資源簡介

第6節(jié)　二次函數(shù)表達(dá)式的確定及幾何變換
(6年6考,3分)
　　從近6年陜西中考的考試內(nèi)容來看,二次函數(shù)表達(dá)式的確定常在二次函數(shù)綜合題中考查,圖象的幾何變換一般在選擇題中有涉及,本節(jié)是每年的必考內(nèi)容.
【回歸教材·過基礎(chǔ)】
【知識(shí)體系】
【知識(shí)清單】
知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)表達(dá)式的確定　?？?br/>二次函數(shù)表達(dá)式
的三種形式
待定系 數(shù)法求 表達(dá)式 表達(dá)式已給出 代入拋物線上任意兩個(gè)點(diǎn)或三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解即可
表達(dá)式未給出 當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)時(shí),通常設(shè)表達(dá)式為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中拋物線與x軸交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)
當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸及最大(小)值時(shí),通常設(shè)表達(dá)式為y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為直線x=h
當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)
知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)圖象的變換　?？?br/>拋物線 的平移 平移前 平移方式(m>0) 平移后 規(guī)律
頂點(diǎn)式 y=a(x-h)2+ k(a≠0) 向左平移m個(gè)單位長度 y=a(x-h+m)2+k 左加
向右平移m個(gè)單位長度 y=a(x-h-m)2+k 右減
向上平移m個(gè)單位長度 y=a(x-h)2+k+m 上加
向下平移m個(gè)單位長度 y=a(x-h)2+k-m 下減
拋物線的翻折 與中心對(duì)稱 表達(dá)式 變化形式 變化后的a值 變化后的頂點(diǎn)坐標(biāo) 變化后的表達(dá)式
y=a(x-h)2+ k(a≠0) 關(guān)于x軸對(duì)稱 -a (h,-k) y=-a(x-h)2-k
關(guān)于y軸對(duì)稱 a (-h,k) y=a(x+h)2+k
關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱 -a (-h,-k) y=-a(x+h)2-k
繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° -a (h,k) y=-a(x-h)2+k
【真題精粹·重變式】
考向1二次函數(shù)表達(dá)式的確定
1.已知拋物線y=ax2+bx-4經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0).求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
2.已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-5,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,5),它的對(duì)稱軸為直線l.求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).
考向2二次函數(shù)圖象的平移變換
3.(2020·陜西10題3分)在平面直角坐標(biāo)系中,若將拋物線y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y軸向下平移3個(gè)單位長度,則平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考向3二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換
4.在同一平面直角坐標(biāo)系中,若拋物線y=mx2+2x-n與y=-6x2-2x+m-n關(guān)于x軸對(duì)稱,則m,n的值分別為 ( )
A.-6,-3 B.-6,3
C.6,-3 D.6,3
5.將拋物線L1:y=-x2+6x-7向左平移1個(gè)單位長度,得到拋物線L2,拋物線L2與拋物線L3關(guān)于x軸對(duì)稱,則拋物線L3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A.(2,2) B.(2,-2) C.(-2,2) D.(-2,-2)
【核心突破·拓思維】
題型1二次函數(shù)圖象的平移變換
將拋物線y=x2沿直線y=x斜向上平移個(gè)單位長度,得到的新的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 ( )
A.y=(x+1)2+1
B.y=(x+1)2-1
C.y=(x-1)2+1
D.y=(x-1)2-1
已知二次函數(shù)y1=(x+1)(x+7)和y2=(x-4)(x-10),則二次函數(shù)y1的圖象可以由二次函數(shù)y2的圖象 ( )
A.向左平移4個(gè)單位長度得到
B.向右平移4個(gè)單位長度得到
C.向左平移11個(gè)單位長度得到
D.向右平移11個(gè)單位長度得到
1.將拋物線y=2x2-1沿直線y=2x方向向右上方平移2個(gè)單位長度,得到新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 ( )
A.y=2(x+2)2+3
B.y=2(x-2)2-1
C.y=2x2+2-1
D.y=2(x-2)2+3
2.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2-2x+4可由拋物線y=x2+4x+3平移m(m>0)個(gè)單位長度得到,則m的最小值為 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
　　拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的平移步驟:
①將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式;
②利用平移法則“左加右減自變量,上加下減常數(shù)項(xiàng)”寫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a(x-h±Δx)2+k±Δy.
注意:通過二次函數(shù)一般式的形式也可以利用上述口訣進(jìn)行求取二次函數(shù)平移后的表達(dá)式,其具體形式為y=a(x±Δx)2+b(x±Δx)+c±Δy.
題型2二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換
二次函數(shù)y=(x-1)2+(x-3)2與y=(x+a)2+(x+b)2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則(a+1)2+(1+b)2的值為 ( )
A.9 B.10 C.20 D.25
在平面直角坐標(biāo)系中,有兩條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,且它們的頂點(diǎn)相距10個(gè)單位長度.若其中一條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+6x+m,則m的值是 ( )
A.-4或-14 B.-4或14
C.4或-14 D.4或14
若將二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象繞點(diǎn)(-1,0)旋轉(zhuǎn)180°,得到新的圖象的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0),則c的值為( )
A.-15 B.15 C.17 D.-17
3.兩拋物線y=x2+x+1與y=x2-x+1在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系是 ( )
A.關(guān)于x軸對(duì)稱
B.關(guān)于y軸對(duì)稱
C.關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
D.關(guān)于直線x=1對(duì)稱
4.如圖,將拋物線l:y=2x2-4x+3沿直線y=-1翻折得到拋物線l',則拋物線l'的函數(shù)表達(dá)式為 ( )
A.y=-2x2-4x-5
B.y=-2x2+4x+3
C.y=x2+x-5
D.y=-2(x-1)2-3
5.拋物線C1:y=x2-4x+8和拋物線C2:y=-x2-8x-18關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(-3,2)
題型3運(yùn)用二次函數(shù)的圖象變換解決圖形問題
已知拋物線L:y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(3,0),B(-1,0),C(0,3)三點(diǎn).
(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求拋物線L的頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)將拋物線L平移得到拋物線L'.如果拋物線L'經(jīng)過點(diǎn)C,那么在拋物線L'上是否存在點(diǎn)D,使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 若存在,應(yīng)將拋物線L怎樣平移;若不存在,請(qǐng)說明理由.
已知拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0).
(1)求拋物線C1的對(duì)稱軸.
(2)無論a為何值,拋物線C1都經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn),求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)將拋物線C1沿(2)中兩個(gè)定點(diǎn)所在直線翻折,得到拋物線C2,當(dāng)C2的頂點(diǎn)到x軸的距離為1時(shí),求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式.
已知拋物線C1:y=x2-2x-3的頂點(diǎn)為M,與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)求拋物線C1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式.
(3)P是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C3,若拋物線C3的頂點(diǎn)為N,與x軸交于C,D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),當(dāng)以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
6.已知拋物線C:y=-x2+bx+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)B,連接AB,且AB=5.
(1)求b的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)將拋物線C進(jìn)行平移后所得到的拋物線記為C',記點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B',若以A,B,A',B'四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)求出由拋物線C平移到拋物線C'的平移方式.
7.二次函數(shù)L:y=ax2+bx+c與x軸交于A(-6,0),B(-2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,6)連接AC,BC.
(1)求△ABC的面積.
(2)若拋物線L'與x軸交于E,F兩點(diǎn),點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)D,若△ABC與△DEF全等,且EF與AB為對(duì)應(yīng)邊,拋物線L與拋物線L'不重合.求出經(jīng)過D,E,F三點(diǎn)所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
8.已知拋物線L:y=ax2+bx+6的頂點(diǎn)為M,與x軸交于點(diǎn)A(1,0),B(3,0).
(1)求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)N是x軸上一點(diǎn),記拋物線L關(guān)于點(diǎn)N中心對(duì)稱后的拋物線為L',記拋物線L'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M',點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',當(dāng)線段AA'=6時(shí),求出拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式.
　　
　　關(guān)于任意一條直線(或者任意一點(diǎn))對(duì)稱后拋物線的操作步驟: ①將已知二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,并確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k); ②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,用已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸表達(dá)式表示出對(duì)稱后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo). 關(guān)于直線對(duì)稱:假設(shè)原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為直線x=m或直線y=n,對(duì)稱后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h',k'),則有公式=m,=n; 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:假設(shè)原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱中心點(diǎn)為(m,n),對(duì)稱后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h',k'),則有公式=m,=n. ③求出“步驟②”對(duì)稱拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)后,利用頂點(diǎn)式求相應(yīng)表達(dá)式即可.
注意:二次函數(shù)圖象關(guān)于豎直直線對(duì)稱前后的系數(shù)a不變,關(guān)于水平直線對(duì)稱后的系數(shù)a互為相反數(shù).
參考答案
真題精粹·重變式
1.解析:設(shè)拋物線y=a(x+2)(x-4).
∵拋物線過(0,-4),將其代入所設(shè)表達(dá)式得-4=-8a,解得a=,
∴y=(x+2)(x-4)=x2-x-4.
2.解析:∵點(diǎn)A(-5,0)、C(0,5)在拋物線y=x2+bx+c上,
∴解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+6x+5,
令y=0,解得x=-1或x=-5,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-1,0).
3.D
4.D　解析:∵拋物線y=mx2+2x-n與y=-6x2-2x+m-n關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴y=-mx2-2x+n與y=-6x2-2x+m-n表達(dá)式相同,
∴-m=-6,n=m-n,解得m=6,n=3.故選D.
5.B　解析:∵拋物線L1:y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2,
∴拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).
∵L1向左平移1個(gè)單位長度,得到拋物線L2,
∴拋物線L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).
∵拋物線L2與拋物線L3關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴拋物線L3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).故選B.
核心突破·拓思維
例1　C　解析:因?yàn)閷佄锞€y=x2沿直線y=x斜向上平移個(gè)單位長度,可以看作將拋物線y=x2先向右平移1個(gè)單位長度、再向上平移1個(gè)單位長度,故最后得到平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)2+1.
例2　C　解析:由題意可知y1=(x+1)(x+7)=(x+4)2-9,對(duì)稱軸為直線x=-4,二次函數(shù)y2=(x-7)2-9,對(duì)稱軸為直線x=7.
∵-4-7=-11,∴將二次函數(shù)y2的圖象向左平移11個(gè)單位長度得到二次函數(shù)y1的圖象.
變式設(shè)問　1.D　2.C
例3　C　解析:∵二次函數(shù)y=(x-1)2+(x-3)2與y=(x+a)2+(x+b)2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴y=(x+a)2+(x+b)2的表達(dá)式為y=(-x-1)2+(-x-3)2=(x+1)2+(x+3)2,
∴a=1,b=3,
∴(a+1)2+(1+b)2=20.
例4　D　解析:∵一條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+6x+m,
∴這條拋物線的頂點(diǎn)為(-3,m-9),
∴關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的頂點(diǎn)為(-3,9-m).
∵它們的頂點(diǎn)相距10個(gè)單位長度.
∴|m-9-(9-m)|=10,即2m-18=±10,
當(dāng)2m-18=10時(shí),m=14;
當(dāng)2m-18=-10時(shí),m=4.
綜上,m的值是4或14.
例5　A　解析:∵二次函數(shù)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).
又∵拋物線y=x2-4x+3繞點(diǎn)(-1,0)旋轉(zhuǎn)180°,
∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,1),
∴所得到的圖象的表達(dá)式為y=-(x+4)2+1=-x2-8x-15,
∴c的值為-15.
變式設(shè)問　3.B　4.D　5.B
例6　解析:(1)根據(jù)題意,得
解得
∴y=-x2+2x+3.
(2)∵x=-=1,
∴y=-12+2×1+3=4,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4).
(3)在拋物線L'上存在符合要求的點(diǎn)D.
如圖所示.
平移方式如下:
①當(dāng)平移后拋物線經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D1時(shí),由平移法則可知線段AB平移到線段CD1,而AB與CD1均在拋物線的同一位置,故線段間的平移即為拋物線的平移,故將拋物線L先向左平移3個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度,可得到 ACD1B.
②同理:將拋物線L先向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度,可得到 BCD2A.
③當(dāng)滿足 ACBD3時(shí),點(diǎn)C與點(diǎn)D3均不在原拋物線對(duì)應(yīng)的位置處,因此設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D3的拋物線為y=-x2+b'x+3,通過AC到BD3的平移法則可知點(diǎn)D3的坐標(biāo)為(2,-3),將其代入y=-x2+b'x+3中得b'=-1,故經(jīng)過C,D3兩點(diǎn)的拋物線表示為y=-x2-x+3=-x+2+,即經(jīng)過C,D3的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為-,,而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),故將拋物線L先向左平移個(gè)單位長度,再向下平移個(gè)單位長度,可得到 ACBD3.
例7　解析:(1)根據(jù)題意,對(duì)稱軸為直線x=-=2.
(2)∵拋物線C1:y=ax2-4ax-5=a(x2-4x)-5經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn),
∴x2-4x=0,
∴x1=0,x2=4,
∴拋物線過定點(diǎn)A(0,-5),B(4,-5).
(3)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M,且根據(jù)題意可知M到x軸的距離為1.
如圖所示.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M1,A,B的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a1(x-2)2-1,
將點(diǎn)A代入,得a1=-1,
∴y1=-(x-2)2-1=-x2+4x-5.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M2,A,B的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=+1,
將點(diǎn)A代入,得a2=-,
∴y2=-(x-2)2+1=-x2+6x-5,
∴拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+6x-5或y=-x2+4x-5.
例8　解析:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-4),
令y=0可得x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0).
(2)拋物線C1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2的形狀與拋物線C1相同,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)且開口向下,則拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.
(3)∵將拋物線C1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C3,
∴拋物線C3的頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是4.
∵P是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴頂點(diǎn)N的橫坐標(biāo)小于0,
∴以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),分∠MCN=90°和∠MNC=90°兩種情況討論:
①如圖,當(dāng)∠MCN=90°時(shí),設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,4)(m<0),
過點(diǎn)N作NE⊥x軸,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0),
則NM2=64+(m-1)2,CN2=20,CM2=(m-3)2+16.
由NM2=CN2+CM2得64+(m-1)2=20+(m-3)2+16,
解得m=-5,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5,4).
∵點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).
②當(dāng)∠MNC=90°時(shí),
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,4)(n<0),
同理有NM2=64+(n-1)2,CN2=20,CM2=(n-3)2+16.
由CM2=CN2+NM2得(n-3)2+16=20+64+(n-1)2,
解得n=-15,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-15,4).
∵點(diǎn)N,M關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-7,0).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)或(-7,0).
變式設(shè)問　6.解析:(1)根據(jù)拋物線C的函數(shù)表達(dá)式可知OA=3,而AB=5,
∴OB===4,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線C的函數(shù)表達(dá)式中,有0=-×42+4b+3,
解得b=,
∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x+3=-x-2+,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為,.
(2)當(dāng)平移后的拋物線C'上兩點(diǎn)為A',B'時(shí),
如圖,過點(diǎn)A'作A'C⊥y軸與點(diǎn)C.
∵四邊形ABB'A'為正方形,故∠A'AB=90°,
∴∠A'AC+∠BAO=90°.
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠A'AC=∠ABO,
∴AC=AA'·cos∠A'AC=AA'·cos∠ABO=5×=4,
A'C=AA'·sin∠A'AC=AA'·sin∠ABO=5×=3,
∴點(diǎn)A平移到點(diǎn)A'的方式為先向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移4個(gè)單位長度,
∴拋物線C平移到拋物線C'的方式為先向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移4個(gè)單位長度.
同理,點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″時(shí),有A″D=3,AD=4,
∴拋物線C平移到拋物線C'的方式為先向左平移3個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度.
7.解析:(1)根據(jù)題意可知AB=xB-xA=-2-(-6)=4,h=|yC|=6,
S△ABC=AB·h=×4×6=12.
(2)△ABC與△DEF全等,且AB=EF.
如圖,當(dāng)AC=ED,BC=FD時(shí),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(0,-6),
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為y=a1(x+2)(x+6),將(0,-6)代入其中解得a1=-,
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x+2)(x+6)=-x2-4x-6.
當(dāng)AC=F'D,BC=E'D時(shí),點(diǎn)E'的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)F'的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為D(0,6)或D'(0,-6),
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為y=a2(x-2)·(x-6),
當(dāng)拋物線L'過(0,6)時(shí),解得a2=,
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-2)(x-6)=x2-4x+6.
當(dāng)拋物線L'過(0,-6)時(shí),解得a2=-,
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-2)(x-6)=-x2+4x-6.
綜上所述,拋物線L'有三條,函數(shù)表達(dá)式分別為y=-x2-4x-6,y=x2-4x+6和y=-x2+4x-6.
8.解析:(1)將點(diǎn)A(1,0),B(3,0)代入拋物線表達(dá)式中得
解得a=2,b=-8,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=2x2-8x+6.
又∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-2).
(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t,0),根據(jù)題意可知NA=NA'=|t-1|,點(diǎn)M'的縱坐標(biāo)為2.
由拋物線L與拋物線L'的對(duì)稱關(guān)系可知AA'=2NA=2|t-1|=6,解得t1=-2,t2=4,
∴存在兩個(gè)點(diǎn)N,其坐標(biāo)分別為(-2,0)和(4,0).
如圖1,當(dāng)拋物線L關(guān)于(-2,0)對(duì)稱時(shí),頂點(diǎn)M(2,-2)關(guān)于(-2,0)對(duì)稱,則點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(-6,2).
又∵拋物線L'的二次項(xiàng)系數(shù)與拋物線L的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=-2(x+6)2+2.
如圖2,當(dāng)拋物線L關(guān)于(4,0)對(duì)稱時(shí),頂點(diǎn)M(2,-2)關(guān)于(4,0)對(duì)稱,則點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(6,2).
又∵拋物線L'的二次項(xiàng)系數(shù)與拋物線L的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),
∴拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為y=-2(x-6)2+2.
綜上所述,拋物線L'有兩條,其函數(shù)表達(dá)式分別為y=-2(x+6)2+2和y=-2(x-6)2+2.

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