資源簡介

第2節(jié)　正比例函數(shù)與一次函數(shù)
(6年6考,8~11分)
　　 從近6年陜西中考的考試內(nèi)容來看,正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象變換是必考內(nèi)容,難度不大.題型為選擇、填空、解答題.另外,一次函數(shù)與其他函數(shù)圖象或坐標(biāo)軸圍成的圖形面積、實際應(yīng)用等題型中也會考查.
【回歸教材·過基礎(chǔ)】
【知識體系】
【知識清單】
知識點1一次函數(shù)、正比例函數(shù)　常考
一次函數(shù)、正比例函數(shù)
知識點2正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)　常考
正比例函數(shù) y=kx(k≠0)
k的正負(fù) k>0 k<0
圖象(草圖)
經(jīng)過的象限 第一、三象限 第二、四象限
增減性 y隨x的增大而增大 y隨x的增大而減小
圖象特征 正比例函數(shù)圖象是過① 的一條直線,且正比例函數(shù)圖象關(guān)于② 中心對稱
圖象上的點的特征 正比例函數(shù)圖象上除原點外的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比為定值③
知識點3一次函數(shù)y=kx+b的圖象與性質(zhì)　常考
b>0 b<0 b=0
k>0 圖象
性質(zhì) 圖象經(jīng)過第一、二、三象限 圖象經(jīng)過第一、三、四象限 圖象經(jīng)過第一、三象限
y隨x的增大而④
k<0 圖象
性質(zhì) 圖象經(jīng)過第一、二、四象限 圖象經(jīng)過第二、三、四象限 圖象經(jīng)過第二、四象限
y隨x的增大而⑤
圖象關(guān)系 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到,若b>0,則向上平移b個單位長度;若b<0,則向下平移|b|個單位長度
知識點4一次函數(shù)解析式的確定
一次函數(shù)解析式的確定
知識點5一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系　輪考
一次函數(shù)
【真題精粹·重變式】
考向1正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.(2019·陜西4題3分)若正比例函數(shù)y=-2x的圖象經(jīng)過點(a-1,4),則a的值為 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(2021·陜西6題3分)若在平面直角坐標(biāo)系中,將直線y=-2x向上平移3個單位長度,平移后的直線經(jīng)過點(-1,m),則m的值為 ( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
3.(2024·陜西6題3分)一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2,m)和點B(n,-6).若點A與點B關(guān)于原點對稱,則這個正比例函數(shù)的表達(dá)式為 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
4.如圖,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點C,則k的值為 ( )
A.- B.
C.-2 D.2
5.若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過第二、四象限,且過點A(2m,1)和B(2,m),則k的值為 ( )
A.- B.-2 C.-1 D.1
考向2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
6.(2023·陜西5題3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax和y=x+a(a為常數(shù),a<0)
的圖象可能是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
7.若直線y=kx+b(k≠0)經(jīng)過點A(2,-3),且與y軸的交點在x軸上方,則k的取值范圍是 ( )
A.k> B.k>-
C.k<- D.k<
8.一次函數(shù)y=x+1的圖象不經(jīng)過 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.一次函數(shù)y=(k-3)x+2的函數(shù)值y隨x的增大而減小,則k的取值范圍是 ( )
A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3
考向3一次函數(shù)圖象的變換
10.(2019·陜西7題3分)若在平面直角坐標(biāo)系中,將函數(shù)y=3x的圖象向上平移6個單位長度,則平移后的圖象與x軸的交點的坐標(biāo)為 ( )
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(6,0) D.(-6,0)
11.【原創(chuàng)好題】如圖,直線y=kx-2k+3(k為常數(shù),k<0)與x,y軸分別交于點A,B,則+的值是 .
【核心突破】
題型1正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征
若點P(m,n)在正比例函數(shù)y=-x的圖象上,則下列各式正確的是 ( )
A.2m+3n=0 B.2m-3n=0
C.3m+2n=0 D.3m-2n=0
已知點A(x1,y1),點B(x2,y2)都在正比例函數(shù)y=x的圖象上.若x2-x1=3,則y2-y1的值為 ( )
A. B.
C.3 D.6
1.若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(2,-3),則此圖象也必定經(jīng)過點 ( )
A.(-2,3) B.(2,3)
C.(3,-2) D.(-3,-2)
2.已知點A(a,b),B(a+1,b-2)均在正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上,則k的值為 ( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
　　(1)當(dāng)點M(x0,y0)在y=kx的圖象上時,y0=kx0,即=k.
(2)當(dāng)點(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)在y=kx的圖象上時,k===…=.
題型2一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征
若點M(-7,m),N(-8,n)都在函數(shù)y=-x+1的圖象上,則m和n的大小關(guān)系是 .
3.已知點A(x1,a),B(x1+1,b)都在函數(shù)y=-2x+3的圖象上,下列對于a,b的關(guān)系判斷正確的是 ( )
A.a-b=2 B.a-b=3
C.a+b=2 D.a+b=3
　　1.一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征:
若點M(x0,y0)在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上,則y0=kx0+b.
2.一次函數(shù)表達(dá)式系數(shù)“k”與點的坐標(biāo)的關(guān)系:
若點A(x1,y1),B(x2,y2)均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上,則y1=kx1+b①,y2=kx2+b②,由①-②得y1-y2=k(x1-x2),整理得k=或k=.
題型3一次函數(shù)的系數(shù)與所經(jīng)過象限的關(guān)系
若直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限,則直線y=-bx+k不經(jīng)過 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
若一次函數(shù)y=(1+2k)x+k-1的圖象不經(jīng)過第一象限,則k的取值范圍是 ( )
A.k<-
B.-≤k<1且k≠0
C.-D.k≥1
4.已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,那么以下選項正確的是 ( )
A.kb≥0 B.kb<0
C.kb>0 D.kb≤0
5.已知一次函數(shù)y=(m-4)x+2m+1的圖象不經(jīng)過第三象限,則m的取值范圍是 ( )
A.m<4 B.-≤m<4
C.-≤m≤4 D.m≤-
題型4一次函數(shù)圖象的變換
把一次函數(shù)y=2x-3的圖象先關(guān)于x軸對稱,再向左平移2個單位長度,所得直線的函數(shù)表達(dá)式為 ( )
A.y=-2x-1 B.y=2x-7
C.y=2x-10 D.y=-2x+7
若直線l1:y=ax-3與直線l2:y=-2x+b關(guān)于x軸對稱,則l1與l2的交點坐標(biāo)是 ( )
A.(0,-3) B.,0
C.-,0 D.(4,-5)
6.已知一次函數(shù)y1=mx+n的圖象與一次函數(shù)y2=nx-1的圖象關(guān)于y軸對稱,若點A1(2,b)和點A2分別是y1和y2函數(shù)圖象上的一對對應(yīng)點,則點A2的坐標(biāo)是 ( )
A.(-2,1) B.(-2,0)
C.(-2,-1) D.(-2,-2)
7.已知直線l:y=kx+b經(jīng)過點A(-1,a)和點B(1,a-4),若將直線l向上平移2個單位長度后經(jīng)過原點,則直線l的函數(shù)表達(dá)式為 ( )
A.y=2x+2 B.y=2x-2
C.y=-2x+2 D.y=-2x-2
　　1.一次函數(shù)圖象平移法則:
(1)左加右減自變量,上加下減常數(shù)項.
(2)一次函數(shù)在平移過程中,自變量系數(shù)k不發(fā)生變化.
2.求關(guān)于任意一條直線或者任意一點對稱后直線表達(dá)式的步驟:
(1)確定原一次函數(shù)圖象與x軸或y軸的交點.
(2)求出步驟(1)中點的對稱點.
(3)利用(2)中所求對稱點求函數(shù)的表達(dá)式.
注:關(guān)于水平或者豎直直線對稱的一次函數(shù)圖象表達(dá)式中的“k”值互為相反數(shù),關(guān)于任意點對稱(或旋轉(zhuǎn)180°)后的一次函數(shù)圖象表達(dá)式中的“k”值不變.
題型5根據(jù)k,b特征確定一次函數(shù)圖象
若實數(shù)k,b滿足k+b=0,且k　　　　　A　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　D
直線l1:y=kx+b與直線l2:y=bx+k在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致位置是 ( )
　　　　　A　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　D
8.直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限,則直線y=bx-k的圖象可能是 ( )
　　　　　　A　　　　　　B
　　　　　　C　　　　　　D
9.如圖,表示一次函數(shù)y=ax+b與正比例函數(shù)y=abx(a,b是常數(shù),且ab≠0)的圖象可能是 ( )
　　　　　A　　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　　D
　　1.(1)當(dāng)k>0時,一次函數(shù)y=kx+b的圖象從左向右斜向上傾斜;
(2)當(dāng)k<0時,一次函數(shù)y=kx+b的圖象從左向右斜向下傾斜.
2.(1)當(dāng)b>0時,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于正半軸;
(2)當(dāng)b=0時,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過原點,此時為正比例函數(shù)圖象;
(3)當(dāng)b<0時,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于負(fù)半軸.
題型6一次函數(shù)與方程(組)之間的關(guān)系
如圖,這是一次函數(shù)y=ax+b的圖象,則關(guān)于x的方程ax+b=1的解為 ( )
A.x=0 B.x=2
C.x=4 D.x=6
如圖,直線y=x+5和直線y=ax+b相交于點P,根據(jù)圖象可知,關(guān)于x的方程x+5=ax+b的解是 ( )
A.x=20
B.x=25
C.x=20或x=25
D.x=-20
如圖,一次函數(shù)y=x+1與y=kx+b的圖象交于點P,則關(guān)于x,y的方程組的解是 ( )
A.
B.
C.
D.
10.若關(guān)于x的方程-2x+b=0的解為x=2,則直線y=-2x+b一定經(jīng)過點 ( )
A.(2,0) B.(0,3)
C.(4,0) D.(2,5)
11.在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=mx+b(m,b均為常數(shù))的圖象與正比例函數(shù)y=nx(n為常數(shù))的圖象如圖所示,則關(guān)于x的方程mx=nx-b的解為 ( )
A.x=1 B.x=-3
C.x=3 D.x=-1
　
第11題圖　　　　第12題圖
12.如圖,這是函數(shù)y=kx+b與y=mx+n的圖象,則關(guān)于x,y的方程組的解是 ( )
A. B.
C. D.
　　一次函數(shù)圖象與直線(x軸、平行于x軸的直線、其他函數(shù)圖象)的交點橫坐標(biāo)為對應(yīng)方程(組)的根.
題型7一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系
如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象過點(-1,0),則關(guān)于x的不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2 B.x>-1
C.x>0 D.x>1
直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式k1x+bA.-1C.x<-2 D.無法確定
13.如圖,直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的兩交點分別為A(2,0)和B(0,-3),則關(guān)于x的不等式kx+b+3≤0的解集為 ( )
A.x≤0 B.x≥0
C.x≥2 D.x≤2
14.如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(-1,2)和點B(-2,0),正比例函數(shù)y=mx的圖象經(jīng)過點A,則關(guān)于x的不等式組0A.-2B.-1C.x<-1
D.x>-1
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
知識清單
①原點　②原點　③k　④增大　⑤減小
真題精粹·重變式
1.A　2.D　3.A　4.A　5.A　6.D　7.C　8.D　9.D　10.B　11.1
核心突破·拓思維
例1　A　解析:∵點P(m,n)在正比例函數(shù)y=-x的圖象上,
∴n=-m,整理得3n=-2m,移項得2m+3n=0.
例2　B　解析:∵點A(x1,y1),點B(x2,y2)都在正比例函數(shù)y=x的圖象上,
∴y1=x1,y2=x2,
∴x1=2y1,x2=2y2.
∵x2-x1=3,
∴2y2-2y1=3,
解得y2-y1=.
故選B.
變式設(shè)問　1.A　2.B
例3　m∴y隨x的增大而減小.
又∵-7>-8,∴m變式設(shè)問　3.A
例4　B　解析:∵直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限,
∴k<0,b<0,∴-b>0,
∴直線y=-bx+k經(jīng)過第一、三、四象限,不經(jīng)過第二象限.
例5　A　解析:當(dāng)一次函數(shù)y=(1+2k)x+k-1的圖象經(jīng)過第二、四象限時,無解,舍去;
當(dāng)一次函數(shù)y=(1+2k)x+k-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限時,解得k<-.
變式設(shè)問　4.B　5.B
例6　A　解析:y=2x-3的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象的函數(shù)表達(dá)式為-y=2x-3,即y=-2x+3,再向左平移2個單位長度,所得直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2(x+2)+3,即y=-2x-1.
例7　B　解析:由直線l1:y=ax-3可知,直線l1與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-3),
∴點(0,-3)關(guān)于x軸的對稱點(0,3)在直線l2上,
∴b=3,
故直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+3,
令y=0,則x=,
即l1與l2的交點坐標(biāo)為,0.
變式設(shè)問　6.A　7.D
例8　C　解析:因為實數(shù)k,b滿足k+b=0,且k0,所以它的圖象經(jīng)過第一、二、四象限.
例9　C　解析:根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系依次分析選項可知,
對于A,由圖可知,y1=kx+b中,k<0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k>0,k的取值矛盾,故A選項錯誤;
對于B,由圖可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b>0,k>0,b的取值相矛盾,故B選項錯誤;
對于C,由圖可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k>0,k,b的取值相一致,故C選項正確;
對于D,由圖可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k<0,k的取值相矛盾,故D選項錯誤.
變式設(shè)問　8.A　9.D
例10　C　解析:根據(jù)圖象可知,一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(4,1),因此關(guān)于x的方程ax+b=1的解為x=4.
例11　A　解析:∵直線y=x+5和直線y=ax+b相交于點P(20,25),∴x+5=ax+b的解是x=20,
即關(guān)于x的方程x+5=ax+b的解是x=20.
例12　A　解析:∵一次函數(shù)y=x+1與y=kx+b的圖象交于點P(1,2),∴關(guān)于x,y的方程組的解是
變式設(shè)問　10.A　11.C　12.C
例13　C　解析:將(-1,0)代入y=kx+b得-k+b=0,
所以b=k,
則k(x-1)+b>0化為k(x-1)+k>0,
而k>0,
所以x-1+1>0,解得x>0.
例14　A　解析:由圖象可知,直線l1和直線l2的交點坐標(biāo)為(-1,-2),直線l1中y隨x的增大而減小.
∵直線y=k2x過原點,
∴關(guān)于x的不等式k1x+b變式設(shè)問　13.A　14.A

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