資源簡介

拓展培優(五) 圓錐曲線中常用的二級結論
　　圓錐曲線是數學高考的重點之一，題目往往思維量大、計算煩瑣，如果掌握一些常用的二級結論，便能簡化思維過程，提高解題速度和準確度，節約做題時間，從而輕松拿高分.
焦點弦的問題
典例1　已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且|PF1|=4|PF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　).
A.， B.，
C.，1 D.，1
根據橢圓的定義結合已知條件解出|PF2|=，|PF1|=，再根據焦半徑的取值范圍及橢圓的離心率e∈(0，1)，即可解出離心率的取值范圍.
典例2　已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為(　　).
A.16 B.14 C.12 D.10
方法總結：
焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經”，涉及離心率、直線斜率(或傾斜角)、定比分點(向量)、焦半徑和焦點弦長等有關知識，集數學知識、思想方法和解題策略于一體.解決此類問題的關鍵：(1)熟悉常用結論，包括結論的推導方法(常用結論見下)；(2)設直線、聯立方程、設而不求及應用韋達定理或點差法.
1.焦半徑公式——坐標式
(1)如圖1，橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，點P(x0，y0)為橢圓上的任意一點，則橢圓的焦半徑|PF1|和|PF2|可按下面的公式計算：
①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(記憶：左加右減).
(2)如圖2，雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，點P(x0，y0)為雙曲線上的任意一點，則雙曲線的焦半徑|PF1|和|PF2|可按下面的公式計算：①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(記憶：左加右減).
2.焦半徑公式——角度式
(1)橢圓的焦半徑公式
如圖，已知直線l過左焦點F1，且與橢圓交于A，B兩點，設∠AF1F2=α，則焦半徑|AF1|=；|BF1|=；+=；|AB|=|AF1|+|BF1|=.最長焦點弦為長軸，最短焦點弦為通徑.
(2)雙曲線的焦半徑公式
如圖，已知直線l過左焦點F1，且與雙曲線左支交于A，B兩點，設∠AF1F2=α，則焦半徑|AF1|=；|BF1|=；+=；|AB|=|AF1|+|BF1|=.
(3)拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑公式
|AF|=，|BF|=(F為拋物線的焦點，AB為焦點弦，α為直線AB的傾斜角，且點A在x軸上方，點B在x軸下方).
3.焦點弦分比定值定理
(1)橢圓的焦點弦所在直線被橢圓及短軸所在直線(y軸)所分比之和為定值-.
如圖，直線l過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1，l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M(0，t)，設=λ1，=λ2，則λ1+λ2為定值-.
(2)雙曲線的焦點弦所在直線被曲線及虛軸直線(y軸)所分比之和為定值.
如圖，直線l過雙曲線-=1(a>0，b>0)的左焦點F1，l交雙曲線于A，B兩點，交y軸于點M(0，t)，設=λ1，=λ2，則λ1+λ2為定值.
(3)過拋物線的焦點弦所在直線被拋物線及頂點處的切線(y軸)所分比之和為定值-1.
如圖，直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F，l交拋物線于A，B兩點，交y軸于點M(0，t)，
　　設=λ1，=λ2，則λ1+λ2為定值-1.
1.已知橢圓E：+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c，0)，F2(c，0)，點M在橢圓E外，線段MF1與E相交于點P，若點P的坐標為(x，y)，證明：|PF1|=a+x.
2.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓C的短軸長為2，離心率為.點P(x0，y0)為橢圓C上的一個動點，直線PF1與橢圓C的另一個交點為A，直線PF2與橢圓C的另一個交點為B，設=λ1，=λ2.
(1)求橢圓C的方程.
(2)證明：λ1+λ2為定值.
等角的性質
典例3　設橢圓C：+=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(3，0).
(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程.
(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.
方法總結：
圓錐曲線中證明角度相等常用的定理有角平分線定理、余弦定理、斜率等.解決方法如下：
1.將角度問題轉化為斜率問題.設直線方程為y=kx+m時要討論斜率是否存在；設直線方程為ty+m=x時要注意該方程無法表示傾斜角為0°的直線.
2.利用等角性質定理：
(1)橢圓等角定理：過橢圓+=1(a>b>0)長軸上任意一點N(t，0)(t≠0)的一條弦的端點與對應點G，0的連線所成的角被焦點所在直線平分.
(2)雙曲線等角定理：過雙曲線-=1(a>0，b>0)實軸上任意一點N(t，0)(t≠0)的一條弦的端點與對應點G，0的連線所成的角被焦點所在直線平分.
(3)拋物線等角定理：過拋物線y2=2px(p>0)對稱軸上任意一點N(a，0)(a>0)的一條弦的端點與對應點G(-a，0)的連線所成的角被對稱軸平分.
如果題目符合等角性質定理的條件，那么對于客觀題可直接運用，對于主觀題，可結合定理正向、逆向思維，加快解題進程.
已知點A是圓C：(x-1)2+y2=16上的任意一點，點F(-1，0)，線段AF的垂直平分線交AC于點P.
(1)求動點P的軌跡E的方程.
(2)若過點G(3，0)且斜率不為0的直線l交(1)中軌跡E于M，N兩點，O為坐標原點，點B(2，0).問：x軸上是否存在定點T，使得∠MTO=∠NTB恒成立.若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.
切線、切點弦方程
典例4　(1)已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，A是拋物線C上的一點，且點A在第一象限，若|AF|=4，則拋物線C在點A處的切線方程為(　　).
A.x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.x-y-2=0
(2)已知拋物線C：y2=2px(p>0)上的一點處的切線方程為y-x-1=0，A，B為C上兩動點，且|AB|=6，則AB的中點M到y軸的距離的取值范圍為(　　).
A.[2，+∞) B.，+∞
C.[3，+∞) D.，+∞
(3)已知P(x0，y0)(x0≠0)是拋物線C1：y2=-4x上一點，過點P作拋物線C2：y2=4x的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，H為線段MN的中點，F為C2的焦點，則(　　).
A.若x0=-1，則直線MN經過點F
B.直線PH⊥y軸
C.點H的軌跡方程為y2=x
D.∠PFM=∠PFN
(1)設A(x1，y1)，先根據拋物線的定義解出A點坐標；接下來的思路有兩條：一是運用拋物線上的點的切線方程結論直接求解；二是根據導函數的幾何意義求出切線斜率，由點斜式寫出方程.
(2)思路一：根據拋物線上的點的切線方程結論，求得p，接著設出A(x1，y1)，B(x2，y2)，表示出點M到y軸的距離d，然后利用拋物線的定義，將其轉化為兩條焦半徑的和，結合圖形易得d≥2，從而得解.思路二：通過求導數，設切點，求出p=2.后同思路一.
(3)利用拋物線上的點的切線方程結論，先表示出切線方程，聯立方程，得直線MN的方程為y0y=2(x0+x)，解得y=，從而得P，，可判定A，B；再由點H，，可得軌跡方程，判定C；由向量的坐標運算得cos∠PFM==，cos∠PFN=，判定D.
方法總結：
1.橢圓與切線
(1)點M(x0，y0)在橢圓+=1(a>b>0)上，過點M作橢圓的切線，切線方程為+=1.
(2)點M(x0，y0)在橢圓+=1(a>b>0)外，過點M作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB的直線方程為+=1.
(3)點M(x0，y0)在橢圓+=1(a>b>0)內，過點M作橢圓的弦AB(不過橢圓中心)，分別過A，B作橢圓的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為+=1.
2.雙曲線與切線
(1)點M(x0，y0)在雙曲線-=1(a>0，b>0)上，過點M作雙曲線的切線，切線方程為-=1.
(2)點M(x0，y0)在雙曲線-=1(a>0，b>0)外，過點M作雙曲線的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB的直線方程為-=1.
(3)點M(x0，y0)在雙曲線-=1(a>0，b>0)內，過點M作雙曲線的弦AB(不過雙曲線中心)，分別過A，B作雙曲線的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為-=1.
3.拋物線與切線
(1)點M(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)上，過點M作拋物線的切線，切線方程為y0y=p(x+x0).
(2)點M(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)外，過點M作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB的直線方程為y0y=p(x+x0).
(3)點M(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)內，過點M作拋物線的弦AB，分別過A，B作拋物線的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為y0y=p(x+x0).
1.與拋物線x2=2y和圓x2+(y+1)2=1都相切的直線的條數為(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知直線y=x+m與拋物線C：y2=8x相切于點P，過P作兩條斜率互為相反數的直線，這兩條直線與C的另一個交點分別為A，B，直線y=2x-4與C交于M，N兩點，則(　　).
A.m=4
B.線段AB中點的縱坐標為-4
C.直線AB的斜率為-1
D.直線PM，PN的斜率之積為4
3.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率為，短軸長為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，過點P-1，-分別作直線l1，l2，直線l1與橢圓相切于第三象限內的點G，直線l2交橢圓C于M，N兩點，若|PG|2=|PM|·|PN|，判斷直線l2與直線OG的位置關系，并說明理由.
參考答案
拓展培優(五) 圓錐曲線中常用的二級結論
考向1　焦點弦的問題
典例1　D
【解析】(法一)因為|PF1|=4|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a，所以4|PF2|+|PF2|=2a，故|PF2|=，|PF1|=.
因為|PF1|∈[a-c，a+c]，所以a-c≤≤a+c，
即1-e≤≤1+e，解得e≥，又因為橢圓的離心率e∈(0，1)，所以e∈，1.
(法二)設點P的坐標為(x0，y0)，因為|PF1|=4|PF2|，所以a+ex0=4(a-ex0)，整理得e=，因為0典例2　A
【解析】設l1的傾斜角為θ，不妨設θ∈，那么|AB|==，因為l1⊥l2，所以l2的傾斜角為θ++或θ-，|DE|==，求|AB|+|DE|的最小值，即求4+在0，上的最小值，因為4+=，所以令f(θ)=.
當sin θcos θ取得最大值，即θ=時，f(θ)取得最小值，最小值為f==16.
故|AB|+|DE|的最小值為16.
培優精練
1.解析　由題意可知|PF1|=，|PF2|=，
則-=4cx，
因為|PF1|+|PF2|=2a，即|PF2|=2a-|PF1|，
所以-(2a-|PF1|)2=4cx，整理得4a|PF1|=4a2+4cx，
所以|PF1|=a+x.
2.解析　(1)由題意知2b=2，得b=，又===，解得a=，
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)如圖，由(1)知F1(-1，0)，F2(1，0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則=(-1-x0，-y0)，=(x1+1，y1)，=(1-x0，-y0)，=(x2-1，y2)，
由=λ1，得所以
又點A(x1，y1)在橢圓上，所以+=1，即+=.
又+=1，所以+1-=，即(1+x0+λ1)2+3--3=0.
將其展開，得到-2+2(1+x0)λ1+(1+x0)2+3-=0，即-2+2(1+x0)λ1+2x0+4=0.
從而-(1+x0)λ1-x0-2=0，即(λ1+1)(λ1-2-x0)=0，
易知λ1>0，所以λ1-2-x0=0，得λ1=2+x0，
同理，由=λ2，得所以
又點B(x2，y2)在橢圓上，所以+=1，即+=.
又+=1，所以+1-=，即(1-x0+λ2)2+3--3=0.
將其展開，得到-2+2(1-x0)λ2+(1-x0)2+3-=0，即-2+2(1-x0)λ2-2x0+4=0.
從而-(1-x0)λ2+x0-2=0，即(λ2+1)(λ2-2+x0)=0，
易知λ2>0，所以λ2-2+x0=0，得λ2=2-x0，所以λ1+λ2=4，即λ1+λ2為定值.
考向2　等角的性質
典例3
【解析】(1)由題意得a2=3，b2=2，c2=a2-b2=1，所以c=1，則F(1，0).
當l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1.
聯立直線與橢圓C的方程，得解得或
所以點A的坐標為1，或1，-.
當點A的坐標為1，時，可得kAM==-，所以直線AM的方程為y=-(x-3)，整理可得x+y-3=0；
當點A的坐標為1，-時，可得kAM==，所以直線AM的方程為y=(x-3)，整理可得x-y-3=0.
綜上所述，直線AM的方程為x+y-3=0或x-y-3=0.
(2)
(法一)當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，結論成立.
當直線l與x軸不重合時，可設直線l的方程為x=my+1.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(2m2+3)y2+4my-4=0.
顯然Δ>0，由韋達定理可知且x1=my1+1，x2=my2+1.
因為my1y2-(y1+y2)=---=0，
所以my1y2=y1+y2.
所以kMA+kMB=+====0，
所以直線MA，MB的傾斜角互補，
所以∠OMA=∠OMB.
綜上所述，∠OMA=∠OMB.
(法二)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB，
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k(x-1)，k≠0，
聯立y=k(x-1)和+=1，得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1<，x2<，且x1+x2=，x1x2=，y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，
所以kMA+kMB=+=，
而2kx1x2-4k(x1+x2)+6k=(3k2-6-12k2+9k2+6)=0，進而kMA+kMB=0，
故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.
綜上所述，∠OMA=∠OMB.
培優精練
【解析】(1)由圓C：(x-1)2+y2=16，可得圓心坐標為C(1，0)，半徑r=4，
如圖所示，線段AF的垂直平分線交AC于點P，
所以|PF|+|PC|=|PA|+|PC|=4>|FC|=2，
根據橢圓的定義，可知點P的軌跡是以F，C為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，
可得a=2，c=1，則b==，
所以動點P的軌跡方程為+=1.
(2)由題意知直線l的斜率不為0.
當直線l與x軸垂直時，無交點M，N，舍去.
當直線l與x軸不重合也不垂直時，設直線l的方程為y=k(x-3)，且k≠0，
由整理得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0，由Δ>0，解得-設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=，
根據橢圓的對稱性，不妨令點M，N在x軸上方，且x2>x1，
假設存在T(t，0)，使得∠MTO=∠NTB恒成立，即tan∠MTO=tan∠NTB恒成立，顯然x1可得kMT=-kNT，即kMT+kNT=0恒成立，即+=0恒成立.
又由+=，
得t(y1+y2)-x1y2-x2y1=0，
所以t======，
所以存在點T，0，使得∠MTO=∠NTB恒成立.
考向3　切線、切點弦方程
典例4　(1)A　(2)A　(3)ABD
【解析】(1)(法一)設A(x1，y1)，由x2=4y，得p=2，所以拋物線的準線方程為y=-1.
由拋物線的定義可得|AF|=y1+1=4，得y1=3，代入x2=4y，得x1=±2，
又點A在第一象限，所以x1=2，所以點A的坐標為(2，3)，
所以拋物線C：x2=4y在點A處的切線方程為2x=2(y+3)，即x-y-3=0.
(法二)同法一得A(2，3)，由x2=4y，得y=x2，所以y'=x，所以拋物線C在點A處的切線方程的斜率為×2=，
所以拋物線C在點A處的切線方程為y-3=(x-2)，即x-y-3=0.
(2)(法一)因為拋物線C：y2=2px(p>0)上的一點D(x0，y0)處的切線方程為y0y=p(x+x0)，即y0y=px+，整理可得y-x-=0，又由題意知該切線方程為y-x-1=0，所以可得y0=p=2，故C的方程為y2=4x.
如圖，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則M，，點M到y軸的距離d==-1=-1≥-1=2，
當且僅當線段AB經過點F時，等號成立.故AB的中點M到y軸的距離的取值范圍為[2，+∞).
(法二)依題意知，切線的斜率為1，故切點必在第一象限，設切點為(x0，y0)(x0>0，y0>0)，即，y0，由y=求導可得y'=，
則=1，即=1，化簡得y0=p，故切點為，p，代入y-x-1=0中，解得p=2，故C的方程為y2=4x.
以下同法一，可得AB的中點M到y軸的距離的取值范圍為[2，+∞).
(3)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則過點M的切線方程為y1y=2(x1+x)，過點N的切線方程為y2y=2(x2+x)，
由題意知這兩條切線交于點P(x0，y0)，則
從而直線MN的方程為y0y=2(x0+x).
若x0=-1，則直線MN經過點F(1，0)，A正確.
因為點M，N在C2上，所以
所以由
解得y=，
即y0=，從而x0=，即P，.
因為H為線段MN的中點，所以H，，
所以PH⊥y軸，B正確.
因為點H，，==-x0=，=y0，
所以點H的軌跡方程為y2=x(x≠0)，C錯誤.
因為=(x0-1，y0)，=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，
所以·=(x0-1，y0)·(x1-1，y1)=x0x1-x1-x0+1+y0y1=x0x1-x1-x0+1+2(x0+x1)=(x0+1)(x1+1).
又|MF|=x1+1，所以cos ∠PFM==，
同理可得cos ∠PFN=，從而∠PFM=∠PFN，D正確.故選ABD.
培優精練
1.D
【解析】設直線與拋物線x2=2y相切的切點坐標為t，t2，由y=x2求導得y'=x，
因此拋物線x2=2y在點t，t2處的切線方程為y-t2=t(x-t)，即tx-y-t2=0，
依題意，此切線與圓x2+(y+1)2=1相切，于是=1，解得t=0或t=±2，所以所求切線的條數為3.故選D.
2.BCD
【解析】對于A，由得x2+(2m-8)x+m2=0，
由Δ=(2m-8)2-4m2=0，解得m=2，故A錯誤；
對于B，由m=2，得x2-4x+4=0，故x=2，y=2+2=4，故P點坐標為(2，4)，
設lPA：y=k(x-2)+4，則lPB：y=-k(x-2)+4，k≠0，
聯立lPA與拋物線的方程，得消去x可得ky2-8y+32-16k=0，
Δ=64-4k(32-16k)=64(k-1)2>0，即k≠1，則有yA+4=，即yA=-4，
同理可得yB=--4，故==-4，故B正確；
對于C，kAB=====-1，故C正確；
對于D，由題意可得kPM====，
同理可得kPN=，則kPM·kPN=·=，
聯立lMN與拋物線的方程，得消去x可得y2-4y-16=0，
故yM+yN=4，yMyN=-16，
即有kPM·kPN===4，故D正確.故選BCD.
3.解析　(1)由題意得解得
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)直線l2與直線OG平行.證明如下：
顯然直線l1的斜率存在，設直線l1的方程為y+=m(x+1).
由得(4m2+1)x2+(8m2-12m)x+4m2-12m+1=0.
因為直線l1與橢圓相切，
所以Δ=(8m2-12m)2-4(4m2+1)(4m2-12m+1)=4(28m2+12m-1)=0，
解得m=-或m=.
因為直線l1與橢圓相切于第三象限內的點G，所以m=-，所以2x2+8x+8=0，xG=-2，
所以yG=-(xG+1)-=-1，
所以點G的坐標為(-2，-1)，直線OG的斜率為，|PG|2=.
當直線l2的斜率不存在時，|PM||PN|=，所以|PG|2≠|PM|·|PN|.
當直線l2的斜率存在時，設直線l2的方程為y+=k(x+1)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(4k2+1)x2+(8k2-12k)x+4k2-12k+1=0，
直線l2交橢圓C于M，N兩點，Δ=4(28k2+12k-1)>0，
所以k<-或k>，所以x1+x2=，x1x2=.
|PM|==|x1+1|，同理得|PN|=|x2+1|，
所以|PM|·|PN|=(1+k2)|x1+1||x2+1|=(1+k2)|x1x2+(x1+x2)+1|=(1+k2).
所以(1+k2)=，解得k=或k=-，
又k<-或k>，所以k=，所以直線l2與直線OG平行.

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