資源簡介

拓展培優(三)利用遞推關系求通項
　　以遞推關系為載體考查數列通項公式的求法是新高考考查數列的重點內容之一，在選擇題、填空題、解答題中均有涉及，難度中等.利用數列的遞推關系求數列的通項，常見的方法有累加法、累乘法和構造法(包括輔助數列法、取倒數法、取對數法等).
Sn與an之間的遞推關系
典例1　已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=-，且5an+1+Sn+16=0，則數列{an}的通項公式為　　　　.
將5an+1+Sn+16=0中的n用n-1替換→作差得5an+1=4an→求公比→利用等比數列的通項公式求解.
方法總結：
Sn與an的關系問題的求解思路
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替換關系式中的n，得到一個新的關系，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)化簡，求出當n≥2時an的表達式.
(3)對n=1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則數列的通項公式合寫；若不符合，則分n=1與n≥2兩段來寫.
(4)根據所求結果的不同要求，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)將已知關系式轉化為只含Sn，Sn-1的關系式或轉化為只含an，an-1的關系式，再求解.
已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=4an-3，則Sn=(　　).
A.4n-1 B.4n-1
C.3n-1 D.4(3n-1)
累加法
典例2　在數列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1.
(1)求數列{an}的通項公式.
(2)設bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn<2.
(1)累加求和→驗證確定結果.
(2)放縮bn=<=2-→裂項相消法求和→得證.
方法總結：
若給出的是形如an+1-an=f(n)的遞推公式，可利用累加法求數列的通項公式，步驟如下：
若an+1-an=f(n)，則當n≥2時，an-an-1=f(n-1)，an-1-an-2=f(n-2)，…，a3-a2=f(2)，a2-a1=f(1).
兩邊分別相加得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)，
所以當n≥2時，an=f(1)+f(2)+…+f(n-1)+a1，驗證首項，得出結論.
南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中出現了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數構成一個數列{an}，an=an-1+n，n>1且n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式.
(2)求證：++…+<2.
累乘法
典例3　已知數列{an}滿足a1=1，(2n-1)an+1=(2n+1)an，則{an}的通項公式為　　　　.
方法總結：
若給出的是形如=f(n)的遞推公式，可利用累乘法求數列的通項公式，步驟如下：
若=f(n)，則當n≥2時，=f(n-1)，=f(n-2)，…，=f(2)，=f(1).
兩邊分別相乘得=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1)，
所以當n≥2時，an=a1·f(1)·…·f(n-1)，驗證首項，得出結論.
已知{an}是首項為1的正項數列，且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*)，則它的通項公式為an=　　　　.
待定系數法
典例4　已知數列{an}滿足an+1+2an=3，a1=2，且其前n項和為Sn，則滿足不等式Sn-n-≥100的最小整數n為　　　　.
證明數列{an-1}為等比數列→求該數列的首項和公比→求得an→分組求和法得Sn→解不等式Sn-n-≥100求n.
方法總結：
若給出的是形如an+1=pan+q(p≠1，pq≠0)的遞推公式，可利用待定系數法求數列的通項公式，步驟如下：
第一步，假設遞推公式可變形為an+1+t=p(an+t)；
第二步，由待定系數法解得t=；
第三步，寫出數列an+的通項公式；
第四步，寫出數列{an}的通項公式.
已知數列{an}滿足an+1=2(an+1)，若a5=78，則a1=(　　).
A.4 B.3 C. D.2
倒數構造法
典例5　已知數列{an}的首項a1=，且滿足an+1=.
(1)求證：數列-2為等比數列.
(2)若+++…+<101，求滿足條件的最大整數n.
(1)an+1=的兩邊取倒數，再同時減2→根據等比數列的定義判定.
(2)利用等比數列求和公式求和→構造函數→根據函數的單調性求n.
方法總結：
若給出的是形如an+1=(p，q，m為常數，pqm≠0)的遞推公式，可通過兩邊取倒數，將其變形為=+，然后利用待定系數法等方法求解an.
已知數列{bn}滿足b1=1，且bn+1=(n∈N*)，則{bn}的通項公式為　　　　.
對數構造法
典例6　已知數列{an}滿足a1=1，=10an(an>0)，求{an}的通項公式.
=10an的兩邊取對數，得2lg an+1=lg an+1→構造等比數列求通項→解方程.
(改編)已知數列{an}的各項均為正數，a1=10且an+1=(n∈N*).若{an}的前n項之積為Tn，則滿足Tn≤102 025的正整數n的最大值為(　　).
A.12 B.11 C.10 D.9
相鄰三項的遞推式
典例7　已知在數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3(n≥3)，則數列{an}的通項公式為　　　　.
方法總結：
形如an+1=Aan+Ban-1的模型，可通過構造二階等比數列求解，有些可轉化為an+1-an=(A-1)(an-an-1)，利用{an+1-an}為等比數列求出{an}的通項公式，有些可轉化為an+1+an=(A+1)(an+an-1)，利用{an+1+an}為等比數列求出{an}的通項公式.解這類題的思路就是利用相鄰兩項的線性組合構造等比數列，然后求解.
已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an.某同學已經證明了數列{an+1-2an}和數列{an+1+an}都是等比數列，則數列{an}的通項公式為an=　　　　.
參考答案
拓展培優(三) 利用遞推關系求通項
考向1　Sn與an之間的遞推關系
典例1　an=-4×n
【解析】當n=1時，5a2+a1+16=0，∴a2=-，
當n≥2時，由5an+1+Sn+16=0，　①
得5an+Sn-1+16=0，　②
由①-②得5an+1=4an，
∵a2=-≠0，∴an≠0，
∴=，又=，
∴{an}是首項為-，公比為的等比數列，
∴an=-×n-1=-4×n.
培優精練　C
【解析】當n=1時，S1=4a1-3=4S1-3，得S1=1，
當n≥2時，Sn=4(Sn-Sn-1)-3，得3Sn=4Sn-1+3 Sn=Sn-1+1 Sn+3=(Sn-1+3)，
又S1+3=4，
所以{Sn+3}是首項為4，公比為的等比數列，
所以Sn+3=4×n-1，得Sn=4×n-1-3=3n-1，故選C.
考向2　累加法
典例2
【解析】(1)因為an+1=an+n+1，即an+1-an=n+1，
所以當n≥2時，a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，
將以上各式相加，得an-a1=2+3+…+n=，則an=(n≥2)，
a1=2也符合上式，故an=.
(2)由題意得bn==<==2-.
所以Tn=b1+b2+…+bn<21-+-+…+-=21-<2.
培優精練
【解析】(1)因為an=an-1+n，n>1，所以an-an-1=n，n>1，
所以當n>1時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=，
當n=1時，上式也成立，
所以an=.
(2)因為==2-，
所以++…+=21-+-+…+-=21-<2.
考向3　累乘法
典例3　an=2n-1
【解析】由(2n-1)an+1=(2n+1)an及a1=1，得an≠0，
所以=，
當n≥2時，有an=××…××××a1=××…××××1=2n-1.
a1=1符合上式，所以an=2n-1.
培優精練　
【解析】把(n+1)-n+an+1an=0左側分解因式，得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.
∵an>0，∴an+1+an>0，
∴(n+1)an+1-nan=0，
∴=，∴當n≥2時，···…·=×××…×，∴=(n≥2).
又∵a1=1，∴an=a1=(n≥2).
驗證得首項亦滿足上式，故an=.
考向4　待定系數法
典例4　9
【解析】因為an+1+2an=3，
所以an+1-1=-2(an-1)，又a1-1=1，
所以數列{an-1}是首項為1，公比為-2的等比數列，則an-1=(-2)n-1，所以an=1+(-2)n-1，
所以Sn=n+=n+-×(-2)n.
由Sn-n-≥100，即-×(-2)n≥100，得n≥log2300，
因為28=256<300<29=512，所以滿足不等式Sn-n-≥100的最小整數n為9.
培優精練　B
【解析】由an+1=2(an+1)可得an+1+2=2(an+2)，
所以=2，則{an+2}是公比為2的等比數列，
所以a5+2=(a1+2)·24=80，得a1=3.故選B.
考向5　倒數構造法
典例5
【解析】(1)由an+1=，
可得==1+，
則-2=-1=-2，又-2=≠0，
故數列-2為等比數列.
(2)由(1)可知-2=×n-1=，故=+2.
所以+++…+=+2++2++2+…++2=+2n=1-+2n.
令f(n)=1-+2n，
易知f(n)隨n的增大而增大，因為f(50)<101，f(51)>101，所以滿足f(n)<101的最大整數為50.
培優精練　bn=
【解析】易知bn>0，兩邊取倒數得=，
整理得+1=2+1，
∴+1是首項為+1=2，公比為2的等比數列，
∴+1=2×2n-1，∴bn=.
考向6　對數構造法
典例6
【解析】等式=10an的兩邊取以10為底的對數，可得2lg an+1=lg an+1，則2lg an=lg an-1+1(n≥2)，
即lg an-1=(lg an-1-1)，
所以數列{lg an-1}是以lg a1-1=-1為首項，為公比的等比數列，
所以lg an-1=(-1)×n-1=-n-1，
即lg an=1-n-1，即an=10×.
培優精練　C
【解析】因為an+1=(n∈N*)，兩邊取常用對數，得lg an+1=2lg an，
所以lg an是以lg a1=lg 10=1為首項，2為公比的等比數列，
所以lg an=2n-1，則an=，
Tn=a1a2a3…an=，
令Tn≤102 025，即20+21+22+…+2n-1≤2 025，
根據等比數列的求和公式，得≤2 025，
整理得2n≤2 026，
又因為210<2 026<211，
所以正整數n的最大值為10，故選C.
考向7　相鄰三項的遞推式
典例7　an=×3n-1+×(-1)n-1
【解析】∵an=2an-1+3，
∴an+an-1=3(an-1+)，
又a1+a2=7，
∴{an+an+1}是首項為7，公比為3的等比數列，
∴an+an+1=7×3n-1，
則an+an-1=7×(n≥2).　①
又an-3an-1=-(an-1-3)，a2-3a1=-13，
∴{an+1-3an}是首項為-13，公比為-1的等比數列，∴an+1-3an=(-13)×(-1)n-1，
則an-3an-1=(-13)×(-1(n≥2).　②
由①×3+②得4an=7×3n-1+13×(-1)n-1，
∴an=×3n-1+×(-1)n-1，n≥2，
驗證得首項亦滿足上式，
∴an=×3n-1+×(-1)n-1.
培優精練　
【解析】當n=1時，a3=a2+2a1=5，
令bn=an+1-2an，已知{bn}為等比數列，b1=a2-2a1=1，b2=a3-2a2=-1，
所以{bn}的公比q1==-1，則bn=(-1)n-1，即an+1-2an=(-1)n-1.　①
令cn=an+1+an，已知{cn}為等比數列，c1=a2+a1=4，c2=a3+a2=8，
所以{cn}的公比q2==2，則cn=4×2n-1=2n+1，即an+1+an=2n+1.　②
聯立①②解得an=.

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