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專題四 等差數列、等比數列
【題型分析】
考情分析：
1.等差、等比數列的基本運算和性質的考查是高考熱點，經常以小題的形式出現.
2.數列的通項也是高考熱點，難度中檔及以下.
題型1 等差數列、等比數列的計算
例1　(1)(2023年全國甲卷)設等比數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，若a1=1，S5=5S3-4，則S4=(　　).
A. B. C.15 D.40
(2)(2024年新高考全國Ⅱ卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，則S10=　　　　.
方法總結：
1.等差數列、等比數列中的基本量計算問題
　　2.解決等差、等比數列基本量運算問題的思想方法
1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S7=70，a2(a3+a5)=80，則公差d=(　　).
A.12 B.2 C.3 D.4
2.(改編)已知{an}為等比數列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，則a12=　　　　.
題型2 等差數列、等比數列的性質
例2　(1)記數列{an}的前n項和為Sn，若是等差數列，S6=6，則a3+a4=(　　).
A. B. C.1 D.2
(2)(改編)已知{an}為等比數列，若lg a3，lg a2 023是函數f(x)=3x2-12x+9的兩個不同的零點，則a1a2 025=(　　).
A.10 B.104 C.108 D.1012
方法總結：
　　1.等差數列、等比數列的性質
2.等差、等比數列性質問題的求解策略
(1)抓住項與項之間的關系及項與序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當的性質進行求解.
(2)數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題.
1.已知{an}是等比數列，a1，a5是函數f(x)=x2-10x+tln(3x)的兩個極值點，若a2a4=2a3-2，則t的值為(　　).
A.-4 B.-5 C.4 D.5
2.(改編)已知數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，若a2+a4+a6=5π，b2b4b6=3，則sin =　　　　.
題型3 等差數列、等比數列的判斷與證明
例3　(2021年全國乙卷)記Sn為數列{an}的前n項和，bn為數列{Sn}的前n項積，已知+=2.
(1)證明：數列{bn}是等差數列.
bn為數列{Sn}的前n項積→bn=Sn·bn-1→消去Sn→bn-bn-1=→確定結論.
(2)求{an}的通項公式.
求a1→由(1)求bn→求Sn→n≥2時，求an→寫出結論.
在平面直角坐標系內有線段A1A2，且A1A2與x軸不垂直.已知A3是線段A1A2上靠近A2的三等分點，A4是線段A2A3上靠近A3的三等分點……An+1是線段An-1An(n≥2，n∈N*)上靠近An的三等分點.設點An的橫坐標為an.
(1)求證：數列{an+1-an}為等比數列.
(2)若a1=1，a2=5，求{an}的通項公式.
【真題改編】
1.(2024年全國甲卷，理科T4改編)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=S10，a5=1，則Sn的最大值為(　　).
A. B. C.14 D.28
2.(2023年新高考全國Ⅰ卷，T7改編)已知數列{an}的前n項和為Sn，則“Sn=pn2+qn(p，q是常數)”是“{an}為等差數列”的(　　).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.(2023年新高考全國Ⅱ卷，T8改編)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q>1，若S4=40，S6=91S2，則使得an<81成立的n的最大值為(　　).
A.2 B.4 C.6 D.8
4.(2023年全國乙卷，理科T10改編)已知等差數列{an}的首項為，公差為，數列{bn}滿足bn=cos an，數列{bn}的前n項和為Sn，則S2 024=(　　).
A.-1 B.- C.0 D.
5.(2024年新高考全國Ⅱ卷，T12改編)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+a5=-10，S10=-80，則a6=　　　　.
6.(2023年全國乙卷，理科T15改編)已知{an}為等比數列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，若Tn=a1a2…an，則T13=　　　　.
【最新模擬】
(總分：100分　單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分，共68分；解答題共32分)
1.已知數列{an}為等比數列，且a1=1，a2a3a4=64，則log2a5的值為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知{an}為等差數列，a1=-6，=a3a6，數列{an}的前n項和為Sn，若Sm=0，則m等于(　　).
A.10 B.11 C.12 D.13
3.(改編)我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意思是有996斤綿要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.根據這些信息可知第4個孩子分得的綿的斤數為(　　).
A.99 B.116 C.133 D.150
4.記等比數列{an}的前n項之積為Tn，則“a6a7>1”是“T12>1”的(　　).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.記數列{an}的前n項和為Sn，Sn=An+B，A，B為常數，則下列選項正確的是(　　).
A.若A+B=1，則a1=1
B.若A=2，則a2=2
C.存在常數A，B，使數列{an}是等比數列
D.對任意常數A，B，數列{an}都是等差數列
6.在數列{an}中，若對 n∈N*，都有=q(q為常數)，則稱數列{an}為“等差比數列”，q為“公差比”.設數列{an}的前n項和是Sn，則下列說法一定正確的是(　　).
A.若數列{an}是等差數列，則該數列也是“等差比數列”
B.若等比數列{an}是“等差比數列”，則該數列的公比與“公差比”相同
C.若數列{Sn}是“等差比數列”，則數列{an+1}是等比數列
D.若數列{an}是等比數列，則數列{Sn}是“等差比數列”
7.(改編)已知數列{an}為正項等比數列，且a3-a4=3，則a2的最小值為　　　　.
8.漢諾塔(Tower of Hanoi)，是一種源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標號分別為A，B，C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著n個不同大小的圓環，要把所有圓環一個一個移動到B柱子上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現大圓環在小圓環上方的情況.記至少移動的次數為H(n)，例如：H(1)=1，H(2)=3，則下列說法正確的是(　　).
A.H(3)=5
B.{H(n)}為等差數列
C.{H(n)+1}為等比數列
D.H(7)>100
9.已知等差數列{an}的公差不為0，a2 024=0，給定正整數m，使得對任意的n∈N*(n2)，都有a1+a2+…+an=a1+a2+…+am-n成立，則m的值為(　　).
A.4 047 B.4 046 C.2 024 D.4 048
10.(15分)已知數列{an}中，a1=，an+1=(n∈N*).
(1)證明：-1是等比數列.
(2)求數列的前n項和.
11.(17分)設數列{an}的前n項和為Sn，若Sn-an=n2+1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并證明：數列{an+an+1}是等差數列.
(2)求S20.
12.(原創)已知各項均為正數的數列{an}滿足an=3an+1，且a1+9a3=，則log3a11的值為(　　).
A.-11 B.-10 C.10 D.11
13.(原創)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，=7，則=(　　).
A. B.
C.3 D.6
14.(原創)設等比數列{an}的前n項和為Sn，寫出一個滿足下列條件的{an}的公比：q=　　　　.
①a2 023>0；②{an}是遞增數列；③S2 02515.(人教A版選擇性必修第二冊P23例9改編)已知數列{an}滿足2an+1=an+an+2，且a2=8，a5+a6=2，若Tn是{an}的前n項和，則Tn的最大值為　　　　.
參考答案
專題四 等差數列、等比數列
題型1　等差數列、等比數列的計算
例1　(1)C　(2)95
【解析】(1)(法一)設等比數列{an}的公比為q，由已知得1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4，整理得(1+q)(q3-4q)=0，因為此數列的各項均為正數，所以q=2，所以S4=1+q+q2+q3=1+2+4+8=15.
(法二)設等比數列{an}的公比為q，因為a1=1，即S1=1，所以S5=5S3-4=5S3-4S1，所以S5-S3=4(S3-S1).
又S5-S3=q2(S3-S1)，所以q2=4，又q>0，所以q=2，因此，S4===15.故選C.
(2)設等差數列{an}的公差為d，則解得所以S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
跟蹤訓練
1.C
【解析】因為S7=7a4=70，所以a4=10，
又a2(a3+a5)=2a2a4=80，所以a2=4，所以d==3.
故選C.
2.4
【解析】∵{an}為等比數列，∴a2a4a5=a2a3a6=a3a6，解得a2=1，
而a9a10=a2q7a2q8=q15=-8，可得q15=(q5)3=-8，
即q5=-2，則a12=a2q10=1×(-2)2=4.
題型2　等差數列、等比數列的性質
例2　(1)D　(2)B
【解析】(1)因為是等差數列，
所以可設=an+b，所以Sn=an2+bn，所以{an}為等差數列，
因為S6=6=×6=3(a1+a6)，
所以a1+a6=2，所以a3+a4=2，故選D.
(2)因為lg a3，lg a2 023是f(x)=3x2-12x+9的兩個不同的零點，
所以lg a3+lg a2 023=4，所以lg(a3a2 023)=4，
所以a3a2 023=104，故a1a2 025=104，故選B.
跟蹤訓練
1.C
【解析】由題意知，f'(x)=2x-10+=，x>0，
所以a1，a5是方程2x2-10x+t=0的兩個實數根，則a1>0，a5>0，a1a5=>0，
根據等比數列的性質可知，a2a4=a1a5=，且a2a4=2a3-2，
所以=2×-2，即t-4+4=0，即(-2)2=0，解得t=4.
故選C.
2.
【解析】由等差數列的性質可知，a2+a4+a6=3a4=5π，即a4=，而a1+a7=2a4=，
根據等比數列的性質可知，b2b4b6==3，則b4=，b2b6==3，
所以sin =sin-=sin =.
題型3　等差數列、等比數列的判斷與證明
例3
【解析】(1)當n=1時，b1=S1=a1，
由+=2，解得b1=，
當n≥2時，=Sn，代入+=2，
消去Sn，可得+=2，所以bn-bn-1=，
所以{bn}是以為首項，為公差的等差數列.
(2)由題意得a1=S1=b1=，
由(1)可得bn=+(n-1)×=，
由+=2，可得Sn=.
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=-，顯然a1不滿足該式，
所以an=
跟蹤訓練
【解析】(1)由題意得=2，所以3an+2=2an+1+an，可得3an+2-3an+1=an-an+1，
又a2-a1≠0，所以=-，
所以數列{an+1-an}是首項為a2-a1，公比為-的等比數列.
(2)因為a1=1，a2=5，所以a2-a1=4.
因為數列{an+1-an}是公比為-的等比數列，所以當n≥2時，an-an-1=4×-n-2.
由累加法可得，當n≥2時，an-a1=4×1+-+…+-n-2=4×=3-3×-n-1，即當n≥2時，an=4+-n-2，
經檢驗，a1=1滿足上式，所以數列{an}的通項公式為an=4+-n-2.
1.B
【解析】由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，得a8=0，
則等差數列{an}的公差d==-，所以a1=a5-4d=1-4×-=，
所以Sn的最大值為S7和S8，且S7=S8=8×+×-=.故選B.
2.C
【解析】若Sn=pn2+qn(p，q是常數)，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn2+qn-[p(n-1)2+q(n-1)]=2pn-p+q.
當n=1時，a1=S1=p+q，對于上式也成立，∴an=2pn-p+q，∴{an}為等差數列，反之也成立.∴“Sn=pn2+qn(p，q是常數)”是“{an}為等差數列”的充要條件.
3.B
【解析】由S4=40，S6=91S2，可得=40，　①
=91×，　②
由②可得，1+q2+q4=91，解得q2=9，即q=3，代入①式得首項a1=1，
所以等比數列{an}的通項公式為an=3n-1.
由3n-1<34，得n-1<4，所以n<5，
又n∈N*，所以n的最大值為4.故選B.
4.B
【解析】依題意，在等差數列{an}中，an=+(n-1)·=n-，
所以bn=cosn-.
又bn+3=cos(n+3)-=cosn+2π-=cosn-=bn，
所以3是{bn}的周期，又b1=cos-=，b2=-1，b3=，所以b1+b2+b3=0，
所以S2 024=b1+b2+…+b2 024=b1+b2=-.故選B.
5.-9
【解析】因為數列{an}為等差數列，
所以設其公差為d，
則
解得
所以a6=a1+5d=-9.
6.-8 192
【解析】設等比數列{an}的公比為q(q≠0).
因為a2a4a5=a3a6=a4a5，顯然an≠0，所以a2=1.
因為a9a10=-8，所以a2q7·a2q8=-8，
所以q15=(q5)3=-8=(-2)3，所以q5=-2，所以a7=a2q5=q5=-2，
則T13=a1a2…a13==(-2)13=-8 192.
1.D
【解析】由等比中項的性質可知a2a3a4=64=，
∴a3=4，
又=a1a5=16，∴a5=16，∴log2a5=log216=4，故選D.
2.D
【解析】設等差數列{an}的公差為d，因為a1=-6，=a3a6，
所以(-6+8d)2=(-6+2d)(-6+5d)，解得d=1或d=0.
若d=0，則{an}為常數列，則Sn=-6n≠0，不符合題意，舍去，
所以d=1，由等差數列前n項和公式得Sm=-6m+×1=0，解得m=13.
故選D.
3.B
【解析】依題意得，8個子女所得的綿的斤數依次構成等差數列，
設該等差數列為{an}，公差為d，前n項和為Sn，第1個孩子所得的綿的斤數為a1，
則由題意得d=17，S8=8a1+×17=996，解得a1=65，
所以a4=a1+(4-1)d=65+3×17=116.故選B.
4.A
【解析】若a6a7>1，則T12=a1a2…a12=(a6a7)6>1，故充分性成立；
若T12>1，即a1a2…a12=(a6a7)6>1，則a6a7>1或a6a7<-1，故必要性不成立.
綜上，“a6a7>1”是“T12>1”的充分不必要條件.故選A.
5.ABC
【解析】對于A，若A+B=1，則a1=S1=A+B=1，A正確；
對于B，若A=2，則a2=S2-S1=(2A+B)-(A+B)=A=2，B正確；
對于C，由Sn=An+B得a1=S1=A+B，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(An+B)-[A(n-1)+B]=A，
所以當B=0，A≠0時，數列{an}是公比為1的等比數列，C正確；
對于D，由上述知，當n≥2時，an=A，若B≠0，則a2-a1=A-(A+B)=-B≠a3-a2=0，
此時，數列{an}不是等差數列，D錯誤.
故選ABC.
6.BCD
【解析】若等差數列{an}為常數列，則an+1-an=0，無意義，
所以等差數列{an}不一定是“等差比數列”，故A選項錯誤；
若公比為q的等比數列{an}是“等差比數列”，則{an}不是常數列，則an=a1qn-1，q≠1，
由==q，得該數列的公比與“公差比”相同，故B選項正確；
若數列{Sn}是“等差比數列”，則==q，所以數列{an+1}是等比數列，故C選項正確；
若數列{an}是等比數列，公比為q，則==q，
所以數列{Sn}是“等差比數列”，故D選項正確.
故選BCD.
7.12
【解析】因為數列{an}為正項等比數列，所以=a2a4，且a4>0，
則a2===a4++6≥2+6=12，
當且僅當a4=，即a4=3時，等號成立，故a2的最小值為12.
8.CD
【解析】由題意知，若要移動1個圓環到B柱子上，則需移動1次；
若要移動2個圓環到B柱子上，則移動情況為A→C，A→B，C→B，需移動3次；
若要移動3個圓環到B柱子上，則移動情況為A→B，A→C，B→C，A→B，C→A，C→B，A→B，共7次，故H(3)=7，A錯誤；
由此類推，先將A柱子上的n個圓環中上面的(n-1)個圓環移動到C柱子上，然后將n個圓環中最大的圓環移動到B柱子上，再將C柱子上的(n-1)個圓環移動到B柱子上.設若有n個圓環，至少移動an次，則an=2an-1+1(n≥2)，
所以an+1=2(an-1+1)，而a1+1=1+1=2≠0，故{an+1}為等比數列，即{H(n)+1}為等比數列，C正確；
由上述分析知，H(n)=2n-1，則H(n)不是n的一次函數，
則{H(n)}不為等差數列，B錯誤；
H(7)=27-1=127>100，D正確.
故選CD.
9.A
【解析】若n>m-n，由題意知am-n+1+am-n+2+…+an=0，
由等差數列的性質知，若p+q=s+t(p，q，s，t∈N*)，則有ap+aq=as+at，所以am-n+1+an=0，
因為公差d≠0，且a2 024=0，所以a1+a4 047=0，所以m-n+1+n=4 048，所以m=4 047.
若n由等差數列的性質知，若p+q=s+t(p，q，s，t∈N*)，則有ap+aq=as+at，所以an+1+am-n=0，
因為公差d≠0，且a2 024=0，所以a1+a4 047=0，所以n+1+m-n=4 048，所以m=4 047.
綜上所述，m=4 047.故選A.
10.解析　(1)因為數列{an}中，a1=，an+1=(n∈N*)，所以===2， 4分
且-1=3-1=2，
所以-1是首項和公比均為2的等比數列. 7分
(2)由(1)可得-1=2·2n-1=2n，即=2n+1， 11分
所以數列的前n項和Sn=(2+22+23+…+2n)+n=+n=2n+1-2+n. 15分
11.解析　(1)當n=1時，由條件得a1-a1=2，所以a1=4. 1分
當n=2時，由條件得(a1+a2)-a2=5，所以a2=2. 2分
因為Sn-an=n2+1，所以Sn-1-an-1=(n-1)2+1(n≥2)，
兩式相減得an-an+an-1=2n-1，即an+an-1=4n-2，
5分
所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
所以數列{an+an+1}為等差數列. 8分
(2)由(1)知數列{an+an+1}是首項為a1+a2=6，公差為4的等差數列，所以an+an+1=4n+2， 12分
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)===420. 17分
12.A
【解析】由an=3an+1，an>0可知數列{an}為等比數列，且公比q=，
又a1+9a3=，∴a1+9×a1×=，得a1=，
∴an=a1qn-1=×n-1=n，∴log3a11=log311=-11.故選A.
13.C
【解析】由=7，可設S3=a(a≠0)，則S6=7a，
∵{an}為等差數列，∴S3，S6-S3，S9-S6為等差數列，
即a，6a，S9-7a成等差數列，∴S9-7a=11a，即S9=18a，
∴==3.故選C.
14.(答案不唯一，滿足1【解析】因為a2 023=a1q2 022>0，所以a1>0，
由等比數列的通項公式an=a1qn-1可得an-an-1=a1qn-2(q-1)(n≥2).
因為a1>0，且{an}是遞增數列，所以q>1.
又因為S2 025即a2 023q2+a2 023q-6a2 023<0，
因為a2 023>0，所以q2+q-6<0，解得-3綜上，115.30
【解析】由2an+1=an+an+2知，數列{an}為等差數列，設其公差為d，則由題意得解得
則an=12-2n，
所以Tn==n(11-n)，
而拋物線y=-x2+11x的開口向下，對稱軸為直線x=5.5，
所以當n=5或n=6時，Tn取得最大值，最大值為T5=T6=5×6=30.

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