資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題十七 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性
【題型分析】
考情分析：
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小.
2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的常見(jiàn)題型，多以選擇題、填空題的形式考查，也常在導(dǎo)數(shù)解答題的第一問(wèn)考查，難度中等偏上，屬于綜合性問(wèn)題.
題型1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例1　(1)(2024年全國(guó)甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)=，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(　　).
A. B. C. D.
(2)(2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0，1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=　　　　.
方法總結(jié)：
1.求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)(不論這個(gè)點(diǎn)在不在曲線上，這個(gè)點(diǎn)都不一定是切點(diǎn))，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)的“一拖三”(切點(diǎn)的橫坐標(biāo)與斜率相關(guān)、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上)求切線方程.
2.公切線問(wèn)題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線斜率相等，且兩個(gè)切點(diǎn)既在切線上又分別在兩個(gè)函數(shù)圖象上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組求解.
1.已知曲線y=x2+3x+在x=1處的切線與直線x-2y+1=0垂直，則a=(　　).
A.3 B. C.7 D.
2.已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=aln x的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　.
題型2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例2　(2024年全國(guó)甲卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=a(x-1)-ln x+1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
例3　(2021年全國(guó)乙卷節(jié)選)討論函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1的單調(diào)性.
方法總結(jié)：
對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論，常見(jiàn)的分類(lèi)討論點(diǎn)按討論的先后順序排列有三個(gè).
分類(lèi)討論點(diǎn)一：求導(dǎo)后，考慮f'(x)=0是否有實(shí)根，從而引起分類(lèi)討論.
分類(lèi)討論點(diǎn)二：求導(dǎo)后，f'(x)=0有實(shí)根，但不清楚f'(x)=0的實(shí)根是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類(lèi)討論.
分類(lèi)討論點(diǎn)三：求導(dǎo)后，f'(x)=0有實(shí)根，f'(x)=0的實(shí)根也落在定義域內(nèi)，但不清楚這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起分類(lèi)討論.
已知函數(shù)f(x)=-2aln x+2(a+1)x-x2(a>0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
題型3 單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例4　(1)(2023年新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為(　　).
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
(2)設(shè)a=，b=，c=2，則(　　).
A.a>b>c B.c>b>a
C.a>c>b D.c>a>b
方法總結(jié)：
1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路
(1)由函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間[a，b]上恒成立，列出不等式.
(2)利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題.
(3)對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)恒等于0.若f'(x)恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去；若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'(x)=0，則參數(shù)可取這個(gè)值.
2.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵是判斷已知(或構(gòu)造后的)函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小.
1.若函數(shù)h(x)=ln x-ax2-2x在[1，4]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　).
A.(-∞，-1] B.(-∞，-1)
C.-∞，- D.-∞，-
2.已知a=e2，b=e3，c=e4，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　).
A.aC.c【真題改編】
1.(2024年全國(guó)甲卷，理科T6改編)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-sin 2x，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為(　　).
A. B. C. D.
2.(2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷，T13改編1)曲線f(x)=x6+3x-1在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與曲線g(x)=3ln x+a相切，則a=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-3
3.(2023年新高考全國(guó)Ⅱ卷，T6改編)已知f(x)=ex-2+x-x2在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(　　).
A.[-1，1) B.-1，
C.[-1，0) D.-，0
4.(2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷，T13改編2)已知函數(shù)f(x)=e2 024x，g(x)=-e-2 024x，若存在一條直線l與f(x)的圖象和g(x)的圖象都相切，則直線l的方程為　　　　.
5.(2024年全國(guó)甲卷，理科T21第(1)問(wèn)改編)已知函數(shù)f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x，當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【最新模擬】
(總分：100分　單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分，共68分；解答題共32分)
1.已知函數(shù)f(x)=x2+mln x的圖象在點(diǎn)P(1，1)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(0，1)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.函數(shù)f(x)=x2+ln x-3x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　).
A.0， B.，1
C.(1，+∞) D.-∞，
3.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　).
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
4.函數(shù)f(x)=的圖象大致是(　　).
　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D
5.已知函數(shù)f(x)=x2+(x-2)ex-2x+5在區(qū)間(3m-1，m+2)上不單調(diào)，則m的值可以為(　　).
A.-3 B.-1 C.0 D.1
6.如圖，這是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是(　　).
A.f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間
B.f(-2)C.f(-1)D.f(x)在[-1，2]上單調(diào)遞增，在(2，4]上單調(diào)遞減
7.下列不等式成立的是(　　).
A.2ln C.5ln 2<2ln 5 D.π>eln π
8.若存在直線與曲線f(x)=x3-x，g(x)=x2-a2+a都相切，則a的取值范圍是(　　).
A.[0，2] B.[-2，0]
C.-，2 D.，
9.已知f(x)=xln(x+3)，則曲線f(x)在點(diǎn)(-2，0)處的切線方程是　　　　.
10.已知f(x)=x+acos x(a≠0)，則(　　).
A.f(x)可能在R上單調(diào)遞減
B.若f(x)在R上單調(diào)遞增，則a∈[-1，0)∪(0，1]
C.，是曲線y=f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心
D.曲線y=f(x)所有的對(duì)稱中心都在同一條直線上
11.已知函數(shù)f(x)=ln x+ax在函數(shù)g(x)=x2-2x+b的單調(diào)遞增區(qū)間上也單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
12.(15分)已知函數(shù)f(x)=xln x，g(x)=x2+ax(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，0)處的切線與g(x)的圖象相切，求a的值.
13.(17分)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+(a-1)x(a≠0).
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f(x)在x=1處的切線的斜率.
(2)當(dāng)a<-1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(3)記函數(shù)F(x)的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，如果曲線C上存在點(diǎn)M(x0，y0)，滿足①x0=，②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F(x)存在“中值相依切線”.判斷函數(shù)f(x)是否存在“中值相依切線”，并說(shuō)明理由.
14.(原創(chuàng))已知函數(shù)h(x)=ln x+mx的圖象存在斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　).
A.(-∞，3) B.(-∞，3]
C.[3，+∞) D.(3，+∞)
15.(原創(chuàng))已知函數(shù)f(x)=ln x+-x-2 024在(0，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則m的取值范圍是　　　　.
參考答案
專(zhuān)題十七 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性
題型1　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例1　(1)A　(2)ln 2
【解析】(1)f'(x)
=，
則f'(0)==3，
所以該切線方程為y-1=3x，即y=3x+1.
令x=0，則y=1，令y=0，則x=-，
故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S=×1×-=.故選A.
(2)由y=ex+x得y'=ex+1，則y'|x=0=e0+1=2，
故曲線y=ex+x在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=2x+1.
由y=ln(x+1)+a得y'=.
因?yàn)閥=2x+1也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ln(x0+1)+a)，
所以y'==2，解得x0=-，則切點(diǎn)坐標(biāo)為-，a+ln.
將切點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x+1，得a+ln=2×-+1，解得a=ln 2.
跟蹤訓(xùn)練
1.C
【解析】由y=x2+3x+，求導(dǎo)得y'=2x+3-，當(dāng)x=1時(shí)，y'=5-a.
由曲線y=x2+3x+在x=1處的切線與直線x-2y+1=0垂直，得5-a=-2，
所以a=7.故選C.
2.(e2，e)
【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=aln x，函數(shù)g(x)=，
則f'(x)=，g'(x)=.
設(shè)曲線f(x)=aln x與曲線g(x)=的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以=，所以x0=4a2(a>0).
由f(x0)=g(x0)，可得aln x0=.
由解得x0=e2，
所以y0=e，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e).
題型2　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例2
【解析】由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=a-=.
當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=<0，故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a>0時(shí)，若x∈，+∞，則f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x∈0，，則f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，+∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為0，.
例3
【解析】由題意知f(x)的定義域?yàn)镽，f'(x)=3x2-2x+a，
令f'(x)=0，則Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).
①當(dāng)a≥時(shí)，f'(x)≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增.
②當(dāng)a<時(shí)，令f'(x)=0，即3x2-2x+a=0，
解得x1=，x2=.
令f'(x)>0，則xx2；令f'(x)<0，則x1所以f(x)在(-∞，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<時(shí)，f(x)在-∞，，，+∞上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.
跟蹤訓(xùn)練
【解析】f'(x)=，x∈(0，+∞).
①當(dāng)a=1時(shí)，f'(x)=≤0，
∴函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
②當(dāng)00，得a由f'(x)<0，得01.
∴函數(shù)f(x)在(a，1)上單調(diào)遞增，在(0，a)，(1，+∞)上單調(diào)遞減.
③當(dāng)a>1時(shí)，同理，得函數(shù)f(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(0，1)，(a+∞)上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(0，1)，(a，+∞)上單調(diào)遞減.
題型3　單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例4　(1)C　(2)D
【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aex-ln x，所以f'(x)=aex-.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aex-ln x在(1，2)上單調(diào)遞增，所以f'(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即aex-≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，則0<≤xex在(1，2)上恒成立.
設(shè)g(x)=xex，則g'(x)=(x+1)ex.
當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=e，所以≤e，即a≥=e-1.故選C.
(2)由題意得a==，b==，c=2=.
令f(x)=，則f'(x)=，
當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.
因?yàn)閍=f(2)=f(4)，b=f，c=f()，
所以a=f(2)f=b，即c>a>b.故選D.
跟蹤訓(xùn)練
1.A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=ln x-ax2-2x在[1，4]上單調(diào)遞增，所以h'(x)=-ax-2≥0在[1，4]上恒成立，即a≤-在[1，4]上恒成立.
令G(x)=-，x∈[1，4]，變形得G(x)=-12-1，x∈[1，4].
易得∈，1，
所以當(dāng)=1，即x=1時(shí)，G(x)min=-1，所以a≤-1，故選A.
2.B
【解析】令f(x)=，則f'(x)=，易得f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞增，
∴f(2)故選B.
1.C
【解析】f(0)=e0-sin 0=1，
因?yàn)閒'(x)=ex-2cos 2x，
所以f'(0)=e0-2cos 0=1-2=-1，
所以該切線方程為y-1=-x，即y=-x+1.
令x=0，則y=1，令y=0，則x=1，
所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S=×1×1=.故選C.
2.C
【解析】f(0)=-1，f'(x)=6x5+3，所以f'(0)=3，故切線方程為y=3(x-0)-1=3x-1.
因?yàn)樵撉芯€與曲線g(x)=3ln x+a相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以g'(x)=，所以=3，解得x0=1，代入切線方程得y0=2，
而點(diǎn)(1，2)也在曲線g(x)=3ln x+a上，所以a=2.
故選C.
3.C
【解析】依題意可知，f'(x)=ex-2+-x≥0在R上恒成立，則≤ex-x-2恒成立.
設(shè)g(x)=ex-x-2，則g'(x)=ex-1.
令g'(x)=0，則x=0，
當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0，此時(shí)g(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0，此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，
∴g(x)min=g(0)=-1，
∴≤-1，即-1≤a<0，
∴a的取值范圍為[-1，0).故選C.
4.y=2 024ex
【解析】設(shè)直線l的方程為y=kx+b，l與曲線y=e2 024x切于點(diǎn)(x1，)，l與曲線y=-e-2 024x切于點(diǎn)(x2，-).
∵f'(x)=(e2 024x)'=2 024e2 024x，g'(x)=(-e-2 024x)'=2 024e-2 024x，
∴
∴
∴直線l的方程為y=2 024ex.
5.解析　當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=(1-2x)ln(1+x)-x，
故f'(x)=-2ln(1+x)+-1=-2ln(1+x)+-3.
因?yàn)閥=-2ln(1+x)，y=-3在(-1，+∞)上均為減函數(shù)，
所以f'(x)在(-1，+∞)上為減函數(shù)，而f'(0)=0，
故當(dāng)-10，所以函數(shù)f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
綜上，函數(shù)f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減.
1.A
【解析】由題知，f'(x)=2x+，所以f'(1)=2+m=kPQ==0，得m=-2.
故選A.
2.B
【解析】由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且f'(x)=2x+-3=.
令f'(x)=<0，解得所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，1.
故選B.
3.A
【解析】因?yàn)閒(x)=ln x-ax，所以f'(x)=-a.
因?yàn)閒(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
所以f'(x)=-a≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立，則a≥在區(qū)間[1，3]上恒成立.
因?yàn)閥=在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，所以ymax=1，故a≥1.
故選A.
4.B
【解析】∵f(x)的定義域?yàn)镽，f(-x)==-=-f(x)，
∴f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故A，C錯(cuò)誤；
當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=，∴f'(x)==>0，
∴f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，B正確.
故選B.
5.C
【解析】由題意知f'(x)=(x-1)ex+2x-2=(ex+2)(x-1).
因?yàn)閒(x)在區(qū)間(3m-1，m+2)上不單調(diào)，所以y=f'(x)在區(qū)間(3m-1，m+2)上有變號(hào)零點(diǎn).
又ex+2>0，所以f'(x)=0 x=1，f'(x)<0 x<1，f'(x)>0 x>1，
所以x=1在區(qū)間(3m-1，m+2)內(nèi)，
所以解得-16.CD
【解析】對(duì)于A，由圖象可以看出，f'(x)的符號(hào)是先負(fù)后正，再負(fù)再正，所以函數(shù)f(x)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(-2)>f(-1)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(-1)對(duì)于D，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，故D正確.
故選CD.
7.AD
【解析】設(shè)f(x)=，則f'(x)=.
當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f'(x)<0.
故f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減.
因?yàn)?<<2因?yàn)?<<ln ，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)閑<4<5，所以>，即>，即5ln 2>2ln 5，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)閑<π，所以<，即π>eln π，故D正確.
故選AD.
8.D
【解析】設(shè)該直線與f(x)的圖象相切于點(diǎn)(x1，-x1)，
因?yàn)閒(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1，所以f'(x1)=3-1，
所以該切線的方程為y-(-x1)=(3-1)(x-x1)，即y=(3-1)x-2.
設(shè)該直線與g(x)的圖象相切于點(diǎn)(x2，-a2+a)，
因?yàn)間(x)=x2-a2+a，所以g'(x)=2x，所以g'(x2)=2x2，
所以該切線的方程為y-(-a2+a)=2x2(x-x2)，即y=2x2x--a2+a.
所以
所以-a2+a=-2=2-2=-2-+.
令h(x)=x4-2x3-x2+，則h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1)，
所以當(dāng)x∈-∞，-∪(0，1)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈-，0∪(1，+∞)時(shí)，h'(x)>0，
所以h(x)在-∞，-和(0，1)上單調(diào)遞減，在-，0和(1，+∞)上單調(diào)遞增.
又h-=，h(1)=-1，所以h(x)∈[-1，+∞)，
所以-a2+a≥-1，解得≤a≤，
所以a的取值范圍為，.故選D.
9.2x+y+4=0
【解析】由題意得f'(x)=ln(x+3)+，
所以f'(-2)=-2，
故切線方程為y-0=-2×(x+2)，即2x+y+4=0.
10.BCD
【解析】f(x)=x+acos x(a≠0)，則f'(x)=1-asin x.
當(dāng)a∈[-1，0)∪(0，1]時(shí)，f'(x)≥0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)a<-1或a>1時(shí)，f'(x)≤0不恒成立，f(x)不可能在R上單調(diào)遞減，
綜上，f(x)在R上不可能單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
若f(x)在R上單調(diào)遞增，則f'(x)=1-asin x≥0恒成立，
所以a∈[-1，0)∪(0，1]，故B正確；
因?yàn)閒(x)+f(π-x)=x+acos x+π-x+acos(π-x)=π，
所以曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，故C正確；
設(shè)(m，n)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則f(m+x)+f(m-x)=2n，
即(m+x)+acos(m+x)+(m-x)+acos(m-x)=2n，所以2m+2acos mcos x=2n，
所以m=n且acos m=0，因?yàn)閍≠0，所以cos m=0，所以m=n=(k∈Z)，
所以曲線y=f(x)所有的對(duì)稱中心都在直線y=x上，故D正確.
故選BCD.
11.[0，+∞)
【解析】函數(shù)g(x)=x2-2x+b的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞)，依題意得，函數(shù)f(x)在[1，+∞)上也單調(diào)遞增，則f'(x)=+a≥0在[1，+∞)上恒成立，
即a≥-在[1，+∞)上恒成立.
令m(x)=-，
則m(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，
又當(dāng)x→+∞時(shí)，m(x)→0且m(x)<0，
所以當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，-∈[-1，0)，所以a≥0.
12.解析　(1)函數(shù)f(x)=xln x的定義域?yàn)?0，+∞)，求導(dǎo)得f'(x)=1+ln x.
當(dāng)0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0，，單調(diào)遞增區(qū)間是，+∞. 6分
(2)由(1)得f'(1)=1，
因此函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為y=x-1.
當(dāng)點(diǎn)(1，0)在函數(shù)g(x)=x2+ax的圖象上時(shí)，12+a=0，解得a=-1，則g(x)=x2-x，
求導(dǎo)得g'(x)=2x-1，則g'(1)=2-1=1，
則函數(shù)g(x)=x2-x的圖象在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為y=x-1，符合題意，因此a=-1；
當(dāng)點(diǎn)(1，0)不在函數(shù)g(x)=x2+ax的圖象上時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，+ax0)，
求導(dǎo)得g'(x)=2x+a，則g'(x0)=2x0+a.
由曲線g(x)在點(diǎn)(x0，+ax0)處的切線方程為y=x-1，得
解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，因此a=3.
綜上，a的值為-1或3. 15分
13.解析　(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln x-x2，則f'(x)=-x，所以f'(1)=0，
所以曲線f(x)在x=1處的切線的斜率為0. 3分
(2)函數(shù)f(x)=ln x-ax2+(a-1)x(a≠0)的定義域?yàn)?0，+∞)，
f'(x)=-ax+(a-1)=-=-.
因?yàn)閍<-1，所以0<-<1，
由f'(x)>0，可得01，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，-，(1，+∞). 7分
(3)不存在.理由如下：
假設(shè)函數(shù)f(x)存在“中值相依切線”，設(shè)0由題意得y1=ln x1-a+(a-1)x1，y2=ln x2-a+(a-1)x2，
則kAB==-+(a-1).
因?yàn)閒'(x)=-ax+(a-1)，
所以f'(x0)=-ax0+(a-1)=-+(a-1).
由kAB=f'(x0)，可得-+(a-1)=-+(a-1)，
即=，則ln -=ln -=0.
令t=>1，且h(t)=ln t-，則h'(t)=-=>0，
故函數(shù)h(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則h(t)>h(1)=0，
故h(t)=0在(1，+∞)上無(wú)解，假設(shè)不成立.
綜上，函數(shù)f(x)不存在“中值相依切線”. 17分
14.A
【解析】已知h(x)=ln x+mx，則h'(x)=+m.
因?yàn)楹瘮?shù)h(x)的圖象存在斜率為3的切線，所以h'(x)=+m=3在(0，+∞)上有解，
所以=3-m>0，得m<3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，3)，故選A.
15.-∞，
【解析】f(x)=ln x+-x-2 024在(0，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即f'(x)=--1=>0在(0，+∞)上有解，
即m<-x2+x在(0，+∞)上有解，所以m<(-x2+x)max.
令h(x)=-x2+x(x>0)，易知h(x)在0，上單調(diào)遞增，在，+∞上單調(diào)遞減，
則h(x)max=h=-2+=，
所以m<，即m的取值范圍為-∞，.

展開(kāi)更多......

收起↑