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微專題01 子數列與增減項的問題
　　子數列問題(包括數列中的奇偶項、公共項數列以及分段數列)與數列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點，一般方法是構造新數列，利用新數列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數列.
子數列問題
典例1　(1)(2020年新高考全國Ⅰ卷)將數列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為　　　　.
(2)記由數列{an}和{bn}的公共項組成的數列為{cn}，已知an=3n-2，bn=2n，若{cn}為遞增數列，且c5=bm=at，則m+t=　　　　.
方法總結：
1.解答數列中公共項問題的關鍵在于觀察這些公共項的規律，判斷其是否構成等差數列或等比數列.
2.兩個等差數列的公共項是等差數列，公差是兩等差數列公差的最小公倍數；兩個等比數列的公共項是等比數列，公比是兩個等比數列公比的最小公倍數.
1.我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何 ”根據這一數學思想，把所有被3除余2的正整數從小到大排列組成數列{an}，把所有被5除余3的正整數從小到大排列組成數列{bn}，把{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn}，則下列說法正確的是(　　).
A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4
C.b23=c8 D.a6b2=c9
2.將數列{2n-1}與{n2}的公共項按照從小到大的順序排列得到一個新數列{an}，則新數列{an}的通項公式為　　　　.
增減項問題
典例2　已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式.
(2)在an與an+1之間插入n個數，使這(n+2)個數組成一個公差為dn的等差數列，在數列{dn}中是否存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列 若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.
方法總結：
解答數列中的增減項問題時，先觀察增加或減少以后的數列是等差數列，等比數列，還是局部具有等差或等比特征的數列，然后按照各自的性質進行求解.
已知數列{bn}為等比數列，正項數列{an}滿足4an=--4，且a1=2，b1=1，a4=b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)若從{an}中去掉與數列{bn}相同的項后余下的項按原來的順序組成數列{cn}，設T100=c1+c2+c3+…+c100，求T100.
參考答案
微專題01 子數列與增減項的問題
考向1　子數列問題
典例1　(1)3n2-2n　(2)352
【解析】(1)因為數列{2n-1}是以1為首項，2為公差的等差數列，
數列{3n-2}是以1為首項，3為公差的等差數列，
所以這兩個數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，6為公差的等差數列，
所以{an}的前n項和為n·1+·6=3n2-2n.
(2)由已知得c1=b2=a2=4，設cn=bm=at，即cn=2m=3t-2，則bm+1=2m+1=2(3t-2)，
由bm+1=3t'-2，得t'=，
因為t'不是正整數，所以bm+1不是公共項.
同理，由bm+2=2m+2=4(3t-2)=3t'-2，得t'=4t-2，故cn+1=bm+2=a4t-2.
因為c1=b2=a2=4，所以c2=b4=a6，c3=b6=a22，c4=b8=a86，c5=b10=a342，
故當n=5時，m=10，t=342，故m+t=352.
培優精練
1.C
【解析】根據題意可知，數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列，所以an=2+3(n-1)=3n-1，
數列{bn}是首項為3，公差為5的等差數列，所以bn=3+5(n-1)=5n-2，
數列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn}，
故數列{cn}是首項為8，公差為15的等差數列，cn=8+15(n-1)=15n-7.
對于A，a1+b2=2+2×5-2=10，c2=15×2-7=23，a1+b2≠c2，故A錯誤；
對于B，b8-a2=5×8-2-3×2+1=33，c4=15×4-7=53，b8-a2≠c4，故B錯誤；
對于C，b23=5×23-2=113，c8=15×8-7=113，b23=c8，故C正確；
對于D，a6b2=(3×6-1)×(5×2-2)=136，c9=15×9-7=128，a6b2≠c9，故D錯誤.故選C.
2.an=(2n-1)2
【解析】{2n-1}中的項為全體正奇數，
對于數列{n2}，當n為正偶數時，n2為偶數，當n為正奇數時，n2為正奇數，
所以數列{2n-1}與{n2}的公共項按照從小到大的順序排列得到的新數列為12，32，52，…，
所以新數列{an}的通項公式為an=(2n-1)2.
考向2　增減項問題
典例2
【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q，由題意知當n=1時，a1q=2a1+2，　①
當n=2時，a1q2=2(a1+a1q)+2，　②
由①②解得a1=2，q=3，
所以數列{an}的通項公式為an=2×3n-1.
(2)不存在.理由如下：
由(1)知an=2×3n-1，則an+1=2×3n，
所以an+1=an+(n+2-1)dn，
所以dn==.
假設數列{dn}中存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列，
則=dm·dp，
所以2=·，
即2=.
又因為m，k，p成等差數列，
所以2k=m+p，
所以(k+1)2=(m+1)(p+1)，
化簡得k2+2k=mp+m+p，
所以k2=mp，
又2k=m+p，所以k=m=p，這與已知矛盾.
所以在數列{dn}中不存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列.
培優精練
【解析】(1)因為4an=--4，
所以=(an+2)2，又an>0，
所以an+1=an+2，
即an+1-an=2，又a1=2，
所以數列{an}是首項為2，公差為2的等差數列，
所以an=2+(n-1)·2=2n.
設{bn}的公比為q，因為b4=a4=8，b1=1，
所以q3=8，解得q=2，
所以bn=2n-1.
綜上，數列{an}和{bn}的通項公式分別為an=2n，bn=2n-1.
(2)由(1)知b1=1，b2=2=a1，b3=4=a2，b4=8=a4，b5=16=a8，b6=32=a16，b7=64=a32，b8=128=a64，b9=256=a128，
所以T100=c1+c2+c3+…+c100=(a1+a2+a3+…+a107)-(b2+b3+…+b8)=-=11 302.

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