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提分微專題3　 相似三角形的六大模型
模型1 X字型
如圖1,若AB∥CD,則△ABE∽△DCE;如圖2,若∠A=∠D或∠B=∠C,則△ABE∽△DCE.
1.如圖,點E在平行四邊形ABCD的邊DC上,若DE∶EC=2∶3,則△AFB與△CFE的面積之比為 .
2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,點E在CD上,連接AE并延長,交BC的延長線于點F.
(1)求證:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的長.
模型2 A字型
如圖1,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC;如圖2,若∠AED=∠B,則△ADE∽△ACB.
3.如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,點D在邊AC上,AD=2.若點E在邊AB上,以A,D,E為頂點的三角形與△ABC相似,則AE的長為 .
4.如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
模型3 子母型
如圖,已知∠1=∠2,結論:△ACD ∽△ABC.
我們不僅要熟悉模型,還要熟記模型的結論,有時候題目中會給出三角形邊的乘積關系或者比例關系,我們要能快速判斷題中的相似三角形,模型中由△ACD ∽△ABC進而可以得到AC2=AD·AB.
5.如圖,在△ABC中,P為邊AB上一點,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,則AC的長為 .
6.如圖,在△ABC中,AB=4,BC=8,D為BC邊上一點,BD=2.
(1)求證:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于點E,請再寫出另一個與△ABD相似的三角形,并直接寫出DE的長.
模型4雙垂直型
①如圖1,在△ABC中,AD為BC邊上的高,這個是子母型的特殊情況,則AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD.
②如圖2,在△ABC中,若BD,CE分別是AC,AB邊上的高,則△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC.
7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB邊上一點,CD⊥AB.
(1)求證:AC2=AB·AD.
(2)若△ABC為任意三角形,在AB邊上(不包括A,B兩個頂點)是否仍存在一點D,使AC2=AB·AD 若存在,請加以證明;若不存在,請說明理由.
8.如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足為D,CE⊥AB,垂足為E,求證:
(1)△ABC∽△ADE.
(2)BC=2DE.
9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D為AB上一點.
(1)如圖1,若CD⊥AB,求證:AC2=AD·AB.
(2)如圖2,若AC=BC,H為CD上一動點,過點H作EF⊥CD交BC于點E,交AC于點F,若=,求的值.
模型5三垂直型
一線三直角是一種常見的相似模型,指的是由三個直角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形,有些地區稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.
如圖1、圖2,△ACD∽△BAE.特殊地,當AB=AC時,△ACD≌△BAE.
三垂直型應用:1.圖形中已經存在“一線三直角”,直接應用模型解題;2.圖形中存在“一線兩直角”,補上“一直角”構造此模型;3.圖形中只有直線上的一個直角,補上“兩直角”構造此模型;4.圖形中只有一個直角,過該直角頂點補上“一線”,再補上“兩直角”,構造此模型.
10.如圖,在正方形ABCD中,M為BC上一點,MN⊥AM,MN交CD于點N,連接AN.
(1)求證:△ABM∽△MCN.
(2)若AB=6,BM=2,求DN的長.
模型6一線三等角型
已知:在圖1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.結論:△ABC∽△CDE.
如圖1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,
又∵∠B=∠ACE,
∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.
圖2、圖3同理可證△ABC∽△CDE.
在一線三等角的模型中,難點在于當已知三個相等的角的時候,容易忽略隱含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似應用較多,當看見該模型的時候,應立刻看出相應的相似三角形.
11.如圖,在△ABC中,AB=AC,P,D分別是BC,AC邊上的點,且∠APD=∠B.求證:
(1)△ABP∽△PCD.
(2)AB·CD=CP·BP.
12.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,M,N分別是BC,AC邊上的點(點M不與點B,C重合,點N不與點A,C重合),且∠1=∠B.
(1)求證:∠BAM=∠CMN.
(2)若AB=5,BC=8.
①當BM=時,MN與AB是否平行 若平行,請證明;若不平行,請說明理由.
②當△AMN為等腰三角形時,求BM的長.
參考答案
1.25∶9
2.解析:(1)證明:∵在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠DCF,
∴△ADE∽△FCE.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AB=4,
∴AB=CD=4.
又∵△ADE∽△FCE,
∴=.
∵AD=6,CF=2,
∴=,
∴DE=3.
3.或　解析:當=時,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
此時AE=.
當=時,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ACB.
此時AE=.
綜上所述,AE的長為或.
4.解析:(1)證明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
∴∠AEF+∠EAF=90°,∠GAC+∠ACG=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AEF=∠ACG.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴=.
∵AD=BE=4,AE=3,
∴AB=BE+AE=4+3=7,
∴=,
解得AC=,
∴CD=AC-AD=-4=.
5.
6.解析:(1)證明:∵AB=4,BC=8,BD=2,
∴=.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于點E,如圖所示,易得∠BAD=∠C,∠B=∠EDC,則△ABD∽△CDE,
∴=,
即=,
解得DE=3.
7.解析:(1)證明:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AB·AD.
(2)存在.
證明:如圖,過點C作∠ACD=∠B交AB于點D,
則AC2=AB·AD.
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AB·AD.
8.證明:(1)易得△ABD∽△ACE,
∴=.
又∵∠A=60°,∴∠ABD=30°,
∴==.
又∵∠A為公共角,
∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知,==,
∴BC=2DE.
9.解析:(1)證明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠ACB=90°.
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AD·AB.
(2)如圖,過點A作AM⊥AC交直線CD于點M,易證△ADM∽△BDC,===tan∠ACD=.
又∵tan∠ACH==,∴CH=2HF.
又∵∠ACH=∠FEC,
∴tan∠FEC=tan∠ACD==,
∴EH=2CH,
∴EH=4HF,
∴=.
10.解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,MN⊥AM,
∴∠B=∠C=∠AMN=90°,AB=BC=CD,
∴∠AMB+∠CMN=90°,∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠AMB=∠MNC,
∴△ABM∽△MCN.
(2)由(1)可知△ABM∽△MCN,
∴=.
∵AB=BC=6,BM=2,
∴CM=4,
∴=,
∴CN=,
∴DN=6-=.
11.證明:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
(2)∵△ABP∽△PCD,∴=,
∴AB·CD=CP·BP.
12.解析:(1)證明:∵∠AMB=∠C+∠MAN,∠MNC=∠1+∠MAN,∠B=∠C=∠1,
∴∠AMB=∠MNC,∴∠BAM=∠CMN.
(2)①MN∥AB.
證明:∵===,∠B=∠B,
∴△ABM∽△CBA,
∴∠BAM=∠C=∠1,∴MN∥AB.
②當AM=AN時,∠1=∠MNA,
∴點N與點C重合,∠1=∠B,不合題意,應舍去;
當MA=MN時,△ABM≌△MCN,AB=MC=5,
∴BM=BC-MC=3;
當AN=MN時,∠NAM=∠1=∠B=∠C,
∴△ABC∽△MCA,
∴=,∴MC=,∴BM=BC-MC=.
綜上所述,當△AMN是等腰三角形時,BM的長為3或.

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