資源簡介

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角
【知識梳理】
1．角的概念及其表示
（1）角的定義：從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個點叫做角的頂點，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數字表示.例如下圖：
知識要點
①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義.
②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.
2.角的分類
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
3.角的度量
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
知識要點
①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.
②度分秒之間的轉化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉化)時用除法逐級進行.
③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.
4.角的比較與運算
（1）角的比較方法: ①度量法；②疊合法；③估算法.
（2）角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 類似地，還有角的三等分線等.
5.余角、補角
（1）定義：
若∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.
（2）性質：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.
知識要點
①余角(或補角)是兩個角的關系，是成對出現的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).
②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數是相同的.
③只考慮數量關系，與位置無關．
④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”．
6.方位角
以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
知識要點
（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.
（2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.
【課堂練習】
選擇題
1.下面四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是( )
A. B. C. D.
2.下列換算中，錯誤的是( )
A. B.
C. D.
3.如圖，在的方格表中，記，，，則( )
A. B. C. D.
4.用一副三角尺，不能畫出的角是．
A. B. C. D.
5.如圖所示，，，則圖中互為余角的共有( )
A. 對 B. 對 C. 對 D. 對
6.如圖，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結論：；；；其中正確的個數有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
7.鐘表上時分時，時針與分針所成的角是( )
A. B. C. D. 以上答案都不對
8.一副三角板、，如圖放置、，將三角板繞點逆時針旋轉一定角度，如圖所示，且，則下列結論中正確的是( )
的角度恒為；
在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為次；
在圖的情況下，作，則平分．
A. B. C. D.
二、填空題
9.計算： ______．
10.把一個周角等分，每一份是______的角精確到秒．
11.在中，如果，那么 度
12.如圖，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，那么的度數為__________．
13.如圖，為直線上一點，過點作射線，使，將一個直角三角尺按圖所示的方式擺放，直角頂點在點處，一條直角邊在射線上．將圖中的三角尺繞點以每秒的速度按逆時針方向旋轉圖，在旋轉一周的過程中，第時，所在直線恰好平分，則的值為 ．
三、解答題
14.如圖，過點的三條射線，，形成了三個小于平角的角．
若，求的度數；
在的內部畫判斷，與的大小關系，并說明理由．
15.如圖，在圓形鐘面上，點為鐘面的圓心，以點為頂點按要求畫出符合下列要求的角角的兩邊不經過鐘面上的數字：

在圖中畫一個銳角，使銳角的內部含有個數字，且數字之差的絕對值最大；
在圖中畫一個直角，使直角的內部含有個數字，且所含個數字之積等于這個數字之和；
在圖中畫一個鈍角，使鈍角的內部含有個數字，且數字之和最小；
在圖中畫一個平角，使平角的內部與外部的數字之和相等；
在圖中畫兩個直角，使這兩個直角的內部含有的個數字之和相等．畫出一種即可
16.如圖，已知直線和相交于點，的度數為，，平分．
當時，求與的度數
當時，射線，分別以，的速度同時繞點順時針轉動，求當射線與射線重合時至少需要多少時間
當時，射線以的速度繞點順時針轉動，同時射線也以的速度繞點逆時針轉動，當射線轉動一周時射線也停止轉動射線在轉動一周的過程中當時，求射線轉動的時間．
【課后鞏固】
1.的補角與的余角相等，則與的關系是 ．
A. 互余 B. 互補 C. 比大 D. 比大
2.如圖，在已知一個角內部畫射線，畫條射線，圖中共有個角；畫條射線，圖中共有個角；畫條射線，圖中共有個角；求畫條射線得的角的個數是( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
3.如圖，已知，，平分，平分，則的度數是 ．
4.如圖，直線，交于點，，，平分，給出下列結論：當時，；為的角平分線；與相等的角有三個；，其中正確的結論有 把所有正確結論的序號都填在橫線上
5.【定義概念】
如圖，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為，，若這三個角中有一個角是另外一個角的倍，則稱射線為的“幸運線”例如：圖中，則射線為的一條”幸運線”本題中所研究的角都是大于且小于的角
【閱讀理解】
一個角的平分線______這個角的“幸運線”；填“是”或“不是”
【初步應用】
若，射線為的“幸運線”，求的度數；
【解決問題】
如圖，已知，射線從出發，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，同時，射線從出發，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，設運動的時間為秒若，，三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，直接寫出所有的值．
6.游樂園的摩天輪深受學生們的喜愛，如圖是某游樂園的摩天輪的平面示意圖，個座艙均勻分布在圓形轉輪邊緣，摩天輪以固定的速度繞中心逆時針方向轉動，轉一周需要分鐘．座艙與圓形轉輪邊緣的連接點按順時針依次標注為，表示的是摩天輪的支架，且．
摩天輪每分鐘轉動 ，
如圖，在某一時刻，連接，點轉動到的內部，此時，以此時刻為初始時刻．
求此時的的度數；
求當第一次平分時，摩天輪的轉動時間以及此時的度數；
設摩天輪轉動的時間為分鐘，在連接點第一次到達最高處前，是否存在的時刻？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
參考答案
【課堂練習】
1.【答案】
【解析】解：項兩線交叉有四個角不可以表示同一個角，項可以表示同一個角，
項中表示的角和是一個角，項表示的不是一個角．
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】解：不能夠被整除，所以不能畫出的角．
一副三角板能夠畫出為的整數倍數的角．
5.【答案】
【解析】本題考查了余角和平角的應用，解此題的關鍵是能理解互余的定義，注意：如果，那么和互余．
由題目條件得，再根據互余的定義判斷即可．
解：，
，
，
，
圖中互為余角的角有和，和，和，和，共對
6.【答案】
【解析】根據角平分線的定義可設，，利用平角等于得出，再得出，則，，然后分別判斷即可．
解：平分，平分，
可設，，
為直線上一點，，
，，即．
，，
．
平分，．
，，
，故本選項結論正確；
，，
，故本選項結論正確；
，，
，故本選項結論正確；
，
當時，，
但是題目沒有的條件，故本選項結論錯誤．
綜上所述，正確的有：共個．
7.【答案】
【解析】解：我們把時針指向，分針指向作為起始位置，
當分針指向時，它轉了，
此時時針轉動了，
則時針和之間還有，
故時針和分針之間夾角為．
畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．
8.【答案】
【解析】本題是一道較難的綜合題，考查了直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差等知識點，依據正確分兩種情況討論是解題關鍵．需注意的是，不能受兩個示意圖的影響，而少討論一種情況．根據直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差逐個判斷即可得．
解：，，，
，，
如圖，當時，
，
如圖，當時，
，
因此，的角度不恒為，則錯誤；
如圖，當時，
由角平分線的定義得
，
如圖，當時，
由角平分線的定義得
，
因此，的角度恒為定值，則正確；
，
邊與三角板的三邊所在直線夾角不可能成，
如圖，當時，設與的交點為，
，
，即，
，
，
，
，
只與三角板的邊所在直線夾角成，次數為次；只與三角板的邊所在直線夾角成，次數為次；
如圖，當時，延長交于點，
，
，即，
，
，
，
，
只有與三角板的邊所在直線夾角成，次數為次，
因此，在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為次，則錯誤；
如圖，作，
，即平分，
如圖，作，
顯然不平分，則錯誤，
綜上，正確的個數只有這個．
故選B．
9.【答案】
【解析】解：
10.【答案】
【解析】解：．
周角是度，用這個數除以，就可以得到．注意精確到秒．
本題考查了度分秒的換算，注意精確到某一位，即是對下一位進行四舍五入．
11.【答案】
【解析】本題考查三角形內角和，根據三角形內角和為度，結合已知條件可求結論．
解：因為，，
所以，
所以，
所以．
12.【答案】
【解析】在圖上標出和，根據同角的余角相等求出的度數后用減去角，再減去的度數，求出的差就是的度數．
解：如圖：
，，
，
又，
．
13.【答案】或
【解析】提示：記的平分線為，則．
根據題意，得或，解得或所以滿足題意的的值為或．
14.【答案】解：設，
，
，
，
，解得．．
補全圖形如圖所示，．
證明略．
15.【答案】【小題】解：如圖， 【小題】解：
【小題】解：【小題】解：【小題】解：
【解析】本題考查了角的概念，正確的作出圖形是解題的關鍵．根據題意畫出圖形即可．
16.【答案】解：因為，所以．
因為，
所以，
．
因為平分，
所以．
當時，．
設當射線與射線重合時至少需要．
則，解得，
故當射線與射線重合時至少需要．
設射線轉動的時間為．
當不經過時，此時有，解得
當經過，但在的下方時，此時有，解得
當在的上方時，此時有，解得．
故射線轉動的時間為或或
【解析】本題主要考查了對頂角相等，鄰補角互補的定義，角平分線的定義，角的計算，第三問有難度，熟記性質是解題的關鍵，難點在于要分情況討論．
利用互余和互補的定義可得：與的度數．
先根據，求，則射線、第一次重合時，其運動的度數運動的度數，列式解出即可；
分三種情況：不經過時，經過，但在的下方時；在的上方時；根據其夾角列方程可得時間．

【課后鞏固】
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：因為在已知角內畫射線，畫條射線，圖中共有個角，；
畫條射線，圖中共有個角，；
畫條射線，圖中共有個角，；，
所以畫條射線，圖中共有個角，
所以畫條射線所得的角的個數是個，
本題考查了對角的概念和規律探索，解題的關鍵是能夠根據求出的結果探索出規律．
3.【答案】
【解析】解：因為，，所以，
因為是的平分線，是的平分線，
所以，，
所以
求出，根據角平分線定義求出和，相減即可求出答案．
4.【答案】
【解析】本題考查了垂直，余角、對頂角以及角平分線的定義，注意結合圖形，發現角與角之間的關系是解題的關鍵．
根據同角的余角相等可得，即可判斷；根據角平分線的定義，無法證明為的角平分線，即可判斷；根據角平分線的定義，可得，由對頂角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判斷；根據平角的定義以及，即可判斷．
解：， ，
， ，
，
當時，，故正確；
不能證明，
無法證明為的角平分線，故錯誤；
平分，．
直線，交于點，．
，，
與相等的角有三個，故正確；
，
由得，
，故正確；
綜上，正確的結論有．
5.【答案】不是
【解析】解：一個角的平分線不是這個角的“幸運線”；
故答案為：不是；
設，則，
，，
設，則，
，，
設，則，
，，
故的度數為：或或；
當時，，，
若射線是的幸運線，則，即，；
，即，；
，即，；
當時，，，
若射線是的幸運線，則即，舍；
，即，；
，即，不符合題意，舍去；
故的值是或或或．
根據幸運線定義即可求解；
分種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可；
分種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可．
本題考查了旋轉的性質，幸運線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“幸運線”的定義是解題的關鍵．
6.【答案】【小題】摩天輪每分鐘轉動的角度是，．
【小題】
因為，，所以又因為，所以．
作的平分線交于，則，第一次平分時，轉動了，所以轉動時間為，轉動的角度也是，所以此時．
存在，的值為或，理由如下：
因為是的平分線，所以初始時刻，，當點第一次到達最高處時，時間為，所以設摩天輪轉動的時間為，根據題意得，，因為，即，解得或，所以存在，的值為或．
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