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提分微專題2　全等三角形的四大模型
模型1平移型
把△ABC沿著某一條直線l平行移動,所得到的△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形,圖1,圖2是常見的平移型全等三角形.在證明平移型三角形全等的試題中,常常要碰到移動方向的邊加(減)公共邊.如圖1,若BE=CF,則BE+EC=CF+CE,即BC=EF;如圖2,若BE=CF,則BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
1.如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,AD∥EC,∠AED=∠B,若DE=3,則BC= .
2.如圖,B,E,C,F四點在同一條直線上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判斷線段AC,DF的關系并證明.
模型2翻折軸對稱型
將原圖形沿著某一條直線折疊后,直線兩邊的部分能夠完全重合,這兩個三角形稱為翻折型全等三角形.此類圖形中要注意其隱含條件,即公共邊或公共角相等.
3.如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F,連接CD,EB.
(1)不添加輔助線,找出圖中其他的全等三角形.
(2)求證:CF=EF.
模型3旋轉型
將三角形繞公共頂點旋轉一定角度后,兩個三角形能夠完全重合,則稱這兩個三角形為旋轉型三角形.識別旋轉型三角形時,如圖1,涉及對頂角相等;如圖2,涉及等角加(減)等角的條件.
4.如圖,在四邊形ABCD中,點E在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE,求證:△ABC≌△DEC.
5.如圖,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE,求證:AD=AE.
模型4一線三等角型
如圖1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC,則△ADB≌△CEA.
如圖2,∠BAC=∠BDF=∠CEF,AB=AC,則△ADB≌△CEA.
特殊的三垂直情況:
如圖3,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥AC,則△ADB≌△CEA.
6.如圖,△ABC為等邊三角形,D,E,F分別為AB,BC,AC上的點,∠DEF=60°,BD=CE,求證:BE=CF.
參考答案
1.3
2.解析:AC=DF且AC∥DF.
證明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF,∠ACB=∠F,
∴AC∥DF,
∴AC=DF且AC∥DF.
3.解析:(1)題圖中其他的全等三角形為△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.
(2)證明:∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,
即∠CAD=∠EAB,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS),
∴CF=EF.
4.證明:∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠ABC.
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
5.證明:∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AD=AE.
6.證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=60°.
∵∠CED=∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∴∠CEF=∠BDE.
又∵BD=CE,
∴△DBE≌△ECF(ASA),
∴BE=CF.

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