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專題三　圓的證明與計算
題型1　以圓的性質(zhì)為背景的證明與計算
圓的證明與計算每年解答題考查1道,分值為8分.主要結(jié)合的知識點:①相似三角形;②銳角三角函數(shù);③全等三角形;④特殊四邊形的判定.
1.如圖,AB是☉O的直徑,以AB為腰作等腰△ABC,底邊BC交☉O于點D,連接AD,延長CA交☉O于點E,連接BE,DE.
(1)求證:∠CAD=∠BED.
(2)若BD=20,tan∠BDE=,求☉O的半徑.
2.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠ADC=90°.連接BD,作CF⊥BD,分別交BD,☉O于點E,F,連接BF,交AC于點M,AB=BC.
(1)求證:BF∥CD.
(2)當(dāng)AD+CD=5時,求線段BD的長.
題型2　以切線性質(zhì)為背景的證明與計算
3.(2024·交大附中模擬)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AC是☉O的直徑,D是OA的中點.DE⊥AC交CB的延長線于點E,交AB于點F,G是DE上的一點,且BG與☉O相切于點B.
(1)求證:∠GBF=∠C.
(2)若tan∠CED=,AD=4,求FG的長.
4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,以CD為直徑作☉O,與AC,BC分別交于點E,F,過點F作☉O的切線FG,交AB于點G.
(1)求證:FG⊥AB.
(2)若☉O的半徑是,cos∠ACD=,求FG的長.
5.如圖,AB是☉O的一條弦,E是AB的中點,過點E作EC⊥OA于點C,過點B作☉O的切線交CE的延長線于點D.
(1)求證:DB=DE.
(2)若AB=12,BD=5,求AC的長.
6.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的☉O交AC于點D,過點D作☉O的切線交BC于點E.
(1)求證:EC=ED.
(2)若DC=DE=6,求圖中陰影部分的面積.
7.(2024·新城區(qū)模擬)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,BC為☉O的直徑,D為☉O上一點,過點D作☉O的切線分別交AB,AC的延長線于點E,F,且BC∥EF,連接AD.
(1)求證:∠BAD=∠CAD.
(2)若AB=3,AC=3,求CF的長.
8.如圖,在△ABC中,AC=BC,☉O是△ABC的外接圓,過點B作☉O的切線BD,連接AD交BC于點E,交☉O于點F,連接BF.
(1)求證:∠FBD=∠FAB.
(2)若AE⊥BC,AC=6,=,求DF的長.
題型3　切線的判定及其應(yīng)用
9.(2024·西工大附中模擬)如圖,AB是☉O的直徑,點C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,點F在線段AB的延長線上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求證:EF與☉O相切.
(2)若BF=,sin∠AFE=,求BC的長.
10.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于點D,點O在BC上,以點O為圓心,OB為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,交AB于點E.
(1)求證:AC是☉O的切線.
(2)若OB=5,CD=4,求AE的長.
11.如圖,C是以AB為直徑的☉O上的一點,過點A作☉O的切線交BC的延長線于點D,取AD的中點E,連接EC并延長交AB的延長線于點F.
(1)求證:EF是☉O的切線.
(2)若CF=12,BF=8,求tan D的值.
12.(2024·鐵一中模擬)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一點,點O在BC上,以點O為圓心的圓經(jīng)過C,D兩點,連接CD,∠A=2∠BCD.
(1)求證:AB為☉O的切線.
(2)若tan A=,☉O的半徑為2,求AB的長.
參考答案
1.解析:(1)證明:∵AB是☉O的直徑,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD,BD=CD.
∵∠BED=∠BAD,∴∠CAD=∠BED.
(2)∵∠BDE=∠BAE,
∴tan∠BDE=tan∠BAE=.
∵AB是☉O的直徑,∴∠AEB=90°,
∴=.
設(shè)AE=7x,則BE=24x,
∴AB==25x,
∴AC=AB=25x,∴CE=AC+AE=32x.
∵BD=CD,BD=20,∴BC=2BD=40.
在Rt△BCE中,BC2=CE2+BE2,
∴402=(32x)2+(24x)2,解得x=1(負(fù)值已舍去),
∴AB=25,∴☉O的半徑為.
2.解析:(1)證明:∵AB=BC,
∴=.
∵∠ADC=90°,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∵CF⊥BD,∴∠DEC=90°,
∴∠DCF=45°.
又∵∠F=∠BDC=45°,
∴∠F=∠DCF=45°,
∴BF∥CD.
(2)如圖,延長AD至點N,使得DN=DC,連接NC.
∵∠ADC=90°,DN=DC,
∴∠N=∠DCN=45°,
∴sin N==.
∵AD+CD=5,
∴AD+DN=AN=5.
∵∠DAC=∠DBC,∠N=∠BDC=45°,
∴△NAC∽△DBC,
∴=,
即==,
解得BD=5,
∴線段BD的長為5.
3.解析:
(1)證明:如圖,連接OB,則OB=OC,
∴∠C=∠OBC.
∵BG與☉O相切于點B,
∴BG⊥OB.
∵AC是☉O的直徑,
∴∠OBG=∠ABC=90°,
∴∠GBF=∠OBC=90°-∠OBF,
∴∠GBF=∠C.
(2)∵D是OA的中點,AD=4,
∴OD=AD=4,∴OC=OA=2AD=8,
∴CD=OD+OC=4+8=12.
∵DE⊥AC,∴∠ADF=∠CDE=90°,
∴=tan∠CED=,
∴ED=CD=×12=16.
∵∠A=∠CED=90°-∠C,
∴=tan A=tan∠CED=,
∴FD=AD=×4=3,
∴EF=ED-FD=16-3=13.
∵∠FBE=∠CDE=90°,
∴∠GFB=∠C=90°-∠E.
由(1)得∠GBF=∠C,
∴∠GFB=∠GBF,∴FG=BG.
∵∠E+∠GFB=90°,∠GBE+∠GBF=90°,
∴∠E=∠GBE,∴EG=BG,
∴FG=EG=EF=×13=,
∴FG的長為.
4.解析:(1)證明:如圖,連接OF,DF.
∵∠ACB=90°,AD=DB,
∴DC=DB=DA.
∵CD是☉O的直徑,
∴∠CFD=90°,即DF⊥BC,
∴CF=FB.
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF是△CDB的中位線,
∴OF∥BD,
∴∠OFC=∠B.
∵FG是☉O的切線,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴∠FGB=90°,
∴FG⊥AB.
(2)在Rt△ABC中,
∵D是AB的中點,CD=5,
∴AD=BD=5,
∴AB=10.
∵cos∠ACD=cos∠CAD==,
∴AC=10×=6,
∴BC===8.
∵CD是☉O的直徑,
∴∠CFD=90°,∴BF=CF=BC=4,
∴DF===3,
∴S△BDF=DF·BF=BD·FG,
∴FG===.
5.解析:(1)證明:∵BD為☉O的切線,
∴OB⊥BD,
∴∠OBD=90°,即∠OBE+∠DBE=90°.
∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=90°.
又∵OA=OB,∴∠A=∠OBE,
∴∠OBE+∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠DBE.
∵∠AEC=∠DEB,
∴∠DEB=∠DBE,
∴DB=DE.
(2)如圖,作DF⊥AB于點F.
∵E是AB的中點,
∴AE=BE=AB=6.
∵DB=DE,DF⊥AB,
∴BF=EF=BE=3,
∴DF==4.
∵EC⊥OA,DF⊥AB,
∴∠ACE=∠DFB=90°.
∵∠AEC=∠DBE,
∴△ACE∽△DFB,
∴=,即=,
解得AC=.
6.解析:(1)證明:如圖,連接OD,BD.
∵AB為☉O的直徑,
∴∠ADB=90°.又∵∠ABC=90°,
∴BC是☉O的切線.
∵DE是☉O的切線,
∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°,
∴∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠CDE=90°,
∴∠C=∠EDC,∴ED=CE.
(2)在Rt△BCD中,
∵DC=DE=BE=CE=6,
∴△CDE是等邊三角形,BC=12,
∴∠C=60°.
∵∠ABC=90°,∴∠A=30°,
∴AB=BC=12 ,
∴OA=OD=6 ,
∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠BOD=60°,
∴圖中陰影部分的面積=S四邊形OBED-S扇形DOB
=6×6 -
=36 -18π.
7.解析:
(1)證明:如圖,連接OD.
∵EF是☉O的切線,BC∥EF,
∴∠EDO=∠COD=90°,
∴∠BOD=∠COD=90°,
∴=,∴∠BAD=∠CAD.
(2)如圖,連接DO并延長,交AC于點G.
∵BC為☉O的直徑,∴∠BAC=90°.
∵AB=3,AC=3,
∴BC==6,∴OB=OC=OD=3.
∵∠GOC=∠BAC,∠GCO=∠BCA,
∴△GCO∽△BCA,∴==,
∴==,
∴GO=,GC=2.
∵BC∥EF,∴=,∴=,∴CF=6.
8.解析:(1)證明:如圖,連接BO,延長BO與☉O交于點G,連接GF.
∵BD是☉O的切線,
∴∠OBD=90°.
∵BG為☉O的直徑,
∴∠BFG=90°,
∴∠G+∠GBF=∠GBF+∠DBF=90°,
∴∠FBD=∠G.
∵∠G=∠FAB,∴∠FAB=∠FBD.
(2)∵AC=BC=6,=,
∴CE=2,BE=4.
∵AE⊥BC,
∴AE==4 .
∵∠C=∠BFE,∠CAE=∠FBE,
∴△ACE∽△BFE,∴=,
即=,解得EF=.
設(shè)DF=x,
∵DB是☉O的切線,∠FAB=∠FBD,∠D=∠D,
∴△BDF∽△ADB,
∴=,∴BD2=DF·DA.
∵BD2=DE2+BE2=(x+)2+42,
∴(x+)2+42=x(x+4 +),
解得x=3 ,
即DF=3 .
9.解析:
(1)證明:如圖,連接OE.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE.
又∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE,
∴∠OEF=∠ACB=90°,即OE⊥EF.
∵OE是半徑,∴EF是☉O的切線.
(2)設(shè)半徑為r,即OE=OB=r,則OF=r+.
在Rt△EOF中,sin∠AFE===,
∴r=4,∴AB=2r=8.
在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,AB=8,
∴AC=×8=,
∴BC==.
10.解析:
圖1
(1)證明:如圖1,連接OD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵OB=OD,
∴∠DBC=∠BDO,
∴∠ABD=∠BDO,∴AB∥DO,
∴∠ODC=∠A=90°.
∵OD是☉O的半徑,
∴AC是☉O的切線.
(2)如圖2,過點O作OG⊥AB,垂足為G,
∴BG=GE,∠BGO=∠AGO=90°.
∵∠A=∠ODA=∠AGO=90°,
∴四邊形AGOD是矩形,∴AG=OD=OB=5.
在Rt△ODC中,OD=5,DC=4,
∴OC===.
∵AB∥OD,∴∠ABC=∠DOC.
∵∠BGO=∠ODC=90°,∴△BGO∽△ODC,
圖2
∴=,即=,
解得BG=,
∴GE=BG=,
∴AE=AG-GE=5-,
∴AE的長為5-.
11.解析:(1)證明:如圖,連接OC,EO.
∵DA是☉O的切線,∴∠A=90°.
∵E為AD的中點,O為AB的中點,
∴OE為△ABD的中位線,
∴OE∥BD,
∴∠AOE=∠ABD,∠EOC=∠OCB.
∵OB=OC,
∴∠ABD=∠OCB,∴∠AOE=∠COE.
在△AOE和△COE中,
∴△AOE≌△COE(SAS),
∴∠A=∠OCE=90°,∴OC⊥EF.
∵OC為☉O的半徑,∴EF是☉O的切線.
(2)設(shè)☉O的半徑為r,則OC=r,OF=r+8.
在Rt△OCF中,OC2+CF2=OF2,
則r2+122=(r+8)2,解得r=5.
∵∠F=∠F,∠OCF=∠EAF=90°,
∴△OCF∽△EAF,
∴=,即=,
解得AE=.
∵E為AD的中點,∴AD=15,
∴tan D===.
12.解析:
(1)證明:如圖,連接OD.
∵☉O經(jīng)過C,D兩點,
∴OC=OD,
∴∠ODC=∠BCD,
∴∠BOD=∠ODC+∠BCD=2∠BCD.
∵∠A=2∠BCD,∴∠BOD=∠A.
在△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥AB.
∵OD為☉O的半徑,∴AB為☉O的切線.
(2)由(1)得∠BOD=∠A,∠ODB=90°.
∵tan A=,∴tan∠BOD=.
在Rt△BOD中,tan∠BOD==.
∵☉O的半徑為2,∴OD=OC=2,
∴=,∴BD=.
在Rt△BOD中,OD=2,BD=,
∴OB==,
∴BC=OB+OC=+2=.
在Rt△ABC中,tan A==,
∴AC=BC=×=4.
在Rt△ABC中,BC=,AC=4,
∴AB==.

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