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專題三 平面向量
【題型分析】
考情分析：
1.平面向量的線性運算常與平面向量數量積結合命題.
2.平面向量數量積的運算及其應用是高考的熱點，主要以小題的形式考查.
題型1 平面向量的線性運算
例1　(1)(2022年新高考全國Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA.記=m，=n，則=(　　).
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)(2024年天津卷)在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，CE=DE，=λ+μ，則λ+μ=　　　　；F為線段BE上的動點，G為AF的中點，則·的最小值為　　　　.
方法總結：
1.利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩個向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.
(3)若a與b不共線且λa=μb，則λ=μ=0.
(4)=λ+μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ+μ=1.
2.解決向量問題的兩個常見思路
(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)在求向量時要盡可能將向量轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則、三角形中位線定理及相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
1.已知等邊△ABC的邊長為1，D，E分別為AB，BC的中點，若=3，則=(　　).
A.+ B.+
C.+ D.+
2.在△ABC中，已知=3，P為線段AD的中點，若=λ+μ，則+=　　　　.
題型2 平面向量數量積的運算
例2　(1)(2024年新高考全國Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，則|b|=(　　).
A. B. C. D.1
(2)如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，||=6，||=3，=2，=，則·=(　　).
A.-9 B. C.9 D.18
方法總結：
1.平面向量數量積的兩種運算方法
(1)定義法：當向量的模和夾角已知時，可利用定義法a·b=|a||b|cos求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題.
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2.
2.靈活運用平面向量數量積的幾何意義
根據平面向量數量積的性質：若a，b為非零向量，則cos=(夾角公式)，a⊥b a·b=0等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.
3.計算向量的模的方法
(1)當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式.
(2)利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，把向量的模的運算轉化為數量積運算.
(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等公式求解.
1.(原創)如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在線段AB上，且滿足AD=CD=BC=2，則·=(　　).
A.-1- 　　　B.-1+ C. 　　　D.
2.(原創)在矩形ABCD中，AC=m，平面內一動點P滿足AP=n，則·的取值范圍為　　　　.
【真題改編】
1.(2024年新高考全國Ⅰ卷，T3改編)已知向量a=(1，1)，b=(2，x)，c=(0，1)，若a∥b，則c·(b-4c)=(　　).
A.1 B.-1 C.-2 D.2
2.(2024年全國甲卷，理科T9改編)已知向量a=(x+1，x)，b=(x-1，3x)，則(　　).
A.“a⊥b”的充分條件是“x=2”
B.“a⊥b”的必要條件是“x=-”
C.“a∥b”的充分條件是“x=0”
D.“a∥b”的必要條件是“x=-2”
3.(2023年全國甲卷，文科T3改編)已知a+b=(5，3)，a-b=(1，-1)，則cos=(　　).
A. B. C. D.
4.(2023年全國甲卷，理科T4改編)已知向量a，b，c滿足|a+b|=|a-b|=|c|，|a|=|b|，且cos=cos<0，若a·c=-1，則|a|=(　　).
A.4 B.2 C. D.1
5.(2024年新高考全國Ⅱ卷，T3改編)已知非零向量a，b滿足|a|=2，|a+4b|=2，且(a-λb)⊥b，則a在b上的投影向量為(　　).
A.b B.-b
C.2b D.-2b
6.(2023年新高考全國Ⅱ卷，T13改編)已知向量a，b滿足|2a+b|=|2a-b|，|a+2b|=|4a-b|，則=　　　　.
【最新模擬】
(總分：83分　單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分)
1.在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M是BC的中點，則=(　　).
A.- B.+
C.+ D.+
2.已知G是△ABC的重心，M是線段AC的中點，若=λ+μ，則λ+μ=(　　).
A. B. C.- D.-
3.已知單位向量a，b滿足|a-b|=1，則a在b方向上的投影向量為(　　).
A.b B.b C.a D.-a
4.已知向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，則“m=-”是“a與b共線”的(　　).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.已知向量a，b滿足|a-b|=，|a+b|=|2a-b|，則|b|=(　　).
A.1 B. C.2 D.
6.已知O為坐標原點，平面向量=(1，1)，B(-2，2)，則向量與夾角的余弦值為(　　).
A. B. C. D.
7.已知G是△ABC的重心，O，P是△ABC所在平面內的兩個不同的點，且滿足=++，則(　　).
A.O，P，G三點共線
B.=2
C.2=++
D.點P在△ABC的內部
8.如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，AE與BD交于點F，若將=a，=b作為平面向量的一組基底，則向量可表示為　　　　.(用a，b表示)
9.已知AB為圓x2+y2=1的一條直徑，P為直線x-y+2=0上任意一點，則·的最小值是　　　　.
10.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底(由三個相同的菱形組成)，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖，這是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，P是△DEF內部(包括邊界)的動點，則(　　).
A.=-
B.·=
C.若P為EF的中點，則在上的投影向量為-
D.|+|的最大值為
11.已知等邊△ABC的邊長為2，=2，=，BD與CE交于點F，則(　　).
A.=+
B.=
C.·=-2
D.在方向上的投影向量為
12.已知正方形ABCD的邊長為1，點P滿足=λ(λ>0).當λ=時，·=　　　　；當λ=　　　　時，·取得最大值.
13.(原創)已知向量a=-，2sin-，b=1，cos-，且a⊥b，則sin2α+=(　　).
A.- B. C. D.-
14.(原創)已知O是△ABC所在平面上的一點，且OA=OB=OC，若AB=2，AC=4，則·=　　　　.
15.(原創)已知|a+b|=12，cos=cos=，則|c|的最大值為　　　　.
16.(湘教版必修第二冊P65T22改編)在四邊形ABCD中，==(1，)，+=，則AD到BC的距離h=　　　　.
參考答案
專題三 平面向量
題型1　平面向量的線性運算
例1　(1)B　(2)　-
【解析】(1)因為BD=2DA，所以=3，所以=+=+3=+3(+)=-2+3=-2m+3n.故選B.
(2)因為CE=DE，所以=，則=+=+，
可得λ=，μ=1，所以λ+μ=.
由題意可知||=||=1，·=0，
因為F為線段BE上的動點，所以可設=k=+k，k∈[0，1]，
則=+=+k=-1+k.
又因為G為AF的中點，所以=+=-+=-1+-1，可得·=-1+k·-1+-1
=-12+k-1=k-2-，
又k∈[0，1]，所以當k=1時，·取得最小值，最小值為-.
跟蹤訓練
1.B
【解析】如圖，因為D，E分別為AB，BC的中點，=3，
所以==，所以=+=(+)+=+.
2.10
【解析】如圖，由=3，得=.
因為P為線段AD的中點，所以=+=+.
又=λ+μ，，不共線，所以λ=，μ=，所以+=2+8=10.
題型2　平面向量數量積的運算
例2　(1)B　(2)C
【解析】(1)因為(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b.
又因為|a|=1，|a+2b|=2，所以(a+2b)2=1+4a·b+4b2=1+6b2=4，解得|b|=.故選B.
(2)因為=+=+，=-，
所以·=+·(-)
=+·-=12+×6×3×-=9.
跟蹤訓練
1.A
【解析】由圖可得·=·(+)=·+·=||·||cos∠ACB-||·||·cos∠ACD=||·cos∠ABC·||-||2=||2-||2.設AC=x>2，因為AB=AC，AD=CD=BC=2，所以△ABC∽△CBD，則=，解得x=1+或x=1-(舍去)，所以·=-1-.
2.[n2-mn，n2+mn]
【解析】·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·=n2+mncos<，>，
因為-1≤cos<，>≤1，
所以·∈[n2-mn，n2+mn].
1.C
【解析】因為a∥b，所以x=2，所以b-4c=(2，-2)，c·(b-4c)=-2.故選C.
2.C
【解析】若a⊥b，則a·b=0，所以(x+1)·(x-1)+3x2=0，即4x2-1=0，解得x=±.
對于A，充分性不成立，必要性也不成立，故A錯誤.
對于B，必要性不成立，充分性成立，故B錯誤.
若a∥b，則3x(x+1)=x(x-1)，解得x=0或x=-2.
對于C，充分性成立，必要性不成立，故C正確.
對于D，必要性不成立，充分性成立，故D錯誤.故選C.
3.C
【解析】因為a+b=(5，3)，a-b=(1，-1)，所以a=(3，1)，b=(2，2)，
則|a|==，|b|==2，a·b=3×2+1×2=8，
所以cos===.故選C.
4.D
【解析】因為|a+b|=|a-b|，所以a·b=0，由|a|=|b|，cos=cos<0，可知==，由|a|=|b|，|a+b|=|a-b|=|c|，得|a|=|b|=|c|，設|a|=|b|=|c|=m，則a·c=m2×-=-1，所以|a|=m=1.
故選D.
5.D
【解析】因為(a-λb)⊥b，所以a·b=λb2.
又|a|=2，|a+4b|=2，所以|a+4b|2=a2+8a·b+16b2=4+(8λ+16)b2=4，
依題意可知b2=|b|2≠0，則8λ+16=0，
故λ=-2，所以a·b=λb2 |a|·|b|cos=-2|b|2，
即|a|cos=-2|b|，所以a在b上的投影向量為|a|cos·=-2b.故選D.
6.
【解析】因為|2a+b|=|2a-b|，即(2a+b)2=(2a-b)2，所以a·b=0.
又因為|a+2b|=|4a-b|，即(a+2b)2=(4a-b)2，
所以a2+4a·b+4b2=16a2-8a·b+b2，整理得b2=5a2，所以=.
1.D
【解析】依題意可得=+=+(+)=++=+.
2.C
【解析】==(-)=-=-+，所以λ=-，μ=，λ+μ=-.
3.A
【解析】因為a，b是單位向量，所以|a|=1，|b|=1.由|a-b|=1得|a-b|2=1，即a2-2a·b+b2=1，所以a·b=，則a在b方向上的投影向量為|a|cos·=·=b.
4.A
【解析】向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，若a與b共線，則m(4m+1)-(2m+3)=0，解得m=-或m=1，所以“m=-”是“a與b共線”的充分不必要條件.
5.D
【解析】由|a-b|=，可得a2-2a·b+b2=3，　①
由|a+b|=|2a-b|，可得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2，
整理得a2-2a·b=0，代入①得b2=3，解得|b|=.
6.C
【解析】由B(-2，2)可得向量=(-2，2)，由=-得=(-3，1)，
則·=(-2)×(-3)+2×1=8，因此cos<，>===.
7.AC
【解析】=++=+++++=3+++，
因為G為△ABC的重心，所以++=0，所以=3，
所以O，P，G三點共線，故A正確，B錯誤；
++=+++++=(++)+3，
因為=++，所以(++)+3=-+3=2，
即2=++，故C正確；
因為=3，所以點P的位置隨著點O位置的變化而變化，故點P不一定在△ABC的內部，故D錯誤.
8.b+a
【解析】由AD∥BE，得==2，所以AF=AE，所以==+=b+a.
9.1
【解析】因為·=(+)·(+)=-，所以當OP垂直于直線x-y+2=0時，·的值最小，最小值為()2-12=1.
10.AD
【解析】=++=-++=-，A正確；
如圖，建立平面直角坐標系，
則A-，-，B，-，C(1，0)，D，，E-，，F(-1，0)，
可得=，，=(0，)，所以·=，B錯誤；
由題意可知CE⊥EF，若P為EF的中點，則在上的投影向量為-，C錯誤；
設P(x，y)，可知-1≤x≤，0≤y≤，
則=，，=(x+1，y)，可得+=x+，y+，
則|+|=，
可知當x=，y=，即點P與點D重合時，|+|的值最大，最大值為，D正確.
11.BCD
【解析】由平面向量線性運算可得=+=+=+(-)=+，A錯誤；
以E為坐標原點，，的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，
則E(0，0)，A(1，0)，B(-1，0)，C(0，)，D，，
設F(0，y)，y∈(0，)，則=(1，y)，=-，y-，
因為∥，所以y-=-y，解得y=，所以=，B正確；
因為=，，=(0，-)，所以·=×0+×(-)=-2，C正確；
因為=，，=(1，)，所以·=×1+×=，
所以在方向上的投影向量為·=·=，D正確.
12.　
【解析】根據題意，建立以A為原點的平面直角坐標系，如圖，
則A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，B(1，0)，因為正方形ABCD的邊長為1，=λ(λ>0)，
所以當λ=時，==，0，所以點P的坐標為，0，所以=(1，1)，=-，1，
所以·=1×-+1=.
如圖，因為=λ(λ>0)，所以P(λ，0)，所以=(λ，-1)，=(1-λ，1)，
所以·=λ(1-λ)-1=-λ2+λ-1=-λ-2-，
所以當λ=時，·取得最大值.
13.D
【解析】由a⊥b可得sin-α=，所以sin2α+=sin2α-+π=-cos2α-=-cos2-α=-1-2sin2-α=-1-2×2=-.故選D.
14.2
【解析】設∠OAC=α，∠OAB=β，因為OA=OB=OC，所以O是△ABC的外心，
所以·=·(-)=·-·
=||cos α·||-||cos β·||
=||2-||2
=×42-×(2)2=2.
15.20
【解析】如圖所示，設=a，=b，當△ABC的外接圓直徑長為|c|時，|c|最大.
∵cos=，
∴sin=，|c|max===20.
16.
【解析】∵==(1，)，∴四邊形ABCD為平行四邊形.
又+=，∴AC平分∠BAD，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴||=||=||=2，∴+=(+)==，得||=2，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=，
∴S四邊形ABCD=||·||·sin 60°=22×=2，
由題意知S四邊形ABCD=BC·h，所以h==.

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