資源簡介

小題探究1 三角函數的圖象與性質
【高考須知】
　　1.此部分的命題主要集中于三角函數的定義、圖象與性質,主要考查圖象的變換,函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性,常與三角恒等變換交匯命題.
2.主要以選擇題、填空題的形式考查,難度為中等或中等偏下.
【教材改編】
1.(人教A版必修第一冊P194T4改編)已知在單位圓中,角α的終邊與單位圓的交點為P,,則cos=(　　).
A. B. C.- D.-
2.(人教A版必修第一冊P207T5改編)函數y=3sin,x∈[0,π]的單調遞減區間為(　　).
A. B.
C. D.
3.(人教A版必修第一冊P207T5改編)已知函數f(x)=3sin,x∈[0,a](a>0)的圖象是中心對稱圖形,則a的最小值為(　　).
A. B. C. D.π
4.(人教A版必修第一冊P241T6改編)某時鐘的秒針端點A到中心O的距離為5 cm,秒針繞點O勻速旋轉,當時間t=0時,點A與鐘面上標12的點B重合,則當t=10 s時,A,B兩點間的距離為　　　　cm.
5.(人教A版必修第一冊P229T10改編)已知=-,則sin=　　　　.
命制點1　三角函數的概念與基本關系
【核心提煉】
　　1.同角關系:sin2α+cos2α=1,=tan αα≠+kπ,k∈Z.
2.誘導公式:在θ=+α,k∈Z的誘導公式中,“奇變偶不變,符號看象限”.
(1)若角α的終邊在第二象限,則下列三角函數值中大于零的是(　　).
A.sinα+ B.cosα+
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
(2)(2024·河北高三聯考)設-<α<0,若=,則sin α=(　　).
A.- B.- C.- D.-
【易錯清零】
　　1.注意角度的范圍.
2.在切化弦時,要注意余弦值不為零的隱含條件.
【跟蹤訓練】
1.已知tan+θ=,那么=(　　).
A. B. C.- D.-
2.設sin 23°=m,則tan 67°=(　　).
A.- B.
C. D.
3.若將頂點在原點,始邊為x軸非負半軸的銳角α的終邊繞原點逆時針轉過后交單位圓于點P-,y,則cos α的值為(　　).
A. B. C. D.
命制點2　三角函數的圖象與性質
【核心提煉】
　　函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質
(1)單調性:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得單調遞增區間,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得單調遞減區間.
(2)對稱性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得圖象的對稱中心,由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得圖象的對稱軸.
(3)奇偶性:當φ=kπ(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為奇函數;當φ=kπ+(k∈Z)時,函數y=Asin(ωx+φ)為偶函數.
(4)周期性:最小正周期T=.
(1)(2024·九省適應性考試)已知函數f(x)=sin2x++cos2x+,則(　　).
A.函數fx-為偶函數
B.曲線y=f(x)的對稱軸為直線x=kπ,k∈Z
C.f(x)在區間,上單調遞增
D.f(x)的最小值為-2
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)=sin(ωx+φ),如圖,A,B是直線y=與曲線y=f(x)的兩個交點.若|AB|=,則f(π)=　　　　.
【易錯清零】
　　對于例2(1)中的C選項,在求單調性時,應注意x∈,,2x∈,π的變化;對于例2(2),解題關鍵是把握A,B兩點的橫坐標之間的關系.
【跟蹤訓練】
1.函數f(x)=Asinωx+(ω>0)的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為,要得到函數g(x)=Acos ωx的圖象,只需將f(x)的圖象(　　).
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
2.(2024·新高考Ⅱ卷)對于函數f(x)=sin 2x和g(x)=sin2x-,在下列說法中,正確的有(　　).
A.f(x)與g(x)有相同的零點
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸
3.(2023·株洲一模)關于函數f(x)=cos x+asin x(a≠0)有以下四個選項,正確的是(　　).
A.對任意的a,f(x)都不是偶函數
B.存在a,使f(x)是奇函數
C.存在a,使f(x+π)=f(x)
D.若f(x)的圖象關于直線x=對稱,則a=1
4.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分圖象如圖所示,M,N是它與x軸的兩個交點,D,C分別為它的最高點和最低點,E(0,1)是線段MD的中點,且△OME為等腰直角三角形,則f(x)的解析式為f(x)=　　　　.
命制點3　三角恒等變換
【核心提煉】
　　1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
(3)tan(α±β)=.
　　2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
(1)已知α為銳角,sinα+=,那么sin α=　　　　.
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角,β為第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,則sin(α+β)=　　　　.
【易錯清零】
　　例3(1)中易忽視α為銳角以及對角變換α=α+-的使用,若不使用角變換,則不易求出sin α,同時易忽視對三角函數值的符號的討論.
【跟蹤訓練】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,則cos(α-β)=(　　).
A.-3m B.- C. D.3m
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,則cos(2α+2β)=(　　).
A. B. C.- D.-
3.在斜三角形ABC中,三個內角分別為A,B,C,若tan A,tan B是方程3x2-6x+1=0的兩根,則下列說法正確的是(　　).
A.tan C=3 B.△ABC是鈍角三角形
C.sin B4.已知sinα+=--<α<,則cos2α+=　　　　,sin2α+=　　　　.
參考答案
1.D　解析　依題意得sin α=,所以cos=cos=-sin α=-.故選D.
2.C　解析　由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
令k=0,得≤x≤,
所以函數y=3sin在[0,π]上的單調遞減區間為.故選C.
3.C　解析　依題意得在x軸正方向上,f(x)最靠近原點的零點為.
因為f(x)的圖象的對稱中心是其圖象與x軸的交點,
所以a的最小值為2×-0=.
當a=,x∈0,時,-x∈,,
所以f=3sin 2+=3sin-2x+=-3sin=-f(x),滿足題意.
故選C.
4.5　解析　依題意得,|OA|=|OB|=5 cm,∠AOB=·2π=,取AB的中點C,連接OC(圖略),
則|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin =10sin =5(cm).
5.-　解析　因為=-,所以tan θ=-2,
所以sin=(sin 2θ+cos 2θ)
=(2sin θcos θ+cos2θ-sin2θ)
=
=+
=×+
=-.
命制點1　三角函數的概念與基本關系
例1　(1)D　(2)C　解析　(1)角α的終邊在第二象限,sinα+=cos α<0,故A不符合題意;cosα+=-sin α<0,故B不符合題意;sin(π+α)=-sin α<0,故C不符合題意;cos(π+α)=-cos α>0,故D符合題意.
故選D.
(2)由已知得=,故=.
因為-<α<0,所以sin α≠0,
故=,解得cos α=,
則sin α=-=-.故選C.
跟蹤訓練
1.D　解析　由題意得==,
則tan θ=-2,
故==-
=-=-=-=-.
故選D.
2.D　解析　∵sin 23°=cos 67°=m.
∴sin 67°=,
∴tan 67°==.
故選D.
3.A　解析　由點P在單位圓上,得-2+y2=1,
解得y=±.
由銳角α∈0,,得α+∈,,則y=,
故cosα+=-,sinα+=,
所以cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+·sin=-×+×=.
故選A.
命制點2　三角函數的圖象與性質
例2　(1)AC　(2)-　解析　(1)由輔助角公式得f(x)=sin2x++cos2x+=sin2x++=-sin 2x.
對于A,fx-=-sin2x-=cos 2x,
易知fx-為偶函數,故A正確;
對于B,曲線f(x)=-sin 2x的對稱軸為直線2x=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,故B錯誤;
對于C,由x∈,,可得2x∈,π,易知y=sin 2x在區間,上單調遞減,則f(x)=-sin 2x在區間,上單調遞增,故C正確;
對于D,f(x)=-sin 2x,且sin 2x∈[-1,1],
所以f(x)∈[-,],故D錯誤.故選AC.
(2)設Ax1,,Bx2,,
由|AB|=可得x2-x1=.
令ωx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z.由題圖可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.
因為f=sin+φ=0,所以+φ=kπ,即φ=-+kπ,k∈Z,所以f(x)=sin4x-+kπ=sin4x-+kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin4x-或f(x)=-sin4x-.
又因為f(0)<0,所以f(x)=sin4x-,
所以f(π)=sin4π-=-.
跟蹤訓練
1.C　解析　因為函數f(x)=Asinωx+(ω>0)的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為,
所以函數f(x)的最小正周期T=,所以ω=3,
所以函數f(x)=Asin3x+,
為得到g(x)=Acos 3x=Asin3x+的圖象,只需將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度.
故選C.
2.BC　解析　對于A,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即f(x)的零點.令g(x)=sin2x-=0,解得x=+,k∈Z,即g(x)的零點.顯然f(x),g(x)的零點不同,故A錯誤.
對于B,顯然f(x)max=g(x)max=1,故B正確.
對于C,f(x),g(x)的最小正周期均為=π,故C正確.
對于D,f(x)圖象的對稱軸為直線2x=kπ+,k∈Z,即直線x=+,k∈Z,g(x)圖象的對稱軸為直線2x-=kπ+,k∈Z,即直線x=+,k∈Z,顯然f(x),g(x)圖象的對稱軸不同,故D錯誤.故選BC.
3.AD　解析　因為f(x)=cos x+asin x=sin(x+φ),其中tan φ=,φ∈-,0∪0,.
對于A,要使f(x)為偶函數,則φ=+kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,即對任意的a,f(x)都不是偶函數,故A正確;
對于B,要使f(x)為奇函數,則φ=kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,即不存在a,使f(x)是奇函數,故B錯誤;
對于C,f(x+π)=sin(x+π+φ)=-·sin(x+φ)≠f(x),故C錯誤;
對于D,若f(x)的圖象關于直線x=對稱,則+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,所以φ=,即tan ==1,所以a=1,故D正確.
故選AD.
4.2sinx+　解析　由E(0,1)是線段MD的中點,可知A=2,根據△OME為等腰直角三角形,可得M(-1,0),D(1,2),∴·=1-(-1),解得ω=,
∴函數f(x)=2sinx+φ,
又由M(-1,0)是f(x)的圖象上的點及正弦函數的圖象與性質知,×(-1)+φ=0,可得φ=,
∴f(x)=2sinx+.
命制點3　三角恒等變換
例3　(1)　(2)-　解析　(1)因為sinα+=,
所以cosα+=±=±.
當cosα+=時,sin α=sinα+-=sinα+cos -cosα+sin =×-×=<0.因為α為銳角,所以不符合題意,舍去.
當cosα+=-時,sin α=sinα+-=sinα+cos -cosα+sin =×+×=>0,滿足題意.
故sin α=.
(2)因為α為第一象限角,β為第三象限角,所以cos α>0,cos β<0.
cos α==,
cos β==,
則sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
==
=-.
跟蹤訓練
1.A　解析　因為cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m.
又因為tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
所以sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
故選A.
2.B　解析　因為sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,且cos αsin β=,所以sin αcos β=,則sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故選B.
3.BC　解析　∵tan A,tan B是方程3x2-6x+1=0的兩個根,
∴tan A+tan B=2,tan Atan B=,
∴tan(A+B)==3,
∴tan C=-tan(A+B)=-3,∴C是鈍角,∴A+B<,可得0同理sin B4.　-　解析　∵sinα+=--<α<,則cos2α+=1-2sin2α+=1-2×=,有sin-2α=cos2α+=,
∴sin2α-=-,
∵-<α<,∴-<α+<,
又sinα+=-<-,∴-<α+<-,
∴-<α<-,-<2α-<-,
∴cos2α-=-,
∴sin2α+=sin2α-+=sin2α-+cos2α-=-.

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