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第4節(jié)　反比例函數(shù)
(6年6考,3分)
　　從近6年陜西中考的考試內(nèi)容來看,反比例函數(shù)的考查均出現(xiàn)在填空題.考查形式包括:①已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),利用反比例函數(shù)k的幾何意義求含有點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)式的值;②已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況,利用一元二次方程根的判別式或利用線段間的數(shù)量關(guān)系求表達(dá)式.
【回歸教材·過基礎(chǔ)】
【知識(shí)體系】
【知識(shí)清單】
知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的概念　輪考
反比例函數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)　常考
反比例函數(shù) y=(k為常數(shù),且k≠0)
k的符號(hào) k>0 k<0
圖象
性質(zhì) 象限 第① 象限(x,y同號(hào)) 第② 象限(x,y異號(hào))
增減性 在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增 大而③ 在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增 大而④
漸近趨勢(shì) 圖象無限接近坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸⑤ (x≠0,y≠0)
對(duì)稱性 中心對(duì)稱圖形:關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 軸對(duì)稱圖形:關(guān)于直線y=x,y=-x成軸對(duì)稱
知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的解析式　常考
反比例函數(shù)的解析式
【真題精粹·重變式】
考向1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.(2021·陜西12題3分)若A(1,y1),B(3,y2)是反比例函數(shù)y=m<圖象上的兩點(diǎn),則y1,y2的大小關(guān)系是y1 y2.(填“>”“=”或“<”)
2.(2019·陜西13題3分)如圖,D是矩形AOBC的對(duì)稱中心,A(0,4),B(6,0),若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
3.(2024·陜西12題3分)已知點(diǎn)A(-2,y1)和點(diǎn)B(m,y2)均在反比例函數(shù)y=-的圖象上.若0”“=”或“<”)
4.【原創(chuàng)好題】如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象上,AB∥x軸與y軸交于點(diǎn)C,且BC=2AC,設(shè)點(diǎn)Ba,,則k的值為 .
考向2反比例函數(shù)表達(dá)式的確定
5.(2023·陜西12題3分)如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中,點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)C,F均在x軸的正半軸上,點(diǎn)D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點(diǎn)B,E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是 .
6.若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m,m)和B(2m,-1),則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為 .
考向3反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
7.(2020·陜西13題3分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分別在三個(gè)不同的象限.若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過其中兩點(diǎn),則m的值為 .
8.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(m+2,n),(m,-4)及(8,-n),則m+n= .
【核心突破·拓思維】
題型1反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征
已知A(m+3,2),B3,是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn),則m= .
若點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函數(shù)y=-的圖象上,且y1>0>y2,則x1,x2,0的大小關(guān)系為 .
1.已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,m),B(m+3,1),則k的值等于 .
2.點(diǎn)(a,y1),(a+2,y2)都在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,若y1>y2,則a的取值范圍是 .
　　若點(diǎn)M(x0,y0)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則y0=,即x0y0=k.
當(dāng)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)在反比例函數(shù)y=的圖象上時(shí),根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征得x1y1=x2y2=x3y3=…=xnyn=k.
題型2反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性
如圖,A,B是雙曲線y=上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),AC∥y軸,BD∥y軸,則四邊形ACBD的面積為 .
3.若直線y=kx(k>0)與雙曲線y=的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),則2x1y2-5x2y1的值為 .
　　若正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則有x1=-x2,y1=-y2,即兩個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).
題型3反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題
若點(diǎn)(a,b)是一次函數(shù)y=-x+6的圖象與反比例函數(shù)y=圖象的交點(diǎn),則+的值為 .
如圖,一次函數(shù)y=-x+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象相交于點(diǎn)P,則關(guān)于x的方程-x+b=的解是 .
一次函數(shù)y=kx+k-1(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .
4.設(shè)函數(shù)y=的圖象與y=x-1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則-的值為 .
5.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx-b的圖象交于點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2,根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程=kx-b的解為 .
6.若雙曲線y=與直線y=x無交點(diǎn),則k的取值范圍是 .
　　(1)判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況:
①聯(lián)立反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=mx+n的方程,消去y,整理得一元二次方程mx2+nx-k=0;
②利用一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac進(jìn)行判斷.
若Δ>0,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn);
　　若Δ=0,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn);
若Δ<0,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象無交點(diǎn).
(2)若反比例函數(shù)y=的圖象和一次函數(shù)y=mx+n圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則k=ab,ma+n=b.
題型4借助反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象解決不等式問題
如圖,一次函數(shù)y=x-2的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A(3,1)、點(diǎn)B,則不等式7.如圖,一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)y1>y2時(shí),-13,則一次函數(shù)的表達(dá)式為 .
　　在判斷分式不等式時(shí),只需對(duì)比相應(yīng)的反比例函數(shù)圖象以及直線位置情況即可,其具體范圍的分界點(diǎn)即兩個(gè)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).
題型5反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象共存問題
函數(shù)y=kx-1與y=(k≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是 ( )
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
8.已知ab<0,一次函數(shù)y=ax-b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
題型6反比例函數(shù)k值幾何意義的運(yùn)用
如圖,直線y=mx與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作AM⊥x軸,垂足為M,連接BM,若S△ABM=4,則k= .
如圖,過y軸正半軸上任意一點(diǎn)P,作x軸的平行線,分別與反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象和y=(x>0)的圖象交于A點(diǎn)和B點(diǎn),C為x軸上任意一點(diǎn),連接AC,BC,若S△ABC=3,則k= .
如圖,矩形OABC被三條直線分割成六個(gè)小矩形,D,E是CO邊上的三等分點(diǎn),反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象剛好經(jīng)過小矩形的頂點(diǎn)F,G,若圖中的陰影矩形面積S1+S2=5,則反比例系數(shù)k的值為 .
9.如圖,已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,四邊形ABCD是長方形,則長方形ABCD的面積是 .
10.(2024·鐵一中模擬)如圖, OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B,C在第一象限,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,y=(k≠0,x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B.若OC=AC,則k= .
　　(1)P是反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上任意一點(diǎn),則=k.
　　(2)P為反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上任意一點(diǎn),PE⊥x軸,則S△POE=.
　　(3)已知正比例函數(shù)y=mx(m>0)與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),AC⊥x軸,則S△ABC=k.
　　(4)已知反比例函數(shù)y=(k>0)與一次函數(shù)y=mx+n的圖象交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則S△AOB=|(y1+y2)(x2-x1)|.
　　(5)反比例函數(shù)y1=與y2=的分支在同一平面直角坐標(biāo)系中,A為y1=的圖象上一點(diǎn),B為y2=的圖象上一點(diǎn),且AB∥x軸,點(diǎn)C為x軸上任意一點(diǎn),則S△ABC=.
　　(6)已知反比例函數(shù)y1=的圖象與y2=的圖象均在第一象限中,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y2的圖象上,且AB∥x軸,C為x軸上任意一點(diǎn),則S△ABC=.
　　(7)已知反比例函數(shù)y1=與y2=的圖象如圖所示,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y2的圖象上.若OA⊥OB,則=.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
知識(shí)清單
①一、三　②二、四　③減小　④增大　⑤相交　⑥|k|　⑦2|k|
真題精粹·重變式
1.<　2.,4　3.<　4.3　5.y=　6.y=　7.-1　8.-15
核心突破·拓思維
例1　-6　解析:∵A(m+3,2),B3,是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn),∴2(m+3)=3×,∴m=-6.
例2　x1<0∵y1>0>y2,∴x1<0變式設(shè)問　1.6　2.-2例3　2　解析:連接AB(圖略).
∵A,B是函數(shù)y=的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn),且AC∥y軸,BD∥y軸,
∴S△AOC=S△BOD=.
假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-x,-y),
則OC=OD=x,
∴S△AOD=S△AOC=,S△BOC=S△BOD=,
∴S四邊形ACBD=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=×4=2.
變式設(shè)問　3.6
例4　2　解析:∵點(diǎn)(a,b)是一次函數(shù)y=-x+6的圖象與反比例函數(shù)y=圖象的交點(diǎn),
∴b=-a+6,b=,
即3b+2a=18,ab=9,
∴+===2.
例5　x1=1,x2=2　解析:∵y=-x+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象相交于點(diǎn)P(1,2),
∴把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,
得-1+b=2,k=1×2=2,
解得b=3,k=2.
關(guān)于x的方程-x+b=,即-x+3=,
解得x1=1,x2=2.
故答案為x1=1,x2=2.
例6　1或2　解析:由
解得kx2+(k-1)x-1=0,
∴Δ=(k-1)2+4k=k2-2k+1+4k=(k+1)2≥0,
∴交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.
變式設(shè)問　4.-　5.x1=-2,x2=4　6.k>2
例7　-1變式設(shè)問　7.y=x-2
例8　B　解析:A.由一次函數(shù)的圖象可知直線與y軸應(yīng)該交于負(fù)半軸,故A錯(cuò)誤;
B.圖象情況符合題意,故B正確;
C.由反比例函數(shù)的圖象可知,k<0,由一次函數(shù)的圖象可知k>0,兩者矛盾,故C錯(cuò)誤;
D.由一次函數(shù)的圖象可知直線與y軸應(yīng)該交于負(fù)半軸,故D錯(cuò)誤,故選B.
變式設(shè)問　8.A
例9　-4　解析:∵直線y=mx與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,
∴S△OAM=S△OBM,而S△ABM=4,
∴S△OAM=2,
∴|k|=2.
∵反比例函數(shù)圖象在第二、四象限,
∴k<0,∴k=-4.
例10　-4　解析:如圖,連接OA,OB.
根據(jù)“同底等高”可知S△AOB=S△ABC=S△AOP+S△BOP=3.
再由反比例函數(shù)k值幾何意義可知S△AOP=,S△BOP=1,∴+1=3,得|k|=4.
又∵反比例函數(shù)y=的圖象在第二象限,
∴k<0,故k=-4.
例11　10　解析:∵D、E是CO邊上的三等分點(diǎn),
∴S矩形OAGD=2S1+2S2=2×5=10,
∴xG·yG=10.
∵反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象剛好經(jīng)過小矩形的頂點(diǎn)F,G,
∴k=xG·yG=S矩形OAGD=10.
故答案為10.
變式設(shè)問　9.4
10.3　解析:由題意可知,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,.
如圖,過點(diǎn)C作CH⊥OA于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G.
∵四邊形OABC是平行四邊形,OC=AC,
∴OH=AH,CG=BG,四邊形HAGC是矩形,
∴OH=CG=BG=a,即點(diǎn)B3a,.
∵y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,
∴k=3a·=3.

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