資源簡介

專題十五 函數的圖象與性質
【題型分析】
考情分析：
1.以分段函數、二次函數、指數函數、對數函數為載體，考查函數的定義域、值域、最值、奇偶性和單調性.
2.利用函數的性質推斷函數的圖象.
3.利用圖象研究函數的性質、方程及不等式的解集.
題型1 函數的概念與表示
例1　(1)已知函數f(x)=且f(m)=-12，則f(6-m)=(　　).
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
(2)已知函數f(2x+1)的定義域為[-1，1)，則函數f(1-x)的定義域為　　　　.
方法總結：
1.形如f(g(x))的函數求值時，應遵循先內后外的原則.
2.對于分段函數的求值(解不等式)問題，必須依據條件準確地判斷利用哪一段求解.
1.已知函數f(x)=則f(2+log23)=(　　).
A.8 B.12 C.16 D.24
2.函數f(x)=的定義域為　　　　.
題型2 函數的圖象
例2　(1)(2024年全國甲卷)函數f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在區(qū)間[-2.8，2.8]的圖象大致為(　　).
A B C D
(2)已知函數f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是(　　).
A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)
方法總結：
1.確定函數圖象的主要方法是利用函數的性質，如定義域、奇偶性、單調性等進行判斷，特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.
2.函數圖象的應用主要體現在借助函數圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題.
1.函數f(x)=(x3-2x-1)ln|x|的大致圖象可能為(　　).
A B C D
2.已知函數f(x)=若關于x的方程f(x)=m有3個不相等的實數根，則m的取值范圍是　　　　.
題型3 函數的性質
單調性與奇偶性
例3　已知奇函數f(x)在R上單調遞增，且f(2)=1，則不等式f(x)+1<0的解集為(　　).
A.(-1，1) B.(-2，2)
C.(-2，+∞) D.(-∞，-2)
方法總結：
奇偶性、單調性的綜合應用
利用函數的奇偶性可將函數式轉化，利用單調性可解決常見不等式問題.在綜合性題目中，要熟練掌握奇偶性、單調性的性質，適當應用解題技巧化簡求值，解題時，一定要特別注意函數的定義域.
已知函數f(x)=ex-e-x+x，則不等式f(2m-2)+f(m+1)>0的解集為　　　　.
奇偶性、周期性與對稱性
例4　已知對任意x∈R，都有f(x)=f(-x)，且f(x+1)為奇函數，當x∈[0，1)時，f(x)=x2，則(　　).
A.函數f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱
B.f(x)是周期為2的函數
C.f(-1)=0
D.f=
方法總結：
1.函數圖象的對稱中心或對稱軸
(1)若函數f(x)滿足關系式f(a+x)=f(b-x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=對稱.
(2)若函數f(x)滿足關系式f(a+x)+f(a-x)=2b，則函數y=f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.
2.函數的周期性
(1)若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(其中a為非零常數)，則函數y=f(x)的周期為2|a|.
(2)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=，其中f(x)≠0，a為非零常數，則f(x)的周期為2|a|.
(3)若f(x)的圖象關于直線x=a和x=b(相鄰)對稱，則f(x)的周期為2|a-b|.
(4)若f(x)的圖象關于點(a，0)和直線x=b(相鄰)對稱，則f(x)的周期為4|a-b|.
1.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(-x)=-f(x)，當0f(a)，則實數a的取值范圍是(　　).
A.-+4k，-+4k，k∈Z B.(-1+4k，4k)，k∈Z
C.-+4k，+4k，k∈Z D.-+4k，+4k，k∈Z
2.(2022年全國乙卷)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，g(2)=4，則f(k)=(　　).
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
【真題改編】
1.(2024年新高考全國Ⅰ卷，T6改編)已知函數f(x)=若數列{an}滿足an=f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是(　　).
A.-∞，- B.-，0 C.-，0 D.，+∞
2.(2024年新高考全國Ⅰ卷，T8改編)已知函數f(x)的定義域為R，對任意x，y∈R，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，則下列結論一定錯誤的是(　　).
A.f(0)=1 B.f(0)=0 C.f(1)=0 D.f(1)=-2
3.(2022年全國乙卷，文科T8改編)如圖，這是下列四個函數中的某個函數在區(qū)間[-3，3]上的大致圖象，則該函數是(　　).
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
4.(2021年全國乙卷，理科T4改編)已知定義域為R的函數f(x)的圖象關于點(-1，-1)對稱，則下列函數為奇函數的是(　　).
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.(2021年全國甲卷，理科T12改編)設函數f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數，f(x+2)為偶函數，當x∈[1，2]時，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，則當x∈[2，3]時，f(x)的解析式為　　　　.
【最新模擬】
(總分：84分　單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分)
1.設函數f(x)=，則函數f的定義域為(　　).
A.(-∞，6] B.(-∞，3]
C.[3，+∞) D.[6，+∞)
2.已知函數f(x)為R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=log2x-1，則f(-)=(　　).
A. B.- C. D.-
3.下列函數中，為奇函數且在(0，1)上為減函數的是(　　).
A.f(x)=4x+ B.f(x)=x+sin x
C.f(x)= D.f(x)=
4.函數f(x)=的圖象大致是(　　).
　　　　　　　　　
A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　D
5.已知函數f(x)=若f(2a-1)-1≤0，則實數a的取值范圍是(　　).
A.，+∞
B.-∞，-∪0，
C.0，
D.-∞，
6.已知函數f(x)和f(x-2)均為R上的奇函數，若f(-1)=2，則f(2 025)=(　　).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
7.定義在R上的函數f(x)滿足f(xy+1)=f(x)f(y)+f(y)+x，則(　　).
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.f(x+1)為奇函數 D.f(x)為增函數
8.已知偶函數f(x)的定義域為D，函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，且對于任意a，b∈D，a≠0，b≠0均有f(ab)=f(a)+f(b)，則符合要求的一個函數f(x)為　　　　.
9.若函數f(x)=ex+ae-x(a∈R)為奇函數，則不等式f(ln x)10.函數f(x)=+的最大值為(　　).
A.1 B. C. D.2
11.設f(x)=x3-log2(-x)，則對任意實數a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)”≤0的(　　).
A.必要不充分條件
B.充分不必要條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
12.已知函數f(x)對任意實數x均滿足2f(x)+f(x2-1)=1，則(　　).
A.f(-x)=f(x)
B.f()=1
C.f(-1)=
D.函數f(x)在區(qū)間[，]上不單調
13.已知函數f(x)的定義域為R，f(x+2)+f(x)=0，且函數f(2x+1)為偶函數，則(　　).
A.f(x)是奇函數
B.f(2 024)=1
C.f(x)的圖象關于直線x=1對稱
D.f(k)=2 024
14.設f(x)為定義在整數集上的函數，f(1)=1，f(2)=0，f(-1)<0，對任意的整數x，y，均有f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)，則f(55)=　　　　.
15.(北師大版必修第一冊P73C組T2改編)已知函數f(x)對任意m，n∈R，都有f(2m)+f(2n)=2f(m+n)f(m-n)，且f(1)≠0，則(　　).
A.f(0)=1
B.函數f(x)的圖象與曲線y=ax(a>0且a≠1)經過相同的定點
C.函數f(x)的圖象關于原點對稱
D.若f(2 024)=k，則f(-2 024)=k
16.(原創(chuàng))已知函數f(x)=則不等式f(x)≥log3(2x+1)的解集為　　　　.
參考答案
專題十五 函數的圖象與性質
題型1　函數的概念與表示
例1　(1)D　(2)(-2，2]
【解析】(1)由題意知，當m≤1時，f(m)=2m+1-8=-12，得2m+1=-4，又2m+1>0，所以方程2m+1=-4無解；
當m>1時，f(m)=4lo(m+1)=-12，得lo(m+1)=-3，即m+1=8，解得m=7，滿足題意，所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7.
(2)由函數f(2x+1)的定義域為[-1，1)，得-1≤x<1，則2x+1∈[-1，3)，令-1≤1-x<3，解得-2故函數f(1-x)的定義域為(-2，2].
跟蹤訓練
1.D
【解析】由1所以f(2+log23)=f(3+log23)==23×=24.
故選D.
2.[-4，1)∪(1，4]
【解析】因為f(x)=，
所以16-x2≥0且x-1≠0，解得-4≤x≤4且x≠1，故函數f(x)的定義域為[-4，1)∪(1，4].
題型2　函數的圖象
例2　(1)B　(2)D
【解析】(1)因為f(-x)=-x2+(e-x-ex)·sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又區(qū)間[-2.8，2.8]關于原點對稱，所以函數f(x)在區(qū)間[-2.8，2.8]上為偶函數，其圖象關于y軸對稱，故可排除A，C.
由f(1)=-1+e-sin 1>-1+e-sin=-1->->0，
故可排除D.故選B.
(2)在同一平面直角坐標系中畫出h(x)=2x，g(x)=x+1的圖象，如圖所示.
由圖象得兩個函數圖象的交點坐標為(0，1)和(1，2).
又f(x)>0等價于2x>x+1，結合圖象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集為(-∞，0)∪(1，+∞).故選D.
跟蹤訓練
1.A
【解析】函數f(x)=(x3-2x-1)ln|x|的定義域為{x|x≠0}，故排除B項、D項，
又f=-ln=ln 2>0，所以排除C項.故選A.
2.
[1，2]
【解析】由f(x)的解析式作出f(x)的大致圖象，如圖所示，
方程f(x)=m有3個不相等的實數根等價于f(x)的圖象與直線y=m有3個不同的交點，則1≤m≤2.故m的取值范圍是[1，2].
題型3　函數的性質
考向1　單調性與奇偶性
例3　D
【解析】由f(x)+1<0，可得f(x)<-1，
因為f(x)是奇函數，且f(2)=1，所以f(x)因為f(x)在R上單調遞增，所以x<-2，
故不等式f(x)+1<0的解集為(-∞，-2).
故選D.
跟蹤訓練　，+∞
【解析】∵f(x)的定義域為R，f(-x)=e-x-ex-x=-f(x)，
∴f(x)為定義在R上的奇函數.
∵y=ex，y=-e-x與y=x均為R上的增函數，
∴f(x)為定義在R上的增函數.
由f(2m-2)+f(m+1)>0得f(2m-2)>-f(m+1)=f(-m-1)，
∴2m-2>-m-1，解得m>，∴不等式f(2m-2)+f(m+1)>0的解集為，+∞.
考向2　奇偶性、周期性與對稱性
例4　ACD
【解析】由f(x+1)為奇函數得f(-x+1)=-f(x+1)，
即f(-x)+f(x+2)=0，
故f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱，故A正確；
由f(-x)=f(x)，f(-x)+f(x+2)=0得f(x)=-f(x+2)，所以f(x+2)=-f(x)，
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
即f(x)是周期為4的函數，故B錯誤；
由f(-x+1)=-f(x+1)，
令x=0，得f(1)=-f(1)，所以f(1)=0，
故f(-1)=f(1)=0，故C正確；
當x∈[0，1)時，f(x)=x2，
因為f(x)的周期為4，且對任意x∈R，都有f(x)=f(-x)，
所以f=f-=f=，故D正確.
跟蹤訓練
1.D
【解析】因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數.
又因為f(x+2)=f(-x)，所以f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知f(x)的一個周期為4.
因為當0函數f(x)的圖象如圖所示，
根據圖象可知，若f(a+1)>f(a)，則-+4k解得-+4k故選D.
2.D
【解析】由y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，可得g(2+x)=g(2-x).
在f(x)+g(2-x)=5中，用-x替換x，可得f(-x)+g(2+x)=5，可得f(-x)=f(x)，則y=f(x)為偶函數.
在g(x)-f(x-4)=7中，用2-x替換x，得g(2-x)=f(-x-2)+7，代入f(x)+g(2-x)=5中，得f(x)+f(-x-2)=-2，所以y=f(x)的圖象關于點(-1，-1)中心對稱，所以f(1)=f(-1)=-1.
由f(-x)=f(x)，f(x)+f(-x-2)=-2，可得f(x)+f(x+2)=-2，所以f(x+2)+f(x+4)=-2，所以f(x+4)=f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的周期函數.
由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5，又g(2)=4，所以f(0)=1.又f(x)+f(x+2)=-2，所以f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3.
又f(3)=f(-1)=-1，f(4)=f(0)=1，所以f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.
故選D.
1.C
【解析】函數f(x)=當x≥6時，f(x)=ex-6+ln(x-5)單調遞增，又an=f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數列，
則解得-故選C.
2.D
【解析】因為函數y=f(x)對任意x，y∈R，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，所以令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0)，即2f(0)[f(0)-1]=0，所以f(0)=0或f(0)=1.
令x=y=，m為任意實數，有f(m)+f(0)=2f·f，即f(m)=2f·f-f(0).
因為f·f≥0，所以f(m)≥-f(0)，
當f(0)=0時，f(m)≥0；當f(0)=1時，f(m)≥-1.
故f(x)的值不可能是-2.
故選D.
3.A
【解析】設f(x)=，則f(1)=0，故排除B；設h(x)=，當x∈-，0時，00，故排除D.故選A.
4.B
【解析】對于A，函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得函數f(x-1)-1的圖象，則函數f(x-1)-1的圖象的對稱中心為(0，-2)；
對于B，函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，可得函數f(x-1)+1的圖象，則函數f(x-1)+1的圖象的對稱中心為(0，0)；
對于C，函數f(x)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得函數f(x+1)-1的圖象，則函數f(x+1)-1的圖象的對稱中心為(-2，-2)；
對于D，函數f(x)的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，可得函數f(x+1)+1的圖象，則函數f(x+1)+1的圖象的對稱中心為(-2，0).
故選B.
5.f(x)=-2(x-4)2+2
【解析】因為f(x+1)是奇函數，所以f(-x+1)=-f(x+1)，　①
因為f(x+2)是偶函數，所以f(x+2)=f(-x+2)，　②
令x=1，由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b)，由②得f(3)=f(1)=a+b.
因為f(0)+f(3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6，即a=-2，
令x=0，由①得f(1)=-f(1)，則f(1)=0，即b=2，所以f(x)=-2x2+2.
當x∈[2，3]時，4-x∈[1，2]，f(4-x)=-2(4-x)2+2=-2(x-4)2+2，
又f(4-x)=f(2+2-x)=f(2-2+x)=f(x)，所以f(x)=-2(x-4)2+2.
1.A
【解析】由題意得8-2x≥0，解得x≤3，
則函數f滿足≤3，解得x≤6，
即函數f的定義域為(-∞，6].
故選A.
2.A
【解析】f()=log2-1=log2-1=×-1=-，
因為f(x)為R上的奇函數，所以f(-)=-f()=.故選A.
3.C
【解析】對于A，f(x)為雙勾函數，f(x)是奇函數，f(x)在0，上單調遞減，在，+∞上單調遞增，故A不符合；
對于B，f(x)的定義域為R，f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x)，所以f(x)是奇函數，又f'(x)=1+cos x≥0，所以f(x)在R上單調遞增，故B不符合；
對于C，因為2x-1≠0，即x≠0，所以f(x)的定義域為{x|x≠0}，又f(-x)===-f(x)，所以f(x)是奇函數，又f(x)==1+在(0，+∞)上單調遞減，故C符合；
對于D，因為1-x2≥0，所以x2≤1，所以f(x)的定義域為[-1，1]，又f(-x)==f(x)，所以f(x)是偶函數，故D不符合.故選C.
4.D
【解析】由題意知f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，定義域關于原點對稱，且f(-x)==-=-f(x)，
故f(x)是奇函數，故A錯誤；
當x>2時，f(x)===x-，
又y=x，y=-在(2，+∞)上均單調遞增，
所以f(x)=x-在(2，+∞)上單調遞增，故B，C錯誤.
故選D.
5.D
【解析】因為f(2a-1)-1≤0，所以f(2a-1)≤1.
①當2a-1≥1時，f(2a-1)=ln(2a-1)≤1，解得1≤a≤.
②當0≤2a-1<1，即≤a<1時，f(2a-1)≤1恒成立.
③當2a-1<0，即a<時，f(2a-1)≤1恒成立.
綜上所述，實數a的取值范圍是-∞，.故選D.
6.A
【解析】因為f(x-2)為奇函數，所以函數f(x)的圖象關于點(-2，0)對稱，即f(-x)+f(x-4)=0.
又函數f(x)的圖象關于原點對稱，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)=f(x-4)，即f(x+4)=f(x)，
所以函數f(x)的周期為4，故f(2 025)=f(1+4×506)=f(1)=-f(-1)=-2.
故選A.
7.BCD
【解析】由題意，f(xy+1)=f(x)f(y)+f(y)+x，
對于A，B，當x=0，y=1時，f(1)=f(0)·f(1)+f(1)，即f(0)·f(1)=0，
解得f(0)=0或f(1)=0，
當f(0)=0時，令y=0，則f(1)=f(x)f(0)+f(0)+x=x，
由于x具有任意性，故f(0)=0不成立，
∴f(1)=0，A錯誤，B正確；
對于C，當y=1時，f(x+1)=f(x)f(1)+f(1)+x=x，
∵f(x+1)+f(-x+1)=x-x=0，
∴f(x+1)為奇函數，C正確；
對于D，由C項可知f(x+1)=x，則f(x)=x-1，故f(x)為增函數，D正確.
故選BCD.
8.y=-log2|x|(答案不唯一)
【解析】設函數f(x)=-logm|x|(m>1)，
當x∈(0，+∞)時，可得f(x)=-logmx，此時函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，
又logmab=logma+logmb，所以滿足f(ab)=f(a)+f(b)，
故y=-logm|x|(m>1)均滿足要求.
9.(0，1)
【解析】易知f(x)的定義域為R，又f(x)為奇函數，∴f(0)=0，得a=-1，
∴f(x)=ex-e-x，∴f(x)為奇函數且在R上單調遞增.
又f(ln x)10.D
【解析】函數f(x)=+的定義域為[0，1]，
令a=，b=，則0≤a≤1，0≤b≤.
設a=sin θ，b=cos θ0≤θ≤，可得a+b=2sinθ+，
當θ=時，a+b取得最大值，最大值為2，
所以函數f(x)=+的最大值為2.
故選D.
11.C
【解析】由題意知，函數f(x)=x3-log2(-x)的定義域為R，
且f(x)=x3-log2(-x)=x3+log2(x+)，
f(-x)=(-x)3+log2(-x+)=-x3-log2(x+)=-f(x)，
所以f(x)=x3+log2(x+)為奇函數.
因為函數y=x3與y=x+在[0，+∞)上均單調遞增，所以f(x)在[0，+∞)上單調遞增.
因為函數f(x)為奇函數，所以f(x)在(-∞，0)上也單調遞增.
又因為f(0)=0，所以函數f(x)在R上單調遞增.
由a+b≤0，可得a≤-b，所以f(a)≤f(-b)，所以f(a)+f(b)≤0.
反之，由f(a)+f(b)≤0，可得f(a)≤f(-b)，解得a≤-b，即a+b≤0.
故對任意實數a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的充要條件.
故選C.
12.ACD
【解析】在2f(x)+f(x2-1)=1中，
對于A，令-x替換x，則2f(-x)+f(x2-1)=1，
所以f(-x)=f(x)=，故A正確；
對于B，令x=1，則2f(1)+f(0)=1，
令x=0，則2f(0)+f(-1)=2f(0)+f(1)=1，解得f(0)=f(1)=，
令x=，得2f()+f(1)=1，則f()=，故B錯誤；
對于C，由A知，f(-x)=f(x)，所以f(-1)=f(1)=，故C正確；
對于D，令x=x2-1，所以x2-x-1=0，解得x=，
令x=，則2f+f=1，
所以f=，因為∈(，)，f=f()=，
所以函數f(x)在區(qū)間[，]上不單調，故D正確.
故選ACD.
13.AC
【解析】對于選項C，由f(2x+1)是偶函數，得f(1-2x)=f(1+2x)，
將x替換為x，得f(1-x)=f(1+x)，
∴函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，選項C正確；
對于選項A，∵f(1-x)=f(1+x)，將x替換為x+1，得f(-x)=f(2+x)，
又f(x+2)+f(x)=0，即f(x+2)=-f(x)，
∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函數，選項A正確；
對于選項B，f(x+2)=-f(x)，將x替換為x+2，
得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴4為函數f(x)的周期，
又∵f(x)是奇函數，且函數f(x)的定義域為R，∴f(0)=0，
∴f(2 024)=f(4×506)=f(0)=0，選項B錯誤；
對于選項D，已知f(x+2)+f(x)=0，
分別代入x=1，x=2，得f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
又4為f(x)的周期，∴f(k)=506×f(k)=0，選項D錯誤.
故選AC.
14.-1
【解析】令x=y=1，則f(2)=f(1)f(0)+f(0)·f(1)=2f(0)=0，∴f(0)=0.
令x=2，y=-1，則f(1)=[f(2)]2+[f(-1)]2=[f(-1)]2=1，
又f(-1)<0，∴f(-1)=-1.
令y=1，則f(x+1)=f(x)f(0)+f(1-x)f(1)=f(1-x)，∴函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
令y=-x，則f(0)=f(x)f(1+x)+f(1-x)f(-x)=[f(x)+f(-x)]f(1+x)=0.
∵f(1+x)=0不恒成立，∴f(x)+f(-x)=0恒成立，∴f(x)為奇函數.
∵f(x+1)=f(1-x)，∴f(x+2)=f(-x)=-f(x)，
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期為4的周期函數，
∴f(55)=f(4×14-1)=f(-1)=-1.
15.ABD
【解析】令m=n=，得2f(1)=2f(1)f(0)，因為f(1)≠0，所以f(0)=1，
故函數f(x)的圖象不經過坐標原點，也說明函數f(x)的圖象不關于原點對稱，所以A正確，C錯誤.
又曲線y=ax(a>0且a≠1)經過定點(0，1)，所以B正確.
令m=，n=-，得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)，
故f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數，
所以f(-2 024)=f(2 024)=k，所以D正確.
故選ABD.
16.-，1
【解析】在同一坐標系內畫出f(x)=及y=log3(2x+1)的圖象，
如圖所示，當x∈[-1，1]時，函數y=f(x)的圖象在y=log3(2x+1)的圖象上方，
注意到y=log3(2x+1)的定義域為x，
即滿足不等式f(x)≥log2(x+1)的x的取值范圍是-，1.

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