資源簡介 專題六 空間幾何體【題型分析】考情分析: 從近幾年高考的情況來看,以柱體、錐體和球體為背景求空間幾何體的表面積與體積是高考常考內(nèi)容,一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),屬于簡單題.題型1 空間幾何體的最短距離問題例1 如圖,在底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,M為AC的中點(diǎn),一只小蟲從點(diǎn)B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到點(diǎn)M處,則小蟲爬行的最短路程為 .方法總結(jié):空間幾何體的最短距離問題,一般是將空間幾何體展開成平面圖形,轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問題,注意展開后對應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.如圖,在正三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點(diǎn)A作截面AEF,其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在VB,VC上,則△AEF的周長的最小值為( ).A.6 B.6C.8 D.8題型2 空間幾何體的表面積和體積問題例2 如圖,在圓臺O1O2中,四邊形ABCD為其軸截面,AB=AD=BC=CD=2,則( ).A.線段AC=2B.該圓臺的表面積為11πC.該圓臺的體積為7πD.沿著該圓臺的表面,從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5方法總結(jié):1.求解空間幾何體表面積的類型及方法求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”,展開成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積2.求空間幾何體體積的常用方法公式法 對于規(guī)則幾何體的體積問題,可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進(jìn)行體積計(jì)算;或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體,便于計(jì)算其體積等體積法 一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化,其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解,我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,多用來解決有關(guān)錐體體積的問題,特別是求三棱錐的體積(2024年新高考全國Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為,則圓錐的體積為( ).A.2π B.3π C.6π D.9π題型3 球的相關(guān)問題例3 (改編)《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語,指的是一段類似隧道形狀的幾何體.如圖,在“羨除”ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均為等邊三角形,且EF=2AB=6,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為 .方法總結(jié):1.求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法:側(cè)面為直角三角形,或正四面體,或?qū)饩嗟鹊哪P停梢赃€原到正方體或長方體中去求解.(2)定義法:到空間多面體的各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為該空間多面體的外接球的球心,借助底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)的距離等于半徑,列關(guān)系式求解即可.2.幾何體內(nèi)切球問題的處理策略解題時(shí)常用以下結(jié)論確定球心和半徑:(1)球心在過切點(diǎn)且與切面垂直的直線上;(2)球心到各面的距離相等;(3)利用體積求多面體內(nèi)切球的半徑r,即r=(V為多面體的體積).已知某種有蓋的圓柱形容器底面圓的半徑為1+,高為100,現(xiàn)有若干個(gè)半徑為的實(shí)心球,則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入 個(gè)這種實(shí)心球.【真題改編】1.(2024年新高考全國Ⅰ卷,T5改編)已知圓柱和圓錐的側(cè)面積相等,圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形,則圓柱的軸截面的面積為( ).A.2 B.2C. D.12.(2024年新高考全國Ⅱ卷,T7改編)已知在正三棱臺ABC-A1B1C1中,AB=6,A1B1=3,A1A與平面ABC所成角的正切值為,則三棱臺ABC-A1B1C1的體積為( ).A. B. C. D.3.(2023年全國乙卷,理科T8改編)已知圓錐PO的底面半徑為,O為底面的圓心,PA,PB為圓錐的母線,∠AOB=120°.若△PAB的面積為,則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為( ).A. B. C. D.4.(2024年全國甲卷,理科T14改編)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2,母線長分別為(r2-r1),3(r2-r1).若-=1,則這兩個(gè)圓臺的體積之和為 .5.(2023年新高考全國Ⅱ卷,T14改編)底面邊長為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長為2的正三棱錐,所得棱臺的體積為26,則原正三棱錐的高為 .6.(2023年新高考全國Ⅰ卷,T14改編)用一個(gè)與正四棱錐P-ABCD的底面平行的平面去截該棱錐,得到一個(gè)正四棱錐P-A1B1C1D1與一個(gè)正四棱臺ABCD-A1B1C1D1,若AB=2,A1B1=1,AA1=,則正四棱錐P-ABCD外接球的表面積為 .【最新模擬】(總分:84分 單選題每題5分,多選題每題6分,填空題每題5分)1.(改編)已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形,則該圓錐的母線長為( ).A.5 B.6 C.7 D.82.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( ).A. B.4π C.2π D.3.如圖所示,在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)直徑為2的圓,使之恰好圍成一個(gè)圓錐,則圓錐的高為( ).A.2 B. C. D.4.燈籠起源于中國的西漢時(shí)期,兩千多年來,每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠,營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上、下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面,中間是球面的一部分(除去兩個(gè)“球缺”).如圖2,“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分,截得的圓面叫作“球缺”的底,垂直于截面的直徑被截得的一段叫作“球缺”的高.已知“球缺”的體積公式為V=(3R-h)h2,其中R是球的半徑,h是“球缺”的高.已知該燈籠的高為40 cm,圓柱的高為4 cm,圓柱的底面圓直徑為24 cm,則該燈籠的體積約為( ).(取π=3)A.32 000 cm3 B.33 664 cm3C.33 792 cm3 D.35 456 cm35.(改編)如圖,已知圓臺OO'的下底面直徑AB=4,母線BC=2,且AC⊥BC,P是下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn),則( ).A.圓臺OO'的表面積為11πB.圓臺OO'的體積為πC.三棱錐A-BCP體積的最大值為D.PA+PC的最大值為66.已知棱長為1的正方體紙盒展開后如圖所示,則在原正方體紙盒上,分別將M,N,C,D四點(diǎn)兩兩相連,構(gòu)成的幾何體的表面積為 .7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的體積與以△ABC的外接圓為底面的圓柱的體積相等,則正三棱柱ABC-A1B1C1與圓柱的側(cè)面積的比值為 .8.(改編)如圖1所示,在邊長為4的正方形ABCD中,E,F(xiàn),M分別為BC,CD,BE的中點(diǎn),分別沿AE,AF及EF所在直線把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得到三棱錐P-AEF,如圖2所示,則三棱錐P-AEF的外接球的體積是 ;過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍是 .圖1 圖29.已知分別以銳角三角形ABC的邊AB,BC,AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為∶∶2,則cos∠ABC=( ).A. B. C. D.10.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r2=2r1,若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切,則該圓臺的體積為( ).A. B. C. D.11.(改編)如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD=2,E是邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE(點(diǎn)A1不落在底面BCDE內(nèi)),連接A1B,A1C.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE的翻折過程中,下列結(jié)論正確的是( ).A.BM∥平面A1DE恒成立B.存在某個(gè)位置,使DE⊥A1CC.線段BM的長為定值D.∶=1∶312.如圖,這是為球形物品設(shè)計(jì)制作的正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒,最少用料分別記為S1,S2,S3,則它們的大小關(guān)系為( ).A.S1C.S313.已知圓錐SO的側(cè)面積為3π,母線SA=l,底面半徑為r,點(diǎn)P滿足=2,則( ).A.當(dāng)r=1時(shí),圓錐SO的體積為B.當(dāng)r=時(shí),過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C.當(dāng)r=1時(shí),從點(diǎn)A繞圓錐SO一周到達(dá)點(diǎn)P的最短距離為D.當(dāng)l=3時(shí),棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)14.已知矩形ABCD,其中AB=8,AD=4,將點(diǎn)D沿著對角線AC進(jìn)行翻折,形成三棱錐D'-ABC,如圖所示,則下列說法正確的是 .(填序號)①點(diǎn)D在翻折過程中存在BD'⊥AC的情況;②三棱錐D'-ABC可以四個(gè)面都是直角三角形;③點(diǎn)D在翻折過程中,三棱錐D'-ABC的表面積不變;④點(diǎn)D在翻折過程中,三棱錐D'-ABC的外接球的體積不變.15.(人教A版必修第二冊P152練習(xí)T2改編)在《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,CD=2PD=2AD=2,則下列結(jié)論正確的有( ).A.四面體PACD是鱉臑B.陽馬P-ABCD的體積為C.點(diǎn)D到平面PAC的距離為D.陽馬P-ABCD的外接球的表面積為6π16.(原創(chuàng))在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=3A1B1=3,AA1=2,P為棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),給出下列結(jié)論:①AP+PC的最小值為3;②AP+PC1的最小值為.下列判斷正確的是( ).A.①與②均錯(cuò)誤B.①正確,②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤,②正確D.①與②均正確參考答案專題六 空間幾何體題型1 空間幾何體的最短距離問題例1 【解析】如圖1,將三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C和側(cè)面CC1A1A沿CC1展開在同一平面內(nèi),連接MB1.∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),△ABC和△A1B1C1是等邊三角形,∴CM=AC=,BM=CM+BC=3.在Rt△MBB1中,由勾股定理,得B1M==.如圖2,將三棱柱ABC-A1B1C1的上底面ABC和側(cè)面BB1A1A沿AB展開在同一平面內(nèi),連接MB1,過點(diǎn)M作MF⊥A1B1于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E.易知四邊形AEFA1是矩形,ME⊥AB.在Rt△AME中,∠MAE=60°,∴ME=AM·sin 60°=,A1F=AE=AM·cos 60°=,∴MF=ME+EF=,B1F=A1B1-A1F=.在Rt△MFB1中,由勾股定理,得B1M==.如圖3,將三棱柱ABC-A1B1C1的下底面A1B1C1和側(cè)面AA1C1C沿A1C1展開在同一平面內(nèi),連接B1M,交A1C1于點(diǎn)N,則B1M⊥AC,B1N⊥A1C1.在Rt△A1NB1中,∠NA1B1=60°,∴B1N=A1B1·sin 60°=3,∴B1M=B1N+MN=5.∵<5<,∴小蟲爬行的最短路程為. 圖1 圖2 圖3跟蹤訓(xùn)練 C【解析】沿側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在同一個(gè)平面內(nèi),如圖所示,則AA'即為△AEF的周長的最小值,又因?yàn)椤螦VB=∠A'VC=∠BVC=30°,所以∠AVA'=3×30°=90°.在△VAA'中,VA=VA'=8,由勾股定理,得AA'===8.題型2 空間幾何體的表面積和體積問題例2 ABD【解析】由題意可知,四邊形ABCD是等腰梯形,AB=AD=BC=2,CD=4,則等腰梯形ABCD的高就是圓臺的高,設(shè)其為h,則h==.對于A,在等腰梯形ABCD中,AC==2,故A正確;對于B,圓臺的表面積S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π,故B正確;對于C,圓臺的體積V=π(12+1×2+22)×=,故C錯(cuò)誤;對于D,將圓臺一半的側(cè)面展開,如圖所示,且E為AD的中點(diǎn),而圓臺對應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開圖形為扇形COD且OC=4,又∠COD==,在Rt△COE中,CE==5,斜邊CE上的高為=>2,即CE與弧AB相離,所以CE在圓臺表面,所以點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5,故D正確.故選ABD.跟蹤訓(xùn)練 B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長為,因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面積相等,所以2πr×=πr·,即2=,解得r=3,故圓錐的體積為π×9×=3π.故選B.題型3 球的相關(guān)問題例3 36π【解析】如圖,連接BD,分別取EF,BD,AD的中點(diǎn)G,H,I,連接GH,HI,EI.由底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均為等邊三角形,得EG∥IH,GH⊥底面ABCD.又EF=2AB=6,所以EG=AD=AB=3,則EI=AD=,IH=AB=,故GH==.設(shè)“羨除”ABCDEF的外接球的球心為O,由H為底面正方形的中心,HG⊥IH,得“羨除”ABCDEF外接球的球心O在直線GH上,連接OI,OE,OA,設(shè)“羨除”ABCDEF的外接球的半徑為r,OH=a,則OA=OE=r.因?yàn)镚H⊥底面ABCD,AD 平面ABCD,所以GH⊥AD.又AD⊥IH,IH,GH 平面IOH,所以AD⊥平面IOH.又IO 平面IOH,所以AD⊥IO,所以IO2=r2-AI2=r2-2.又IO2=OH2+IH2=a2+2,所以r2-2=a2+2,即r2=a2+.又EO2=r2=-a2+32=a2-3a+,所以a2-3a+=a2+,解得a=,故r2=a2+=+=9,即r=3,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積S=4πr2=36π.跟蹤訓(xùn)練 49【解析】如圖,將第1個(gè)實(shí)心球O1靠近該圓柱形容器側(cè)面放置,球O1上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為2.將第2個(gè)實(shí)心球O2也靠近該圓柱形容器側(cè)面放置,過點(diǎn)O1作O1A垂直于該圓柱形容器的母線,垂足為A,過點(diǎn)O2作O2B垂直于該圓柱形容器的下底面,垂足為B.設(shè)O1A∩O2B=C,易得AC=BC=,CO1=2,則CO2==2,球O2上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為2+2.同理可得球O3上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為4+2.由此規(guī)律可得,每多放一個(gè)球,最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離都加2.因?yàn)?8×2+2<100<49×2+2,所以該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入49個(gè)這種實(shí)心球.1.B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,因?yàn)閳A錐的軸截面為邊長為2的正三角形,所以圓錐的底面半徑為1,圓錐的高為,則圓錐的母線長為2,所以圓錐的側(cè)面積為2π,則2πrh=2π,解得rh=1,所以圓柱的軸截面的面積為2rh=2.故選B.2.C【解析】將正三棱臺ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,如圖所示,則A1A與平面ABC所成的角就是PA與平面ABC所成的角.因?yàn)?=,所以=,所以=VP-ABC.設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d,則VP-ABC=d××6×6×=3d.設(shè)底面ABC的中心為O,連接PO,AO,則PO⊥底面ABC,且AO=2,所以PA與平面ABC所成角的正切值為tan ∠PAO==,所以PO=AO=,即d=PO=,所以=VP-ABC=×3d=×3×=.故選C.3.B【解析】如圖1,在△AOB中,∠AOB=120°,而OA=OB=,取AB的中點(diǎn)為C,連接OC,PC,易得OC⊥AB,PC⊥AB.又∠ABO=30°,所以O(shè)C=,BC=,AB=3.由S△PAB=,得×3×PC=,解得PC=,于是PO===,PA=PB===3.如圖2,設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r,由相似三角形的性質(zhì)可得=,所以r=.故選B.4.π【解析】由題意知,圓臺甲、乙的上底面和下底面的面積分別相等.設(shè)圓臺甲、乙的上、下底面的面積分別為S1,S2,由題意可得兩個(gè)圓臺的高分別為h甲==(r2-r1),h乙==2(r2-r1),所以V甲+V乙=(S2+S1+)h甲+(S2+S1+)h乙=(++r1r2)(r2-r1)+(++r1r2)(r2-r1)=π(-).因?yàn)?=1,所以V甲+V乙=π.5.3【解析】設(shè)棱臺的高為h,原正三棱錐的高為h',由題意知棱臺的上底面面積為×2×2×=,下底面面積為×6×6×=9,棱臺的體積為×h×(+9+)=26,解得h=2.由題意知=,解得h'=3.6.【解析】設(shè)O為正四棱錐P-ABCD底面的中心,因?yàn)锳1B1∶AB=1∶2,所以正四棱錐P-A1B1C1D1與正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高相等.因?yàn)锳C=2,A1C1=,AA1=,所以正四棱錐P-ABCD的高PO=2=.設(shè)正四棱錐P-ABCD外接球的球心為O',半徑為R,由正棱錐的性質(zhì)知點(diǎn)O'在PO上,所以(PO-R)2+OC2=O'C2=R2,即(-R)2+()2=R2,解得R=,則正四棱錐P-ABCD外接球的表面積為4π×2=.1.D【解析】設(shè)圓錐的母線長為l,由題意,可得l=2π×2,解得l=8.故所求圓錐的母線長為8.2.D【解析】設(shè)球的半徑為R,由題意可知,正四棱柱的體對角線就是外接球的直徑,故2R==2,解得R=1.故該球的體積V=πR3=.故選D.3.C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,由題圖可知,扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長,圓錐的底面半徑為r=1.設(shè)扇形的半徑為R,則有R=2πr=2π,解得R=4,所以圓錐的母線長為R=4,故所求圓錐的高h(yuǎn)===.故選C.4.B【解析】該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32(cm),則R-h==16(cm),由圓柱的底面直徑為24 cm,得(R-h)2+122=R2,即162+122=R2,可得R=20 cm,則h=4 cm,故該燈籠的體積V=2V圓柱+V球-2V球缺=2×π×122×4+×π×203-2××(3×20-4)×42≈3 456+32 000-1 792=33 664(cm3).故選B.5.ACD【解析】如圖所示,在圓臺OO'中,作圓O'過點(diǎn)C的直徑CD,則四邊形ABCD是等腰梯形,作CE⊥AB于點(diǎn)E.在△ABC中,由AB=4,BC=2,AC⊥BC,得∠ABC=60°,CE=,BE=1,則CD=AB-2BE=2,AE=AB-BE=3.對于A,圓臺OO'的表面積S=π×12+π×22+π×(1+2)×2=11π,A正確;對于B,圓臺OO'的體積V=π×(12+1×2+22)×=,B錯(cuò)誤;對于C,由P是下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn),得點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為2,則△APB面積的最大值為×2×4=4,三棱錐A-BCP體積的最大值為×4×=,C正確;對于D,連接PE,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,B都不重合時(shí),設(shè)∠PAB=θ(0°<θ<90°),t=cos θ∈(0,1),則PA=4cos θ=4t,在△AEP中,由余弦定理,得PE2=32+(4t)2-2×3×4tcos θ=9-8t2,于是PC==,設(shè)f(t)=PA+PC=4t+,求導(dǎo)得f'(t)=4-=·(-t)==,因?yàn)閠∈(0,1),所以f'(t)>0,所以函數(shù)f(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(t)6.2【解析】在原正方體紙盒上,分別將M,N,C,D四點(diǎn)兩兩相連,如圖所示,因?yàn)镸N,MC,MD,ND,NC,CD為正方體的面對角線,所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=,所以三棱錐D-MNC為正四面體,所以其表面積為×()2×4=2.7.2【解析】設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為h,則正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為a2sin 60°·h=a2h.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則2R=,解得R=a.設(shè)圓柱的高為m,則圓柱的體積為πR2m=a2m.由題意得a2h=a2m,解得=.因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的側(cè)面積為3ah,圓柱的側(cè)面積為2πR·m=πam,所以正三棱柱ABC-A1B1C1與圓柱的側(cè)面積的比值為==2.8.8π [π,6π]【解析】由題意,將三棱錐P-AEF補(bǔ)形為長、寬、高分別為2,2,4的長方體,如圖所示.三棱錐P-AEF的外接球就是補(bǔ)形后長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為R,圓心為O,則(2R)2=22+22+42=24,解得R=,所以三棱錐P-AEF的外接球的體積V=πR3=8π.過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓,其中最大截面為過球心O的圓,此時(shí)截面圓的面積為πR2=π×()2=6π,最小截面為過點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓,此時(shí)截面圓的半徑r====1(其中MN的長度等于長方體左、右側(cè)面的面對角線長度),截面圓的面積為πr2=π,所以過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍為[π,6π].9.C【解析】設(shè)AB邊上的高為CD=x,以邊AB,BC,AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積分別為V1,V2,V3,則CA·CBsin∠ACB=AB·x,可得x=,所以V1=πx2·AD+πx2·BD=.同理,V2=,V3=.由題意可得,∶∶=∶∶2,整理得AC=AB,BC=AB,所以cos∠ABC==.故選C.10.C【解析】如圖,設(shè)圓臺上、下底面的圓心分別為O1,O2,則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點(diǎn)處,設(shè)球O與母線AB相切于M點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB,所以O(shè)M=OO1=OO2=2,所以△AOO1≌△AOM,所以AM=r1.同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1.過點(diǎn)A作AG⊥BO2,垂足為G,則BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4.因?yàn)锳G2=AB2-BG2,所以16=(3r1)2-=8,所以r1=,所以r2=2,所以該圓臺的體積為×(2π+8π+4π)×4=.故選C.11.ACD【解析】對于A,如圖所示,設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連接FM,F(xiàn)B,由M為線段A1C的中點(diǎn),得FM∥A1D,而FM 平面A1DE,A1D 平面A1DE,則FM∥平面A1DE,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是邊AB的中點(diǎn),則FB∥DE,又FB 平面A1DE,DE 平面A1DE,所以FB∥平面A1DE,而FB∩FM=F,F(xiàn)B,F(xiàn)M 平面BMF,因此,平面A1DE∥平面BMF,又BM 平面BMF,所以BM∥平面A1DE恒成立,A正確;對于B,設(shè)點(diǎn)A1在底面BCDE的射影為點(diǎn)O,連接OE,OD,OC,CE,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是邊AB的中點(diǎn),所以A1D=A1E,CD≠CE,由△A1OD≌△A1OE,得OD=OE,顯然OC與DE不垂直(點(diǎn)C不在線段DE的中垂線上),假設(shè)存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C,由A1O⊥平面ABCD,DE 平面ABCD,得A1O⊥DE,而DE⊥A1C,A1C∩A1O=A1,A1C,A1O 平面A1CO,則DE⊥平面A1CO,又OC 平面A1CO,則有DE⊥OC,與OC與DE不垂直矛盾,所以不存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C,B錯(cuò)誤;對于C,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是邊AB的中點(diǎn),則∠A1DE=45°,由MF∥A1D,F(xiàn)B∥DE,得∠MFB=∠A1DE=45°,MF=,BF=,在△MFB中,由余弦定理,得BM2=2+()2-2×××=,所以BM=,C正確;對于D,∶=∶=·A1O·S△ADE∶·A1O·S四邊形BCDE=1∶3,D正確.故選ACD.12.B【解析】由題意知包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體,下面求正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球的半徑與其表面積的關(guān)系.設(shè)球形物品的半徑為R,則正六面體的棱長為2R,表面積S2=6×(2R)2=24R2.設(shè)正四面體的棱長為a,則正四面體的表面積S1=4×a2=a2,如圖1,在正四面體ABCD中,由正四面體的對稱性與球的對稱性可知內(nèi)切球的球心O在正四面體ABCD的高AG上,所以O(shè)G=R,底面等邊三角形BCD的高CE=a,外接圓半徑CG=×a=a,正四面體ABCD的高AG===a,所以正四面體ABCD的體積V=×a2×a=S1R.又S1=a2,所以a=2R,所以正四面體ABCD的表面積S1=a2=24R2.設(shè)正八面體的棱長為b,如圖2,連接AF,DB,CE,可得AF,DB,CE互相垂直且平分,四邊形BCDE為正方形,OD=BD=b,在Rt△AOD中,AO===b,則該正八面體的體積V'=2××b2×b=b3,該正八面體的表面積S3=8×b2=2b2.因?yàn)镾3R=V',即×2b2·R=b3,解得b=R,所以S3=2b2=2×(R)2=12R2,所以S313.AC【解析】由已知得πrl=3π,則rl=3.當(dāng)r=1時(shí),l=3,此時(shí)圓錐SO的高h(yuǎn)==2,此時(shí)圓錐SO的體積V=πr2h=,A正確.設(shè)圓錐的軸截面為△SAB,如圖1所示,當(dāng)r=時(shí),l=2,即SA=SB=2,AB=3.因?yàn)镾A2+SB2-AB2=-1<0,所以∠ASB為鈍角,故截面三角形的最大面積為S=l2·sin =×22×1=2,B錯(cuò)誤.當(dāng)r=1時(shí),l=3,側(cè)面展開圖的弧長為2π,沿SA將圓錐SO的側(cè)面展開,得扇形SA1A,如圖2所示,所以扇形SA1A的圓心角為∠A1SP=.又=2,所以SP=1,在△A1SP中,由余弦定理,得A1P2=A1S2+SP2-2A1S·SPcos =13,所以A1P=,C正確.如圖3所示,將正四面體放到正方體內(nèi),則正四面體的外接球與正方體的外接球相同,若正四面體的棱長為,則正方體的棱長為1,且外接球的半徑為=,如圖4所示,當(dāng)圓錐SO的母線SA=l=3時(shí),r=1,則圓錐的高SO==2,設(shè)圓錐SO的內(nèi)切球半徑為R,球心為N,內(nèi)切球與母線SA相切于點(diǎn)T,則NT⊥SA,易知△SAO∽△SNT,則=,即=,解得R=<,則當(dāng)l=3時(shí),棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)不可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),D錯(cuò)誤.故選AC.14.②④【解析】對于①,如圖所示,過點(diǎn)B作AC的垂線,垂足為E,連接D'E,若BD'⊥AC成立,因?yàn)锽E⊥AC,BE,BD' 平面BED',BE∩BD'=B,所以AC⊥平面BED',則AC⊥D'E,又因?yàn)锽E⊥AC,所以在原矩形中,BD⊥AC,因?yàn)榫匦蔚拈L寬不等,所以BD⊥AC顯然不可能成立,故①錯(cuò)誤;對于②,當(dāng)平面ABC⊥平面ABD'時(shí),因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABD'=AB,BC⊥AB,所以BC⊥平面ABD',所以BC⊥BD',BC⊥AD',又AD'⊥D'C,D'C∩BC=C,D'C,BC 平面BD'C,所以AD'⊥平面BD'C,所以AD'⊥D'B,此時(shí)三棱錐D'-ABC的四個(gè)面都是直角三角形,故②正確;對于③,由于在翻折過程中,∠D'AB與∠D'CB都為銳角,且逐漸變小,所以S△D'AB=AD'·AB·sin ∠D'AB也逐漸變小,同理S△D'CB也同時(shí)變小,而另外兩個(gè)三角形面積之和為原矩形的面積,故三棱錐D'-ABC的表面積逐漸變小,故③錯(cuò)誤;對于④,因?yàn)椤鱀'CA,△BCA都為直角三角形,所以外接球的球心就是AC的中點(diǎn),點(diǎn)D在翻折過程中,其外接球的直徑始終為AC,故三棱錐D'-ABC的外接球的體積不變,故④正確.15.BCD【解析】因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以△PDA,△PDC均為直角三角形,由已知得CD=2,PD=AD=1,所以PA=,PC=.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AC=.連接AC(圖略),在△PAC中,PA=,PC=,AC=,則△PAC不是直角三角形,所以四面體PACD不是鱉臑,A錯(cuò)誤.因?yàn)镻D為陽馬P-ABCD的高,所以VP-ABCD=×1×2×1=,B正確.設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為d,又S△PAC=××=,所以×·d=××1,解得d=,則點(diǎn)D到平面PAC的距離為,C正確.取PB的中點(diǎn)為O,連接OA,OC,OD(圖略),因?yàn)椤鱌AB,△PCB,△PDB均為直角三角形,且PB為這三個(gè)直角三角形的公共斜邊,即OA=OC=OD=PB=OP=OB,所以點(diǎn)O為陽馬P-ABCD的外接球的球心,又PB==,所以陽馬P-ABCD的外接球的表面積為4π×2=6π,D正確.故選BCD.16.B【解析】由AB=3A1B1=3,AA1=2,易知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的每個(gè)側(cè)面均為等腰梯形,且∠A1AB=60°,把等腰梯形A1ABB1與等腰梯形BB1C1C沿棱B1B展開至同一個(gè)平面內(nèi)(如圖1所示),易知AP+PC的最小值就是展開圖中AC的長,在展開圖的△ABC中,AB=BC=3,易知∠ABC=120°,所以AC=3,故①正確.以B1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,易得A(-2,-),C1,,從而AC1===,因?yàn)锳P+PC1>AC1,所以AP+PC1的最小值大于,故②錯(cuò)誤.故選B. 展開更多...... 收起↑ 資源預(yù)覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫