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拓展培優(二) 平面向量數量積的最值與取值范圍問題
　　平面向量數量積的最值與范圍問題是一個熱點也是一個難點.這類試題的基本類型是根據給出的條件求某個量的最值、取值范圍.平面向量兼具“數”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、取值范圍問題的基本思想之一是數形結合.
定義法
典例1　已知O為平面直角坐標系的原點，向量=(1，3)，=(-2，-1)，=(1，
-2)，設M是直線OP上的動點，當·取得最小值時，=(　　).
A.1， B.-1，- C.(2，1) D.(-2，-1)
方法總結：
利用定義法求最值的一般步驟：(1)利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉化為相應的等式關系；(2)運用基本不等式、乘法公式、二次函數等相關知識求其最值；(3)得出結論.
在Rt△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圓上的一點，則·(+)的最大值是(　　).
A.4 B.2+ C.3 D.1+
坐標法
典例2　如圖，圓O內接邊長為1的正方形ABCD，P是弧BC(包括端點)上一動點，則·的取值范圍是(　　).
A.1，
B.1，
C.1，
D.，1
方法總結：
(1)根據題意建立適當的平面直角坐標系，并推導出關鍵點的坐標；(2)將平面向量的運算坐標化；(3)運用已學相關知識求解.
在四邊形ABCD中，=2，且AD=CD=1，AD⊥CD，則·=　　　　.
基底法
典例3　已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=2，a=4，cos B=，動點M位于線段BC上，則·的最小值為(　　).
A.0 B. C.- D.-
方法總結：
(1)利用基底轉化向量；(2)根據向量運算化簡目標；(3)運用已學相關知識求解.
在平行四邊形ABCD中，A=45°，AB=1，AD=，若=+x(x∈R)，則||的最小值為(　　).
A. B. C.1 D.
幾何意義法
典例4　已知圓O是邊長為2的正方形的內切圓，MN為圓O的一條直徑，P為正方形四條邊上的一個動點，則·的取值范圍是　　　　.
方法總結：
題中向量具有典型幾何意義時，考慮使用幾何意義法：(1)結合條件進行向量關系推導；(2)利用向量之間的關系確定向量所表示的點的軌跡；(3)結合圖形，確定臨界位置，動態分析，求出范圍.
已知平面向量a，b的夾角為30°，若|a|=2，則|b|+|a-b|的最小值為　　　　.
參考答案
拓展培優(二) 平面向量數量積的最值與取值范圍問題
考向1　定義法
典例1　A
【解析】=+=(2，1)，M是直線OP上的動點，則可設=λ=(2λ，λ)，λ∈R，
則=-=(1-2λ，3-λ)，=+=(-1-2λ，2-λ)，·=5λ2-5λ+5=5λ-2+，所以當λ=時，·取得最小值，此時=1，.
培優精練　
A
【解析】如圖，設Rt△ABC的外心為O，則O是AB的中點，
所以·(+)=2·=2(+)·=2+2·，
因為c=2，所以||=||=1，·=cos<，>，故·(+)≤2+2=4，當且僅當與同向時取等號.
考向2　坐標法
典例2　C
【解析】
如圖，以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1，0).設P(x，y)，則=(x，y).因為=(1，0)，所以·=x.
由題意知，圓O的半徑r=.
因為點P在弧BC(包括端點)上，
所以1≤x≤+，所以·的取值范圍是1，.
培優精練　3
【解析】
如圖，建立平面直角坐標系，由題意可知，AD=DC=1，BC=2，則B(-2，0)，A(-1，1)，D(0，1)，
故=(1，1)，=(2，1)，
所以·=1×2+1×1=3.
考向3　基底法
典例3　C
【解析】由題意知·=(+)·=+·=+2||cos(π-B)=-2×||=||-2-，而0≤||≤4，
所以當||=時，·取得最小值，最小值為-.
培優精練　B
【解析】由=+x，可得||2=(+x)2=||2+x2||2+2x·
=1+2x2+2x×1×cos 45°=2x2+2x+1=2x+2+，
當x=-時，||2的值最小，|=，即||的最小值為.
考向4　幾何意義法
典例4　
[0，1]
【解析】如圖所示，考慮P是線段AB上的任意一點，=+，=+=-，
圓O的半徑為1，由于P是線段AB上的任意一點，因此||∈[1，]，
所以·=(+)·(-)=-∈[0，1].
培優精練　
【解析】
設a=，b=，則a-b=，過點B作BH⊥OA于點H，A'為點A關于直線OB的對稱點，如圖.
由向量a，b的夾角為30°，得BH=OB，故|b|+|a-b|=||+||=||+||，
其最小值為點A'到OA的距離，所以|b|+|a-b|的最小值為.

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