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第6節　解直角三角形及其應用
(6年6考,3分)
　　從近6年陜西中考的考試內容來看,解直角三角形及其應用是重點考查內容,難度不大.從難易度上分為兩類,第一類考查直角三角形中的常見角等概念,第二類考查數學轉化思想,將實際問題轉化為解直角三角形的問題.
【回歸教材·過基礎】
【知識體系】
【知識清單】
知識點1銳角三角函數的定義　輪考
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A為△ABC中一銳角,sin A==①　　;cos A==②　　;tan A==③　　
知識點2特殊角的三角函數值　輪考
30° 45° 60° 基本圖形
sin α ④
cos α
tan α ⑤
知識點3解直角三角形　常考
【真題精粹·重變式】
考向1特殊角的三角函數值
1.計算:×+4×|1-|sin 60°-.
考向2直角三角形的邊角關系　6年3考
2.(2019·陜西6題3分)如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E.若DE=1,則BC的長為 ( )
A.2+ B.+
C.+2 D.3
　　
第2題圖　　　　　　　　第3題圖
3.如圖,在6×7的網格中,每個小正方形的邊長均為1.若點A,B,C都在格點上,則sin B的值為 ( )
A. B. C. D.
4.(2022·陜西5題3分)如圖,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,則邊AB的長為 ( )
A.3
B.3
C.3
D.6
考向3解直角三角形的實際應用　6年2考
5.(2021·陜西21題6分)一座吊橋的鋼索立柱AD兩側各有若干條斜拉的鋼索,示意圖如圖所示.小明和小亮想用測量知識測較長鋼索AB的長度,他們測得∠ABD為30°,由于B,D兩點間的距離不易測得,通過探究和測量,發現∠ACD恰好為45°,點B與點C之間的距離約為16 m.已知點B,C,D共線,AD⊥BD,求鋼索AB的長.(結果保留根號)
6.(2023·陜西21題6分)一天晚上,小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈(燈桿底部不可到達)的高AB.如圖,當小明爸爸站在點D處時,他在該景觀燈照射下的影子長為DF,測得DF=2.4 m;當小明站在爸爸影子的頂端F處時,測得點A的仰角
α為26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8 m,小明眼睛到地面的距離EF=1.6 m,點F,D,B在同一條直線上,EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB.求該景觀燈的高AB.(參考數據:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50)
7.(2024·陜西21題6分)如圖,一座小山頂的水平觀景臺的海拔為1 600 m,小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔.他在該觀景臺上選定了一點A,在點A處測得點C的仰角∠CAE=42°,再在AE上選一點B,在點B處測得點C的仰角α=45°,AB=10 m.求山頂C點處的海拔.(小明身高忽略不計,參考數據:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
參考答案
回歸教材·過基礎
知識清單
①　②　③　④　⑤1　⑥90°　⑦c2　⑧sin B
⑨　⑩越陡
真題精粹·重變式
1.解析:原式=2+4×-1×-2
=2+6-2-2
=4.
2.A　3.A　4.D
5.解析:在△ADC中,設AD=x m.
∵AD⊥BD,∠ACD=45°,
∴CD=AD=x.
在△ADB中,AD⊥BD,∠ABD=30°,
∴AD=BDtan 30°,
即x=(16+x),
解得x=8+8,
∴AB=2AD=(16+16)m.
答:鋼索AB的長為(16+16)m.
6.解析:
如圖,過點E作EH⊥AB,垂足為H,得矩形EFBH.
由題意得EH=FB,EF=BH=1.6 m.
設EH=FB=x m,
在Rt△AEH中,∠AEH=26.6°,
∴AH=EH·tan 26.6°≈0.5x(m),
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m.
∵CD⊥FB,AB⊥FB,
∴∠CDF=∠ABF=90°.
∵∠CFD=∠AFB,
∴△CDF∽△ABF,
∴=,
∴=,
∴AB=0.75x,
∴0.75x=0.5x+1.6,
解得x=6.4,
∴AB=0.75x=4.8(m),
∴該景觀燈的高AB約為4.8 m.
7.解析:如圖,過點C作CD⊥AE,交AE的延長線于點D.
設BD=x m.
∵AB=10 m,∴AD=AB+BD=(x+10)m.
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,∴CD=BD·tan 45°=x m.
在Rt△ACD中,∠A=42°,∴CD=AD·tan 42°≈0.9(x+10) m,
∴x=0.9(x+10),解得x=90,∴CD=90 m.
∵小山頂的水平觀景臺的海拔為1 600 m,
∴山頂C點處的海拔約為1 600+90=1 690(m).

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