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第3節　與圓有關的計算
(2024.T23(1)考查,3分)
　　陜西省2024年在壓軸題中以填空題的形式考查了一次,上一次考查是在2012年,陜西中考變化很大,對此部分內容仍不可忽視.
【回歸教材·過基礎】
【知識體系】
【知識清單】
知識點與圓有關的計算　輪考
與圓有關的計算
方法 公式法 直接和差法 構造和差法 等面積轉化法
圖示
計算 公式 S陰影=S扇形MEN S陰影=S△ABC -S扇形CAD S陰影=S△OBC-S扇形BDO S陰影=S扇形OCD
【真題精粹·重變式】
考向1弧長的計算
1.(2024·陜西26題10分)(節選)問題提出:
如圖,在△ABC中,AB=15,∠C=30°,作△ABC的外接圓☉O,則的長為 .(結果保留π)
2.如圖,一條公路(公路的寬度忽略不計)的轉彎處是一段圓弧,點O是這段弧所在圓的圓心,半徑OA=90 m,圓心角∠AOB=80°,則這段彎路的長為 ( ) A.20π m B.30π m C.40π m D.50π m 　　 第2題圖　　　　　第3題圖 3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以點C為圓心,CA的長為半徑畫弧,交AB于點D,則的長為 ( ) A.π B.π C.π D.2π
考向2與扇形面積有關的計算
4.若在平面內,將長度為4的線段AB繞它的中點M,按逆時針方向旋轉30°,則線段AB掃過的面積為 .
考向3圓的綜合題
5.(2023·陜西26題10分)(1)如圖1,在△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,AB=24.若☉O的半徑為4,點P在☉O上,點M在AB上,連接PM,求線段PM的最小值. (2)如圖2,五邊形ABCDE是某市工業新區的外環路,新區管委會在點B處,點E處是該市的一個交通樞紐.已知∠A=∠ABC=∠AED=90°,AB=AE=10 000 m,BC=DE=6 000 m.根據新區的自然環境及實際需求,現要在矩形AFDE區域內(含邊界)修
一個半徑為30 m的圓型環道☉O.過圓心O,作OM⊥AB,垂足為M,與☉O交于點N,連接BN,點P在☉O上,連接PE.其中,線段BN,PE及MN是要修的三條道路,要在所修道路BN,PE之和最短的情況下,使所修道路MN最短,試求此時環道☉O的圓心O到AB的距離OM的長.
參考答案
回歸教材·過基礎
知識清單
①2πr　②　③πr2　④
真題精粹·重變式
1.25π　2.C　3.B　4.π
5.解析:(1)如圖1,連接OP,OM,過點O作OM'⊥AB,垂足為M',
則OP+PM≥OM.
∵☉O的半徑為4,
∴PM≥OM-4≥OM'-4.
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠A=30°,
∴OM'=AM'·tan 30°=12tan 30°=4,
∴PM≥OM'-4=4-4,
∴線段PM的最小值為4-4.
(2)如圖2,分別在BC,AE上作BB'=AA'=r=30 m,
連接A'B',B'O,OP,OE,B'E.
∵OM⊥AB,BB'⊥AB,ON=BB',
∴四邊形BB'ON是平行四邊形,
∴BN=B'O.
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E,
∴BN+PE≥B'E-r,
∴當點O在B'E上時,BN+PE取得最小值.
作☉O',使圓心O'在B'E上,半徑r=30 m,
作O'M'⊥AB,垂足為M',并與A'B'交于點H,
∴O'H∥A'E,
∴△B'O'H∽△B'EA',
∴=.
∵☉O'在矩形AFDE區域內(含邊界),
∴當☉O'與FD相切時,B'H最短,即B'H=10 000-6 000+30=4 030(m),
此時,O'H也最短.
∵M'N'=O'H,
∴M'N'也最短.
∴O'H==
=4 017.91(m),
∴O'M'=O'H+30=4 047.91(m),
∴此時環道☉O的圓心O到AB的距離OM的長為4 047.91 m.

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