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專題十 圓錐曲線的方程與性質(zhì)
【題型分析】
考情分析：
1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是歷年高考的必考內(nèi)容，多以小題的形式出現(xiàn)，難度中等；
2.橢圓的離心率、雙曲線的離心率與漸近線是高考的熱點(diǎn)，尤其是離心率的取值范圍問(wèn)題，綜合知識(shí)較多，難度中等及以上.
題型1 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1　(1)已知拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)為F，則點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離是(　　).
A. B. C.1 D.2
(2)已知橢圓的方程為+=1(m>n>0)，且離心率e=，則下列選項(xiàng)不滿足條件的為(　　).
A.+y2=1 B.+=1
C.+y2=1 D.x2+4y2=1
方法總結(jié)：
求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤
(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中忽略p>0，忽略焦點(diǎn)所在軸由標(biāo)準(zhǔn)方程中的一次項(xiàng)確定.若一次項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸；若一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸.
　　(2)雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2=b2+c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2=a2+b2；圓錐曲線方程確定時(shí)忽略焦點(diǎn)的位置.
1.與橢圓+=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=的雙曲線的方程為(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.已知點(diǎn)A(2，0)，拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F.射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|=(　　).
A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3
題型2 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)
例2　(1)(2023年全國(guó)甲卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos∠F1PF2=，則|OP|=(　　).
A. B. C. D.
(2)(2024年天津卷)已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(3)(2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|=13，|AB|=10，則C的離心率為　　　　.
方法總結(jié)：
求解橢圓或雙曲線離心率及其取值范圍的三種方法
(1)基本量法：通過(guò)條件找出基本量a，b，c的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求解.橢圓中的關(guān)系式為a2=b2+c2，則離心率e==；雙曲線中的關(guān)系式為c2=a2+b2，則離心率e==.
(2)齊次式法：充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程(或不等式)，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程(或不等式)，進(jìn)而求解.
(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.
1.(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的離心率分別為e1，e2.若e2=e1，則a=(　　).
A. B. C. D.
2.(原創(chuàng))已知P為雙曲線-=1(a>0，b>0)右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F2到漸近線的距離為2a，點(diǎn)M為△PF1F2的內(nèi)心，且=+λ，則λ的值為(　　).
A. B. C. D.
3.(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，⊥，=-，則C的離心率為　　　　.
題型3 拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用
例3　(1)已知拋物線x2=y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)M，則(　　).
A.y1y2=
B.+=4
C.∠AMB=90°
D.若△AMB的外接圓的直徑為2，則直線AB的方程為y=±x+
(2)(2024年新高考全國(guó)Ⅱ卷)拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為l，P為C上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作☉A：x2+(y-4)2=1的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則(　　).
A.直線l與☉A相切
B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=
C.當(dāng)|PB|=2時(shí)，PA⊥AB
D.滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)
方法總結(jié)：焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)
如圖，已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的傾斜角為θ，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，垂足分別為C，D，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，作MM'⊥CD于點(diǎn)M'，N為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，可以得到以下結(jié)論：
(1)A，O，D三點(diǎn)共線，且B，O，C三點(diǎn)共線；
(2)AM'⊥BM'，CF⊥DF，M'F⊥AB；
(3)以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(切點(diǎn)為M')，以線段CD為直徑的圓與線段AB相切(切點(diǎn)為F)，以線段AF或線段BF為直徑的圓與y軸相切；
(4)∠ANF=∠BNF；
(5)|AF|=，|BF|=；
(6)|AB|=x1+x2+p=2x0+=，|AB|=2p1+；
(7)y1y2=-p2，x1x2=，|y1-y2|=；
(8)kOA·kOB=-4，·=-p2；
(9)+=；
(10)=.
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在拋物線C的準(zhǔn)線上，則以下說(shuō)法正確的是(　　).
A.|PQ|+|PF|的最小值是2
B.|PQ|≥|PF|
C.當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)Q，使得=3
D.若△PQF是等邊三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3
2.(2024年天津卷)圓(x-1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F重合，A為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線AF的距離為　　　　.
【真題改編】
1.(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷，T5改編1)設(shè)雙曲線C1：x2-=1(a>0)，C2：-y2=1的離心率分別為e1，e2.若e1·e2=，則a=(　　).
A.2 B. C. D.3
2.(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷，T5改編2)設(shè)雙曲線C1：-y2=1(a>0)，C2：-y2=1的離心率分別為e1，e2.若e2=e1，則a=(　　).
A. B. C. D.
3.(2024年全國(guó)甲卷，理科T5改編)已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為(0，2)，(0，-2)，點(diǎn)(-6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為(　　).
A.4 B.3 C.2 D.
4.(2024年新高考全國(guó)Ⅱ卷，T5改編)已知雙曲線C：x2-y2=9(y>0)，從C上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP'，P'為垂足，若點(diǎn)M滿足=2，則點(diǎn)M的軌跡方程為(　　).
A.-y2=1(y>0) B.x2-=1(y>0)
C.x2-y2=9(y>0) D.-=9(y>0)
5.(2024年新高考全國(guó)Ⅱ卷，T10改編)如圖，拋物線C：y2=8x的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓A：x2+(y-a)2=4(a∈R)的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為B，則(　　).
A.對(duì) a∈R，均有l(wèi)與圓A相切
B.若a=8，且當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=7
C.對(duì) a≠0，均存在點(diǎn)P，使∠BAP=
D.滿足|AP|=|PF|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)
6.(2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷，T16改編)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，⊥，=-，則C的離心率為　　　　.
【最新模擬】
(總分：85分　單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分)
1.若P為橢圓C：+=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF2|=8，則|PF1|=(　　).
A.10 B.12 C.14 D.16
2.關(guān)于雙曲線-=1和-=1的焦距和漸近線，下列說(shuō)法正確的是(　　).
A.焦距相等，漸近線相同
B.焦距相等，漸近線不相同
C.焦距不相等，漸近線相同
D.焦距不相等，漸近線不相同
3.已知A(3，0)，B(-3，0)，P是橢圓+=1上的任意一點(diǎn)，則|PA|·|PB|的最大值為(　　).
A.9 B.16 C.25 D.50
4.已知直線x=ty+3過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則(　　).
A.p=3
B.p=6
C.|MN|的最小值為6
D.|MN|的最小值為12
5.已知橢圓C1：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)與橢圓C2：+=1(m>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則m=(　　).
A. B. C.7 D.5
6.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2+y2+8x+7=0相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：-x2=1的上、下焦點(diǎn)，M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則下列說(shuō)法正確的有(　　).
A.雙曲線C的漸近線方程為y=±x
B.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2
C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為±
D.△MF1F2的面積為
8.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為2c，且c=，則該雙曲線的離心率是　　　　.
9.已知橢圓C：+=1的焦點(diǎn)在x軸上，且F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　).
A.B.C的離心率為
C.存在m，使得∠F1PF2=90°
D.△F1PF2面積的最大值為
10.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-5，0)，(5，0)，M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線MA，MB的斜率之積為λ，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C與曲線y2=2|x|有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的面積等于48，則軌跡C的離心率等于(　　).
A. B. C. D.
11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-1，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(　　).
A.|AB|的最小值為4
B.設(shè)Q(3，2)，則△QAF周長(zhǎng)的最小值為4
C.以AF為直徑的圓與y軸相切
D.若=2，則直線l的斜率為2或-2
12.如圖，已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，圓x2+y2=a2與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線A1M交C的右支于點(diǎn)P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的平分線與y軸平行，則C的離心率為(　　).
A.2 B. C. D.
13.已知F為拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別為l1和l2，若l1和l2交于點(diǎn)P，則|PF|2+的最小值為　　　　.
14.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|=|AB|，若△OAF1的面積為b2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為　　　　.
15.(改編)當(dāng)m變化時(shí)，方程(m-1)x2+(m-3)y2=(m-1)(3-m)所表示的曲線可以是(　　).
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.直線
16.(原創(chuàng))已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：-=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M(x，y)滿足|MF1|+|MF2|為定值，且|MF1|·|MF2|的最大值為9，則點(diǎn)M的軌跡方程為　　　　.
參考答案
專題十 圓錐曲線的方程與性質(zhì)
題型1　圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1　(1)C　(2)C
【解析】(1)由題意可知，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y，則p=1，
即點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離是1.
(2)橢圓的方程為+=1(m>n>0)，則a=，b=，
離心率e====，解得=，即m=4n，顯然C不滿足條件.
跟蹤訓(xùn)練
1.B
【解析】橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-3，0)，(3，0).
在雙曲線中，c=3，e==，所以a=2，b2=c2-a2=9-4=5，所以雙曲線的方程為-=1.
2.C
【解析】∵拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F(0，1)，
∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1.
又F(0，1)，A(2，0)，∴直線FA的方程為x+2y-2=0，過(guò)點(diǎn)M作MP垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)P(圖略)，根據(jù)拋物線的定義可知|FM|=|PM|，又=，
∴|MN|=|PM|，∴=，
故|FM|∶|MN|=1∶.
題型2　橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)
例2　(1)B　(2)C　(3)
【解析】(1)
依題意知a=3，b=，c==.如圖，不妨令F1(-，0)，F(xiàn)2(，0).
設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|OP|=x.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2==，　①
由橢圓的定義可得m+n=2a=6.　②
由①②，解得mn=.
因?yàn)樵凇鱂1OP和△F2OP中，∠F1OP+∠F2OP=π，分別由余弦定理可得=-，即x2===，所以|OP|=.
(2)如圖，由題意可知，點(diǎn)P必落在第四象限，且∠F1PF2=90°，設(shè)|PF2|=m，∠PF2F1=θ1，∠PF1F2=θ2，由=tan θ1=2，求得sin θ1==.
因?yàn)椤螰1PF2=90°，所以·=-1，求得=-，即tan θ2=，sin θ2=.
由正弦定理得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=2∶1∶，則由|PF2|=m得|PF1|=2m，|F1F2|=2c=m.
由=|PF1|·|PF2|=·2m·m=8得m=2，
則|PF2|=2，|PF1|=4，|F1F2|=2c=2，所以c=，
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=2，所以a=，所以b==2，所以雙曲線的方程為-=1.
(3)如圖，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，將x=c代入-=1，得y=±，即Ac，，Bc，-，
故|AB|==10，|AF2|==5.
又|F1A|-|AF2|=2a，得|F1A|=|AF2|+2a=5+2a=13，解得a=4，代入=5，得b2=20，
故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e==.
跟蹤訓(xùn)練
1.A
【解析】由已知得e1=，e2==，因?yàn)閑2=e1，所以=×，得a=.
2.D
【解析】由題意可知F2(c，0)，漸近線方程為y=±x，則有=2a，則b=2a，得e=.設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為R，由題意知-=λ，即·|PF1|·R-·|PF2|·R=·λ|F1F2|·R，即·2a·R=·2cλ·R，所以λ===.
3.
【解析】由題意可知，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(0，y0)，則=(x1-c，y1)，=(-c，y0).
因?yàn)?-，所以
即所以Ac，-y0，所以=c，-y0，=(c，y0).
因?yàn)椤停浴?0，
即c2-=0，解得=4c2.
因?yàn)辄c(diǎn)Ac，-y0在雙曲線C上，所以-=1，又=4c2，
所以-=1，即-=1，
化簡(jiǎn)得=，所以e2=1+=，所以e=.
題型3　拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用
例3　(1)BCD　(2)ABD
【解析】(1)對(duì)于A，由題意可知，F(xiàn)0，，直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+，將y=kx+代入拋物線方程，得x2-kx-=0，則x1x2=-，y1y2==，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，|FA|=y1+，|FB|=y2+，+===4，故B正確；
對(duì)于C，由x2=y得y'=2x，所以kAM=2x1，kBM=2x2，kAM·kBM=4x1x2=-1，所以AM⊥BM，故C正確；
對(duì)于D，由C可知AM⊥BM，所以△AMB的外接圓直徑為AB，所以|AB|=2，則|AB|=|FA|+|FB|=y1+y2+=2，故y1+y2=，
即+=(x1+x2)2-2x1x2=，所以k2+=，解得k=±1，所以直線AB的方程為y=±x+，故D正確.故選BCD.
(2)對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，所以圓心A(0，4)到直線x=-1的距離為1，且等于☉A的半徑，所以準(zhǔn)線l和☉A相切，故A正確.
對(duì)于B，當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA⊥l，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP=4，由=4xP，得xP=4，故P(4，4)，此時(shí)切線長(zhǎng)|PQ|===，故B正確.
對(duì)于C，當(dāng)|PB|=2時(shí)，xP=1，此時(shí)=4xP=4，故P(1，2)或P(1，-2)，
當(dāng)P(1，2)時(shí)，A(0，4)，B(-1，2)，kPA==-2，kAB==2，不滿足kPAkAB=-1.
當(dāng)P(1，-2)時(shí)，A(0，4)，B(-1，-2)，kPA==-6，kAB==6，不滿足kPAkAB=-1.
綜上，PA⊥AB不成立，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，設(shè)P，t，由PB⊥l可得B(-1，t)，又A(0，4)，|PA|=|PB|，
所以=+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，則關(guān)于t的方程有2個(gè)解，即存在2個(gè)這樣的點(diǎn)P，故D正確.故選ABD.
跟蹤訓(xùn)練
1.ABD
【解析】對(duì)于A，由題意得F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=-1，如圖1，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為W，過(guò)點(diǎn)P作PA垂直拋物線C的準(zhǔn)線，垂足為A，
由拋物線的定義可知，|PF|=|PA|，則|PQ|+|PF|=|PQ|+|PA|，
故當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，(|PQ|+|PF|)min=2|PA|，
顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為|OW|=1，
故|PQ|+|PF|的最小值為2，故A正確；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)知|PQ|≥|PA|=|PF|，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4時(shí)，令y=4，得x=4，
故P(4，4)，假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得=3，
則點(diǎn)Q為直線PF與準(zhǔn)線x=-1的交點(diǎn)，
直線PF的方程為=，即4x-3y-4=0，
在4x-3y-4=0中，令x=-1，得y=-，故點(diǎn)Q-1，-，
此時(shí)=2，，=(3，4)，=，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖2，若△PQF是等邊三角形，則|PF|=|PQ|，
因?yàn)閨PF|=|PA|，所以|PA|=|PQ|，即點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，
則PQ⊥y軸，則∠PQF=∠QFW=，
又|WF|=2，所以|QF|==2×2=4，所以|PQ|=|QF|=4，
故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是4-1=3，故D正確.故選ABD.
2.
【解析】圓(x-1)2+y2=25的圓心為F(1，0)，故=1，即p=2，
由得x2+2x-24=0，故x=4或x=-6(舍去)，所以A(4，±4)，
故直線AF的方程為y=±(x-1)，即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.
故原點(diǎn)到直線AF的距離d==.
1.B
【解析】由已知得e1=，e2==，又e1·e2=，所以×=，解得a=.
2.D
【解析】由已知得e1=，e2==，又e2=e1，所以=，解得a=.
3.C
【解析】依題意得a=2，設(shè)雙曲線的方程為-=1(b>0).
因?yàn)辄c(diǎn)(-6，4)在該雙曲線上，
所以-=1，解得b2=12，
則c2=a2+b2=4+12=16，即c=4，
所以e===2.
4.B
【解析】設(shè)M(x，y)，P(x0，y)，則P'(0，y)，
因?yàn)?2，所以x-x0=-2x，解得x0=3x，即P(3x，y)，
又點(diǎn)P在雙曲線C：x2-y2=9(y>0)上，
所以9x2-y2=9(y>0)，即x2-=1(y>0)，
故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-=1(y>0).故選B.
5.ACD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)閳AA的半徑為2，圓心A(0，a)到準(zhǔn)線x=-2的距離為2，所以對(duì) a∈R，均有l(wèi)與圓A相切，故A正確；
對(duì)于B，若a=8，且P，A，B三點(diǎn)共線，則P(8，8)，所以|AP|=8，
故|PQ|===2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)锳(0，a)，a≠0，設(shè)P(2t2，4t)，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，得∠BPA=(舍去)，即t≠0，則B(-2，4t)，
所以kAB=，kAP=，若∠BAP=，則kAB·kAP=-1，
故4at-a2-16t2+4at=-4t2，即12t2-8at+a2=0，解得t=a或t=a，
所以對(duì) a≠0，均存在點(diǎn)P，使得kAB·kAP=-1，即∠BAP=，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)P(2t2，4t)，則B(-2，4t)，
所以|PF|=2t2+2，因?yàn)锳(0，a)，所以|AP|=，所以當(dāng)|AP|=|PF|時(shí)，2t2+2=，即8t2-8at+a2-4=0，
因?yàn)棣?(-8a)2-32(a2-4)=32a2+128>0，所以對(duì)于 a∈R，均使得方程有2個(gè)不相等的實(shí)根，
即滿足|AP|=|PF|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)，故D正確.故選ACD.
6.
【解析】依題意，點(diǎn)F2，A，B在同一條直線上，設(shè)|F2A|=2m，m>0，則|F2B|=3m，|AB|=5m，則|F1B|=|F2B|=3m.由橢圓的定義知|F1A|=2a-2m.
因?yàn)椤停栽赗t△BF1A中，(3m)2+(2a-2m)2=(5m)2，
整理得(a-3m)(a+m)=0，故a=3m或a=-m(舍去)，
所以|F1A|=2a-2m=，|F2A|=，|AB|=，
所以cos∠F1AB===cos∠F1AF2.
在△F1AF2中，cos∠F1AF2===，整理得a2=5c2，則e==，故C的離心率為.
1.C
【解析】由橢圓方程可知，a=11，則|PF1|+|PF2|=22，即|PF1|+8=22，解得|PF1|=14.
2.B
【解析】雙曲線-=1的焦距為2=4，漸近線方程為y=±x.
雙曲線-=1的焦距為2=4，漸近線方程為y=±2x.
因此，兩雙曲線的焦距相等，漸近線不相同.
3.C
【解析】由已知得A，B分別為橢圓的右、左焦點(diǎn)，所以|PA|+|PB|=2a=10≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=5時(shí)，等號(hào)成立，
所以≤5，即|PA|·|PB|≤25，故|PA|·|PB|的最大值為25.
4.BD
【解析】由直線x=ty+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，得=3，即p=6，故A錯(cuò)誤，B正確；
當(dāng)直線x=ty+3垂直于x軸，即t=0時(shí)，|MN|取得最小值，最小值為2p=12，故C錯(cuò)誤，D正確.
5.A
【解析】由題意可得橢圓C2：+=1(m>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)在y軸上，由橢圓C1，C2的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，可得16-m2=12-3，解得m=.
6.D
【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，即bx-ay=0.因?yàn)閳AC：x2+y2+8x+7=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+4)2+y2=9，所以圓心為C(-4，0)，半徑r=3，所以=3，又a2+b2=16，解得a=，b=3，所以該雙曲線的方程為-=1.
7.AD
【解析】對(duì)于A，由雙曲線方程-x2=1知a=，b=1，焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為y=±x=±x，故A正確.
對(duì)于B，c==，以F1F2為直徑的圓的方程是x2+y2=3，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，由得或由得或
故點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是±1，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，=|F1F2|·|xM|=×2×1=，故D正確.
8.2+
【解析】設(shè)|PF2|=m，則m≥c-a，由雙曲線的定義知，|PF1|-|PF2|=2a，
所以|PF1|=m+2a，==m++4a.若令m=，則m=2a.
當(dāng)2a≥c-a，即a≥c時(shí)，
=m++4a≥2+4a=8a≥c>2c，不符合題意；
當(dāng)2a3時(shí)，
y=m++4a在m∈[c-a，+∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)m=c-a時(shí)，取得最小值，
故c-a++4a=2c，化簡(jiǎn)得c2-4ac-a2=0，
即e2-4e-1=0，解得e=2-(舍去)或e=2+.
綜上所述，該雙曲線的離心率是2+.
9.ACD
【解析】A選項(xiàng)，橢圓C：+=1的焦點(diǎn)在x軸上，故m>1-m>0，解得B選項(xiàng)，設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則c2=m-(1-m)=2m-1，
故C的離心率為=，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，以F1F2為直徑，原點(diǎn)O為圓心的圓的方程為x2+y2=2m-1，與橢圓C：+=1聯(lián)立，消去y得+=1，整理得(1-2m)x2=2m-3m2，因?yàn)?m<1，即1-2m<0，則x2=，
所以當(dāng)≤m<1時(shí)，2-3m≤0，1-2m<0，有x2=≥0，此時(shí)P為圓O與橢圓C的交點(diǎn)之一，使得∠F1PF2=90°，
故存在m，使得∠F1PF2=90°，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?|F1F2|·h(h為點(diǎn)P到x軸的距離)，所以當(dāng)點(diǎn)P位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，
又|F1F2|=2，所以△F1PF2的最大面積為|F1F2|·=·==，
因?yàn)?m<1，所以當(dāng)m=時(shí)，取得最大值，最大值為，D正確.
10.B
【解析】設(shè)M(x，y)，則·=λ，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為λ=(x≠±5).
設(shè)軌跡C與曲線y2=2|x|在第一象限的交點(diǎn)為P(x0，y0)，則x0>0，y0>0，且=2x0，由對(duì)稱性可知矩形的面積S=2x0·2y0=·2y0=48，
解得y0=2，x0=6，故P(6，2).
因?yàn)辄c(diǎn)P(6，2)在曲線C上，所以λ===.
因?yàn)檐壽EC的方程可化為-=1(x≠±5)，所以軌跡C是雙曲線，且a2=25，b2=25λ，
則e2===1+=，所以e=.
11.ACD
【解析】拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-1，所以=1，則p=2，所以拋物線C：y2=4x.
由題意可知直線AB的斜率不為0，則可設(shè)直線l的方程為x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2-4my-4=0.
易知Δ>0，可得y1+y2=4m，y1y2=-4，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=m(y1+y2)+4=4m2+4≥4，
所以|AB|的最小值為4，故A正確.
如圖，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，交y軸于點(diǎn)A1，F(xiàn)(1，0).
根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=|AC|，所以△QAF的周長(zhǎng)為|AF|+|AQ|+|QF|=|AC|+|AQ|+=|AC|+|AQ|+2.
由圖可知，當(dāng)點(diǎn)A，C，Q在同一直線上時(shí)，|AC|+|AQ|有最小值，最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線x=-1的距離，即3-(-1)=4，
所以△QAF周長(zhǎng)的最小值是4+2，故B錯(cuò)誤.
取AF的中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為D1，
則DD1是梯形OFAA1的中位線.由拋物線的定義可得|AA1|=|AC|-|A1C|=|AF|-1，
所以|DD1|===，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C正確.
因?yàn)?2，所以y2=-2y1，又y1+y2=4m，所以解得y2=8m，y1=-4m，
所以y1y2=-32m2=-4，解得m=±.
設(shè)直線l的斜率為k，則k==±2，故D正確.故選ACD.
12.B
【解析】由且點(diǎn)M在第一象限，可得M，，又A1(-a，0)，A2(a，0)，
所以|MA1|2=+a2+2=2a21+，
|MA2|2=-a2+2=2a21-.
由題意可知，∠A1MA2=∠PMA2=90°，故△MPA2是等腰直角三角形，所以∠MA2P=45°，
又∠PA2M的平分線與y軸平行，所以∠MA1A2=22.5°，
又tan 45°==1，所以tan 22.5°=-1，
則tan2∠MA1A2=2==(-1)2，可得=3-2，所以e=.故選B.
13.10
【解析】拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F(0，1)，由題意可知直線AB的斜率存在，則可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程并消去y得x2-4kx-4=0，則|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4.
對(duì)y=x2求導(dǎo)可得y'=x，故直線AP的方程為y-y1=x1(x-x1)，
又y1=，所以y=x1x-.
同理可得，直線BP的方程為y=x2x-.
由可得(x1-x2)x=(-)，解得x=，代入可得P，.由根與系數(shù)的關(guān)系，得P(2k，-1)，所以|PF|=.
故|PF|2+=4k2+4+≥2=10，當(dāng)且僅當(dāng)4k2+4=，即k=±時(shí)取等號(hào).故|PF|2+的最小值為10.
14.
【解析】如圖，設(shè)|AF1|=m，|AF2|=n，∠F1AF2=θ，θ∈(0，π)，則m+n=2a.
在△F1AF2中，可知=2=b2，
即mnsin θ=b2，可得mn=.
由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos θ=(m+n)2-2mn-2mncos θ，
即4c2=4a2--cos θ，可得sin θ-cos θ=1，
則由解得
或
又因?yàn)棣取?0，π)，所以sin θ>0，所以可知θ=.
又因?yàn)閨AF1|=|AB|，所以△ABF1為等邊三角形，所以|AF1|=|BF1|.
由對(duì)稱性可知AB⊥x軸，
則m=2n，2c=n，所以==.
15.BCD
【解析】(1)當(dāng)m=1時(shí)，方程為y=0，表示直線.
(2)當(dāng)m=3時(shí)，方程為x=0，表示直線.
(3)當(dāng)(3-m)(m-1)≠0時(shí)，整理方程得+=1.
①當(dāng)即m<1時(shí)，該方程表示橢圓；
②當(dāng)即116.+=1
【解析】由題意知F1(-，0)，F(xiàn)2(，0)，因?yàn)閨MF1|+|MF2|為定值，由|MF1|·|MF2|≤2=9，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|時(shí)取等號(hào)，得|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=2，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1(-，0)，F(xiàn)2(，0)為焦點(diǎn)的橢圓，于是可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，則2a=6，a=3.又c=，所以b2=a2-c2=4，所以點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.

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