資源簡介

第3節　一次函數的實際應用
(6年6考,8~11分)
　　 從近6年陜西中考的考試內容來看,一次函數的圖象及性質、一次函數圖象的變換是必考內容,一次函數圖象的交點、與其他函數圖象或坐標軸圍成的圖形面積、最值問題、實際應用中也會考查.可以分表格型、文字型、圖象型試題形式考查.
【真題精粹·重變式】
考向1表格型
1.經過一年多的精準幫扶,小明家的網絡商店(簡稱網店)將紅棗、小米等優質土特產迅速銷往全國.小明家網店中紅棗和小米這兩種商品的相關信息如表所示:
商品 紅棗 小米
規格 1 kg/袋 2 kg/袋
成本/(元/袋) 40 38
售價/(元/袋) 60 54
根據上表提供的信息,解答下列問題.
(1)已知今年前五個月,小明家網店銷售上表中規格的紅棗和小米共3 000 kg,獲得利潤4.2萬元,求這前五個月小明家網店銷售這種規格的紅棗的袋數.
(2)根據之前的銷售情況,估計今年6月到10月這后五個月,小明家網店還能銷售上表中規格的紅棗和小米共2 000 kg,其中,這種規格的紅棗的銷售量不低于600 kg.假設這后五個月,銷售這種規格的紅棗的質量為x(單位:kg),銷售這種規格的紅棗和小米獲得的總利潤為y(單位:元),求出y與x之間的函數關系式,并求這后五個月,小明家網店銷售這種規格的紅棗和小米至少獲得的總利潤.
2.(2022·陜西22題7分)如圖,這是一個“函數求值機”的示意圖,其中y是x的函數.下面表格中的數據是通過該“函數求值機”得到的幾組x與y的對應值.
輸入x … -6 -4 -2 0 2 …
輸出y … -6 -2 2 6 16 …
根據以上信息,解答下列問題:
(1)當輸入的x值為1時,輸出的y值為 .
(2)求k,b的值.
(3)當輸出的y值為0時,求輸入的x值.
考向2文字型
3.(2023·陜西22題7分)經驗表明,樹在一定的成長階段,其胸徑(樹的主干在地面以上1.3 m處的直徑)越大,樹就越高.通過對某種樹進行測量研究,發現這種樹的樹高y(單位:m)是其胸徑x(單位:m)的一次函數.已知當這種樹的胸徑為0.2 m時,樹高為20 m;當這種樹的胸徑為0.28 m時,樹高為22 m.
(1)求y與x之間的函數表達式.
(2)當這種樹的胸徑為0.3 m時,其樹高是多少
【答題規范及評分標準】
解:(1)設y=kx+b(k≠0),
根據題意,列方程得　,
解得　　　　　　　, 3分
∴y與x之間的函數關系式為　.
4分
(2)當x=0.3時,　.
答:　.
7分
4.(2019·陜西21題7分)根據記錄,在地面的上方11 km以內,每升高1 km,氣溫降低6 ℃;又知在距離地面11 km以上的高空中,氣溫幾乎不變.若地面氣溫為m(單位:℃),設距地面的高度為x(單位:km)處的氣溫為y(單位:℃).
(1)寫出距地面的高度在11 km以內的y與x之間的函數表達式.
(2)上周日,小敏在乘飛機從上海飛回西安途中,某一時刻,她從機艙內屏幕顯示的相關數據得知,飛機外氣溫為-26 ℃時,飛機距離地面的高度為7 km,求當時這架飛機下方地面的氣溫;小敏想,假如飛機當時在距離地面12 km的高空,飛機外的氣溫是多少攝氏度呢 請求出當飛機距離地面12 km時,飛機外的氣溫.
考向3圖象型
5.(2024·陜西22題7分)我國新能源汽車快速健康發展,續航里程不斷提升,王師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市.他駕車從A市一高速公路入口駛入時,該車的剩余電量是80 kW·h,行駛了240 km后,從B市一高速公路出口駛出.已知該車在高速公路上行駛的過程中,剩余電量y(單位:kW·h)與行駛路程x(單位:km)之間的關系如圖所示.
(1)求y與x之間的關系式.
(2)已知這輛車的“滿電量”為100 kW·h,求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時,該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少.
6.(2021·陜西23題7分)在一次機器“貓”抓機器“鼠”的展演測試中,“鼠”先從起點出發,1 min后,“貓”從同一起點出發去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“貓”抓著“鼠”沿原路返回.“鼠”“貓”距起點的距離y(單位:m)與時間x(單位:min)之間的關系如圖所示.
(1)在“貓”追“鼠”的過程中,“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是 m/min.
(2)求AB的函數表達式.
(3)求“貓”從起點出發到返回至起點所用的時間.
7.(2020·陜西21題7分)某農科所為定點幫扶村免費提供一種優質瓜苗及大棚栽培技術.這種瓜苗早期在農科所的溫室中生長,長到大約20 cm時,移至該村的大棚內,沿插桿繼續向上生長.研究表明,60天內,這種瓜苗生長的高度y(單位:cm)與生長時間x(單位:天)之間的關系大致如圖所示.
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)當這種瓜苗長到大約80 cm時,開始開花結果,試求這種瓜苗移至大棚后,繼續生長大約多少天,開始開花結果.
【核心突破·拓思維】
題型1最優方案選擇問題
某中學計劃暑假期間安排2名老師帶領部分學生參加紅色旅游.甲、乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人1 000元.經協商,甲旅行社的優惠方案是老師、學生都按八折收費;乙旅行社的優惠方案是2名老師全額收費,學生都按七五折收費.
(1)設參加這次紅色旅游的老師和學生共有x名,y甲,y乙(單位:元)分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費用,求y甲,y乙關于x的函數表達式.
(2)該校選擇哪家旅行社支付的旅游費用較少
1.暑期將至,某游泳館面向學生推出暑期優惠活動,活動方案如下.
方案一:購買一張學生暑期專享卡,每次游泳費用按六折優惠.
方案二:不購買學生暑期專享卡,每次游泳費用按八折優惠.
設某學生暑期游泳x(單位:次),按照方案一所需費用為y1(單位:元),且y1=k1x+b;按照方案二所需費用為y2(單位:元),且y2=k2x.其函數圖象如圖所示.
(1)求k1和b的值.
(2)八年級學生小華計劃暑期前往該游泳館游泳8次,選擇哪種方案所需費用更少 請說明理由.
題型2根據函數圖象解決實際問題
某洗衣機在洗滌衣服時,經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(單位:升)與時間x(單位:分)之間的關系如折線圖所示.請根據圖象解答下列問題:
(1)洗衣機的進水時間是 分鐘,清洗時洗衣機中的水量是 升.
(2)已知洗衣機的排水速度為每分鐘12升.
①求排水時y與x之間的關系式;
②如果排水時間為3分鐘,排水結束時洗衣機中剩下的水量為 升.
2.某超市二月底以60元/瓶的成本價購進某種洗發露600瓶,并按照80元/瓶的單價銷售,銷售200瓶后正好遇上“三八婦女節”,商場決定當日以成本價銷售,第二日恢復原價后,因庫存量較少,超市又以60元/瓶的成本價再次購進這種洗發露200瓶,當800瓶洗發露全部銷售完后共獲利12 000元.如圖,請你根據銷售利潤y(單位:元)與銷售量x(單位:瓶)之間的函數關系圖象解答下列問題:
(1)圖中m= ,n= .
(2)求BC的函數表達式.
(3)利用(2)中的結論,計算當銷售700瓶洗發露時超市獲得的利潤.
題型3分析表格解決利潤問題
周至獼猴桃,陜西省西安市周至縣特產,中國國家地理標志產品.某水果批發商計劃從果農處采購兩種不同的獼猴桃共20噸,經包裝后運輸至市場進行銷售.已知A,B兩種規格的獼猴桃的進價、售價及包裝費用(A,B兩種規格的獼猴桃裝箱標準為每箱10千克)如表所示:
獼猴桃規格 進價/(元/千克) 售價/(元/千克) 包裝費用/(元/10千克)
A 3.6 8 4
B 4 10 5
根據經驗,運輸費用、人工費用及其他費用總和為60 000元.設該水果批發商計劃購進A種規格的獼猴桃x千克,銷售完A,B兩種規格的獼猴桃所獲得的利潤為y元.
(1)求y與x之間的關系式.
(2)為使銷售完所有的獼猴桃后所獲得的利潤不低于29 000元,該如何采購
3.為開啟鄉村振興發展之門,某村組織村民加工某板栗并進行銷售,根據現有的原材料預計可以制作相同規格的普通和精品兩種板栗共5 000袋,每袋的銷售價格和制作成本如表:
種類 銷售價格/(元/袋) 制作成本/(元/袋)
普通板栗 15 10
精品板栗 25 15
設制作普通板栗x袋,銷售這兩種板栗所獲的總利潤為y元.
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)若這5 000袋板栗的制作成本為61 000元,則此時的銷售總利潤是多少
題型4解決分段函數問題
某商店一種玩具定價為15元,商店為了促銷,于是打出廣告:凡購買6個以上者,超過6個的部分一律打八折.
(1)如果購買金額用y(單位:元)表示,購買數量用x(單位:個)表示,求出y與x之間的函數關系式.
(2)當x=4,x=8時,購買金額分別是多少元
4.綠色騎行是一個能夠有效改善空氣質量、減少溫室氣體排放,尤其是碳排放量的綠色生活方式,越來越受到市民的青睞.周末,小夏、小宇兩人相約同時從某地出發同向騎行,小夏騎行的速度是15 km/h,小宇騎行的路程s(單位:km)與騎行的時間t(單位:h)之間的關系如圖所示.
(1)求s與t之間的函數表達式.
(2)小宇何時追上小夏
題型5方案調配問題與最值問題
A城有肥料400噸,B城有肥料600噸,現要把這些肥料全部運往C,D兩鄉,C鄉需要肥料480噸,D鄉需要肥料520噸,其運往C,D兩鄉的運費如表:
運往C鄉 運往D鄉
A城 20元/噸 18元/噸
B城 16元/噸 12元/噸
設從A城運往C鄉的肥料為x噸,從A城運往兩鄉的總運費為y1元,從B城運往兩鄉的總運費為y2元.
(1)分別求y1,y2與x之間的函數關系式.
(2)若A城的總運費不得超過7 600元,怎樣調運能使兩城總費用的和最少 并求出最小值.
題型6工作分配問題
某藍莓種植生產基地產銷兩旺,采摘的藍莓部分加工銷售,部分直接銷售,且當天都能銷售完,直接銷售是40元/kg,加工銷售是130元/kg(不計損耗).已知基地雇傭20名工人,每名工人只能參與采摘和加工中的一項工作,每人每天可以采摘70 kg或加工35 kg.設安排x名工人采摘藍莓,剩下的工人加工藍莓.
(1)若基地一天的總銷售收入為y元,求y與x之間的函數關系式.
(2)試求如何分配工人,才能使一天的銷售收入最大,并求出最大值.
5.某水果生產基地安排30名工人采摘枇杷或草莓(每名工人只能做其中一項工作),并且每人每天摘0.4噸枇杷或0.3噸草莓,當天的枇杷售價為每噸2 000元,草莓售價為每噸3 000元,設安排其中x名工人采摘枇杷,兩種水果當天全部售出,銷售總額為y元.
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)若要求當天采摘枇杷的數量不少于草莓的數量,求銷售總額的最大值.
一次函數實際應用解題思路
　　(1)最優方案選取問題的解決思路通常采取分類討論的方式: ①分三種情況,即y1y2; ②根據y與x之間的函數關系式確定自變量的取值情況分析即可.
　　(2)圖象問題要注意: ①速度公式的運用,這里的速度也可以涉及效率、變化率等; ②注意圖象的傾斜程度,若圖象越陡峭,則變化率越大; ③斜向上與斜向下的圖象具有“相反”的含義,當圖象為水平直線時,代表因變量不變.
　　(3)解決一次函數最值問題要注意兩點: ①找出與自變量有關的不等關系; ②借助一次函數的增減性與自變量的取值求最值即可.
　　(4)解決調配問題時,為了更好地捋清楚變量間的邏輯關系,可采用列表的方式進行分析: “橫+橫=橫,縱+縱=縱”,即表格中橫向式子之和是需求量;縱向式子之和是供給量.
題型7借助“程序框圖”運算規律解決一次函數應用問題
如圖,這是一個程序運算圖及其對應的函數圖象,根據程序運算圖和函數圖象解答下列問題:
(1)當輸入x的值為-1時,輸出的y的值為 .
(2)當x為非負數時,求一次函數的表達式.
(3)當輸出y的值為-1時,求輸入的x值.
6.如圖,這是一個“函數求值機”,其中y是x的函數.下面表格中是通過該“函數求值機”得到的幾組x與y的對應值.
輸入x … -6 -4 -2 0 2 …
輸出y … -8 -6 -4 0 6 …
根據以上信息,解答下列問題:
(1)當輸入的x值為-1時,輸出的y值為　　　.
(2)求k2,b的值.
(3)當輸出的y值為-時,輸入的x值為　　　.
參考答案
真題精粹·重變式
1.解析:(1)設這前五個月小明家網店銷售這種規格的紅棗m袋,則紅棗共獲得利潤20m元,小米獲得利潤×16元.
由題意得20m+×16=42 000,
解得m=1 500.
答:這前五個月小明家網店銷售這種規格的紅棗1 500袋.
(2)由題意得y=20x+×16=12x+16 000.
∵600≤x<2 000,
∴當x=600時,y取得最小值,最小值為23 200元.
答:y與x之間的函數關系式為y=12x+16 000,這后五個月,小明家網店銷售這種規格的紅棗和小米至少獲得總利潤23 200元.
2.解析:(1)8.
提示:當輸入的x值為1時,輸出的y值為y=8x=8×1=8.
(2)將(-2,2),(0,6)代入y=kx+b,得
解得
(3)令y=0,由y=8x,得0=8x,
∴x=0<1(舍去).
由y=2x+6,得0=2x+6,
∴x=-3<1,
∴當輸出的y值為0時,輸入的x值為-3.
3.(1)　　y=25x+15(x>0)
(2)y=25×0.3+15=22.5　當這種樹的胸徑為0.3 m時,其樹高為22.5 m
4.解析:(1)根據題意得y=m-6x(0≤x≤11).
(2)將x=7,y=-26代入y=m-6x,
得-26=m-42,∴m=16,∴當時地面氣溫為16 ℃.
∵x=12>11,∴y=16-6×11=-50.
答:當飛機距離地面的高度為7 km,當時這架飛機下方地面的氣溫為16 ℃;當飛機距離地面12 km時,飛機外的氣溫為-50 ℃.
5.解析:(1)設y=kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150,50),
得解得
∴y=-x+80(0≤x≤400).
(2)令x=240,則y=32,
×100%=32%.
答:該車的剩余電量占“滿電量”的32%.
6.解析:(1)由圖象知,“鼠”6 min跑了30 m,
∴“鼠”的速度為30÷6=5(m/min),
“貓”5 min跑了30 m,
∴“貓”的速度為30÷5=6(m/min),
∴“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是1 m/min.
故答案為1.
(2)設AB的函數表達式為y=kx+b.
∵圖象經過點A(7,30)和點B(10,18),
把點A和點B的坐標代入函數表達式,
得解得
∴AB的函數表達式為y=-4x+58(7≤x≤10).
(3)令y=0,則-4x+58=0,∴x=14.5.∵“貓”比“鼠”遲一分鐘出發,
∴“貓”從起點出發到返回至起點所用的時間為14.5-1=13.5(min).
答:“貓”從起點出發到返回至起點所用的時間為13.5 min.
7.解析:(1)當0≤x≤15時,設y=kx(k≠0),
則20=15k,解得k=,
∴y=x;
當15則解得
∴y=x-30.
綜上,y=
(2)當y=80時,80=x-30,解得x=33,
33-15=18(天),
∴這種瓜苗移至大棚后,繼續生長大約18天,開始開花結果.
核心突破·拓思維
例1　解析:(1)y甲=0.8×1 000x=800x(x>2),
y乙=2×1 000+0.75×1 000×(x-2)=750x+500(x>2).
(2)①y甲800x<750x+500,
解得x<10.
②y甲=y乙,
800x=750x+500,
解得x=10.
③y甲>y乙,
800x>750x+500,
解得x>10.
答:當老師和學生人數超10人時,選擇乙旅行社支付的旅游費用較少;當老師和學生人數為10人時,兩家旅行社支付的旅游費用相同;當老師和學生人數少于10人時,選擇甲旅行社支付的旅游費用較少.
變式設問　1.解析:(1)根據題意,得解得
∴方案一所需費用y1與x之間的函數關系式為y1=18x+30(x≥0),
∴k1=18,b=30.
(2)∵打折前的每次游泳費用為18÷0.6=30(元),
∴k2=30×0.8=24,
∴y2=24x(x≥0).
當游泳8次時,
選擇方案一所需費用:y1=18×8+30=174(元).
選擇方案二所需費用:y2=24×8=192(元).
∵174<192,∴選擇方案一所需費用更少.
例2　解析:(1)4;40.
提示:依題意得洗衣機的進水時間是4分鐘,清洗時洗衣機中的水量是40升.
(2)①∵洗衣機的排水速度為每分鐘12升,從第15分鐘開始排水,排水量為40升,
∴y=40-12(x-15)=-12x+220(x>15).
②4.
提示:∵排水時間為3分鐘,
∴y=-12×(15+3)+220=4(升).
∴排水結束時洗衣機中剩下的水量為4升.
變式設問　2.解析:(1)4 000;400.
提示:由題意知,
m=(80-60)×200=4 000,
(80-60)×(200+800-n)=12 000,
解得n=400.
(2)由(1)知B(400,4 000),C(800,12 000),
設BC的函數表達式為y=kx+b,把B,C的坐標代入,
得解得
∴BC的函數表達式為y=20x-4 000(400≤x≤800).
(3)當x=700時,y=20×700-4 000=10 000,
∴當銷售700瓶洗發露時超市獲得的利潤為10 000元.例3　解析:(1)設購進A種規格的獼猴桃x千克,則購進B種規格的獼猴桃(20 000-x)千克.
由題意得y=(8-3.6)x+(10-4)(20 000-x)-4×-5×-60 000,
化簡得y=50 000-1.5x,
∴y與x之間的關系式為y=50 000-1.5x(0(2)根據題意得y=50 000-1.5x≥29 000,
即1.5x≤21 000,解得x≤14 000,
14 000千克=14噸.
答:為了利潤不低于29 000元,最多采購A種規格的獼猴桃14噸.
變式設問　3.解析:(1)設制作普通板栗x袋,則精品板栗為(5 000-x)袋,根據題意,
得y=(15-10)x+(25-15)(5 000-x)=-5x+50 000(0≤x≤5 000).
(2)由題意,得10x+15(5 000-x)=61 000,
解得x=2 800,
∴y=-5×2 800+50 000=36 000.
答:此時的銷售總利潤是36 000元.
例4　解析:(1)由題意可得當0當x>6時,y=15×6+(x-6)×15×0.8=12x+18,
由上可得y與x之間的函數關系式為
y=
(2)當x=4時,y=15×4=60.
當x=8時,y=12×8+18=114.
答:當x=4,x=8時,購買金額分別為60元,114元.
變式設問　4.解析:(1)當0≤t≤0.3時,設s=at,
把(0.3,3.6)代入表達式,得0.3a=3.6,
解得a=12,∴s=12t.
當t>0.3時,設s=kt+b,
把(0.3,3.6)和(0.5,7.2)代入表達式,
得解得
∴s=18t-1.8.
∴s與t之間的函數表達式為s=
(2)由(1)可知當0≤t≤0.3時,小宇騎行的速度是12 km/h,而小夏騎行的速度是15 km/h,則小夏在小宇的前面.
當t>0.3時,小宇騎行的速度是18 km/h,而小夏騎行的速度是15 km/h.
設t h后,小宇追上小夏,
則15t=18t-1.8,解得t=0.6.
答:0.6 h后小宇追上小夏.
例5　解析:(1)∵從A城運往C鄉的肥料為x噸,
∴從A城運往D鄉的肥料為(400-x)噸,從B城運往C鄉的肥料為(480-x)噸,從B城運往D鄉的肥料為520-(400-x)=(120+x)噸,
根據題意得y1=20x+18(400-x)=2x+7 200(0≤x≤400),
y2=16(480-x)+12(120+x)=-4x+9 120(0≤x≤400).
(2)依題意得2x+7 200≤7 600,
解得x≤200.
設兩城總費用為W元,
則W=y1+y2=2x+7 200-4x+9 120=-2x+16 320.
∵-2<0,∴W隨x的增大而減小,
∴當x=200時,W取得最小值,最小值為15 920.
400-200=200(噸),480-200=280(噸),120+200=320(噸).
答:從A城運往C鄉的肥料為200噸,從A城運往D鄉的肥料為200噸,從B城運往C鄉的肥料為280噸,從B城運往D鄉的肥料為320噸,此時兩城總費用的和最少,最小值為15 920元.
例6　解析:(1)根據題意得y=[70x-(20-x)×35]×40+(20-x)×35×130=-350x+63 000(0∴y與x之間的函數關系式為y=-350x+63 000(0(2)∵70x≥35(20-x),
∴x≥.
∵x為正整數,且x≤20,∴7≤x≤20.
∵y=-350x+63 000,k=-350<0,
∴y的值隨x的值增大而減小,
∴當x=7時,y取最大值,最大值為-350×7+63 000=60 550.
答:安排7名工人進行采摘,13名工人進行加工,才能使一天的收入最大,最大收入為60 550元.
變式設問　5.解析:(1)x名工人采摘枇杷,那么(30-x)名工人采摘草莓,
采摘的枇杷的數量為0.4x噸,采摘的草莓的數量為0.3(30-x)噸,
根據題意,得y=2 000×0.4x+3 000×0.3(30-x),
整理后,得y=27 000-100x,
∴y與x之間的函數關系式為y=27 000-100x.
(2)根據題意得0.4x≥0.3(30-x),解得x≥.
∵x為正整數,∴x的最小值為13.
∵x越小,y越大.
∴把x=13代入y=27 000-100x,解得y=25 700,
即銷售總額的最大值為25 700元.
答:若要求當天采摘枇杷的數量不少于草莓的數量,則銷售總額的最大值為25 700元.
例7　解析:(1)4.
提示:∵x=-1<0,
∴當輸入x的值為-1時,
y=2×[1-(-1)]=4.
(2)由題意得解得
∴當x為非負數時,一次函數的表達式為y=-x+2.
(3)由題意知,當輸出y的值為-1時,x為非負數,
∴-x+2=-1,
解得x=6,∴輸入的x值為6.
變式設問　6.解析:(1)-3.
提示:根據表格可知,當x=2時,y=6,
∴6=2k1,解得k1=3,
∴y=3x(x≥-1),
∴當x=-1時,y=3×(-1)=-3.
(2)依題意,當x<-1時,y=k2x+b,
由表格可得當x=-6時,y=-8;當x=-2時,y=-4,
∴解得
∴y=x-2(x<-1).
(3)-.
提示:當x≥-1時,-=3x,
解得x=-<-1(舍去).
當x<-1時,-=x-2,解得x=-.

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