，第二小時(shí)行駛了多少千米？
【答案】80千米
【分析】把全程當(dāng)作單位“1”，第一小時(shí)行駛了84千米，第二小時(shí)行駛了全程的，這時(shí)距離乙地還有196千米，根據(jù)分?jǐn)?shù)減法的意義，（1－）對(duì)應(yīng)的數(shù)量是（84＋196）千米，已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法計(jì)算，則全程是（84＋196）÷（1－），求出全程后求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法即可解答。
【詳解】（84＋196）÷（1－）×
＝280÷×
＝280××
＝360×
＝80（千米）
答：第二小時(shí)行駛了80千米。
【點(diǎn)睛】首先根據(jù)已知條件求出第一小時(shí)加上剩下的距離占全程的分率是完成本題的關(guān)鍵。
13．環(huán)保小組通過調(diào)查了解，某小區(qū)一日產(chǎn)生2000千克垃圾，其中廚余垃圾占，其他垃圾占廚余垃圾的，這個(gè)小區(qū)一日產(chǎn)生的其他垃圾有多少千克？
【答案】800千克
【分析】先把總垃圾看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用2000×即可求出廚余垃圾的質(zhì)量，再把廚余垃圾看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用2000××即可求出其他垃圾的質(zhì)量。
【詳解】2000××＝800（千克）
答：這個(gè)小區(qū)一日產(chǎn)生的其他垃圾有800千克。
14．2023年08月30日，神舟十六號(hào)太空飛行之旅已經(jīng)過去了，按照計(jì)劃，再過60天后將返回地球。神舟十六號(hào)飛船的太空之旅共多少天？
【答案】150天
【分析】把神舟十六號(hào)飛船的太空之旅的總天數(shù)看作單位“1”，已經(jīng)過去了，則還需要的時(shí)間是一共時(shí)間的1－，它的（1－），對(duì)應(yīng)的是60天，求單位“1”，用60÷（1－）解答。
【詳解】60÷（1－）
＝60÷
＝60×
＝150（天）
答：神舟十六號(hào)飛船的太空之旅共150天。
15．學(xué)校勞動(dòng)實(shí)驗(yàn)基地里，種西紅柿的面積是40平方米，種西紅柿的面積比種茄子的面積少，種茄子的面積是多少平方米？
【答案】50平方米
【分析】把種茄子的面積看作單位“1”，則已知種西紅柿的面積對(duì)應(yīng)的分率為（1－），其具體數(shù)值是40平方米，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用已知的具體數(shù)值除以其對(duì)應(yīng)的分率即可求出單位“1”，即種茄子的面積。
【詳解】由分析可得：
40÷（1－）
＝40÷
＝40×
＝50（平方米）
答：種茄子的面積是50平方米。
16．西安市奧體大道跨繞城高速立交項(xiàng)目全長1800米，項(xiàng)目建成投用后，從西安行政中心至奧體中心車程僅15分鐘，比原來縮短了。原來駕車從西安行政中心至奧體中心需要多長時(shí)間？
【答案】40分鐘
【分析】項(xiàng)目建成投用后車程用15分鐘，設(shè)原來駕車通行需要x分鐘，現(xiàn)在所用時(shí)間比原來縮短，關(guān)系式為x－x＝15，據(jù)此解答即可。
【詳解】解：設(shè)原來駕車從西安市行政中心至奧體中心需要x分。
x－x＝15
x＝15
x÷＝15÷
x×＝15×
x＝40
答：原來駕車從西安行政中心至奧體中心需要40分鐘。
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用。
17．2300米長的雁塔西路上聳立著108座風(fēng)格迥異的雕塑作品，堪稱西安的藝術(shù)名片。笑笑和淘氣分別從雁塔西路兩端同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)相遇。已知笑笑的速度是淘氣速度的，那么笑笑和淘氣的速度各是多少米/時(shí)？
【答案】笑笑：2200米/時(shí)；淘氣：2400米/時(shí)
【分析】設(shè)淘氣的速度是x米/時(shí)，笑笑的速度是淘氣速度的，則笑笑的速度是x米/時(shí)。淘氣時(shí)行駛x米，笑笑時(shí)行駛（×x）米；淘氣行駛的路程＋笑笑行駛的路程＝雁塔西路的長，列方程：x＋×x＝2300，解方程，即可解答。
【詳解】解：設(shè)淘氣的速度是x米/時(shí)，則笑笑的速度是x米/時(shí)。
x＋×x＝2300
x＋x＝2300
x＋x＝2300
x＝2300
x＝2300÷
x＝2300×
x＝2400（米/時(shí)）
笑笑：2400×＝2200（米/時(shí)）
答：笑笑的速度是2200米/時(shí)，淘氣的速度是2400米/時(shí)。
18．同學(xué)們用24米長的紅繩做中國結(jié)，每個(gè)中國結(jié)需要用紅繩米。這些中國結(jié)的要送給福利院的小朋友，送給福利院小朋友的有多少個(gè)？
【答案】20個(gè)
【分析】由于每個(gè)中國結(jié)需要用紅繩米，即24米做的中國結(jié)個(gè)數(shù)有多少個(gè)，就是求24米里面有多少個(gè)米，用除法，即24÷，求出一共可以做多少個(gè)中國結(jié)，再根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用這個(gè)數(shù)×幾分之幾，用總個(gè)數(shù)×即可求解。
【詳解】24÷×
＝24××
＝20（個(gè)）
答：送給福利院小朋友的有20個(gè)。
19．發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路。2023年某小區(qū)住戶購買新能源小汽車比2022年增加了，已知2023年購買98輛，那么2022年購買多少輛新能源小汽車？
【答案】70輛
【分析】將2022年購買數(shù)量看作單位“1”，2023年購買數(shù)量是2022年購買數(shù)量的（1＋），2023年購買數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率＝2022年購買數(shù)量，據(jù)此列式解答。
【詳解】98÷（1＋）
＝98÷
＝98×
＝70（輛）
答：2022年購買70輛新能源小汽車。
20．據(jù)車管所統(tǒng)計(jì)：某市今年私家車保有量已達(dá)12萬輛，去年是今年的，去年比前年多，該市前年私家車保有量是多少萬輛？
【答案】8萬輛
【分析】把今年私家車保有量看到單位“1”，去年是今年的，用今年私家車保有量×，求出去年私家車保有量；再把前年私家車保有量看作單位“1”，去年私家車保有量是前年的（1＋），對(duì)應(yīng)的是去年私家車保有量，求單位“1”，用去年私家車保有量÷（1＋），即可求出前年私家車保有量，據(jù)此解答。
【詳解】12×÷（1＋）
＝10÷
＝10×
＝8（萬輛）
答：該市前年私家車保有量是8萬輛。
21．“面人”是一種民間傳統(tǒng)的手工藝品。手工課上淘氣捏一個(gè)唐僧用了250克面粉，捏一個(gè)唐僧需要的面粉比捏一個(gè)豬八戒少。捏一個(gè)豬八戒需要多少克面粉？
【答案】300克
【分析】把捏一個(gè)豬八戒需要的面粉看作單位“1”，捏一個(gè)唐僧需要的面粉是捏一個(gè)豬八戒的（1－），根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用250÷（1－）即可求出捏一個(gè)豬八戒需要多少克面粉。
【詳解】250÷（1－）
＝250÷
＝250×
＝300（克）
答：捏一個(gè)豬八戒需要300克面粉。
22．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條水渠，如果甲隊(duì)單獨(dú)修10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修8天完成，已知乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修30米，這條水渠全長多少米？
【答案】1200米
【分析】把工作總量看作單位“1”，則甲隊(duì)的工作效率是，乙隊(duì)的工作效率是，用乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修的長度除以甲乙兩隊(duì)的工作效率差，就可以計(jì)算出這條水渠全長多少米。
【詳解】1÷10＝
1÷8＝
30÷（－）
＝30÷
＝30×40
＝1200（米）
答：這條水渠全長1200米。
23．新華書店運(yùn)來一批童話故事書，售出后，還剩350本，這批童話故事書共有多少本？
【答案】560本
【分析】將總本數(shù)看作單位“1”，售出后，還剩，還剩的本數(shù)÷對(duì)應(yīng)分率＝總本數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】
（本）
答：這批童話故事書共有560本。
24．某早餐批發(fā)店給學(xué)校送一批早餐奶，第一次運(yùn)走這批奶的，第二次運(yùn)走45箱，還剩下15箱，這批早餐奶一共有多少箱？
【答案】130箱
【分析】把這批早餐奶的總箱數(shù)看作單位“1”，第一次運(yùn)走這批奶的，還剩下這批奶的（1－），對(duì)應(yīng)的是第二次運(yùn)走的箱數(shù)與剩下的箱數(shù)和，即（45＋15）箱，求單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用（45＋15）÷（1－），即可求出總箱數(shù)。
【詳解】（45＋15）÷（1－）
＝60÷
＝60×
＝130（箱）
答：這批早餐奶一共有130箱。
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是找出單位“1”，并找出數(shù)量對(duì)應(yīng)的單位“1”的幾分之幾，再用除法就可以求出單位“1”的量。
25．科技節(jié)中有四個(gè)孩子合買了一艘價(jià)值120元的船模，已知第一個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，第三個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的。那么第四個(gè)孩子實(shí)際付了多少元？
【答案】46元
【分析】把買船模的錢數(shù)看作單位“1”，第一個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，那么第一個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的；第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，那么第二個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的；第三個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，那么第二個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的，先求出前三個(gè)孩子付的錢數(shù)占總錢數(shù)的分率，再求出第四個(gè)孩子付的錢數(shù)占總錢數(shù)的分率，再用總錢數(shù)×第四個(gè)孩子付的錢數(shù)占總錢數(shù)的分率，即可解答。
【詳解】第一個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的＝；
第二個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的＝；
第二個(gè)孩子付的錢數(shù)就是總錢數(shù)的＝；
120×（1－－－）
＝120×（－－）
＝120×（－－）
＝120×（－）
＝120×（－）
＝120×
＝46（元）
答：第四個(gè)孩子實(shí)際付了46元。
【點(diǎn)睛】先根據(jù)所給條件求出前三個(gè)孩子所付的錢數(shù)占總錢數(shù)的分率是解答本題的關(guān)鍵。
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第二單元 《分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算》 單元復(fù)習(xí)講義（講義）
（結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖+素養(yǎng)目標(biāo)+知識(shí)梳理+易錯(cuò)集錦+典例精講+專項(xiàng)精練）
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一、核心素養(yǎng)目標(biāo)：
1、能夠理解分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的意義，掌握分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基本規(guī)則。
2、發(fā)展邏輯推理能力，能夠正確處理分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中的運(yùn)算順序和運(yùn)算律。
3、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算問題并解決。
4、增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，通過分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算解決生活中的實(shí)際問題。
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、掌握分?jǐn)?shù)加減乘除的運(yùn)算規(guī)則，能夠熟練進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。
2、理解并應(yīng)用運(yùn)算順序，能夠正確處理包含多種運(yùn)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
3、能夠運(yùn)用分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算解決涉及比例、百分比等實(shí)際問題。
4、學(xué)會(huì)使用括號(hào)改變運(yùn)算順序，并能正確運(yùn)用乘法分配律等運(yùn)算定律簡化計(jì)算。
5、培養(yǎng)檢查和評(píng)估自己運(yùn)算結(jié)果的習(xí)慣，確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和合理性。
1、連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少及連乘的運(yùn)算順序
(1) 解決“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問題，用連乘計(jì)算。
(2)分?jǐn)?shù)連乘的運(yùn)算順序與整數(shù)連乘的運(yùn)算順序相同：沒有括號(hào)的，按從左到右的順序計(jì)算；有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。
2、分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序
(1)分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)乘除混合運(yùn)算的順序一樣：沒有括號(hào)的，按從左到右的順序計(jì)算；有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。計(jì)算過程中，能約分的要先約分，再計(jì)算。
(2)根據(jù)“除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，可以把分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算或分?jǐn)?shù)連除直接轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)連乘進(jìn)行計(jì)算。
1、求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少
“求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少”的解題方法:
方法1:所求的量=單位“1”的量+單位“1”的量 x 比單位“1”多的分率；
方法2:所求的量=單位“1”的量 x (1+比單位“1”多的分率)。
2、已知總量和其中一部分量占總量的幾分之幾，求另一部分量
已知總量和其中一部分量所占的分率，求另一部分量有兩種方法：
方法 1:另一部分量 = 總量 - 總量X部分量所占的分率;
方法 2:另一部分量=總量X (1-部分量所占的分率)。
3、整數(shù)乘法運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的運(yùn)用
整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)運(yùn)算同樣適用。在分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中，運(yùn)用運(yùn)算律可以使計(jì)算簡便。
1、已知比一個(gè)數(shù)多 (或少) 幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)
“已知比一個(gè)數(shù)多(或少) 幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的解題方法：設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，根據(jù)等量關(guān)系列方程求解。
等量關(guān)系1: 多 (或少)的幾分之幾=已知量；
等量關(guān)系2:=已知量。
2、已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
“已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量”的解題方法：
方法1: 設(shè)總量為未知數(shù)，根據(jù)“總量 - 總量×一部分量占總量的幾分之幾= 另一部分量”列方程解答;
方法 2: 設(shè)總量為未知數(shù)，根據(jù)“總量× (1-一部分量占總量的幾分之幾)=另一部分量”列方程解答。
誤區(qū)點(diǎn)撥：
（1）在進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)運(yùn)算律理解不透。例如，9 ÷ + 9÷ = 9÷（ + ），錯(cuò)誤地將除數(shù)合并。
（2）整數(shù)的運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中同樣適用。對(duì)于含有除法的，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為乘法，再計(jì)算。例如，9÷ + 9 ÷ =9 × 9 + 9 × =9×（9 + ）= 。
誤區(qū)點(diǎn)撥：
（1）在有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題中，經(jīng)常把帶單位的具體量當(dāng)作分率來計(jì)算。
（2）帶有單位的分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量，不帶有單位的分?jǐn)?shù)表示分率。
【典例精講1】（24-25六年級(jí)上·福建泉州·期中）學(xué)校舉行“高歌百年路·奮進(jìn)新時(shí)代”慶“七一”歌詠比賽。經(jīng)過評(píng)選，獲得一等獎(jiǎng)的有6人，是參賽總?cè)藬?shù)的；獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的。獲得二等獎(jiǎng)的有多少人？請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系式，再解答。
【答案】獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)÷×＝獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)
12人
【分析】把參賽總?cè)藬?shù)看作單位“1”，獲得一等獎(jiǎng)的6人是參賽總?cè)藬?shù)的，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出參賽總?cè)藬?shù)；
已知獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)占參賽總?cè)藬?shù)的，把參賽總?cè)藬?shù)看作單位“1”，單位“1”已知，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)。
【詳解】獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)÷×＝獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)
6÷×
＝6×6×
＝36×
＝12（人）
答：獲得二等獎(jiǎng)的有12人。
【典例精講2】（24-25六年級(jí)上·遼寧·期中）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，陽光小學(xué)舉行了“向黨獻(xiàn)禮”手繪報(bào)比賽，共150幅作品，其中五、六年級(jí)作品占全部作品的，一、二年級(jí)作品占五、六年級(jí)作品的，一、二年級(jí)作品有多少幅？
【答案】20幅
【分析】把作品的總數(shù)看作單位“1”，已知五、六年級(jí)作品占全部作品的，單位“1”已知，用作品的總數(shù)乘，求出五、六年級(jí)的作品數(shù)量；
已知一、二年級(jí)作品占五、六年級(jí)作品的，是把五、六年級(jí)的作品數(shù)量看作單位“1”，單位“1”已知，用五、六年級(jí)的作品數(shù)量乘，求出一、二年級(jí)的作品數(shù)量。
【詳解】150××
＝90×
＝20（幅）
答：一、二年級(jí)作品有20幅。
【典例精講3】（23-24六年級(jí)上·四川成都·期末）學(xué)校圖書室購進(jìn)一批圖書，其中童話書有1500本，故事書的本數(shù)是童話書的，漫畫書的本數(shù)是故事書的，這批圖書中有多少本漫畫書？
【答案】400本
【分析】將童話書本數(shù)看作單位“1”，童話書本數(shù)×故事書對(duì)應(yīng)分率＝故事書本數(shù)；再將故事書本數(shù)看作單位“1”，故事書本數(shù)×漫畫書對(duì)應(yīng)分率＝漫畫書本數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】（本）
答：這批圖書中有400本漫畫書。
【典例精講4】（22-23六年級(jí)上·陜西漢中·期末）為貫徹習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”理念，學(xué)校在植樹節(jié)組織全校師生參加義務(wù)植樹活動(dòng)，原計(jì)劃植樹600棵，實(shí)際比原計(jì)劃多植了，實(shí)際植樹多少棵？
【答案】760棵
【分析】把原計(jì)劃植樹的棵數(shù)看作單位“1”，實(shí)際植樹是原計(jì)劃的（1＋），求實(shí)際植樹的棵數(shù)，用原計(jì)劃植樹的棵數(shù)×（1＋），即可解答。
【詳解】600×（1＋）
＝600×
＝760（棵）
答：實(shí)際植樹760棵。
【點(diǎn)睛】熟練掌握求比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵。
【典例精講5】（23-24六年級(jí)上·陜西西安·期末）某路段為了防止內(nèi)澇，需要挖一條1200米長的下水道，第一周挖了總長的，比第二周挖的長度短，第二周挖了多少米？
【答案】210米
【分析】把下水道的總長度看作單位“1”，第一周挖了總長的，用下水道的總長度×，求出第一周挖的長度，再把第二周挖的長度看作單位“1”，第一周挖的長度是第二周長度的（1－），求單位“1”，用第一周挖的長度÷（1－），即可求出第二周挖的長度，據(jù)此解答。
【詳解】1200×÷（1－）
＝180÷
＝180×
＝210（米）
答：第二周挖了210米。
學(xué)校:___________ 姓名：___________ 班級(jí)：___________
應(yīng)用題
1．越野賽跑全程24千米，其中環(huán)山路段占，海濱路段占，環(huán)山路段比海濱路段長多少千米？
2．希望小學(xué)為了防止內(nèi)澇，需要挖一條下水道。第一天挖了全長的，第二天挖了全長的，還剩440米。這條下水道長多少米？
3．某科研所內(nèi)有一塊試驗(yàn)田，其中種大豆的面積比這塊試驗(yàn)田的還多12.5公頃，其余的種小麥。已知小麥的種植面積占這塊試驗(yàn)田的，這塊試驗(yàn)田的占地面積是多少公頃？
4．武漢建造火神山醫(yī)院時(shí)，甲、乙兩個(gè)工廠接到了生產(chǎn)一批活動(dòng)板房的任務(wù)。甲工廠分到的任務(wù)占這批生產(chǎn)任務(wù)的，當(dāng)甲工廠生產(chǎn)了360套時(shí)，正好完成了分到任務(wù)的，甲、乙兩個(gè)工廠共需要生產(chǎn)多少套活動(dòng)板房？
5．蛇冬眠的時(shí)間大約180天，青蛙冬眠的時(shí)間大約是蛇的。熊冬眠的時(shí)間大約是青蛙的。熊冬眠的時(shí)間大約是多少天？
6．湛江經(jīng)開區(qū)某學(xué)校六（1）班有學(xué)生40人，其中男生人數(shù)占全班人數(shù)的，女生有多少人？
7．一段路，全長1200米，第一天修了，第二天修了剩下的，第二天修了多少米？
8．運(yùn)動(dòng)員村的非遺文化體驗(yàn)區(qū)是不少運(yùn)動(dòng)員的“打卡點(diǎn)”。在運(yùn)動(dòng)員村，一位運(yùn)動(dòng)員嘗試“點(diǎn)米成畫”的手工制作，用大米、紅豆、綠豆拼出了一只蝴蝶，她一共用了120粒紅豆，綠豆的數(shù)量是紅豆數(shù)量的，綠豆比大米的數(shù)量少。用了多少粒大米？
9．賣完這筐蘋果一共收入多少元？
10．甲乙兩袋大米，甲袋重60千克，甲袋用去，乙袋用去后，兩袋剩下的一樣重。乙袋大米原來有多少千克？
11．希望小學(xué)有一塊面積為560平方米的勞動(dòng)基地，其中種黃瓜，黃瓜的種植面積是西紅柿種植面積的，西紅柿的種植面積是多少平方米？
12．一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行駛了84千米，第二小時(shí)行駛了全程的，這時(shí)距離乙地還有196千米，第二小時(shí)行駛了多少千米？
13．環(huán)保小組通過調(diào)查了解，某小區(qū)一日產(chǎn)生2000千克垃圾，其中廚余垃圾占，其他垃圾占廚余垃圾的，這個(gè)小區(qū)一日產(chǎn)生的其他垃圾有多少千克？
14．2023年08月30日，神舟十六號(hào)太空飛行之旅已經(jīng)過去了，按照計(jì)劃，再過60天后將返回地球。神舟十六號(hào)飛船的太空之旅共多少天？
15．學(xué)校勞動(dòng)實(shí)驗(yàn)基地里，種西紅柿的面積是40平方米，種西紅柿的面積比種茄子的面積少，種茄子的面積是多少平方米？
16．西安市奧體大道跨繞城高速立交項(xiàng)目全長1800米，項(xiàng)目建成投用后，從西安行政中心至奧體中心車程僅15分鐘，比原來縮短了。原來駕車從西安行政中心至奧體中心需要多長時(shí)間？
17．2300米長的雁塔西路上聳立著108座風(fēng)格迥異的雕塑作品，堪稱西安的藝術(shù)名片。笑笑和淘氣分別從雁塔西路兩端同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)相遇。已知笑笑的速度是淘氣速度的，那么笑笑和淘氣的速度各是多少米/時(shí)？
18．同學(xué)們用24米長的紅繩做中國結(jié)，每個(gè)中國結(jié)需要用紅繩米。這些中國結(jié)的要送給福利院的小朋友，送給福利院小朋友的有多少個(gè)？
19．發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路。2023年某小區(qū)住戶購買新能源小汽車比2022年增加了，已知2023年購買98輛，那么2022年購買多少輛新能源小汽車？
20．據(jù)車管所統(tǒng)計(jì)：某市今年私家車保有量已達(dá)12萬輛，去年是今年的，去年比前年多，該市前年私家車保有量是多少萬輛？
21．“面人”是一種民間傳統(tǒng)的手工藝品。手工課上淘氣捏一個(gè)唐僧用了250克面粉，捏一個(gè)唐僧需要的面粉比捏一個(gè)豬八戒少。捏一個(gè)豬八戒需要多少克面粉？
22．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條水渠，如果甲隊(duì)單獨(dú)修10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修8天完成，已知乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修30米，這條水渠全長多少米？
23．新華書店運(yùn)來一批童話故事書，售出后，還剩350本，這批童話故事書共有多少本？
24．某早餐批發(fā)店給學(xué)校送一批早餐奶，第一次運(yùn)走這批奶的，第二次運(yùn)走45箱，還剩下15箱，這批早餐奶一共有多少箱？
25．科技節(jié)中有四個(gè)孩子合買了一艘價(jià)值120元的船模，已知第一個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的，第三個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的。那么第四個(gè)孩子實(shí)際付了多少元
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