資源簡介

第2節(jié)　與圓有關(guān)的位置關(guān)系
(6年6考,8分)
　　中考每年必考內(nèi)容,題型為解答題.主要考查與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算,如今與其他知識點(diǎn)結(jié)合,綜合考查.比如相似三角形,全等三角形,銳角三角函數(shù),勾股定理,四邊形等.
【回歸教材·過基礎(chǔ)】
【知識體系】
【知識清單】
知識點(diǎn)1與圓有關(guān)的位置關(guān)系　輪考
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(設(shè)圓
的半徑為r,平面內(nèi)任一
點(diǎn)到圓心的距離為d)
直線與圓的位置關(guān)系(設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d) 位置關(guān)系 相離 相切 相交
d與r的關(guān)系 d④ r d⑤ r d⑥ r
示意圖
公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 沒有公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 有兩個(gè)公共點(diǎn)
知識點(diǎn)2切線　常考
切線的性質(zhì):圓的切線⑦ 于過切點(diǎn)的半徑(或直徑)
切線的判定
切線長定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長⑧ ,這一點(diǎn)和圓心的連線⑨ 兩條切線的夾角.如圖,過☉O外一點(diǎn)P可引兩條切線PA,PB,則PA=⑩ ,PO平分∠APB
知識點(diǎn)3三角形的內(nèi)心　輪考
【真題精粹·重變式】
考向1與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算　6年6考
1.(2022·陜西24題8分)如圖,AB是☉O的直徑,AM是☉O的切線,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足為E,連接BD并延長,交AM于點(diǎn)P.
(1)求證:∠CAB=∠APB.
(2)若☉O的半徑r=5,AC=8,求線段PD的長.
2.(2024·陜西24題8分)如圖,直線l與☉O相切于點(diǎn)A,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D在直線l上,且位于點(diǎn)A兩側(cè),連接BC,BD,分別與☉O交于點(diǎn)E,F,連接EF,AF.
(1)求證:∠BAF=∠CDB.
(2)若☉O的半徑r=6,AD=9,AC=12,求EF的長.
考向2與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算
3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的外接圓,點(diǎn)D在☉O上,且=,過點(diǎn)D作CB的垂線,與CB的延長線相交于點(diǎn)E,并與AB的延長線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是☉O的切線.
(2)若☉O的半徑R=5,AC=8,求DF的長.
4.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BAD=∠C,點(diǎn)D在BC邊上,以AD為直徑的☉O交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是☉O的切線.
(2)已知AB=6,AC=8,求AF的長.
【核心突破·拓思維】
題型1切線的性質(zhì)及其應(yīng)用
如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB為直徑的☉O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作☉O的切線交AC于點(diǎn)E,連接AD.
(1)求證:AE=DE.
(2)若AB=10,BD=6,求AC的長.
1.如圖,AB是☉O的直徑,BC是☉O的切線,D為BC的中點(diǎn),連接AD與☉O交于點(diǎn)E,連接CE并延長,與☉O交于點(diǎn)F,且CF經(jīng)過圓心O.
(1)求證:E為CF的中點(diǎn).
(2)若AD=6,求☉O的半徑.
如圖,四邊形ABDC內(nèi)接于☉O,AD平分∠BAC,延長AC交☉O的切線DE于點(diǎn)E.
(1)求證:BC∥DE.
(2)連接DC,若cos∠BAD=,DC=10,求點(diǎn)C到DE的距離.
2.如圖,在△AOB中,☉O與AB相切于點(diǎn)D,延長AO交☉O于點(diǎn)C,連接CD,過點(diǎn)A作AF⊥BO,交BO的延長線于點(diǎn)H,交☉O于點(diǎn)F,∠B=∠C.
求證:(1)AF∥CD.
(2)AH2=OH·BH.
題型2切線的判定及其應(yīng)用
如圖,在△ABC中,∠A=45°,以AB為直徑的☉O經(jīng)過AC的中點(diǎn)D,E為☉O上的一點(diǎn),連接DE,BE,DE與AB交于點(diǎn)F.
(1)求證:BC為☉O的切線.
(2)若F為OA的中點(diǎn),☉O的半徑為2,求BE的長.
3.如圖,AB為☉O的直徑,☉O過AC的中點(diǎn)D,DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE為☉O的切線.
(2)若DE=2,tan C=,求☉O的直徑.
　　(1)切線性質(zhì)的運(yùn)用口訣:“見切點(diǎn),連半徑,得垂直,得等腰”.在運(yùn)用切線的性質(zhì)時(shí),當(dāng)連接半徑之后,會得到垂直條件,進(jìn)而會出現(xiàn)直角三角形,同時(shí)圓的半徑均為等線段,則會出現(xiàn)等腰三角形.利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì),可完成等角轉(zhuǎn)換.
　　(2)切線的判定:判定直線是不是圓的切線時(shí),從以下兩個(gè)維度入手. ①連半徑,證垂直.通過連接半徑,得到等線段,尋找等腰三角形進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換(互余導(dǎo)角),以此來證明垂直; ②作垂直,證半徑.通過作垂直,尋找全等三角形,利用全等三角形的性質(zhì)來證明所作垂線段為半徑.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
知識清單
①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<　⑦垂直　⑧相等　⑨平分　⑩PB　與三角形各邊相切的圓　三角形內(nèi)切圓的圓心　各邊　三條角平分線
真題精粹·重變式
1.解析:(1)證明:∵AM是☉O的切線,∴∠BAM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠CEA=90°,∴AM∥CD,
∴∠CDB=∠APB.
∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.
(2)如圖,連接AD.
∵AB為☉O的直徑,
∴∠CDB+∠ADC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CAB+∠C=90°.
∵∠CDB=∠CAB,
∴∠ADC=∠C,
∴AD=AC=8.
∵AB=10,
∴BD==6.
∵∠ADB=∠PAB,∠ABD=∠PBA,
∴△ADB∽△PAB,
∴=,
∴PB===,
∴PD=-6=.
2.解析:(1)證明:∵直線l與☉O相切于點(diǎn)A,AB是☉O的直徑,
∴AB⊥CD,∴∠BAC=∠BAD=90°.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠AFB=90°.
∵∠BAF+∠ABD=90°,∠CDB+∠ABD=90°,
∴∠BAF=∠CDB.
(2)在Rt△ABD中,
∵AB=2r=12,AD=9,
∴BD==15.
在Rt△ABC中,
∵AB=12,AC=12,
∴BC==12.
∵∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD,
∴△BAF∽△BDA,
∴BF∶BA=BA∶BD,即BF∶12=12∶15,
解得BF=.
∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,
∴∠BEF=∠CDB.
∵∠EBF=∠DBC,
∴△BEF∽△BDC,
∴EF∶DC=BF∶BC,即EF∶21=∶12,
解得EF=,即EF的長為.
3.解析:(1)證明:如圖,連接DO并延長,與AC相交于點(diǎn)P.
∵=,
∴DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∵DE⊥BC,
∴∠CED=90°.
∵∠C=90°,
∴∠ODF=90°,
∴DF是☉O的切線.
(2)∵∠C=90°,
∴AB=2R=10.
在Rt△ABC中,BC==6.
∵∠DPC+∠C=180°,
∴PD∥CE,
∴∠CBA=∠DOF.
∵∠C=∠ODF,
∴△ABC∽△FOD,
∴=,即=,
∴DF=.
4.解析:(1)證明:∵∠BAC=90°,
∴∠DAC+∠BAD=90°.
∵∠BAD=∠C,∴∠DAC+∠C=90°,
∴∠ADC=90°.
又∵AD是☉O的直徑,
∴BC是☉O的切線.
(2)如圖,連接DF.
在Rt△ABC中,
AB=6,AC=8,
∴BC==10.
∵S△ABC=AB·AC=BC·AD,
∴×6×8=×10×AD,
解得AD=.
∵AD是☉O的直徑,
∴∠AFD=90°,
∴∠AFD=∠ADC.
又∵∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD,
∴=,即=,∴AF=.
核心突破·拓思維
例1　解析:(1)證明:如圖,連接OD.
∵∠BAC=90°,DE是☉O的切線,
∴∠OAD+∠DAE=90°,OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAE=∠ADE,
∴AE=DE.
(2)∵AB是☉O的直徑,
∴AD⊥BC,∠B+∠BAD=90°.
∵AB=10,BD=6,
∴AD==8.
在△ABC和△DBA中,
∵∠BAC=∠BDA=90°,∠CBA=∠ABD,
∴△ABC∽△DBA,
∴=,即=,
∴AC=.
變式設(shè)問　1.解析:
(1)證明:如圖,連接BF.
∵在☉O中,∠A=∠F,∠F=∠OBF,
∴∠A=∠OBF,
∴AD∥BF.
∵D為BC的中點(diǎn),
∴E為CF的中點(diǎn).
(2)設(shè)☉O的半徑為r,由(1)可知,EF=CE=2r,
∴OC=OE+EC=3r.
∵BC為☉O的切線,∴∠ABC=90°.
在Rt△OBC中,OC=3r,OB=r,
∴BC==2r,
∴BD=CD=BC=r.
在Rt△ABD中,AB=2r,AD=6,且AD2=AB2+BD2,
∴62=4r2+2r2,解得r=.
∴☉O的半徑為.
例2　解析:(1)證明:如圖,過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴=,
∴BD=CD.
∵DH⊥BC,
∴DH是BC的中垂線,
∴DH必經(jīng)過圓心點(diǎn)O.
∵DE是☉O的切線,
∴DH⊥DE,
∴BC∥DE.
(2)如圖,過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G.
由(1)知BC∥DE,
∴∠BCD=∠CDE.
∵=,
∴∠BAD=∠BCD,
∴∠CDE=∠BAD.
∵DC=10,cos∠BAD=,
∴在Rt△CDG中,cos∠CDE===,
∴DG=6,
∴CG===8,即點(diǎn)C到DE的距離為8.
變式設(shè)問　2.證明:(1)如圖,連接OD.
∵☉O與AB相切于點(diǎn)D,
∴OD⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∴∠B+∠BOD=90°.
∵∠B=∠C,
∴∠C+∠BOD=90°.
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠C,
∴∠ODC+∠BOD=90°,
∴∠DMO=180°-(∠ODC+∠BOD)=90°,
∴DC⊥BH.
∵AF⊥BH,∴DC∥AF.
(2)∵DC∥AF,
∴∠OAH=∠C.
∵∠B=∠C,
∴∠OAH=∠B.
∵∠AHO=∠BHA,
∴△AHO∽△BHA,
∴AH∶BH=OH∶AH,
∴AH2=OH·BH.
例3　解析:(1)證明:如圖,連接OD.
∵OA=OD,∠A=45°,
∴∠ADO=∠A=45°,
∴∠AOD=90°.
∵D是AC的中點(diǎn),
∴AD=CD.
又∵OA=OB,
∴OD∥BC,
∴∠ABC=∠AOD=90°,
∴BC是☉O的切線.
(2)由(1)可得∠AOD=90°.
∵☉O的半徑為2,F為OA的中點(diǎn),
∴OF=1,BF=3,AD==2,
∴DF===.
∵=,
∴∠E=∠A.
∵∠AFD=∠EFB,
∴△AFD∽△EFB,
∴=,即=,
解得BE=.
變式設(shè)問　3.解析:(1)證明:如圖,連接OD.
∵D為AC的中點(diǎn),O為AB的中點(diǎn),
∴OD為△ABC的中位線,∴OD∥BC.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°,
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴OD⊥DE于點(diǎn)D,
∴DE為☉O的切線.
(2)如圖,連接DB.
∵AB為☉O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC,
∴∠CDB=90°.
∵D為AC的中點(diǎn),
∴AB=BC.
在Rt△DEC中,
∵DE=2,tan C=,∴EC==4,
由勾股定理得DC=2,
在Rt△DCB中,BD=DC·tan C=,
由勾股定理得BC=5,
∴AB=BC=5,∴☉O的直徑為5.

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