資源簡介

第2節(jié)　特殊的平行四邊形
(6年6考,6~10分)
　　本節(jié)內(nèi)容每年均會考查.考查矩形的判定及性質(zhì).利用菱形的性質(zhì)求角度、線段比值及關(guān)系、線段長.正方形考查的是正方形與圓結(jié)合求最值、正方形與平行四邊形結(jié)合求線段長、正方形與全等三角形的判定及性質(zhì)結(jié)合、正方形中的線段或面積最值、面積等分等.
【回歸教材·過基礎(chǔ)】
【知識體系】
【知識清單】
知識點1特殊四邊形的定義及性質(zhì)　?？?br/>特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形
圖形
性質(zhì) 邊 對邊① 對邊相等且平行 四條邊② , 對邊③ 四條邊相等,對邊平行
角 兩組對角分別相等 四個角④ (都是直角) 兩組對角分別相等 四個角相等(都是直角)
對角線 互相平分 互相平分且相等 互相⑤ , 平分⑥ 互相平分且垂直、相等, 平分一組對角
對 稱 性 中心對稱圖形 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形有4條對稱軸
對稱中心為對角線交點
周長 C=2(a+b) C=2(a+b) C=4a C=4a
面積 S=ah S=ab S=ah=mn S=a2=m2
知識點2特殊四邊形之間的關(guān)系　常考
知識點3中點四邊形　輪考
溫馨提示:(1)判斷一個四邊形的中點四邊形狀的關(guān)鍵是判斷其兩條對角線的位置和數(shù)量關(guān)系;
(2)中點四邊形的周長是原四邊形兩條對角線的長度之和;
(3)中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.
【真題精粹·重變式】
考向1矩形的性質(zhì)與判定
1.(2022·陜西4題3分)在下列條件中,能夠判定 ABCD為矩形的是 ( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,O是矩形的對稱中心,點E,F分別在邊AD,BC上,連接OE,OF.若AE=BF=2,則 OE+OF 的值為 ( )
A.2 B.5 C. D.2
　　
第2題圖　　　　　第3題圖
3.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,過矩形的對稱中心O的直線EF分別與AD,BC交于點E,F,且FC=2.若H為OE的中點,連接BH并延長與AD交于點G,則BG的長為 ( )
A.8 B. C.3 D.2
4.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若E是邊CD的中點,連接AE,過點B作BF⊥AE交AE于點F,則BF的長為( )
A. B. C. D.
考向2菱形的性質(zhì)與判定
5.(2023·陜西11題3分)點E是菱形ABCD的對稱中心,∠B=56°,連接AE,則∠BAE的度數(shù)為 .
6.(2020·陜西14題3分)如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,點E在邊AD上,且AE=2.若直線l經(jīng)過點E,將該菱形的面積平分,并與菱形的另一邊交于點F,則線段EF的長為 .
　　
第6題圖　　　　　第7題圖
7.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點.若以點P,B,C為頂點的三角形是等腰三角形,則P,D(P,D兩點不重合)兩點間的最短距離為 .
8.如圖,O為菱形ABCD的對稱中心,AB=4,∠BAD=120°.若點E,F分別在AB,BC邊上,連接OE,OF,則OE+OF的最小值為 .
9.如圖,在菱形ABCD中,E是邊AD上一點,延長AB至點F,使得BF=AE,連接BE,CF.求證:BE=CF.
10.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,則菱形ABCD的面積是 .
考向3正方形的性質(zhì)與判定
11.(2024·陜西7題3分)如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H.若AB=6,CE=2,則DH的長為 ( )
A.2 B.3 C. D.
　　
第11題圖　　　　　第12題圖
12.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理,標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.如圖,這個“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的,其中直角三角形的斜邊長為13,一條直角邊長為12,則小正方形ABCD的面積為 .
13.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為邊AD,CD上的點,且AE=CF,連接AF,CE交于點G.求證:AG=CG.
14.【原創(chuàng)好題】如圖,在正方形ABCD 中,分別以BC,CD為斜邊,向外側(cè)作等腰直角三角形△BEC和△CFD,連接DE,則sin∠DEF的值為 .
【核心突破·拓思維】
題型1矩形的性質(zhì)與判定
如圖,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四邊形ABED是平行四邊形,DE交BC于點F,連接CE.求證:四邊形BECD是矩形.
題型2菱形的性質(zhì)與判定
如圖,在菱形ABCD中,E是邊AB的中點,F是邊AD上一點,連接CE,CF,CE⊥AB,CF⊥AD.
(1)求證:CE=CF.
(2)若AE=2,求CE的長.
1.如圖,在四邊形ABCD中,BC=CD.連接BD,過點C作BD的垂線交AB于點E,連接DE.
(1)如圖1,若DE∥BC,求證:四邊形BCDE是菱形.
(2)如圖2,連接AC,設(shè)BD,AC相交于點F,DE垂直平分線段AC,求∠CED的大小.
　　
圖1　　　　　　　　圖2
題型3正方形的性質(zhì)與判定
如圖,在正方形ABCD中,E為AD上一點,連接BE,BE的垂直平分線交AB于點M,交CD于點N,垂足為O,點F在DC上,且MF∥AD.
(1)求證:△FMN≌△ABE.
(2)若AB=8,AE=6,求ON的長.
2.如圖,E,F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點,且BE=DF.
(1)求證:△ABE≌△CDF.
(2)若AB=3,BE=2,求四邊形AECF的面積.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
知識清單
①相等且平行?、谙嗟取、燮叫小、芟嗟取、萜椒智掖怪薄、抟唤M對角　⑦平行四邊形　⑧菱形?、峋匦巍、庹叫巍×庑巍【匦巍≌叫?br/>真題精粹·重變式
1.D　2.D　3.D　4.B　5.62°　6.2　7.2-2
8.2
9.證明:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AD∥BC,
∴∠A=∠CBF.
又∵AE=BF,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴BE=CF.
10.2
11.B　12.49
13.證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADF=∠CDE,AD=CD.
∵AE=CF,∴DE=DF,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠DAF=∠DCE.
又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,
∴△AGE≌△CGF(AAS),
∴AG=CG.
14.
核心突破·拓思維
例1　證明:∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,AD=CD.
∵四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE∥AD,BE=AD,
∴BE=CD,
∴四邊形BECD是平行四邊形.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
∴四邊形BECD是矩形.
例2　解析:(1)證明:∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠BEC=∠DFC=90°.∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,BC=CD,
∴△BEC≌△DFC(AAS),
∴CE=CF.
(2)如圖,連接AC.
∵E是邊AB的中點,CE⊥AB,
∴BC=AC.
又由四邊形ABCD為菱形,得BC=AB,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠EAC=60°.
在Rt△AEC中,AE=2,
∴CE=AEtan 60°=2.
變式設(shè)問　1.解析:(1)證
圖1
明:如圖1,設(shè)BD與CE相交于點O,∵DC=BC,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE∥BC,
∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,
∴△ODE≌△OBC(AAS),∴DE=BC,
∴四邊形BCDE為平行四邊形.
∵CE⊥BD,
圖2
∴四邊形BCDE為菱形.
(2)如圖2,由(1)可知,BO=DO,
∴CE垂直平分BD,
∴BE=DE.
∵BO=DO,
∴∠BEO=∠CED.
∵DE垂直平分AC,設(shè)AC與DE相交于點G,
∴AE=CE.
∵EG⊥AC,∴∠AEG=∠CED=∠BEO.
∵∠AEG+∠CED+∠BEO=180°,
∴∠CED=60°.
例3　解析:(1)證明:在正方形ABCD中,AD=DC=CB=AB,∠A=∠D=∠C=90°,BC∥AD,AB∥DC.
∵MF∥AD,∠A=∠D=90°,AB∥DC,
∴四邊形ADFM是矩形,
∴AD=MF,∠AMF=∠MFD=90°,
∴∠BMF=∠NFM=90°,∴∠BMO+∠OMF=90°,AB=AD=MF.
∵MN是BE的垂直平分線,
∴MN⊥BE,
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO,
∴∠MBO=∠OMF.
在△FMN和△ABE中,
∴△FMN≌△ABE(ASA).
(2) 如圖,連接ME.
∵AB=8,AE=6,
∴在Rt△ABE中,BE===10.
∵△ABE≌△FMN,∴MN=BE=10.
∵MN是BE的垂直平分線,
∴BO=OE=BE=5,BM=ME,
∴AM=AB-BM=8-ME.
在Rt△AME中,AM2+AE2=ME2,
∴(8-ME)2+62=ME2,解得ME=,
∴BM=ME=.
在Rt△BMO中,MO2=BM2-BO2,
∴MO===,
∴ON=MN-MO=10-=.
變式設(shè)問　2.解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如圖,連接AC.
∵四邊形ABCD是正方形,AB=3,
∴AC=BD==6,AC⊥BD.
∵BE=DF=2,
∴EF=6-2-2=2,
∴S四邊形AECF=S△AEF+S△CEF=EF·AC =×2×6=6.

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