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第5節　二次函數的圖象與性質
(6年6考,11~21分)
　　從近6年陜西中考的考試內容來看,二次函數的圖象與性質考查內容包含:①開口方向;②對稱軸;③特殊點的坐標;④函數的增減性;⑤圖象與x軸交點個數及位置的判斷;⑥圖象上的點坐標特征;⑦判斷二次函數圖象的平移方法;⑧求二次函數圖象的平移距離.可以分為根據二次函數表達式判斷函數圖象與性質、根據二次函數圖象判斷系數相關結論、二次函數圖象的變換、二次函數的綜合應用等形式考查.
【回歸教材·過基礎】
【知識體系】
【知識清單】
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質　常考
定義 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
a a>0 a<0
圖象
性質 對稱軸 1.對稱軸為直線① 2.利用x=求解(其中x1,x2為關于對稱軸對稱的兩點的橫坐標)
頂點坐標 1.頂點坐標:② 2.將一般式配方為頂點式y=a(x-h)2+k,則頂點坐標為③
增減性 1.在對稱軸左側,即當x<-時,y隨x的增大而④ 2.在對稱軸右側,即當x>-時,y隨x的增大而⑤ 1.在對稱軸左側,即當x<-時,y隨x的增大而⑥ 2.在對稱軸右側,即當x>-時,y隨x的增大而⑦
最值 當x=-時,y取最小值,最小值為 當x=-時,y取最大值,最大值為
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與a,b,c的關系　輪考
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)
的圖象與a,b,c的關系
二次函數與一元二次方程的關系　輪考
二次函數與一元二次方程的關系
【真題精粹·重變式】
考向1二次函數的系數、圖象與性質
1.(2023·陜西8題3分)在平面直角坐標系中,二次函數y=x2+mx+m2-m(m為常數)的圖象經過點(0,6),其對稱軸在y軸左側,則該二次函數有 ( )
A.最大值5 B.最大值
C.最小值5 D.最小值
2.(2022·陜西8題3分)已知二次函數y=x2-2x-3的自變量x1,x2,x3對應的函數值分別為y1,y2,y3.當-13時,y1,y2,y3三者之間的大小關系是 ( )
A.y1C.y33.(2018·陜西10題3分)若對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,則這條拋物線的頂點一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·陜西8題3分)已知一個二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數y的幾組對應值如下表所示:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是 ( )
A.圖象的開口向上
B.當x>0時,y的值隨x值的增大而減小
C.圖象經過第二、三、四象限
D.圖象的對稱軸是直線x=1
5.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為(5,0),拋物線的對稱軸為直線x=2,與y軸的交點在y軸的負半軸,則下列結論正確的是 ( ) A.拋物線開口向下 B.4a-b=0 C.4a-2b+c<0 D.點(x1,y1)、點(x2,y2)在拋物線上,當x1y2>0
考向2二次函數圖象分析
6.已知一次函數y=ax+b的圖象如圖所示,那么二次函數y=ax2+bx+1的圖象大致為 ( )
　　　
A　　　　B　　　　C　　　　D
【核心突破·拓思維】
題型1根據系數判斷二次函數的圖象
在同一平面直角坐標系中,一次函數y=ax-b的圖象和二次函數y=-ax2-b的圖象大致是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
1.若a,b為非零實數,則函數y=ax+b與y=ax2+bx在同一平面直角坐標系中的圖象大致是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
題型2利用二次函數圖象的對稱性判斷點坐標的大小關系
已知二次函數y=ax2+bx-2a的圖象過點A(1,n),B(3,n),且當x=1時,y>0.若點M(-2,y1),N(-1,y2),P(7,y3)也在該二次函數的圖象上,則下列結論正確的是 ( )
A.y1C.y32.已知A(-6,y1),B(2,y2)兩點均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,C(x0,y0)是該拋物線的頂點,若y0≥y1>y2,則x0的取值范圍是 ( )
A.x0<-6 B.x0<-2
C.-6　　(1)當拋物線開口向上時,拋物線上的點到對稱軸的距離越大,則該點的縱坐標越大;
反之,拋物線開口向下時,拋物線上的點到對稱軸距離越大,則該點的縱坐標越小.
用數學語言表示(注:直線y=x0為拋物線對稱軸):
　　當a>0時,|xA-x0|>|xB-x0|時,yA>yB;
當a<0時,|xA-x0|>|xB-x0|時,yA(2)若點(x1,y1),(x2,y2)在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,當|x1-x0|=|x2-x0|(x=x0為拋物線對稱軸的表達式),則有y1=y2.
題型3運用二次函數圖象對稱性解決幾何問題
二次函數y=ax2-4ax+2的圖象與y軸交于點A,且過點B(3,6).若點B關于二次函數對稱軸的對稱點為點C,則tan∠CBA的值是 ( )
A. B. C.2 D.
3.如圖,拋物線y=ax2+bx+與y軸交于點A,與x軸交于點B,點C,連接AB,以AB為邊向右作平行四邊形ABDE,點E落在拋物線上,點D落在x軸上,若拋物線的對稱軸恰好經過點D,且∠ABD=60°,則拋物線的函數表達式為 ( )
A.y=-x2+x+
B.y=-x2+x+
C.y=-x2-2x+
D.y=-x2-x+
題型4二次函數與一元二次方程的關系
已知m>0,關于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解為x1,x2(x1A.x1<-1<2C.-1題型5二次函數圖象與系數a,b,c之間的關系
如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的一個交點在-1,-2之間,對稱軸為直線x=1,給出以下結論:①b2-4ac>0;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤a+b+c<0.其中結論正確的有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
　　(1)a決定拋物線的開口方向以及開口幅度大小.
(2)a,b共同決定拋物線的對稱軸位置,當對稱軸在y軸左側,a,b符號相同;當對稱軸在y軸右側,a,b符號相反.即“左同右異”.
(3)c決定拋物線與y軸的交點位置.
(4)賦值法:當結論中出現a,b,c與0的關系判斷時,并且在所給不等式中a的系數是b系數的平方,且c的系數為1時,可以令x=±1,±2,±3,…,看對應的y值正負即可.
(5)當結論中出現a,c或者b,c與0的關系判斷時,a,b兩個字母缺少誰,可先借助對稱軸直線x=-進行a,b代換,利用a表示b,或者是b表示a進行字母“消元”,再借助“賦值法”分析判斷即可.
參考答案
回歸教材·過基礎
知識清單
①x=-　②-,　③(h,k)　④減小　⑤增大　⑥增大　⑦減小　⑧向上　⑨向下　⑩越小　越大　正半軸　負半軸　>　=　<
真題精粹·重變式
1.D　解析:由題意可得6=m2-m,
解得m1=3,m2=-2,
∵二次函數y=x2+mx+m2-m,圖象的對稱軸在y軸左側,
∴m>0,∴m=3,
∴y=x2+3x+6,
∴二次函數有最小值,最小值為==.
故選D.
2.D　3.C　4.D
5.D　解析:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為(5,0),拋物線的對稱軸為直線x=2,
∴拋物線與x軸的另一個交點為(-1,0),-=2,
整理得4a+b=0,故B錯誤.
∵與y軸的交點在y軸的負半軸,
可畫出函數的大致圖象,如圖所示,
∴拋物線開口向上,故A錯誤.
y=a(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c>0,故C錯誤.
∵點(x1,y1)、點(x2,y2)、點(-1,0)在拋物線上,當x1線對稱軸的左側,且拋物線開口向上,
∴y隨著x的增大而減小,
∴y1>y2>0.故選D.
6.B
核心突破·拓思維
例1　A　解析:本次采用矛盾分析法——假設a,b的正負性,從圖中找出矛盾進行分析.
A.由一次函數y=ax-b的圖象可得a>0,-b>0,此時二次函數y=-ax2-b的圖象應該開口向下,頂點的縱坐標-b>0,故A正確;
B.由一次函數y=ax-b的圖象可得a<0,-b>0,此時二次函數y=-ax2-b的圖象應該開口向上,頂點的縱坐標-b>0,故B錯誤;
C.由一次函數y=ax-b的圖象可得a<0,-b>0,此時二次函數y=-ax2-b的圖象應該開口向上,頂點的縱坐標-b>0,故C錯誤;
D.由一次函數y=ax-b的圖象可得a>0,-b>0,此時二次函數y=-ax2-b的圖象應該開口向下,頂點的縱坐標-b>0,故D錯誤,故選A.
變式設問　1.A
例2　C　解析:由點A(1,n),B(3,n)可知其對稱軸為直線x=2.
∵當x=1時,y>0,∴將x=1代入二次函數中得a+b-2a>0,得b>a.
又∵-=2,得b=-4a,∴-4a>a,得a<0.
由M(-2,y1),N(-1,y2),P(7,y3)可知,
點M到對稱軸的距離為2-(-2)=4,
點N到對稱軸的距離為2-(-1)=3,
點P到對稱軸的距離為7-2=5,
而a<0,根據拋物線上的點到對稱軸距離越大,則對應點的縱坐標越小可知y3變式設問　2.B
例3　B　解析:將點B(3,6)代入到二次函數y=ax2-4ax+2中,得6=9a-12a+2,解得a=-,
即y=-x2+x+2=-(x-2)2+.
其草圖如圖所示:
延長BC與y軸交于點D,故BD=3,DA=yD-yA=6-2=4,
∴tan∠CBA==.
變式設問　3.B
例4　A　解析:
關于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解為x1,x2,可以看作拋物線y=(x+1)(x-2)與直線y=m的交點的橫坐標.
∵二次函數y=(x+1)(x-2)與x軸交點坐標為(-1,0),(2,0),如圖所示,
當m>0時,此時x1<-1或x2>2,
∴結合圖象可得x1<-1<2例5　C　解析:①∵拋物線與x軸有兩個交點,∴b2-4ac>0.②∵拋物線開口向上,∴a>0.
∵對稱軸在y軸的右側,∴b<0.
∵拋物線與y軸交于負半軸,
∴c<0,∴abc>0.
③∵-=1,∴2a+b=0.
④∵當x=-2時,y>0,∴4a-2b+c>0,即8a+c>0.
⑤根據拋物線的對稱性可知,當x=3時,y<0,
∴9a+3b+c<0,
∴a+b+c<0.
綜上所述,①②④正確,故選C.

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