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微專題03 隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形
　　近幾年的高考試題中，很多涉及隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形，聚焦軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度較大，具有很強的探索性，解題時往往需要綜合運用動態思維、數形結合、特殊與一般等數學思想方法.
隱圓(阿波羅尼斯圓)
典例1　古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數λ(λ>0，λ≠1)，則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面內一動點，且=，則點M的軌跡方程為　　　　.若點P在圓C：(x-2)2+y2=36上，則2|PA|+|PB|的最小值是　　　　.
方法總結：
1.阿波羅尼斯圓的定義：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比=λ(λ>0且λ≠1)，λ是一個常數，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.
2.結論：平面內到兩個定點A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距離之比為正數λ(λ≠1)的點的軌跡是以Ca，0為圓心，為半徑的阿波羅尼斯圓.
古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數λ(λ>0，λ≠1)的點的軌跡是圓.后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點O(0，0)，A，，動點P(x，y)滿足=，若點P的軌跡與圓C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)有且僅有三條公切線，則r=(　　).
A. B.1 C.2 D.3
蒙日圓
典例2　(1)法國數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡為圓.我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據此背景，設M為橢圓C：x2+=1的一個外切長方形(M的四條邊所在的直線均與橢圓C相切)，若M在第一象限內的一個頂點的縱坐標為2，則M的面積為(　　).
A.13 B.26
C. D.
(2)若橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，則此圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+y2=1(a>1)的離心率為，則該橢圓的蒙日圓方程為　　　　.
方法總結：
1.蒙日圓的定義：在橢圓+=1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫該橢圓的蒙日圓.該圓的圓心為O(0，0)，半徑r=.
2.蒙日圓的性質：設P為橢圓的蒙日圓上的任意一點，過點P作橢圓的兩條切線，切點為A，B，O為原點.
性質1：PA⊥PB.
性質2：kOP·kAB=-.
性質3：kOA·kPA=-，kOB·kPB=-(垂徑定理的推廣).
性質4：PO平分橢圓的切點弦AB.
性質5：延長PA，PB交蒙日圓O于C，D兩點，則CD∥AB.
性質6：(S△AOB)max =，(S△AOB)min=.
性質7：(S△APB)max =，(S△APB)min=.
3.蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣
(1)雙曲線-=1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB的交點P的軌跡是蒙日圓：x2+y2=a2-b2(只有當a>b時才有蒙日圓).
(2)拋物線y2=2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB的交點P的軌跡是該拋物線的準線：x=-(可以看作半徑無窮大的圓).
4.有關蒙日圓的問題，一般要先根據定義求出蒙日圓的方程，然后再利用直線和圓的相關知識來解決.兩點間距離及點到直線的距離是常考考點.
1.法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：若橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，此圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，F2(，0)，其短軸上的一個端點到點F2的距離為，點A在橢圓上，直線l：bx+ay-a2-b2=0，則(　　).
A.直線l與蒙日圓相切
B.橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=2
C.若P是橢圓C的蒙日圓上的動點，過點P作橢圓C的兩條切線l1，l2，分別交蒙日圓于M，N兩點，則MN的長恒為4
D.記點A到直線l的距離為d，則d-|AF2|的最小值為2+
2.加斯帕爾·蒙日是法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>)，若直線l：4x-3y+20=0上存在點P，過點P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是　　　　.
阿基米德三角形
典例3　在圓錐曲線中，圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，頂點為O，斜率為的直線l過點F且與拋物線C交于M，N兩點，若△PMN為阿基米德三角形，則|OP|=(　　).
A. B.2 C. D.
方法總結：
1.阿基米德三角形的定義：圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形.
2.阿基米德三角形在拋物線中的性質
性質1：阿基米德三角形底邊上的中線MQ平行于拋物線的軸.
性質2：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內的定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線.
性質3：若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.
性質4：拋物線以C點為中點的弦平行于Q點的軌跡.
性質5：若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點若直線l的方程為ax+by+c=0，則定點的坐標為C，-.
性質6：底邊為a的阿基米德三角形的面積的最大值為.
性質7：在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
3.阿基米德三角形在橢圓、雙曲線中的推廣
(1)橢圓和雙曲線也具有多數拋物線阿基米德三角形類似的性質；
(2)當阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓.
4.阿基米德三角形問題的解題策略
(1)直接運用阿基米德三角形的性質解客觀題；
(2)結合阿基米德三角形的定義，用解決圓錐曲線問題的常規方法來解決.
拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形.已知拋物線C：x2=8y，阿基米德三角形PAB的底邊即弦AB過C的焦點F，其中點A在第一象限，則下列說法正確的是(　　).
A.點P的縱坐標為-2
B.C的準線方程為x=-2
C.若|AF|=8，則直線AB的斜率為
D.△PAB面積的最小值為16
參考答案
微專題03 隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形
考向1　隱圓(阿波羅尼斯圓)
典例1　x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4)　　
解析　設M(x，y)，則=，
整理得點M的軌跡方程為x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4).
如圖，設P(x1，y1)，則(x1-2)2+=36，
故2|PA|=2
=
=
=.
令D(-10，0)，則2|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|=.
培優精練　D
【解析】由題意可得=，化簡得x2+y2-2x-4y+1=0，
即(x-1)2+(y-2)2=4，即動點P(x，y)的軌跡是以(1，2)為圓心，2為半徑的圓，
由C：x2+y2+6x+2y=r2-10(r>0)，可得(x+3)2+(y+1)2=r2，
故圓C的圓心為(-3，-1)，半徑為r，由兩圓有且僅有三條公切線，得兩圓外切，則r+2==5，得r=3.故選D.
考向2　蒙日圓
典例2　(1)C　(2)x2+y2=3
【解析】(1)依題意，直線x=±1，y=±2都與橢圓C：x2+=1相切，且它們圍成的四邊形是矩形，
于是該矩形是橢圓C的蒙日圓內接矩形，因此該蒙日圓的圓心為O(0，0)，半徑r==，因此該橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=13.
M為橢圓C：x2+=1的一個外切長方形，設其四個頂點分別為P，Q，P'，Q'，其中P在第一象限，顯然P與P'關于原點O對稱，Q與Q'關于原點O對稱，而P點的縱坐標為2，則其橫坐標為3，即P(3，2)，顯然M的四條邊所在直線的斜率均存在且不為0.
設過P且與橢圓C相切的直線為y-2=k(x-3)，由消去y并整理，
得(12+k2)x2+2k(2-3k)x+9k2-12k-8=0，
由Δ=4k2(2-3k)2-4(12+k2)(9k2-12k-8)=0，化簡得2k2-3k-2=0，解得k=2或k=-，不妨取直線PQ的方程為y-2=2(x-3)，即2x-y-4=0，直線PQ'的方程為y-2=-(x-3)，即x+2y-7=0，
則O點到直線PQ的距離為，O點到直線PQ'的距離為，
所以M的面積為2××2×=.
(2)(法一)對照橢圓的標準方程+=1(a>b>0)，可得b=1，結合本題離心率e=，可求得本題中的a=2，即橢圓標準方程+=1(a>b>0)中的a2=2，由蒙日圓的定義可得蒙日圓方程為x2+y2=3.
(法二)由橢圓C：+y2=1(a>1)的離心率為，得=，解得a=2.
橢圓C：+y2=1在頂點(，0)，(0，1)處的切線方程分別為x=，y=1，它們交于點(，1)，
顯然點(，1)在橢圓C的蒙日圓x2+y2=r2上，因此r2=()2+12=3，
所以橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=3.
培優精練
1.AC
【解析】
當兩切線分別與兩坐標軸垂直時，兩切線的方程分別為x=±a、y=±b，
所以點(±a，±b)在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為x2+y2=a2+b2.
由題意可得c=，=，結合a2=b2+c2，解得a=，b=1.
對于A選項，蒙日圓圓心到直線l的距離d==，所以直線l與蒙日圓相切，故A正確；
對于B選項，C的蒙日圓的方程為x2+y2=4，故B錯誤；
對于C選項，由題意可知，l1⊥l2，所以MN為蒙日圓的直徑，|MN|=4，故C正確；
對于D選項，由橢圓的定義可得，|AF1|+|AF2|=2，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2，
又直線l的方程為x+y-4=0，
所以點F1到直線l的距離d1=，
所以d-|AF2|=d+|AF1|-2≥d1-2=，
當且僅當AF1⊥l時，等號成立，故D錯誤.
故選AC.
2.，1
【解析】由題可知，點P在橢圓的蒙日圓上，又因為點P在直線上，所以問題轉化為直線和蒙日圓有公共點.
由橢圓方程+=1可知b=，如圖，當長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為2a和2，
其對角線長為，因此蒙日圓的半徑為，所以蒙日圓的方程為x2+y2=a2+7，因此，需滿足圓心到直線的距離不大于半徑，
即≤，所以a2≥9，所以橢圓的離心率滿足e2=1-≥，所以≤e<1.
考向3　阿基米德三角形
典例3　C
【解析】(法一)因為本題中阿基米德三角形的弦過焦點F，所以由阿基米德三角形的性質可知P(-2，y0)，設直線l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，
所以y0==3，所以有P(-2，3)，則|OP|=.
(法二)依題意，F(2，0)，設直線l：y=(x-2)，由得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，不妨設M(8，8)，N，-2，
易知直線PM的斜率存在，設直線PM的方程為y-8=k(x-8)，與C：y2=8x聯立，得[k(x-8)+8]2=8x，即k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-128k+64=0，
由Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，解得k=，
故直線PM的斜率k=，故直線PM：y=x+4，
同理可得直線PN的斜率k'=-2，故直線PN：y=-2x-1.
由得
即P(-2，3)，則|OP|=.
培優精練　AD
【解析】(法一)因為本題中阿基米德三角形的底邊過焦點F，所以由阿基米德三角形的性質3直接可得A，D正確，由拋物線定義知B錯誤.
對于C，設A(x1，y1)，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C錯誤.
(法二)對于A，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB：y=kx+2，
由消去y，得x2-8kx-16=0，Δ=64k2+64>0，
所以x1+x2=8k，x1x2=-16.
由C：x2=8y，得y'=x，則點A處的切線方程為y=x1x-，　①
同理可得點B處的切線方程為y=x2x-，　②
聯立①②，得x==4k，y=-2，
所以P(4k，-2)，故A正確.
對于B，準線方程為y=-2，故B錯誤.
對于C，由|AF|=y1+2=8，得y1=6，所以A(4，6)，kAB=kAF==，故C錯誤.
對于D，|AB|=y1+y2+4=k(x1+x2)+8=8k2+8，點P到直線AB的距離d=，
所以S△ABP=|AB|·d=(8k2+8)·=16(1+k2，
當k=0時，△ABP的面積取得最小值，最小值為16，故D正確.故選AD.

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