資源簡介

第三單元 《倍數與因數》 單元復習講義（講義）
五年級數學上冊專項精練（結構導圖+素養目標+知識梳理+易錯集錦+典例精講+專項精練）
（高清導圖，放大更清晰。）
一、核心素養目標：
1、發展學生的數學抽象能力，理解倍數與因數的概念，并能運用這些概念解決實際問題。
2、培養學生的邏輯推理能力，通過探究倍數與因數的性質，形成嚴謹的數學思維。
3、增強學生的數學運算能力，熟練掌握倍數與因數的計算方法。
4、提升學生的數學應用意識，能夠將倍數與因數的知識應用到日常生活和學習中。
二、學習目標：
1、知識與技能：學生能夠準確理解倍數與因數的定義，掌握找一個數的倍數和因數的方法。
2、過程與方法：通過實例探究，學生能夠歸納總結倍數與因數的性質，并能靈活運用這些性質進行計算和推理。
3、情感態度與價值觀：激發學生對數學學習的興趣，培養學生在學習過程中主動探索、合作交流的精神。
4、實踐應用：學生能夠將倍數與因數的知識應用到解決實際問題中，如時間計算、物品分配等，提高解決實際問題的能力。
1、找一個數的倍數就是將這個數依次乘1，2，3，4，5······
2、一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數就是它本身。
1、5的倍數個位上是0或5。
2、2的倍數個位上是0、2、4、6、8。
3、既是2的倍數又是5的倍數的數個位上的數字一定是0。
4、是2的倍數的數叫偶數；不是2的倍數的數叫奇數。
3的倍數好判斷，計算各位數字和，只要是3的倍數，此數定是3的倍數。
1、找某數的因數很容易，借助乘法算式依次找。
2、最小因數都是1；最大因數是自己。
1、質數的因數只有1和它本身；
2、合數除1和它本身以外還有別的因數；
3、除0和2以外，所有的偶數都是合數。
誤區點撥：
（1）因數和倍數是新接觸的知識，同以前認識的算式中的因數有區別，在一些特征上往往產生錯誤。
（2）因數的個數是有限的、倍數的個數是無限的；一個數的因數的多少，和這個數本身的大小沒有必然的關系。例如，6的因數有1，2，3，6；9的因數有1，3，9。
（3）一個數的因數最小是1，最大是它本身，所以這個數等于或大于它的因數；一個數乘個自然數，就得到這個數的倍數，最小乘1，所以這個數的最小的倍數是它本身。這個數等于或小于它的倍。
誤區點撥：
（1）在判斷奇偶數時，常常會不考慮0，誤認為最小的偶數是2。
（2）在自然數范圍內，最小的奇數是1，最小的偶數是0。
誤區點撥：
（1）判斷3的倍數的特征時，往往會根據2和5的倍數的特征形成錯誤的認識。
（2）3的倍數的特征：-個數各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
誤區點撥：
（1）誤認為自然數可以分為質數和合數。
（2）所有的自然數可以分為奇數和偶數，但不能分為質數和合數。質數和合數是按照因數的個數來分的：一個數如果只有1和它本身兩個因數，就是質數，若還有其他的因數則是合數。1既不是質數也不是合數，所以除了0以外的自然數分為質數、合數和1。
誤區點撥：
（1）受奇數加奇數的和是偶數的影響，誤認為幾個連續奇數相加的和也一定是偶數。
（2）奇數、偶數相加和的變化規律：偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，偶數+奇數=奇數。
（3）幾個奇數連續相加，當奇數的個數是奇數時，和為奇數；當奇數的個數是偶數時，和為偶數。
【典例精講1】（23-24五年級上·陜西寶雞·期末）2023年12月12日是西安事變87周年。張老師買了30枚紀念章，現在要把這些紀念章全部裝進盒子里（盒子數大于3，小于10），且每個盒子里裝同樣多，有多少種不同的裝法？
【答案】2種
【分析】每個盒子的數量必須是30的因數，先求出30的所有因數，找到大于3小于10的因數，是每個盒子裝的個數；紀念章的總數÷每個盒子裝的個數＝需要的盒子數量，據此解答。
【詳解】30因數有：1，2，3，5，6，10，15，30；
其中大于3小于10的有：5，6；
30÷5＝6（個）
30÷6＝5（個）
一種是一盒裝5枚，需要6個盒子；
一種是一盒裝6枚，需要5個盒子。
一共有2種裝法。
答：有2種裝法。
【典例精講2】（22-23五年級上·陜西漢中·期末）商店運來36瓶飲料，如果每6瓶裝一箱，能正好裝完嗎？為什么？
【答案】能；36是6的倍數
【分析】根據題意，求如果每6瓶裝一箱，能不能正好裝完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍數，據此解答。
【詳解】36÷6＝6（箱）
答：36是6的倍數，則能正好裝完，能裝6箱。
【點睛】本題考查倍數的應用。根據倍數的意義即可解答。
【典例精講3】（23-24五年級上·陜西咸陽·期末）有56瓶飲料，選哪種包裝盒能正好把這些飲料全部裝完？
【答案】選4瓶/盒
【分析】根據整除的意義，誰能整除56，就選哪種包裝盒的，據此解答即可。
【詳解】56÷4＝14（盒）
56÷5＝11（盒）……1（瓶）
56是4的倍數，不是5的倍數。
答：選4瓶/盒的包裝盒能正好把這些飲料全部裝完。
【典例精講4】（23-24五年級上·廣東深圳·期中）明明、樂樂、天天三人的年齡正好是三個連續的偶數，他們的年齡總和是36歲，他們三人中最小的是多少歲？最大的是多少歲？
【答案】最小10歲；最大14歲
【分析】整數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數。
已知三人的年齡正好是三個連續的偶數，他們的年齡總和是36歲，根據連續偶數的特點，兩個相鄰的偶數相差2；用這三個連續偶數的和除以3，求出平均數，即是中間的偶數，再用中間的偶數分別減2、加2，求出相鄰的另外兩個偶數，也就是三人中最小的和最大的年齡。
【詳解】36÷3＝12（歲）
12－2＝10（歲）
12＋2＝14（歲）
答：他們三人中最小的是10歲，最大的14歲。
【典例精講5】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）為了加強生活垃圾分類宣傳教育，提高師生參與垃圾分類的積極性和主動性，學校舉辦了垃圾分類知識競賽。五（1）班同學參加了這次競賽，一共有40道題，評分標準如下：答對一道題得3分，不答或答錯一題倒扣1分，那么五（1）班同學所得總分是奇數還是偶數，為什么？
【答案】偶數；原因見詳解
【分析】答對的數量×3－答錯的數量×1＝實際得分，根據奇偶的運算性質：奇數×奇數＝奇數，奇數×偶數＝偶數，偶數－奇數＝奇數，如果答對是奇數，那么答錯就是偶數，得分和扣的分數一定是一個奇數一個偶數，所以差也是偶數。
【詳解】假設全答對：
40×3＝120（分），得分為偶數；
假設答對39道題：
39×3－1×1＝117－1＝116（分），得分為偶數；
假設答對38道題：
38×3－1×2＝114－2＝112（分），得分為偶數；
……
由于答對的數量×3－答錯的數量×1＝實際得分，總題數是40道，屬于偶數。那么答對數量和答錯數量肯定一個奇數一個偶數，奇數×奇數＝奇數，奇數×偶數＝偶數，偶數－奇數＝奇數，那么最后兩個積相減得到總分，這兩個積一定是一個奇數一個偶數，所以結果也是偶數。
答：五（1）班同學所得總分是偶數。
【典例精講6】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）有三路公交車從同一站點同時出發。1路車每2分發車一輛，3路車每3分發車一輛，6路車每5分發車一輛，這三路公交車至少再過多少分會同時發車？
【答案】30分
【分析】分析題目，要使三路公交車同時發車則時間必須同時是2、3、5的倍數，據此分別列舉出2，3，5的倍數；再找出同時是2、3、5的倍數的最小數即可解答。
【詳解】2的倍數有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34……
3的倍數有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36……
5的倍數有：5，10，15，20，25，30，35……
同時是2、3、5的倍數的最小數是：30
答：這三路公交車至少再過30分會同時發車。
【典例精講7】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）同學們學過3的倍數的特征：各個數位上的數字之和是3的倍數。9的倍數有什么特征呢？請舉例說明。
【答案】9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數；說明見詳解
【分析】9的倍數有9、18、27、36…99等，因為1＋8＝9，2＋7＝9，3＋6＝9，9＋9＝18，9和18都是9的倍數，即9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。
【詳解】通過分析可得：
9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。如18，1＋8＝9，再如99，9＋9＝18，9和18都是9的倍數，說明9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。
【典例精講8】（23-24五年級上·陜西西安·期中）手工課上，李老師和同學們折紙鶴，每人折的只數相同，總共折了473只。這個班有學生多少人？每人折紙鶴多少只？（學生人數不少于20人）
【答案】學生42人，每人折11只
【分析】通過等積式先找出473的所有因數，再找出其中符合學生人數的因數，從而找出每人折紙鶴多少只。
【詳解】473＝1×473＝11×43
由于學生人數不少于20人，那么學生和老師一共有43人。
43－1＝42（人）
答：這個班有學生42人，每人折紙鶴11只。
【典例精講9】（22-23五年級上·陜西西安·期中）把36塊糖裝在小罐子里，每個小罐子裝同樣多（每小罐里糖的數量要大于3塊，小于36塊），有幾種裝法？每種裝法個需要幾個小罐子？如果有37塊糖呢？
【答案】5種裝法；每種裝法分別需要9個、6個、4個、3個、2個小罐子；37塊糖不能按要求分裝
【分析】每小罐里糖的數量必須是36的因數，先求出36的所有因數，找到大于3小于36的因數，是每個小罐子裝的個數；糖的總數量÷每個小罐子裝的個數＝需要的小罐子數量；根據同樣的想法，先找到37的所有因數，沒有大于3小于36的因數，就不能按要求分裝。
【詳解】36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
所以：36÷4＝9（個）
36÷6＝6（個）
36÷9＝4（個）
36÷12＝3（個）
36÷18＝2（個）
37的因數有：1、37。
答：有5種裝法，每種裝法分別需要9個、6個、4個、3個、2個小罐子，37塊糖不能按要求分裝。
【點睛】關鍵是理解因數的意義，掌握一個數的因數的求法。
【典例精講10】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）數寶寶可能是幾？寫出所有的可能。
【答案】13或19
【分析】一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，除以1和它本身兩個因數，這樣的數叫做合數；能被2整除的數，叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數，據此解答。
【詳解】比10大比20小的奇數有：11、13、15、17、19；
其中質數有11、13、17、19，
11＝2＋9，9不是質數；
13＝2＋11，
17＝2＋15，15不是質數；
19＝2＋17，
所以數寶寶可能是13或19。
答：數寶寶可能是13或19。
學校:___________ 姓名：___________ 班級：___________
應用題
1．2023年12月12日是西安事變87周年。黃老師買了30枚紀念章，現在要把這些紀念章都裝進盒子里，要求每個盒了裝的數量一樣多，至少有兩個盒子，一共有多少種不同的裝法？
【答案】6種
【分析】每個盒子的數量必須是30的因數，先求出30的所有因數，盒子至少有2個，則找到大于1小于30的因數，是每個盒子裝的個數；紀念章的總數÷每個盒子裝的個數＝需要的盒子數量，據此解答。
【詳解】30因數：1、2、3、5、6、10、15、30，其中2、3、5、6、10、15這6個數符合要求。
30÷2＝15（個）
30÷15＝2（個）
30÷3＝10（個）
30÷10＝3（個）
30÷5＝6（個）
30÷6＝5（個）
一種是一盒裝2枚，需要15個盒子；
一種是一盒裝15枚，需要2個盒子；
一種是一盒裝3枚，需要10個盒子；
一種是一盒裝10枚，需要3個盒子；
一種是一盒裝5枚，需要6個盒子；
一種是一盒裝6枚，需要5個盒子。
答：一共有6種不同的裝法。
2．圣誕節前一天，某公司準備了40多個蘋果發給職工們，這些蘋果每8個裝一袋，剛好裝完，這些蘋果有多少個？
【答案】48個
【分析】這些蘋果每8個裝一袋，可知蘋果數是8的倍數，由此寫出8的倍數，然后再找出滿足符合條件的即可。由此解答。
【詳解】8的倍數有：8、16、24、32、40、48、56、64…
公司準備了40多個蘋果，可知符合條件的只有48；
所以這些蘋果有48個。
答：這些蘋果有48個。
3．把20個蘋果裝進相同的盒子里，每個盒子里裝的蘋果個數一樣多（每個盒子里至少裝2個，至少裝2盒）。有多少種不同的裝法？
【答案】4種
【分析】每盒裝的個數×盒數＝總個數，據此求出20的所有因數，再根據題意解答即可。列乘法算式找因數，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數的乘法算式，乘法算式中的兩個因數就是這個數的因數。
【詳解】20＝1×20＝2×10＝4×5
20的因數有1、2、4、5、10、20，因為每個盒子里至少裝2個，至少裝2盒，排除1和20，裝法如下：
每盒裝2個蘋果，共裝10盒；
每盒裝4個蘋果，共裝5盒；
每盒裝5個蘋果，共裝4盒；
每盒裝10個蘋果，共裝2盒。
答：有4種不同的裝法。
4．數學課上，張老師想在計數器上撥7顆珠子表示一個三位數。三位同學有不同的想法：
A同學：不可能是2的倍數；
B同學：不可能是3的倍數；
C同學：不可能是5的倍數。
你認為誰的想法是正確的？用你喜歡的方式說明理由。
【答案】B同學
【分析】在計數器上撥7顆珠子表示一個三位數，那么這個三位數各個位上的數字相加和為7，且百位上數字不能為0。再根據2、3、5的倍數特征判斷即可。
【詳解】2的倍數特征；一個整數它的個位是偶數（0、2、4、6、8）的數，它就是2的倍數。如520、502、340等等。所以A同學：不可能是2的倍數。此說法錯誤。
3的倍數特征：一個整數各個位置上的數字的和是3的倍數，那么這個數就是3的倍數。在計數器上撥7顆珠子表示一個三位數，那么這個三位數各個位上的數字相加和為7，7不是3的倍數，所以這個三位數不可能是3的倍數。所以B同學：不可能是3的倍數。此說法正確。
5的倍數特征：個位上的末尾是0或者5的整數。如520、205、340等等。所以C同學：不可能是5的倍數。此說法錯誤。
綜上所述，B同學是正確的。
答：我認為B同學的想法是正確的。
5．用一根32厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都是質數。這個長方形的面積最大是多少平方厘米？
【答案】55平方厘米
【分析】根據長方形的長與寬的和＝周長÷2，即32÷2＝16（厘米），根據一個數只有1和它本身這兩個因數，那么這個數就是質數，可知滿足條件的有：長為13厘米，寬為3厘米，面積為13×3＝39（平方厘米），長為11厘米，寬為5厘米，面積為11×5＝55（平方厘米），比較后即可得解。
【詳解】32÷2＝16（厘米）
長、寬都為質數的有：
13＋3＝16（厘米）
13×3＝39（平方厘米）
11＋5＝16（厘米）
11×5＝55（平方厘米）
55平方厘米＞39平方厘米
答：這個長方形的面積最大是55平方厘米。
【點睛】本題考查質數的應用，掌握質數的概念是關鍵。
6．現有24塊月餅需裝在盒子里，每個盒子裝同樣多，有幾種裝法？每種裝法各需要幾個盒子？
【答案】8種；各需要24個、12個、8個、6個、4個、3個、2個、1個盒子
【分析】求出月餅個數的因數，是每個盒子裝的個數，據此確定有幾種裝法；月餅個數÷每個盒子裝的個數＝需要的盒子數，據此分析。
【詳解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24的因數有1、2、3、4、6、8、12、24。
每個盒子可以裝1、2、3、4、6、8、12、24個，有8種裝法。
24÷1＝24（個）
24÷2＝12（個）
24÷3＝8（個）
24÷4＝6（個）
24÷6＝4（個）
24÷8＝3（個）
24÷12＝2（個）
24÷24＝1（個）
答：有8種裝法，每種裝法各需要24個、12個、8個、6個、4個、3個、2個、1個盒子。
【點睛】關鍵是理解一個數的因數的意義，掌握一個數的因數的求法。
7．博文到三木買了3個相同的足球，售貨員阿姨說應付217元。售貨員阿姨算得對不對，為什么？
【答案】不對；見詳解
【分析】由題意可知，博文買了3個相同的足球，足球價格是整元數，那么總價＝3×一個足球的價格，總價應該是3的倍數，判斷217是否是3的倍數即可解答本題。
【詳解】3個相同的足球，價格應該是3的倍數；
2＋1＋7＝10，10不是3的倍數，所以217不是3的倍數；
答：售貨員阿姨算得不對，因為217不是3的倍數。
【點睛】此題考查了3的倍數特征在實際生活中的運用。
8．甲、乙兩個倉庫存放著同樣的貨物。甲倉庫存放128噸，甲倉庫再運進12噸，正好是乙倉庫的2倍。乙倉庫存放著多少噸貨物？
【答案】70噸
【分析】先求出甲倉庫后來的貨物，再除以2求出乙倉庫的貨物即可。
【詳解】（128＋12）÷2
＝140÷2
＝70（噸）
答：乙倉庫存放著70噸貨物。
【點睛】關鍵是根據題意，弄清數量關系，再選擇合適的計算方法解答。
9．笑笑用一根24厘米長的鐵絲圍成一個長方形，這個長方形的長和寬剛好是整厘米數，且是兩個質數，這個長方形的面積是多少平方厘米？
【答案】35平方厘米
【分析】根據長方形周長公式：周長＝（長＋寬）×2，長＋寬＝周長÷2；24÷2＝12厘米；把12分成兩個整厘米數，且是質數，12＝7＋5，即長是7厘米，寬是5厘米，根據長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據，即可解答。
【詳解】24÷2＝12（厘米）
12＝7＋5；長是7厘米，寬是5厘米。
7×5＝35（平方厘米）
答：這個長方形的面積是35平方厘米。
【點睛】熟練掌握和靈活運用長方形周長公式、面積公式以及質數的意義是解答本題的關鍵。
10．破解密碼－ABCDE。
提示：A－最小的合數，B－5的最小倍數，C－它既是3的倍數，又是3的因數，D－它的所有因數是1，2、4、8，E－它既是質數又是偶數。這個密碼是多少？
【答案】45382
【分析】合數：除了1和它本身，還有其它因數的數是合數，最小的合數是4；一個數最小的倍數是它本身；一個數既是它自己的因數，也是它自己的倍數；由于一個數所有因數中，最大的數8，所以它是8；質數：除了1和它本身，沒有其它因數的數是質數，既是偶數又是質數的數是2，由此即可解答。
【詳解】A－最小的合數，最小的合數是4，所以A是4；
B－5的最小倍數，所以B是5；
C－它既是3的倍數，又是3的因數，所以C是3；
D－它的所有因數是1，2、4、8，一個數的最大的因數是它本身，所以D是8；
E－它既是質數又是偶數，2即是質數也是偶數，所以E是2。
所以ABCDE這個密碼是45382。
答：這個密碼是45382。
【點睛】本題考查倍數，因數，偶數、質數和合數的應用，解決本題的關鍵是要熟知倍數，因數、偶數、質數和合數的特征，進行解答。
11．2021年是紅軍長征勝利85周年，學校舉行了以“緬懷革命先烈，傳承紅色基因”為主題的文藝演出。李老師為文藝演出編排舞蹈隊形，同學們每5人一組，還余3人。舞蹈隊的人數在40－50之間，舞蹈隊可能有多少人？
【答案】43或48人。
【分析】求舞蹈隊可能有多少人，也就是求40－50之間比5的倍數多3的數，先求出40－50之間5的倍數，加上3即可，根據5的倍數特征：個位上的數字是0和5的數是5的倍數，據此判斷。
【詳解】由分析可得：
40－50之間個位上的數字是0和5的數有：40、45和50。
40＋3＝43（人）
45＋3＝48（人）
50＋3＝53（人），53不在40－50之間，所以排除。
答：舞蹈隊可能有43或48人。
【點睛】本題考查了5的倍數特征，明確要求的問題即40－50之間的比5的倍數多3的數，是解答此題的關鍵。
12．75名同學參加團體操表演。如果要求每排人數必須相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的隊列一共有幾種？
【答案】2種
【分析】分析題目，把75拆成兩個因數的積，要求每排人數必須相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一個因數應大于10且小于30，找出符合要求的因數，有幾組就有幾種排列方法，據此解答。
【詳解】75＝3×25＝5×15
可以排3排，每排25人；也可以排5排，每排15人。
答：符合要求的隊列一共有2種。
【點睛】根據題意，把75拆成符合要求的兩個因數的乘積是解答本題的關鍵。
13．面包師要把28塊面包用袋子進行包裝，每袋面包的數量相等（袋數大于1，但小于28），一共有幾種包裝方法？
【答案】4種
【分析】28的因數有1、28、2、14、4、7，由題意知袋數大于1，但小于28，排除袋數是1和28的情況，進而解答即可。
【詳解】28＝1×28＝2×14＝4×7
28的因數有1、28、2、14、4、7
所以：每袋2塊，裝14袋；
每袋14塊，裝2袋；
每袋4塊，裝7袋；
每袋7塊，裝4袋。
答：一共有4種包裝方法。
【點睛】此題的關鍵是先求出28的因數有哪些，然后再進一步解答。
14．五（1）班的學生人數在40－50人之間，一次大掃除，按8人一組分組，則少1人，五（1）班有多少名學生？
【答案】47名
【分析】根據題意可知，這個班的學生人數在40~50人之間，而這個班的學生比40~50人之間的8的倍數少1，根據求一個數的倍數方法解答。
【詳解】在40－50人之間8的倍數是48，
48－1＝47（人）
答：五（1）班有47名學生。
【點睛】此題考查的目的是理解倍數的意義，掌握求一個數的倍數的方法及應用。
15．便民超市新運進365瓶無菌消毒洗手液，如果每2瓶裝一提，能正好裝完嗎？如果每5瓶裝一箱，能正好裝完嗎？為什么？
【答案】見詳解
【分析】根據2、5的倍數的特征，個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數，個位上是0或5的數都是5的倍數。據此解答。
【詳解】答：因為365不是2的倍數，所以每2瓶裝一提，不能正好裝完。因為365是5的倍數，所以每5瓶裝一箱，能正好裝完。
【點睛】此題考查的目的是理解掌握2、5的倍數的特征及應用。
16．有114個蘋果，如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？
【答案】見詳解
【分析】能被5整除的數的特征：個位上是0或5的數；能被3整除的數的特征：各個數位上的數字之和是3的倍數；再根據能被3、5整除的數的特征進行判斷能否正好裝完。
【詳解】因為114的末尾是4，所以114不是5的倍數，所以如果每5個裝一袋不能正好裝完；因為1＋1＋4＝6是3的倍數，所以114是3的倍數，所以每3個裝一袋能正好裝完。
【點睛】此題考查能被3、5整除的數的特征及其運用。
17．糕點師要把36塊面包用袋子進行包裝，每袋面包的數量相等（袋數大于1，但小于36），一共有幾種包裝方法？
【答案】7種
【分析】根據找一個數的因數的方法，找出36的因數，并找出滿足袋數大于1，但小于36的包裝方法即可。
【詳解】36的因數有1、36、2、18、3、12、4、9、6，因為袋數大于1，但小于36，所以1和36不符合題意舍去，
包裝方法是：每袋2塊，裝18袋：每袋18塊，裝2袋：每袋3塊，裝12袋；每袋12塊，裝3袋：每袋4塊，裝9袋；每袋9塊，裝4袋：每袋6塊，裝6袋。
答：一共有7種包裝方法。
【點睛】掌握找一個數的因數的方法是解答本題的關鍵。
18．一列高速列車1.5時行駛390千米，一架飛機的速度是這列高速列車速度的3.2倍。這架飛機每小時飛行多少千米？
【答案】832千米
【分析】根據題目條件“飛機的速度是這列高速列車速度的3.2倍”，要求飛機的速度首先要知道高速列車的速度。由條件“一列高速列車1.5時行駛390千米”，可以用數量關系式“路程÷時間＝速度”求出高速列車的速度。
【詳解】390÷1.5＝260（千米）
260×3.2＝832（千米）
答：這架飛機每小時飛行832千米。
【點睛】行程問題中已知路程和時間求速度，可以用數量關系式“路程÷時間＝速度”解決。
19．五（1）班有32名同學參加廣播操比賽，要使每行人數都相等，可以排幾行？共有幾種排法？（每行或每列不少于2人）
【答案】2行、4行、8行、16行；4種
【分析】把32名同學平均分成若干行，那么行數和每行的人數相乘的積是32，根據找因數的方法，可以一對一的找，有多少個因數就有多少種排法，再結合題目進行分析即可。
【詳解】由分析可得：
32＝1×32，即每行1人，排32行，不符合題意；或者每行32人，排1行，不符合題意。
32＝2×16，即每行2人，排16行；或每行16人，排2行；
32＝4×8，即每行4人，排8行；或每行8人，排4行；
答：可以排2行、4行、8行、16行。共有4種排法。
【點睛】本題考查了找一個數因數的方法，解答此題的關鍵是把32分解因數，再對分解出來的因數結合題目進行分析，看是否需要排除。
20．甲、乙兩個冰柜里存放了一些雪糕，其中，一個冰柜里有奇數根雪糕，另一個冰柜里有偶數根雪糕。如果將甲冰柜的雪糕數乘3，乙冰柜的雪糕數乘2，那么甲、乙冰柜雪糕總量就變成59。小李認為：有偶數根雪糕的是甲冰柜，奇數根雪糕的是乙冰柜，你同意嗎？請從“和與積的奇偶性”的角度闡述自己的想法和理由。
（1）你同意小李的觀點嗎？
（2）你的理由是：
【答案】（1）不同意。
（2）見詳解
【分析】根據奇數＋偶數＝奇數，奇數×奇數＝奇數，奇數×偶數＝偶數。進行分析判斷即可解答。
【詳解】（1）不同意。
（2）“將甲冰柜的雪糕數乘3，乙冰柜的雪糕數乘2，那么甲、乙冰柜雪糕總量就變成59。”59是一個奇數，乙冰柜的雪糕數乘2，所以現在乙冰柜里的雪糕數是偶數，那么甲冰柜里現在的雪糕數是奇數。甲冰柜的雪糕數乘3是奇數，所以甲冰柜原來的雪糕數是奇數，則乙冰柜里的雪糕數是偶數。
【點睛】本題考查了算式的奇偶性，熟練理解并使用“奇數＋偶數＝奇數、奇數×奇數＝奇數、奇數×偶數＝偶數”是關鍵。
21．9月30日烈士紀念日，學校計劃組織學生去寶天鐵路英烈紀念館，準備了12朵百合和18朵菊花，用這兩種花搭配成同樣的花束（正好用完，沒有剩余），請你幫忙設計可以扎成幾束（至少2束）？每束有幾朵百合？幾朵菊花？
【答案】方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。
方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。
方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。
【分析】由題意知：此題就是求12和18的公因數，可用分解因數的方法求得12和18各自有的因數，找出這兩個數的公因數，然后根據題意解答。
【詳解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的公因數有1、2、3、6。（1不符合題意，不考慮）
方案一：可以扎成2束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。
方案二：可以扎成3束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。
方案三：可以扎成6束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。
答：方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。
方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。
方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。
【點睛】掌握求兩個或幾個數的公因數方法是解答此題的關鍵。
22．選用哪種包裝箱能正好把64本書裝完？寫出你的理由。
【答案】8本/箱正好能裝完，它可以整除64。
【分析】根據整除的意義，誰能整除64，就選那種包裝箱，據此解答即可。
【詳解】64÷6＝10（箱）……4（本）
64÷8＝8（箱）
64÷5＝12（箱）……4（本）
答：8本/箱正好能把這些面包裝完，因為它可以整除64。
【點睛】此題主要依據整除的意義解決問題，因為它們能整除64。
23．榨油車間榨出850升花生油，如果分裝在容量是2升的小油桶，能裝完嗎？如果分裝在容量是5升的大油桶，能正好裝完嗎？為什么？
【答案】都能正好裝完；因為850是2，也是5的倍數。
【分析】根據2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數一定是2的倍數；根據5的倍數特征，個位上是0、5的數一定是5的倍數，據此解答。
【詳解】因為850的個位是2，是2的倍數，能被2整除，所以能裝完；
850÷2＝425（桶）
因為850的個位是0，是5的倍數，能被5整除，所以能裝完；
850÷5＝170（桶）
答：都能裝完，因為850是2的倍數，也是5的倍數，沒有余數，所以能裝完。
【點睛】本題考查2和5的倍數特征，根據2和5的倍數特征進行解答。
24．為配合全民健身運動，春苑小區40名老年人參加體操表演，隊形不能為一行1人或一行40人，要求每行人數相同，有幾種排法？
【答案】6種
【分析】列乘法算式找出40的所有因數，即：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，可得，40的因數有：1、2、4、5、8、10、20、40，注意“40＝1×40”不符合題意，據此解題即可。
【詳解】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8
所以，可以排成：2行每行20人；20行每行2人；4行每行10人，10行每行4人；5行每行8人；8行每行5人；
答：一共有6種排法。
【點睛】找一個數的因數的方法：（1）列乘法算式找，有序地寫出兩個自然數相乘得這個數的所有乘法算式，兩個乘數都是這個數的因數。（2）列除法算式找，有序地寫出這個數被整除的所有除法算式，除數和商都是這個數的因數。
25．王明在超市買了3本同樣的筆記本，筆記本價格是整元數，付50元，找回36元，他認為收銀員算錯了，你能幫他說出理由嗎？
【答案】收銀員算錯了
【分析】根據題意，求出買3本同樣的筆記本花的錢數，再判斷買筆記本的錢數是3倍數，如果是倍數，說明收銀員沒找錯，如果不是3的倍數，就是找錯了，據此解答。
【詳解】50－36＝14（元）
1＋4＝5，5不能被3 整除，不是3 的倍數，14不是3的倍數；原題說筆記本的價格是整元付，與題干不符；收銀員算錯了。
答：收銀員算錯了。
【點睛】本題考查3的倍數特征，根據3的倍數特征進行解答。
26．小軍家的客廳地面長4米，寬3.5米，如果用邊長5分米的正方形地磚來鋪，需要多少塊這樣的地磚？
【答案】56塊
【分析】由題意知：長4米，一行可以鋪8塊邊長5分米的正方形地磚、寬3.5米，可以鋪7行，一共需要8×7＝56塊地磚。據此解答。
【詳解】4米＝40分米
3.5米＝35分米
40÷5＝8（塊）
35÷5＝7（行）
8×7＝56（塊）
答：需要56塊這樣的地磚。
【點睛】巧用倍數關系，不計算客廳地面的面積和地磚的面積，是解答本題的關鍵。
27．筐里有40個蘋果，將它們全部取出來，分成幾堆，堆數大于1小于10，要使每堆蘋果的個數相等，有幾種分法？
【答案】共可分成2堆、4堆、5堆、8堆，共有4種分法。
【分析】找出40的因數，且因數大于1小于10 的數，再用40除以因數，即可求出堆數和個數。
【詳解】大于1小于10的40的因數有：2、4、5、8
有4種分法：第一種：一堆20個，分2堆，20×2＝40（個）
第二種：一堆10個，分4堆，10×4＝40（個）
第三種：一堆8個，分5堆，8×5＝40（個）
第四種：一堆5個，分8堆，5×8＝40（個）
答：有4種分法。
【點睛】本題考查因數的倍數的應用，根據因數和倍數的意義進行解答。
28．從0、2、4、5、8這5張卡片中任選3張組成一個三位數，使它既是2的倍數，又是3和6的倍數，能組成多少個？請把它們寫出來。
【答案】能組成11個，分別是204，240，420，402，408，480，450，540，504，840，804
【分析】在0、2、4、5、8這5張卡片中任選3張，組成一個三位數，使它是2的倍數，又是3的倍數 即可（因為一個數是2的倍數，也是3的倍數，那一定是6的倍數）。一個三位數即是2的倍數，又是3的倍數，那么這個三位數要符合個位數是0、2、4、6、8，而且三個位數上的數字加起來的和是3的倍數。
【詳解】據題意：這個三位數即是2的倍數，也是3的倍數，那一定也是6的倍數。這個三位數要符合2的倍數特征，又要符合3的倍數特征。那就是：204，240，420，402，408，480，450，540，504，840，804
【點睛】本題考查了對2的倍數特征、3的倍數特征的認識。一個數既是2的倍數，又是3的倍數，一定也是6的倍數，所以本題6的倍數特征可以不用考慮。
29．一個長方形的周長是24厘米，長方形的長和寬都是質數，這個長方形的面積是多少？
【答案】35平方厘米
【分析】因為長方形的周長是24厘米，根據長方形的周長公式，可知長＋寬：24÷2＝12厘米，又因為長、寬均為質數，所以12＝7＋5，所以長應該是7厘米，寬是5厘米，再根據長方形的面積公式：S＝ab，即可求出面積，列式解答即可。
【詳解】因為長方形的周長是24厘米，即（長＋寬）×2＝24
所以長＋寬：24÷2＝12（厘米）
又因為長、寬均為質數，所以12＝7＋5，所以長應該是7厘米，寬是5厘米
長方形的面積是：7×5＝35（平方厘米）
答：這個長方形的面積是35平方厘米。
【點睛】解答本題的關鍵是熟練掌握10以內的質數。
30．有68個蘋果，如果每5個蘋果裝成一盤，至少再拿來幾個或拿走幾個蘋果才能正好裝完？
【答案】2個；3個
【分析】每5個蘋果裝成一盤，則蘋果的個數是5的人倍數，由5的倍數的特征：個位是0或5的數是5的倍數可知，70和65是5的倍數由此解答。
【詳解】70－68＝2（個）
68－65＝3（個）
答：至少再拿來2個或拿走3個蘋果才能正好裝完。
【點睛】本題主要考查5的倍數特征的應用，理解“至少再拿來幾個或拿走幾個”是解題的關鍵。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第三單元 《倍數與因數》 單元復習講義（講義）
五年級數學上冊專項精練（結構導圖+素養目標+知識梳理+易錯集錦+典例精講+專項精練）
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一、核心素養目標：
1、發展學生的數學抽象能力，理解倍數與因數的概念，并能運用這些概念解決實際問題。
2、培養學生的邏輯推理能力，通過探究倍數與因數的性質，形成嚴謹的數學思維。
3、增強學生的數學運算能力，熟練掌握倍數與因數的計算方法。
4、提升學生的數學應用意識，能夠將倍數與因數的知識應用到日常生活和學習中。
二、學習目標：
1、知識與技能：學生能夠準確理解倍數與因數的定義，掌握找一個數的倍數和因數的方法。
2、過程與方法：通過實例探究，學生能夠歸納總結倍數與因數的性質，并能靈活運用這些性質進行計算和推理。
3、情感態度與價值觀：激發學生對數學學習的興趣，培養學生在學習過程中主動探索、合作交流的精神。
4、實踐應用：學生能夠將倍數與因數的知識應用到解決實際問題中，如時間計算、物品分配等，提高解決實際問題的能力。
1、找一個數的倍數就是將這個數依次乘1，2，3，4，5······
2、一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數就是它本身。
1、5的倍數個位上是0或5。
2、2的倍數個位上是0、2、4、6、8。
3、既是2的倍數又是5的倍數的數個位上的數字一定是0。
4、是2的倍數的數叫偶數；不是2的倍數的數叫奇數。
3的倍數好判斷，計算各位數字和，只要是3的倍數，此數定是3的倍數。
1、找某數的因數很容易，借助乘法算式依次找。
2、最小因數都是1；最大因數是自己。
1、質數的因數只有1和它本身；
2、合數除1和它本身以外還有別的因數；
3、除0和2以外，所有的偶數都是合數。
誤區點撥：
（1）因數和倍數是新接觸的知識，同以前認識的算式中的因數有區別，在一些特征上往往產生錯誤。
（2）因數的個數是有限的、倍數的個數是無限的；一個數的因數的多少，和這個數本身的大小沒有必然的關系。例如，6的因數有1，2，3，6；9的因數有1，3，9。
（3）一個數的因數最小是1，最大是它本身，所以這個數等于或大于它的因數；一個數乘個自然數，就得到這個數的倍數，最小乘1，所以這個數的最小的倍數是它本身。這個數等于或小于它的倍。
誤區點撥：
（1）在判斷奇偶數時，常常會不考慮0，誤認為最小的偶數是2。
（2）在自然數范圍內，最小的奇數是1，最小的偶數是0。
誤區點撥：
（1）判斷3的倍數的特征時，往往會根據2和5的倍數的特征形成錯誤的認識。
（2）3的倍數的特征：-個數各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
誤區點撥：
（1）誤認為自然數可以分為質數和合數。
（2）所有的自然數可以分為奇數和偶數，但不能分為質數和合數。質數和合數是按照因數的個數來分的：一個數如果只有1和它本身兩個因數，就是質數，若還有其他的因數則是合數。1既不是質數也不是合數，所以除了0以外的自然數分為質數、合數和1。
誤區點撥：
（1）受奇數加奇數的和是偶數的影響，誤認為幾個連續奇數相加的和也一定是偶數。
（2）奇數、偶數相加和的變化規律：偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，偶數+奇數=奇數。
（3）幾個奇數連續相加，當奇數的個數是奇數時，和為奇數；當奇數的個數是偶數時，和為偶數。
【典例精講1】（23-24五年級上·陜西寶雞·期末）2023年12月12日是西安事變87周年。張老師買了30枚紀念章，現在要把這些紀念章全部裝進盒子里（盒子數大于3，小于10），且每個盒子里裝同樣多，有多少種不同的裝法？
【答案】2種
【分析】每個盒子的數量必須是30的因數，先求出30的所有因數，找到大于3小于10的因數，是每個盒子裝的個數；紀念章的總數÷每個盒子裝的個數＝需要的盒子數量，據此解答。
【詳解】30因數有：1，2，3，5，6，10，15，30；
其中大于3小于10的有：5，6；
30÷5＝6（個）
30÷6＝5（個）
一種是一盒裝5枚，需要6個盒子；
一種是一盒裝6枚，需要5個盒子。
一共有2種裝法。
答：有2種裝法。
【典例精講2】（22-23五年級上·陜西漢中·期末）商店運來36瓶飲料，如果每6瓶裝一箱，能正好裝完嗎？為什么？
【答案】能；36是6的倍數
【分析】根據題意，求如果每6瓶裝一箱，能不能正好裝完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍數，據此解答。
【詳解】36÷6＝6（箱）
答：36是6的倍數，則能正好裝完，能裝6箱。
【點睛】本題考查倍數的應用。根據倍數的意義即可解答。
【典例精講3】（23-24五年級上·陜西咸陽·期末）有56瓶飲料，選哪種包裝盒能正好把這些飲料全部裝完？
【答案】選4瓶/盒
【分析】根據整除的意義，誰能整除56，就選哪種包裝盒的，據此解答即可。
【詳解】56÷4＝14（盒）
56÷5＝11（盒）……1（瓶）
56是4的倍數，不是5的倍數。
答：選4瓶/盒的包裝盒能正好把這些飲料全部裝完。
【典例精講4】（23-24五年級上·廣東深圳·期中）明明、樂樂、天天三人的年齡正好是三個連續的偶數，他們的年齡總和是36歲，他們三人中最小的是多少歲？最大的是多少歲？
【答案】最小10歲；最大14歲
【分析】整數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數。
已知三人的年齡正好是三個連續的偶數，他們的年齡總和是36歲，根據連續偶數的特點，兩個相鄰的偶數相差2；用這三個連續偶數的和除以3，求出平均數，即是中間的偶數，再用中間的偶數分別減2、加2，求出相鄰的另外兩個偶數，也就是三人中最小的和最大的年齡。
【詳解】36÷3＝12（歲）
12－2＝10（歲）
12＋2＝14（歲）
答：他們三人中最小的是10歲，最大的14歲。
【典例精講5】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）為了加強生活垃圾分類宣傳教育，提高師生參與垃圾分類的積極性和主動性，學校舉辦了垃圾分類知識競賽。五（1）班同學參加了這次競賽，一共有40道題，評分標準如下：答對一道題得3分，不答或答錯一題倒扣1分，那么五（1）班同學所得總分是奇數還是偶數，為什么？
【答案】偶數；原因見詳解
【分析】答對的數量×3－答錯的數量×1＝實際得分，根據奇偶的運算性質：奇數×奇數＝奇數，奇數×偶數＝偶數，偶數－奇數＝奇數，如果答對是奇數，那么答錯就是偶數，得分和扣的分數一定是一個奇數一個偶數，所以差也是偶數。
【詳解】假設全答對：
40×3＝120（分），得分為偶數；
假設答對39道題：
39×3－1×1＝117－1＝116（分），得分為偶數；
假設答對38道題：
38×3－1×2＝114－2＝112（分），得分為偶數；
……
由于答對的數量×3－答錯的數量×1＝實際得分，總題數是40道，屬于偶數。那么答對數量和答錯數量肯定一個奇數一個偶數，奇數×奇數＝奇數，奇數×偶數＝偶數，偶數－奇數＝奇數，那么最后兩個積相減得到總分，這兩個積一定是一個奇數一個偶數，所以結果也是偶數。
答：五（1）班同學所得總分是偶數。
【典例精講6】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）有三路公交車從同一站點同時出發。1路車每2分發車一輛，3路車每3分發車一輛，6路車每5分發車一輛，這三路公交車至少再過多少分會同時發車？
【答案】30分
【分析】分析題目，要使三路公交車同時發車則時間必須同時是2、3、5的倍數，據此分別列舉出2，3，5的倍數；再找出同時是2、3、5的倍數的最小數即可解答。
【詳解】2的倍數有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34……
3的倍數有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36……
5的倍數有：5，10，15，20，25，30，35……
同時是2、3、5的倍數的最小數是：30
答：這三路公交車至少再過30分會同時發車。
【典例精講7】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）同學們學過3的倍數的特征：各個數位上的數字之和是3的倍數。9的倍數有什么特征呢？請舉例說明。
【答案】9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數；說明見詳解
【分析】9的倍數有9、18、27、36…99等，因為1＋8＝9，2＋7＝9，3＋6＝9，9＋9＝18，9和18都是9的倍數，即9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。
【詳解】通過分析可得：
9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。如18，1＋8＝9，再如99，9＋9＝18，9和18都是9的倍數，說明9的倍數的特征是各個數位上的數字之和是9的倍數。
【典例精講8】（23-24五年級上·陜西西安·期中）手工課上，李老師和同學們折紙鶴，每人折的只數相同，總共折了473只。這個班有學生多少人？每人折紙鶴多少只？（學生人數不少于20人）
【答案】學生42人，每人折11只
【分析】通過等積式先找出473的所有因數，再找出其中符合學生人數的因數，從而找出每人折紙鶴多少只。
【詳解】473＝1×473＝11×43
由于學生人數不少于20人，那么學生和老師一共有43人。
43－1＝42（人）
答：這個班有學生42人，每人折紙鶴11只。
【典例精講9】（22-23五年級上·陜西西安·期中）把36塊糖裝在小罐子里，每個小罐子裝同樣多（每小罐里糖的數量要大于3塊，小于36塊），有幾種裝法？每種裝法個需要幾個小罐子？如果有37塊糖呢？
【答案】5種裝法；每種裝法分別需要9個、6個、4個、3個、2個小罐子；37塊糖不能按要求分裝
【分析】每小罐里糖的數量必須是36的因數，先求出36的所有因數，找到大于3小于36的因數，是每個小罐子裝的個數；糖的總數量÷每個小罐子裝的個數＝需要的小罐子數量；根據同樣的想法，先找到37的所有因數，沒有大于3小于36的因數，就不能按要求分裝。
【詳解】36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
所以：36÷4＝9（個）
36÷6＝6（個）
36÷9＝4（個）
36÷12＝3（個）
36÷18＝2（個）
37的因數有：1、37。
答：有5種裝法，每種裝法分別需要9個、6個、4個、3個、2個小罐子，37塊糖不能按要求分裝。
【點睛】關鍵是理解因數的意義，掌握一個數的因數的求法。
【典例精講10】（24-25五年級上·廣東深圳·期中）數寶寶可能是幾？寫出所有的可能。
【答案】13或19
【分析】一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，除以1和它本身兩個因數，這樣的數叫做合數；能被2整除的數，叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數，據此解答。
【詳解】比10大比20小的奇數有：11、13、15、17、19；
其中質數有11、13、17、19，
11＝2＋9，9不是質數；
13＝2＋11，
17＝2＋15，15不是質數；
19＝2＋17，
所以數寶寶可能是13或19。
答：數寶寶可能是13或19。
學校:___________ 姓名：___________ 班級：___________
應用題
1．2023年12月12日是西安事變87周年。黃老師買了30枚紀念章，現在要把這些紀念章都裝進盒子里，要求每個盒了裝的數量一樣多，至少有兩個盒子，一共有多少種不同的裝法？
2．圣誕節前一天，某公司準備了40多個蘋果發給職工們，這些蘋果每8個裝一袋，剛好裝完，這些蘋果有多少個？
3．把20個蘋果裝進相同的盒子里，每個盒子里裝的蘋果個數一樣多（每個盒子里至少裝2個，至少裝2盒）。有多少種不同的裝法？
4．數學課上，張老師想在計數器上撥7顆珠子表示一個三位數。三位同學有不同的想法：
A同學：不可能是2的倍數；
B同學：不可能是3的倍數；
C同學：不可能是5的倍數。
你認為誰的想法是正確的？用你喜歡的方式說明理由。
5．用一根32厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都是質數。這個長方形的面積最大是多少平方厘米？
6．現有24塊月餅需裝在盒子里，每個盒子裝同樣多，有幾種裝法？每種裝法各需要幾個盒子？
7．博文到三木買了3個相同的足球，售貨員阿姨說應付217元。售貨員阿姨算得對不對，為什么？
8．甲、乙兩個倉庫存放著同樣的貨物。甲倉庫存放128噸，甲倉庫再運進12噸，正好是乙倉庫的2倍。乙倉庫存放著多少噸貨物？
9．笑笑用一根24厘米長的鐵絲圍成一個長方形，這個長方形的長和寬剛好是整厘米數，且是兩個質數，這個長方形的面積是多少平方厘米？
10．破解密碼－ABCDE。
提示：A－最小的合數，B－5的最小倍數，C－它既是3的倍數，又是3的因數，D－它的所有因數是1，2、4、8，E－它既是質數又是偶數。這個密碼是多少？
11．2021年是紅軍長征勝利85周年，學校舉行了以“緬懷革命先烈，傳承紅色基因”為主題的文藝演出。李老師為文藝演出編排舞蹈隊形，同學們每5人一組，還余3人。舞蹈隊的人數在40－50之間，舞蹈隊可能有多少人？
12．75名同學參加團體操表演。如果要求每排人數必須相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的隊列一共有幾種？
13．面包師要把28塊面包用袋子進行包裝，每袋面包的數量相等（袋數大于1，但小于28），一共有幾種包裝方法？
14．五（1）班的學生人數在40－50人之間，一次大掃除，按8人一組分組，則少1人，五（1）班有多少名學生？
15．便民超市新運進365瓶無菌消毒洗手液，如果每2瓶裝一提，能正好裝完嗎？如果每5瓶裝一箱，能正好裝完嗎？為什么？
16．有114個蘋果，如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？
17．糕點師要把36塊面包用袋子進行包裝，每袋面包的數量相等（袋數大于1，但小于36），一共有幾種包裝方法？
18．一列高速列車1.5時行駛390千米，一架飛機的速度是這列高速列車速度的3.2倍。這架飛機每小時飛行多少千米？
19．五（1）班有32名同學參加廣播操比賽，要使每行人數都相等，可以排幾行？共有幾種排法？（每行或每列不少于2人）
20．甲、乙兩個冰柜里存放了一些雪糕，其中，一個冰柜里有奇數根雪糕，另一個冰柜里有偶數根雪糕。如果將甲冰柜的雪糕數乘3，乙冰柜的雪糕數乘2，那么甲、乙冰柜雪糕總量就變成59。小李認為：有偶數根雪糕的是甲冰柜，奇數根雪糕的是乙冰柜，你同意嗎？請從“和與積的奇偶性”的角度闡述自己的想法和理由。
（1）你同意小李的觀點嗎？
（2）你的理由是：
21．9月30日烈士紀念日，學校計劃組織學生去寶天鐵路英烈紀念館，準備了12朵百合和18朵菊花，用這兩種花搭配成同樣的花束（正好用完，沒有剩余），請你幫忙設計可以扎成幾束（至少2束）？每束有幾朵百合？幾朵菊花？
22．選用哪種包裝箱能正好把64本書裝完？寫出你的理由。
23．榨油車間榨出850升花生油，如果分裝在容量是2升的小油桶，能裝完嗎？如果分裝在容量是5升的大油桶，能正好裝完嗎？為什么？
24．為配合全民健身運動，春苑小區40名老年人參加體操表演，隊形不能為一行1人或一行40人，要求每行人數相同，有幾種排法？
25．王明在超市買了3本同樣的筆記本，筆記本價格是整元數，付50元，找回36元，他認為收銀員算錯了，你能幫他說出理由嗎？
26．小軍家的客廳地面長4米，寬3.5米，如果用邊長5分米的正方形地磚來鋪，需要多少塊這樣的地磚？
27．筐里有40個蘋果，將它們全部取出來，分成幾堆，堆數大于1小于10，要使每堆蘋果的個數相等，有幾種分法？
28．從0、2、4、5、8這5張卡片中任選3張組成一個三位數，使它既是2的倍數，又是3和6的倍數，能組成多少個？請把它們寫出來。
29．一個長方形的周長是24厘米，長方形的長和寬都是質數，這個長方形的面積是多少？
30．有68個蘋果，如果每5個蘋果裝成一盤，至少再拿來幾個或拿走幾個蘋果才能正好裝完？
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