資源簡介

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線段
【知識梳理】
1.直線，射線與線段的區別與聯系
2. 基本事實
(1)直線:兩點確定一條直線． (2)線段:兩點之間線段最短．
知識要點 連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.
3.畫一條線段等于已知線段
（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.
（2）用尺規作圖法：用圓規在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖：
4．線段的比較與運算
（1）線段的比較：①度量法；②疊合法；③估算法.
（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：.
知識要點
①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.
②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.
如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.
【課堂練習】
選擇題
1.如圖，經過刨平的木板上的，兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應用的數學知識是( )
A. 兩點之間，線段最短
B. 兩點確定一條直線
C. 垂線段最短
D. 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
2.下列幾何圖形與相應語言描述相符的是( )
A. 如圖，延長線段到點
B. 如圖，點在射線上
C. 如圖，直線的延長線與直線的延長線相交于點
D. 如圖，射線和線段沒有交點
3.下圖中射線、線段、直線的條數分別為( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如果線段，是平面內一點，且，那么下列說法中正確的是 ( )
A. 點一定在線段上 B. 點一定不在線段上
C. 點有可能在線段上 D. 點一定在直線上
5.已知是線段的中點，是線段的三等分點．若線段，則線段的長為．
A. B. C. 或 D. 或
6.如圖棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線，這樣直線共有多少條( )
A. 條
B. 條
C. 條
D. 條
7.如圖所示，從到有三條路可以走，每條路長分別為，，，則，，的大小關系是．
A. B. C. D.
8.已知數軸上的三點，，所對應的數分別為，，，為原點若，，，下面結論正確的是( )
A. B.
C. D.
二、填空題
9.火車往返于兩個城市，中途經過各站點共個站點，不同的車站來往需要不同的車票，共有不同的車票______種．
10.如圖，是的中點，：：且，則的長為 ．
11.如圖，數軸上點和點表示的有理數分別是和，點是數軸上一個點，若為大于的整數，若點是線段的中點，則點表示的數是________用含的代數式表示．
12.如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有，，，四點，且，點沿直線從右向左移動，當出現點與，，，四點中的至少兩個點距離相等時，就會發出警報，則直線上會發出警報的點有________個．
13.如圖：兩直線相交，最多個交點；三條直線相交最多有個交點；四條直線相交最多有個交點；那么十條直線相交交點個數最多有 ．
三、解答題
14.如圖，平面上有四個點、、、，根據下列語句畫圖：
畫直線；
畫射線；
連接，并反向延長到，使得；
找一個點，使得點到、、、四個點的距離之和最短．
15.點，分別對應數軸上的數，，且，滿足，點是線段上一點，．
直接寫出_____，_____，點對應的數為_____；
點從點出發以每秒個單位長度的速度向左運動，點從點出發以每秒個單位長度的速度向左運動，設運動時間為秒．
在運動過程中，的值是否發生變化？若不變求出其值，若變化，寫出變化范圍；
若，求的值；
16.如圖所示，，兩地在一條河的兩岸，現要在河岸上造一座橋，橋造在何處才能使從地到地的路徑最短？假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直
思考如圖，如果，兩地之間有兩條平行的河流，要建的橋都是與河岸垂直的，我們應該如何找到這個最短的路徑呢？
思考如圖，如果，兩地之間有三條平行的河流呢？
拓展如圖，如果在上述其他條件不變的情況下，兩條河并不是平行的，又該如何建橋呢？
請將你的思考在下面準備好的圖形中表示出來，保留作圖痕跡，將路線用實線畫出來．
【課后鞏固】
1.如圖，點、是線段上任意兩點，點是的中點，點是的中點，若，，則線段的長是( )
A. B. C. D.
2.如圖，某鄉鎮的五戶居民依次居住在同一條筆直的小道邊的處，處，處，處，處，且這五戶居民的人數依次有人，人，人，人，人．鄉村扶貧改造期間，該鄉鎮打算在這條小道上新建一個便民服務點，使得所有居民到便民服務點的距離之和每戶所有居民均需要計算最小，則便民服務點應建在( )
A. 處 B. 處 C. 處 D. 處
3.如圖所示，，是線段上兩點，已知圖中所有線段的長度都是正整數，且總和為，則線段的長度是．
A. B. C. 或 D. 無法確定
4.如圖，把一根繩子以中點對折，點和點重合，折成一條線段，在線段取一點，使：：，從處把繩子剪斷，得到三段繩子．若剪斷后的三段繩子中最短的一段為，則繩子的原長為 ．
5.如圖，點是線段上一點，，點是線段上一點，；點是線段上一點，，，請借助所給的圖形，計算的結果為 為正整數，用含的代數式表示
6.如圖，一款暗插銷由外殼，開關，鎖芯三部分組成，其工作原理如圖，開關繞固定點轉動，由連接點帶動鎖芯移動圖為插銷開啟狀態，此時連接點在線段上，如位置開關繞點順時針旋轉后得到，鎖芯彈回至位置點與點重合，此時插銷閉合如圖已知，，則 ．
7.如圖，為線段上一點，在線段上，且，為的中點．
若，，求線段、的長
試說明：．
8.線段和在數軸上運動，點開始時與原點重合，且．
若，且點為線段的中點，求線段的長．
在的條件下，線段和同時開始向右運動，線段的速度為個單位秒，線段的速度為個單位秒，經過秒恰好有，求的值．
在的條件下，線段和同時開始向左運動，線段的速度為個單位秒，線段的速度為個單位秒，設為線段中點，為線段中點，此時線段的長為定值嗎？若是，請直接寫出線段的長；若不是，請說明理由．
9.早晨，小明幫媽媽將雞蛋餅切成塊，分給弟弟和妹妹吃愛動腦的小明思考：如果每次都沿直線切割，而且切塊大小不要求相同，那么切刀最多可以將雞蛋餅分成多少塊呢切刀呢
雞蛋餅表面可以看作是一個圓面，分割的每一刀都可以抽象為一條直線，雞蛋餅的分割問題實際上是直線分平面區域的問題，
如下圖，一條直線上的若干個點可以將這條直線分成多少段
，
平面上的三條直線有哪幾種不同的位置關系分別畫出相應的圖形．
如下圖，一個平面上的若干條直線最多可以將這個平面分成多少個區域
切刀最多可以將雞蛋餅分成多少塊
參考答案
【課堂練習】
1.【答案】
【解析】解：因為經過兩點有且只有一條直線，
所以經過木板上的、兩個點，只能彈出一條筆直的墨線．
2.【答案】
【解析】解：如圖，延長線段到點，故A錯誤，不符合題意；
B.如圖，點在射線上，故B錯誤，不符合題意；
C.如圖，直線與直線相交于點，故C錯誤，不符合題意；
D.如圖，射線和線段沒有交點，故D正確，符合題意．
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】根據線段中點的定義和線段三等分點的定義分類討論即可得到結論．
解：因為點是線段的中點，，
所以，
點是線段的三等分點，
當時，如圖，
；
當時，如圖，
．
綜上所述，線段的長為或，
6.【答案】
【解析】解：如圖，共有條．
根據棋盤的邊和對角線查找．
7.【答案】
【解析】解：觀察圖形，可知：相等，最短，
的大小關系是：．
8.【答案】
【解析】本題主要考查了數軸，線段的和差以及有理數的乘法法則，解答本題的關鍵是根據已知條件確定，，的符號．
解：，、、中有一個負數或三個負數，
，、、中只有一個負數，
，，，如圖：
，，故選項A、、中的結論錯誤，
由圖可知，，
又，，故選項D中的結論正確．
9.【答案】
【解析】解：如圖：
，
車票：、、、、、、、、、、、、、、，、、、、、、、、、、、、、、．
火車往返于、兩個城市，中途經過個站點共個站點，不同的車站來往需要不同的車票，共有種不同的車票．
根據每條線段就有兩種車票，每兩點就是一條線段，可得答案．
10.【答案】
【解析】根據是的中點可推出與的關系，再根據：：可推出與的關系，最后根據求解即可．
解：是的中點，，
：：，：：，，
，
，
11.【答案】或
【解析】解：為大于的整數，
點在點右邊或在，之間，
當在點右邊時，
，，
點表示的數為，
為中點，
點表示的數為：；
當在，之間時，
，，
點表示的數為，
為中點，
點表示的數為：，
故答案為：或．
本題主要考查了數軸，兩點間的距離，線段中點，分類討論得到點的位置是關鍵首先確定點在點右邊或在，之間，再結合題意求出點表示的數，則可得點表示的數．
12.【答案】
【解析】 本題考查的是直線與線段的相關內容，利用整體思想去思考線段的總條數是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．
點與，，，四點中的至少兩個點距離相等時，也就是點恰好是其中一條線段中點，根據題意可知點在線段、、、、的中點時候會發出警報，即可解答．
解：由題意知，點在線段、、、、的中點時候會發出警報．
直線上會發出警報的點有個．
13.【答案】
【解析】解：條直線相交最多有個交點，
條直線相交最多有個交點，
條直線相交最多有個交點，
條直線相交，最多有個交點，
十條直線相交最多有個交點．
故答案為：．
14.【答案】解：如圖所示；
如圖所示；
如圖所示；
如圖所示，連接，，與的交點即為點．

【解析】連接并向兩方無限延長，即可得到直線；
以為端點向方向延長，即可得到射線；
連接，并將其反向延長至，使；
連接，，根據關于線段的公理：兩點之間線段最短可知其交點即為點．
15.【答案】解：因為，
所以，．
解得，．
因為點是線段上一點，，
所以點對應的數為．
當時，，，
當時，，，
．
故在運動過程中，的值不發生變化，其值為
當時，，解得
當時，，解得．
故的值為秒或秒
【解析】根據非負數的性質，可得出、的值，再根據可得出點對應的數；
先根據題意用表示出點、點對應的數，再根據兩點間的距離分別得出和的長，從而確定的值；
根據列出關于的方程，求出的值即可．
16.【答案】【小題】解：如圖所示，即為所求．
【小題】如圖所示，折線即為所求．
【小題】如圖所示，折線即為所求．
【小題】如圖所示，折線即為所求．

【課后鞏固】
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
點是的中點，點是的中點，，，
．
．
先由，得，再根據中點的性質得，最后由即可求出結果．
2.【答案】
【解析】本題考查線段的和與差，利用分類討論的思想是解題關鍵．分類討論當便民服務點分別在、、、、時，根據線段的和與差計算即可．
解：當便民服務點在或時，由、為兩端點，可知此時五個村莊到便民服務點的距離之和最長；
處，處，處，處，處，且這五戶居民的人數依次有人，人，人，人，人．
當便民服務點在時，五個村莊到便民服務點的距離之和為；
當便民服務點在時，五個村莊到便民服務點的距離之和為；
當便民服務點在時，五個村莊到便民服務點的距離之和為．
觀察線段可得，，
當便民服務點在時，五個村莊到便民服務點的距離之和最小．
綜上可知當便民服務點在時，五個村莊到便民服務點的距離之和最小．
3.【答案】
【解析】本題考查了線段的和差問題，將所有線段加起來可得，從而根據所有線段的長度都是正整數可判斷出．
解：根據題意可得：，
即，
，
圖中所有線段的長度都是正整數，
當時，不是整數，
當時，，
當時，不是整數，
當時，不是整數，
當時，，
當時，，
又，
只有為或．
4.【答案】
【解析】解：，：：，
，則，
剪斷后的三段繩子中最短的一段為，
，
，
繩子的原長為
5.【答案】
【解析】本題考查了兩點間的距離、規律型圖形的變化類，解決本題的關鍵是根據圖形的變化尋找規律．根據題意尋找規律即可求解．
解：，；
；
；，
發現規律，
若，
．
6.【答案】
【解析】解：由圖得，當點在的右側時，即位置時，與點的距離為，
由圖得，當點在的左側時，即位置時，與點重合，即位置，
，
，
，
，
，
，
，
，
結合圖形得出當點在的右側時，即位置時，與點的距離為，當點在的左側時，即位置時，與點重合，即位置，得出，再由圖形中線段間的關系得出，即可求解．
7.【答案】【小題】
因為為的中點，，
所以，．
因為，所以．
因為，，所以，
所以，所以．
【小題】因為，，所以因為，為的中點，所以，，所以
．
8.【答案】解：為線段的中點，
或，
，
；
由題得：點表示的數為：，點表示的數為：，
若在的左側，則，解得：；
若在的右側，則，解得：；
綜上：的值為或
設運動時間為，
由題意得：點表示的數為：，點表示的數為：，點表示的數為：，點表示的數為：，
則：點表示的數為：，
點表示的數為：，
，
即的長為定值，定值是．
【解析】根據線段的和差求解；
根據題意分若在的左側，若在的右側，兩種情況分別列出方程求解即可；
設運動時間為，再用表示，表示的數，再利用中點公式求解．
9.【答案】解：從圖中可以看出直線上有個點，將這條直線分成段，如果是個點可以分成段．
在同一平面內，三條直線有四種不同的位置關系：三條平行，每兩條都沒有交點；每兩條都相交，有三個公共交點；每兩條直線都相交，只有一個公共點；只有兩條不相交，而第三條直線與這兩條直線都相交，有兩個公共交點．
一條直線最多可以分成個區域，二條直線最多可以分成個區域，條直線最多可以分成區域．
【解析】此題主要考查了規律的尋找，連續個正整數的和的公式，解本題的關鍵是審清題意，找出變化規律．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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