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第7節　二次函數的綜合應用
(6年6考,8~19分)
　　從近6年陜西中考的考試內容來看,二次函數的綜合應用題主要考查二次函數與特殊三角形的綜合應用、二次函數與特殊四邊形的綜合應用、二次函數最值與圖象、信息問題的綜合應用等.
【回歸教材·過基礎】
【知識體系】
【真題精粹·重變式】
考向1二次函數與特殊三角形的綜合應用
1.(2021·陜西25題8分)已知拋物線y=-x2+2x+8與x軸交于點A,B(點A在點B的左側),與y軸交于點C.
(1)求點B,C的坐標.
(2)設點C'與點C關于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點P,使△PCC'與△POB相似,且PC與PO是對應邊 若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
考向2二次函數與特殊四邊形的綜合應用
2.(2023·陜西25題8分)某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型拱門,并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48 m2,還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢等因素,設計部門按要求給出了兩個設計方案.現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中,如圖所示:
方案一,拋物線型拱門的跨度ON=12 m,拱高PE=4 m.其中,點N在x軸上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二,拋物線型拱門的跨度ON'=8 m,拱高P'E'=6 m.其中,點N'在x軸上,P'E'⊥O'N',OE'=E'N'.
要在拱門中設置高為3 m的矩形框架,其面積越大越好(框架的粗細忽略不計).方案一中,矩形框架ABCD的面積記為S1,點A,D在拋物線上,邊BC在ON上;方案二中,矩形框架A'B'C'D'的面積記為S2,點A',D'在拋物線上,邊B'C'在ON'上.現知,小華已正確求出方案二中,當A'B'=3 m時,S2=12 m2,請你根據以上提供的相關信息,解答下列問題:
(1)求方案一中拋物線的函數表達式.
(2)在方案一中,當AB=3 m時,求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1,S2的大小.
考向3二次函數最值與圖象、信息問題的綜合應用
3.(2024·陜西25題8分)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型,橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面,如圖所示,以O為原點,以直線FF'為x軸,以橋塔AO所在直線為y軸,建立平面直角坐標系.
已知:纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱,橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC=100 m,AO=BC=17 m,纜索L1的最低點P到FF'的距離PD=2 m.(橋塔的粗細忽略不計)
(1)求纜索L1所在拋物線的函數表達式.
(2)點E在纜索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【核心突破·拓思維】
題型1二次函數與三角形的綜合應用
如圖,直線y=-x+n與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經過點A,B.
(1)求拋物線的函數表達式.
(2)E(m,0)為x軸上一動點,過點E作ED⊥x軸,交直線AB于點D,交拋物線于點P,連接BP.
①點E在線段OA上運動,若△BPD與△ADE相似,求點E的坐標;
②若點E在x軸的正半軸上運動,且∠PBD+∠CBO=45°,請直接寫出m的值.
　　　　　　　　備用圖
題型2二次函數與四邊形的綜合應用
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+2(a<0)與y軸交于點C,與x軸交于A(-1,0),B(2,0)兩點.
(1)求拋物線的函數表達式.
(2)若D是第二象限拋物線上的動點,DE∥x軸,交直線BC于點E,點G在x軸上,點F在坐標平面內.是否存在點D,使以D,E,F,G為頂點的四邊形是正方形 若存在,求點D的坐標;若不存在,請說明理由.
　　二次函數與特殊四邊形判定問題巧妙化解:
1.判定平行四邊形時,一定要學會分類討論.
2.判定菱形時,在平行四邊形的基礎上,滿足鄰邊相等或對角線互相垂直即可.
3.判定矩形時,在平行四邊形的基礎上,滿足有一個角為直角或對角線相等即可.
4.判定正方形時,在平行四邊形的基礎上,滿足有一個角為直角且鄰邊相等或對角線互相垂直且相等即可.
題型3二次函數最值與圖象、信息問題的綜合應用
(2024·西安新城區模擬)某市護城河管理部門為了提高市民的休閑與運動質量,增強鍛煉的幸福感,計劃在護城河里修建小噴泉,具體方案如下:在水面下適當的地方設置一個圓柱形柱子,在柱子頂端處安裝一個噴水頭向外噴水,從而形成小噴泉.經過實踐發現,小噴泉水流形成拋物線,噴水口高出水面 m,當落水點距噴水口的水平距離為1 m時,噴泉水流達到最高點處,距水面 m.以水面所在位置為x軸,噴水頭所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則水流距離水面的高度y(單位:m)與水流距噴水頭的水平距離x(單位:m)之間的關系圖象如圖所示.
(1)請求出在第一象限內噴泉水流形成的拋物線的函數表達式.
(2)噴泉噴出的水流落在水面上形成一個圓,忽略其他因素,若噴水頭向上平移 m,則噴水頭的水流落在水面上形成的圓的面積會增大多少 (結果精確到0.1 m2;參考數據:≈2.45,≈2.24,π≈3.14)
參考答案
真題精粹·重變式
1.解析:(1)∵y=-x2+2x+8,取x=0,得y=8,
∴C(0,8),取y=0,得-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4.∵點A在點B的左側,∴B(4,0).
(2)存在點P,設P(0,y).
∵CC'∥OB,且PC與PO是對應邊,∴=,
即=,解得y1=16,y2=,
∴P(0,16)或P0,.
2.解析:(1)由題意知,方案一中拋物線的頂點P(6,4),
設拋物線的函數表達式為y=a(x-6)2+4,
把O(0,0)代入得0=a(0-6)2+4,
解得a=-,
∴y=-(x-6)2+4=-x2+x,
∴方案一中拋物線的函數表達式為y=-x2+x.
(2)令y=3,則3=-x2+x.
解得x=3或x=9,
∴BC=9-3=6(m),
∴S1=AB·BC=3×6=18(m2).
∵18>12,∴S1>S2.
3.解析:(1)由題意,∵AO=17 m,
∴點A(0,17).
又∵OC=100 m,BC=17 m,纜索L1的最低點P到FF'的距離PD=2 m,
∴拋物線的頂點P的坐標為(50,2).
故可設拋物線為y=a(x-50)2+2.
將點A代入拋物線可得,2 500a+2=17,解得a=,
∴纜索L1所在拋物線為y=(x-50)2+2.
(2)∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱,纜索L1所在拋物線的表達式為y=(x-50)2+2,
∴纜索L2所在拋物線的表達式為y=(x+50)2+2,
令y=2.6,即(x+50)2+2=2.6,
∴x=-40或x=-60.
∵FO∴x=-40,
∴FO的長為40 m.
核心突破·拓思維
例1　解析:(1)∵直線y=-x+n與x軸交于點A(3,0),
∴0=-3+n,
∴n=3,
∴直線的表達式為y=-x+3.
當x=0時,y=3,
∴B(0,3).
∵拋物線y=-x2+bx+c經過點A,B,
∴
解得
∴拋物線的函數表達式為y=-x2+2x+3.
(2)①∵ED⊥x軸,
∴∠PEA=90°,
∴∠BDP=∠ADE<90°.
設E(m,0),P(m,-m2+2m+3),
∴D(m,-m+3),
∴PD2=(-m2+3m)2,BP2=m2+(-m2+2m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2.
當∠PBD=90°時,BP2+BD2=PD2,
∴m2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2,
∴m=1,m=0(舍去),
∴E(1,0);
當∠BPD=90°時,BP2+PD2=BD2,
∴m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)2=2m2,
∴m=3(舍去),m=0(舍去),m=2,
∴E(2,0).
綜上所述,點E的坐標為(1,0)或(2,0).
②m的值為5或.
提示:當點P在x軸上方時,如圖1,連接BC,延長BP交x軸于點N.
圖1
∵A(3,0),B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴∠BAO=∠ABO=45°.
∵拋物線y=-x2+2x+3經過點A,B,
∴0=-x2+2x+3,
∴x1=3,x2=-1,
∴C(-1,0),∴OC=1.
∵∠PBD+∠CBO=45°,∠BAO=∠PBD+∠BNO=45°,
∴∠CBO=∠BNO.
∵∠BOC=∠BON=90°,
∴△BCO∽△NBO,∴=,即3=,
∴ON=9,
∴N(9,0),∴直線BN的表達式為y=-x+3,
∴-x+3=-x2+2x+3,
∴x1=0(舍去),x2=,
∴點P的橫坐標為,
∴m=.
當點P在x軸下方時,如圖2,連接BC,使BP與x軸交于點H.
圖2
∵∠PBD+∠CBO=45°,∠OBH+∠PBD=45°,
∴∠CBO=∠OBH.
∵OB=OB,∠COB=∠BOH,
∴△BOH≌△BOC(ASA),
∴OC=OH=1,∴H(1,0),
∴直線BH的表達式為y=-3x+3,
∴-3x+3=-x2+2x+3,
∴x1=0(舍去),x2=5,
∴點P的橫坐標為5,
∴m=5.
綜上所述,m=5或m=.
例2　解析:(1)由題意可知,拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2),
則-2a=2,解得a=-1,
∴拋物線的表達式為y=-x2+x+2.
(2)存在.∵B(2,0),C(0,2).
設直線BC的表達式為y=kx+2,
將B(2,0)代入得2k+2=0,
解得k=-1,
∴直線BC的表達式為y=-x+2.
設D(t,-t2+t+2),
分兩種情況:①當DE為邊時,設E(n,-n+2),
如圖1,四邊形GDFE是正方形,
∴DE=GD=EF,
∴解得t1=2(不合題意,舍去),t2=-,
∴D-,;
　　　　　　圖1　　　　　　　　　　　圖2
②當DE為對角線時,如圖2,過點D作DH⊥x軸于點H,則DE=2DH,
∴DE=-2t2+2t+4,
∴E(-2t2+2t+4+t,-t2+t+2).
∵點E在直線y=-x+2上,
∴-t2+t+2=2t2-3t-4+2,
解得t=-或t=2(不合題意,舍去),
∴D-,.
綜上所述,點D的坐標為-,或-,.
例3　解析:(1)設y=a(x-h)2+k,
把頂點B1,代入,得y=a(x-1)2+,
把點A0,代入,得a=-1,
∴y=-(x-1)2+.
(2)令y=0,即-(x-1)2+=0,
∴x=+1(負值已舍去),
∴S=π+12≈14.11(m2).
∵噴水頭向上平移 m,
∴y=-(x-1)2++=-(x-1)2+.
令y=0,即-(x-1)2+=0,
∴x=+1(負值已舍去),
∴S=π+12≈15.54(m2),
∴15.54-14.11≈1.4(m2),
∴面積會增大1.4 m2.

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