資源簡介

專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類
1.函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
2.不等式的恒成立與能成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
（一） 求函數(shù)的最值 1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值． 2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
題型1：求函數(shù)的最值（不含參） 1-1．（2024·全國）函數(shù)的最小值為 . 【答案】1 【分析】由解析式知定義域?yàn)椋懻摗ⅰⅲ⒔Y(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值. 【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增； 又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)， ∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增； ∴ 故答案為：1. 1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù). (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)求在區(qū)間上的最大值； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）首先求解切點(diǎn)和此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后表示出切線方程. （2）對函數(shù)求導(dǎo)，然后通過再求導(dǎo)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，從而分析出導(dǎo)數(shù)在與0的大小關(guān)系，從而求解出函數(shù) 在的單調(diào)性，最后比較的大小，從而求解出函數(shù)的最大值； 【詳解】（1）因?yàn)椋?所以， 則，又， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. （2）令， 則， 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增. 因?yàn)椋?所以，使得. 所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增， 所以函數(shù)可能在或處求得最大值， 又，， 所以. 1-3．（2024·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為 ． 【答案】 【分析】方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出. 【詳解】［方法一］：【通性通法】單調(diào)性法 求導(dǎo)得， 當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)； 當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增． 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，只需，解得． 于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以最大值與最小值之和為． 故答案為：． ［方法二］： 等價轉(zhuǎn)化 由條件知有唯一的正實(shí)根，于是．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，． 只需直線與的圖像有一個交點(diǎn)，故，下同方法一． ［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式 同方法二得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， 要滿足條件只需，下同方法一． ［方法四］：等價轉(zhuǎn)化 由條件知有唯一的正實(shí)根，即方程有唯一的正實(shí)根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內(nèi)有唯一的交點(diǎn)．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖． 設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋谑牵獾茫?下同方法一． 【整體點(diǎn)評】方法一：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法； 方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，從而求出參數(shù)，使問題得解； 方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解； 方法四：將函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解． 1-4．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性求最值即可. 【詳解】因?yàn)椋?所以 . 當(dāng)時，， 所以在單調(diào)遞增； 當(dāng)時，， 所以在單調(diào)遞減； 所以. 故答案為：. 1-5．（2024·全國）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值. 【詳解】， 所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增； 在區(qū)間上，即單調(diào)遞減， 又，，， 所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 故選：D
題型2：求函數(shù)的最值（含參） 2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值； 【答案】答案見解析 【分析】根據(jù)題意，求得，分和，兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值. 【詳解】由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋遥?當(dāng)時，可得，在上單調(diào)遞增，無最值； 當(dāng)時，令，可得，所以在上單調(diào)遞減； 令，可得，所以在單調(diào)遞增， 所以的最小值為，無最大值． 綜上可得： 當(dāng)時，無最值；當(dāng)時，的最小值為，無最大值． 2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)． (1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性； (2)當(dāng)時，求在內(nèi)的最大值； 【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增． (2)0 【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得，由可得，，即可求解； （2）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而，則在內(nèi)單調(diào)遞增，即可求解. 【詳解】（1）當(dāng)時，，，且． 當(dāng)時，，，則， 即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增． （2）， 令，則， 由且，可得，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增， 所以， 又當(dāng)時，， 所以，在內(nèi)單調(diào)遞增， 故． 2-3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中． (1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間； (2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為. (2) 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而確定其單調(diào)區(qū)間； （2）由題意得，即，對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，進(jìn)而求最小值即可. 【詳解】（1）由題設(shè)，則，且， 所以， 當(dāng)時，當(dāng)時， 所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為. （2）由題意， 所以，即， 又，且， 當(dāng)或時，或時， 所以、上遞減，、上遞增， 又極小值，故最小值為. 2-4．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)，，其中. (1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值； (2)若時，求函數(shù)的最小值； (3)若的最小值為，證明：當(dāng)時，. 【答案】(1) (2) (3)證明見解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出，，依題意兩數(shù)相等，即可得到方程，解得即可； （2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值； （3）利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的最小值，從而得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得證. 【詳解】（1）因?yàn)椋?所以，， 所以，， 因?yàn)閮蓷l切線平行，所以，解得 （2）由（1）可知，令，即， 即，即，又，解得， 令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以時，函數(shù)的最小值為. （3）證明：因?yàn)椋?令，則，即， 所以當(dāng)時解得，所以在上單調(diào)遞增， 令，解得，所以在上單調(diào)遞減， 所以在處取得極小值即最小值， 所以， 即的最小值為的解析式為，， 則，令，解得， 所以當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增， 所以在處取得極大值即最大值，即， 所以，即當(dāng)時，總有. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
（二） 根據(jù)最值求參數(shù) 已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應(yīng)用．
題型3：根據(jù)最值求參數(shù) 3-1．（2024高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性即可求解． 【詳解】由題意得，， 當(dāng)時，在上恒成立，此時單調(diào)遞增，不符合題意， 當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取極大值也是最大值， 故， 故選：C． 3-2．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)． (1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】(1)答案見解析 (2) 【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，對分類討論分析導(dǎo)函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)性； （2）由題意，令，利用的單調(diào)性可得，從而在上單調(diào)遞減，即可確定在上的最大值，從而得解. 【詳解】（1）由題意得， 當(dāng)時，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減， 綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減． （2）由題意，， ， 令，， 當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則， 則，則在上單調(diào)遞減， 故在上的最大值為， 所以. 3-3．（2024高三上·河南新鄉(xiāng)·周測）若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】 【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a＜1＜5﹣a2，進(jìn)而求出正確的答案． 【詳解】由題意可得：函數(shù) f（x）＝x3﹣3x， 所以f′（x）＝3x2﹣3． 令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1； 在上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+）上遞增， 因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則其最小值必為f（1）， 1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2， 又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0， 聯(lián)立解得：﹣2≤a＜1． 故答案為[﹣2，1）． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題，屬于中檔題． 3-4．（2024高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【分析】 函數(shù)在區(qū)間上有最小值，即在這個區(qū)間上有極小值，而且極小值是開區(qū)間的最小值，從而列不等式求解即可. 【詳解】 ， 所以在和上，，函數(shù)單調(diào)遞減； 在上，，函數(shù)單調(diào)遞增； 且 當(dāng)時，， 即， 所以在區(qū)間上有最小值，則： 解得. 故答案為： 3-5．（2024·山東·一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，、均可） 【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖形，求出使得的的值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有最小值可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可. 【詳解】因?yàn)椋瑒t. 由可得，由可得或， 所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、， 所以，函數(shù)的極大值為，極小值為， 令，其中，則，解得， 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得， 所以，整數(shù)的取值集合為. 故答案為：（答案不唯一，、均可）. 3-6．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【分析】將函數(shù)在內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)的范圍即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍. 【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?易知， 若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)， 又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根， 則有，不妨令，因此即可； 令，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得， 解得； 經(jīng)檢驗(yàn)在內(nèi)有最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 故答案為： 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的問題，利用零點(diǎn)存在定理即可實(shí)現(xiàn)問題求解. 3-7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】根據(jù)球的體積求出半徑，再判斷出體積最大時為正四棱錐，根據(jù)直角三角形中勾股定理求出正四棱錐底面邊長和高的關(guān)系，表示出正四棱錐的體積，通過導(dǎo)數(shù)求得其最大值. 【詳解】球的體積,球的半徑 要使該四棱錐體積最大，如圖四棱錐，對于底面所在的小圓中，頂點(diǎn)到該小圓面距離最大，也就是高最大，即點(diǎn)位于小圓圓心與球心所在直線與球面的交點(diǎn)（遠(yuǎn)離小圓圓心的那點(diǎn)）；同時要使四棱錐體積最大，底面四邊形面積取最大， （其中為與的夾角） 所以當(dāng)、取最大即小圓的直徑，取最大為1時，即時，底面四邊形面積最大，也就是四邊形為正方形時，其面積最大，因此當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大. 設(shè)，高， 則,在Rt中，,即， 所以正四棱錐的體積 ，故當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以時，函數(shù)取得最大值 故答案為：. 3-8．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是 . 【答案】 【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，得到答案. 【詳解】由題意， ，，在上， 故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，， 故的值是. 故答案為： 3-9．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則 ． 【答案】 【分析】利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再分和討論即可. 【詳解】當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時，，令，解得， 若，即，此時在和上單調(diào)遞減， 注意當(dāng)分別代入分段函數(shù)的解析式得到的值均為， 故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則此時，解得， 但不滿足，故舍去； 若，即，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 則此時，解得，滿足， 綜上所述，. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)求出當(dāng)時，從而得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，然后討論與0的大小關(guān)系，即對進(jìn)行分類討論得到值.
（三） 函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用 求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法： （1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值； （3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.
題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用 4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)． (1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)； (3)求在內(nèi)的最值． 【答案】(1) (2)有2個零點(diǎn) (3)最大值為，最小值為． 【分析】（1）由已知可得，，根據(jù)已知可得，所以，代入可得，求導(dǎo)進(jìn)而根據(jù)已知，可推得在內(nèi)恒成立，分，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案； （2）由已知可得，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極大值，又，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理以及，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)； （3）由已知，求出導(dǎo)函數(shù).構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出恒成立，進(jìn)而即可得出恒成立，所以在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案. 【詳解】（1）由已知可得，. 因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)， 所以當(dāng)時，，即，所以. 此時有，. 令，， 則在上恒成立， 所以，即在上單調(diào)遞減. 又當(dāng)時，， 所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減. 所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，所以， 所以． 則， 所以，． 因?yàn)椋? 設(shè)， 要使在內(nèi)單調(diào)遞減，則應(yīng)有在內(nèi)恒成立， 只需在內(nèi)恒成立，只需在上的最小值即可． 當(dāng)時，滿足條件； 當(dāng)時，， 此時，函數(shù)在處有最小值， 所以，解得，所以； 當(dāng)時，， 此時，要使在上恒成立， 所以只需，解得，所以. 綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為． （2）由已知可得，， 則. 因?yàn)椋裕? 當(dāng)時，有. 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減. 故的極大值為. 又， 由零點(diǎn)存在性定理知，可知在內(nèi)存在一個零點(diǎn). 又， 故函數(shù)有2個零點(diǎn)． （3）由題可得（且）， 則. 設(shè)，則， 令，解得， 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增. 所以，故恒成立. 又因?yàn)楫?dāng)且時，， 所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 故在內(nèi)的最大值為，最小值為． 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)：先求出導(dǎo)函數(shù)，然后得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，即可得出零點(diǎn)的個數(shù). 4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知． (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)； (2)求函數(shù)在上的最值． 【答案】(1)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為 (2)最小值為0，最大值為 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)區(qū)間，然后可得； （2）利用二次導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求解. 【詳解】（1）由得． 令，解得，，即，． 又，所以，． ，隨x變化而變化的情況如下表所示： x+0-0+↑極大值↓極小值↑
所以函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為． （2）由題知．， 記， 則． 因?yàn)椋裕郑?所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，， 所以當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增． ， ， ， 顯然，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為． 4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中． (1)當(dāng)時，求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(1)極大值為9，無極小值 (2) 【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可求得函數(shù)的值域； （2）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍. 【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時，， 則， 令，得，， ，在內(nèi)隨x變化而變化的情況如下表所示： x1+0單調(diào)遞增極大值9單調(diào)遞減
故在內(nèi)的極大值為9，無極小值； （2）， ①當(dāng)時，，且不恒為0， 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以在上，， 由題意，則，解得，與矛盾， ②當(dāng)時，，且不恒為0， 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在上，，符合題意， ③當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以在上，， 由題意，則，即，即， 即，解得或，與矛盾， 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為． 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法： （1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值； （3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到. 4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù). (1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值. 【答案】(1) (2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 (3)證明見解析，的最小值是e． 【分析】（1）先求的導(dǎo)函數(shù), 再點(diǎn)斜式求曲線在點(diǎn)處的切線方程 （2）先求的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可； （3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導(dǎo)數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解. 【詳解】（1）當(dāng)時，,, ,, 曲線在點(diǎn)處的切線方程, 切線方程. （2）當(dāng)時，， 則 令，得； 令，得； 所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． （3） 令，因?yàn)椋?所以方程，有兩個不相等的實(shí)根， 又因?yàn)椋?所以， 令，列表如下: -0+減極小值增
所以存在極值點(diǎn). 所以存在使得成立， 所以存在使得， 所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)， 記， 所以， 當(dāng)時，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，單調(diào)遞增． 所以當(dāng)時，的最小值為． 所以需要， 即需要， 即需要， 即需要 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且， 所以需要， 故的最小值是e． 4-5．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)； (2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值. 【答案】(1)時，恰有一個極值點(diǎn)；時，恰有三個極值點(diǎn)； (2). 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按與分類討論，并借助零點(diǎn)存在性定理推理作答. （2）利用（1）中信息，按與探討利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最小值作答. 【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，求導(dǎo)得， 令，求導(dǎo)得，遞減， 遞增，， ①當(dāng)時，，遞減，遞增，有1個極小值點(diǎn)； ②當(dāng)時，， 令，則，函數(shù)在上遞增，，即， 當(dāng)時，，此時，使得， 令，有，令，， 即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則， 當(dāng)時，，此時，使得， 因此遞減，遞增， 遞減，遞增，有3個極值點(diǎn)， 所以當(dāng)時，恰有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，恰有三個極值點(diǎn). （2）由（1）知，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，即，令， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則； ②當(dāng)時，，使得，，使得， 遞減，遞增， 遞減，遞增， 其中，則， 顯然符合要求，即有， 綜上提， 所以m的所有可能值是上的實(shí)數(shù). 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.
（四） 不等式恒成立與存在性問題 1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解. 2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．
題型5：不等式恒成立與存在性問題 5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為 【答案】 【分析】利用參變分離可得，恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值，故可求參數(shù)的取值范圍. 【詳解】存在，要使成立，即，， 令，，即， 又，設(shè)，， 則，則在內(nèi)單調(diào)遞增， ，則，在內(nèi)單調(diào)遞增， ，故m的取值范圍為． 故答案為：. 5-2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【分析】移項(xiàng)化簡可得.換元，根據(jù)的范圍，求得.構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，以及的最小值，即可得出答案. 【詳解】原題等價于，. 令，，則. 當(dāng)時，. 當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減. 所以，函數(shù)在處取得唯一極大值，也是最大值. 又，所以. 令，，則. 當(dāng)時，. 因?yàn)椋?所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. 所以，函數(shù)在處取得唯一極小值，也是最小值. 所以，當(dāng)時，有. 要使時，有恒成立，則應(yīng)有. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的最值，即可得出參數(shù)的取值范圍. 5-3．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，． (1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程； (2)討論函數(shù)的單調(diào)性； (3)若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【答案】(1) (2)答案見解析 (3) 【分析】（1）求出，，寫出切線方程； （2），討論，，確定的正負(fù)找出單調(diào)區(qū)間. （3）恒成立，討論的單調(diào)性，由得a的取值范圍． 【詳解】（1）∵ ∴，，， ∴切線方程為：. （2）， ①當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，， 負(fù)0正減極小值增
綜上所述： 時，的單調(diào)遞增區(qū)間為R； 時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間. （3）， 令，即，. ①時，，單調(diào)遞增，，故不成立，舍去. ②時，恒成立，此時. ③時，由（2）知，，故只需即可， ， 即. 綜上所述：. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法： 若在區(qū)間上有最值，則 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 5-4．（2024高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中. (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍. 【答案】(1)答案見解析 (2) 【分析】（1）求得，分、和，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)題意得到存在，，求得，分、和，三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得的取值范圍. 【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?當(dāng)時，無單調(diào)性； 當(dāng)時，對任意恒成立， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間； 當(dāng)時，對任意恒成立， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間. （2）解：由不等式，即，則， 設(shè)，， 根據(jù)題意，存在，， 又由，且， 當(dāng)時，在上恒成立，不滿足題意； 當(dāng)時，方程，可得， 即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以， 即在上恒成立，不滿足題意； 當(dāng)時，令，得，， 由和，得， 則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時， 因此，當(dāng)時，存在，使得不等式成立， 所以滿足題意的的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： 1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 5-5．（2024高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)，. (1)若不等式的解集為，求不等式的解集； (2)若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)不等式的解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出，然后解一元二次不等式即可； （2）問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可； 【詳解】（1）若不等式的解集為， 即1，2是關(guān)于的方程的兩個根， 則，即， 則，由得， 即，得，解得或， 即不等式的解集為． （2）不等式對于任意的恒成立， 即對于任意的恒成立， 令，， 則， 令，解得， 當(dāng)時，當(dāng)時時 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 又，， 故，所以． 5-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值． (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值； (2)若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)若對任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；極大值為2 (2) (3) 【分析】（1）由是上的奇函數(shù)求出，當(dāng)時，取得極值，求出，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間和極大值； （2）對任意，都有成立，等價于在時恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間內(nèi)的最大值即可； （3）依題意有在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值，利用函數(shù)單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求在區(qū)間上的最大值和在區(qū)間上的最小值即可. 【詳解】（1）是上的奇函數(shù)， ，即，得恒成立， 可得，即， 又當(dāng)時，取得極值，， 解得，故函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)， 令解得，當(dāng)或時，， 當(dāng)時，， 單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為， 故當(dāng)時，取到極大值 （2），對任意，都有成立，只需在時恒成立， 構(gòu)造函數(shù)，，則有， 令可得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞減 當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減， 當(dāng)時，取到極大值，又，故的最大值為8， 故實(shí)數(shù)的取值范圍為：； （3）若對任意，，都有成立， 即在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值， 由（1）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增， 故當(dāng)時，函數(shù)取到極小值，也是該區(qū)間的最小值， 而為開口向上的拋物線，對稱軸為，故當(dāng)時取最大值， 由，解得 故實(shí)數(shù)的取值范圍為：
一、單選題
1．（2024·全國）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2024·全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時，得，則
當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意，，則，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得最大值
【詳解】
設(shè)底面半徑為，高為，則，即，
所以，
則，
令則，令則；令則,
故當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減,
即時，取得最大值.
故選：A．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個長方形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案
【詳解】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，
根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，
由可得，
所以圓柱體的體積為，
令，則，
令，解得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，
所以此時圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，
故圓柱體的側(cè)面積為
故選：C
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造兩個函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到在處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知在處取到最大值，從而可求出結(jié)果.
【詳解】，所以不等式有實(shí)數(shù)解，即不等式成立，
設(shè)， ，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，
又因?yàn)椋?dāng)時，，
因?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解，則
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵在于，通過構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出兩個函數(shù)的最值，兩個函數(shù)均在處取到最值，從而得解.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由有意義可知，.
由，得.
令，即有.
因?yàn)椋裕睿?br/>問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.
因?yàn)椋睿矗獾茫?br/>令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，所以當(dāng)時，.
因?yàn)榇嬖冢沟贸闪ⅲ灾恍枨遥獾?
故選：.
7．（2024高三·全國·對口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由函數(shù)的極大值與最大值的關(guān)系即可求解.
【詳解】，令，得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，
則必有，所以.
故選：C.
8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】數(shù)形結(jié)合，分類討論不成立，則，要最大，需要，，對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過的切線斜率最大.借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
【詳解】如圖，

由圖象可知，不成立，則，要最大，需要，；
時，時不成立，則；
對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過作的切線，切線斜率即為最大的a.
設(shè)切點(diǎn)，則，.
，,
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以在時，取得最大值.
故選：B.
9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.
【詳解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，
則由得，即，
令，
，由得，
當(dāng)，則單調(diào)遞減，
當(dāng)，則單調(diào)遞增，
，
則，又，則.
故選：C.
二、填空題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為
【答案】/
【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案.
【詳解】設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，
將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱體的母線長，底面圓的半徑，
由，可得，
所以圓柱體的體積，
令，則，令，解得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，
所以此時圓柱體的母線長，底面圓的半徑，
故圓柱體的側(cè)面積為．
故答案為：.
11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時， ．
【答案】
【分析】設(shè)，利用二倍角的正切公式得到，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最值時的值，再代入即可得到答案.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋瑒t，則，
則．
設(shè)函數(shù)，
則．
當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞增；
當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值，
此時．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角公式構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)法求出最值即可.
12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為 ．
【答案】2
【分析】利用正余弦定理化簡可得，再由面積公式化簡得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.
【詳解】，
,
由正余弦定理可得：，
化簡得，
由余弦定理可得，即，
又，故，
所以，其中，
令，，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，、
所以，所以，
即，當(dāng)時，等號成立.
故答案為：2
13．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將函數(shù)在內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)的范圍即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>易知，
若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，
又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根，
則有，不妨令，因此即可；
令，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，
解得；
經(jīng)檢驗(yàn)在內(nèi)有最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的問題，利用零點(diǎn)存在定理即可實(shí)現(xiàn)問題求解.
14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為 .
【答案】/0.5
【分析】對求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，得到的值域，從而判斷的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
記，，
則，因?yàn)椋裕?br/>所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，
故答案為：
15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】
由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.
【詳解】因?yàn)椋裕裕遥?br/>所以，
設(shè)，，
則，因?yàn)椋裕谏蠟樵龊瘮?shù)，
因?yàn)椋裕瑒t，所以，
所以，
令，則，
令，則，則在上為增函數(shù)，
令得，即，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，
所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為，再利用指對同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵.
16．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
【答案】
【分析】將變形為，設(shè)，對求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，對求導(dǎo)，即可求出的最小值
【詳解】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，按分段討論函數(shù)的取值情況作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋@然，
當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合為，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此存在，使得，
而，于是，不符合題意，
當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增，，，即有，
當(dāng)時，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，
當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，不符合題意，
綜上得，，
所以則a的取值范圍為.
故答案為：
18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則 ．
【答案】
【分析】分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求解.
【詳解】當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
當(dāng)時，，
(i)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
(ii)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，滿足題意；
綜上，，
故答案為:.
19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】
【分析】根據(jù)開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值點(diǎn)必為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理建立不等式即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br/>且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，
故只需滿足，
所以，
解得．
故答案為：
20．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的極值點(diǎn)，建立不等式，即可求出的取值范圍.
【詳解】，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，在處取得極大值.
令，解得或，
又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，
所以，解得.
即的取值范圍是.
故答案為：.
21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是 .
【答案】
【分析】先考慮恒成立，得到.再考慮恒成立，得到，再解不等式即得解.
【詳解】當(dāng)，且時，由，得.
設(shè)，則.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
所以，得，
等價于，而，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以，則，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式 對恒成立，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】觀察解析式的結(jié)構(gòu)，用同構(gòu)思路構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解.
【詳解】令 ，則
，
令，，則 ,
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)x趨近于0時，趨近于，所以，
令，，，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案為：.
【點(diǎn)睛】觀察函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)是問題的核心，如果是直接求導(dǎo)，則很難計(jì)算，一般來說，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜的時候，應(yīng)該考慮是否存在其他方式解決問題.
三、解答題
23．（2024·北京）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，
此時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)椋瑒t，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，，.
24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．
(1)求切線l的方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；
（2）求出切線與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出三角形面積后，由導(dǎo)數(shù)求得最大值．
【詳解】（1），時，
所以切線方程為，即．
（2）在中，令得，令得，
因?yàn)椋?br/>所以，
，
所以時，，遞增，時，，遞減，
所以．
25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時，最大值是；當(dāng)時，最大值是；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是.
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和即可．
（2）欲求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，先求在區(qū)間上的單調(diào)性，討論的值，分別求出最大值．
【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時，令，得．
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
若，則，從而在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，令，得，解得或，有．
若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是．
26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).
(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2)答案見解析.
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間作答.
（2）利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值作答.
【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2），函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，由，得，由，得，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
由，得，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.
27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）由題設(shè)條件可得，求出導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可求其范圍.
（2）易得，求出其導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
則，，
依題意須對于任意 ，有.
當(dāng)時，因?yàn)槎魏瘮?shù) 的圖像開口向上，
而 ，所以須 ，即.
當(dāng) 時，對任意 有 ，符合條件；
當(dāng)時，對于任意 ，，符合條件；
當(dāng) 時，因，不符合條件，
故的取值范圍為.
（2）因
（i）當(dāng)時，，
在上取得最小值 ，在上取得最大值，
（ii）當(dāng) 時，對于任意 有.
在 取得最大值 ，在 取得最小值.
（iii）當(dāng)時，由 得，
① 若 ，即 時，
在上單調(diào)遞增，在得最小值；
在 取得最大值.
② 若 ，即 時，
在 取得最大值 ，
在 或 取得最小值，而，，
則當(dāng) 時，在取得最小值，
當(dāng) 時，在取得最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍
【答案】（1）a＝1；（2）.
【分析】（1）根據(jù)＝0，即可求出a的值，然后驗(yàn)證所求a的值滿足x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)；
（2）利用最大值求出的取值范圍，然后再驗(yàn)證所求的取值范圍滿足在x＝0處取最大值即可.
【詳解】（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因?yàn)閤＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，
所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a＝1時，x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以.
（2）由題意知， ，
因?yàn)楫?dāng)g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)，所以，即，
故得.
反之，當(dāng)時，對任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)．
綜上所述，a的取值范圍為.
29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與兩種情況，分別討論，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）時，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，
切線方程：，
將點(diǎn)帶入得：，
此時斜率，所以切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋睿瑒t
（1）當(dāng)時在單調(diào)遞增，
注意到時，，注意到時，，
故存在，使得，在時單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值，不符合題意.
（2）當(dāng)時，令，令，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，
若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無極值和最值.
若，即，此時存在，使得，
且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時為的極大值.
注意到時，要使無最大值，則還應(yīng)滿足，
即，同時，
帶入整理得.
由于，且在單調(diào)遞減，故，
即，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了求切線方程問題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值，最值的綜合問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于分情況進(jìn)行討論，將問題合理轉(zhuǎn)化.
30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
【答案】長為m，寬為1m，高為m時，體積最大，最大體積為3
【分析】設(shè)出長方體的寬為m，表達(dá)出長方體的長和高，從而體積，并根據(jù)長寬高均大于0，求出，求導(dǎo)后得到的單調(diào)性和極值，最值情況，并確定此時的長、寬、高.
【詳解】設(shè)長方體的寬為m，則長方體的長為m，故長方體的高為m，
由，解得：，
設(shè)長方體的體積為，
故，
則，
令，解得：，
令，解得：，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，
此時長為m，寬為1m，高為m.
31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為（）萬元，該容器的總建造費(fèi)用為萬元.
（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的總建造費(fèi)用最少時的的值.
【答案】（1），定義域?yàn)椋?br/>（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【分析】（1）利用，可得，則可得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，
，代入即得解；
（2）求導(dǎo)，分，兩種情況討論，即得解
【詳解】（1）設(shè)容器的容積為，由題意，知.
又，故.
由于，
解得，
所以，
其定義域?yàn)?
（2）由（1）得，.
由于，所以.
當(dāng)時，.令，則，
所以.
①當(dāng)，即時，
若，則；若，則；若，則.
所以是該函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).
②當(dāng)，即時，若，則（僅當(dāng)時，），所以函數(shù)單調(diào)遞減.
所以是該函數(shù)的最小值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時，總建造費(fèi)用最少時；當(dāng)時，總建造費(fèi)用最少時.
32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．
(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；
(2)求折痕的長的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)分與分類討論，根據(jù)對稱關(guān)系即可求解; (2)根據(jù)折痕在不同的位置分類討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程;
②當(dāng)時，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)為，所以與關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）為.
故折痕所在的直線方程, 即，
由①②得折痕所在的直線方程為；
（2）折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
解，得；解，得，
因?yàn)樵谏?所以，
當(dāng)時，直線交于
；
②當(dāng)時，直線與軸、軸的交點(diǎn)落在矩形的邊和上，
，
所以，令，解得，此時取得最大值，且；
③當(dāng)時，直線交于，
所以折痕的長度的最大值為.
33．（2024高二下·廣東揭陽·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．
(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
(Ⅱ)求面積的最大值．
【答案】（I）
　，
其定義域?yàn)?br/>（II）梯形面積的最大值為
【詳解】試題分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即滿足的方程： (y≥0)，由于，可解得y＝2 (0試題解析：（1）依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x.
點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程 (y≥0)，
解得y＝2 (0S＝ (2x＋2r) 2＝2(x＋r)·，
其定義域?yàn)閧x|0（2）記f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0則f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f ′(x)＝0，則x＝r.因?yàn)楫?dāng)00；
當(dāng)因此，當(dāng)x＝r時，S取得最大值，最大值為＝r2，即梯形面積S的最大值為r2.
考點(diǎn)：橢圓在實(shí)際問題中的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．
34．（2024·廣東廣州·一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.
月份x 1 2 3 4 5
銷售量y（萬件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；
(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報(bào)值最大？
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)；
(2)第9個月的月利潤預(yù)報(bào)值最大
【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進(jìn)行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.
【詳解】（1）令，則，，
，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；
（2）由（1）知：，
，令，
令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，
所以第9個月的月利潤預(yù)報(bào)值最大.
35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式和古典摡型的概率計(jì)算公式，即可看求解；
（2）由題意求得，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；
（2）解：由題可知，
，
令，得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn).
36．（2024·河北·模擬預(yù)測）5G技術(shù)對社會和國家十分重要．從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．某科技集團(tuán)生產(chǎn)A，B兩種5G通信基站核心部件，下表統(tǒng)計(jì)了該科技集團(tuán)近幾年來在A部件上的研發(fā)投入（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：
研發(fā)投入x（億元） 1 2 3 4 5
收益y（億元） 3 7 9 10 11
(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；
(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該方程回答下列問題：
①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）
②該科技集團(tuán)計(jì)劃用10億元對A，B兩種部件進(jìn)行投資，對B部件投資元所獲得的收益y近似滿足，則該科技集團(tuán)針對A，B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益P最大．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，
回歸直線方程的斜率，截距．
【答案】(1)答案見解析
(2)回歸方程為，①6.684億元；②在A，B兩種部件上分別投入8億元，2億元.
【分析】（1）先計(jì)算出，再根據(jù)公式計(jì)算出，再由即可判斷；
（2）根據(jù)公式先求出回歸直線方程，①令，解不等式即可求解；②根據(jù)題意，寫出總收益的函數(shù)表達(dá)式，對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.
【詳解】（1），，
，，，
∴．
可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．
（2）∵，
∴，
∴y關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
①令，得，解得，
∴若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入6.684億元研發(fā)資金．
②設(shè)B部件的研發(fā)投入為億元，則A部件的研發(fā)投入為億元，
總收益，
，
令得，
當(dāng)時，，P單調(diào)遞增；當(dāng)，，P單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，P取得最大值22億元．
所以該科技集團(tuán)在A，B兩種部件上分別投入8億元，2億元的研發(fā)資金，可使所獲得的總收益P最大．
37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲 乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲 乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）
【答案】；事件A是小概率事件，理由見解析
【分析】設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏，則分時，甲以贏和時，甲以贏，得到甲獲得全部獎金的概率求解.
【詳解】解：設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏.
由題知，當(dāng)時，甲以贏，所以，
當(dāng)時，甲以贏，所以，
甲獲得全部獎金的概率，
所以，
所以，
，，
在上單調(diào)遞減，
所以，
故事件A是小概率事件.
38．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.
【答案】(1)答案見解析
(2)4
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后分解因式，對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，
若，在上恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；
若，此時，
當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；
若，此時，
當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；
綜上可知，時，在上單調(diào)遞增；
時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）由可得，解得；
所以，則，
易知時，，
若函數(shù)在上恒成立，等價成在上恒成立；
令，則；
令，則在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
易知，由于，所以，
而，且，所以；
因此在有且僅有一個零點(diǎn)，滿足，且；
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，；
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以的最小值為，顯然，
因此，又是整數(shù)，
所以的最大值為4.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在求解函數(shù)的最小值時，需限定其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍，此時應(yīng)當(dāng)盡量縮小其范圍以便求得整數(shù)的最大值.
39．（2024·甘肅臨夏·一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對于任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】
（1）研究函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最大值即可．
【詳解】（1）
定義域?yàn)椋?br/>令，
①當(dāng)時，恒成立，，是增函數(shù)；
②時，，
當(dāng)，即時，由得，，
由或，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當(dāng)，即時，恒成立，是增函數(shù)，
綜上可知： 時，是增函數(shù)，時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）
不等式恒成立，即恒成立，
整理得恒成立，
令，
則，易知，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，
故，
故即為所求，故的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立，研究參數(shù)的取值范圍，能分離參數(shù)的一定要分離參數(shù)，
分離參數(shù)是本題的關(guān)鍵，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題，一般需要利用導(dǎo)數(shù)求最大值得解.
40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)4
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性即可.
（2）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得到答案.
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，．
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由得，，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>令，則．
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
因此，當(dāng)時取得最大值，
即取得最大值，
故的最小值為4．
41．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(1)求a；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義結(jié)合條件即得；
（2）由題可得，然后通過換元法可得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)
所以，即，
所以，解得，又，
故．
（2）由（1）知，
所以，
令，則，
所以，令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)取得最小值，
即時，的最小值為．
42．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
(2)當(dāng)時，求在上的最大值．
【答案】(1)2
(2)．
【分析】（1）根據(jù)切線的斜率求得的值.
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上的單調(diào)性，從而求得在上的最大值．
【詳解】（1）由，得，
，
又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
故，
．
（2）當(dāng)時，，
由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：
在上單調(diào)遞增，
而，
，使得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
在上的最大值為．
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，步驟如下：先確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對比極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值來求得最值.導(dǎo)函數(shù)的作用是得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以導(dǎo)函數(shù)主要看符號.
43．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：
(3)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）求出，，利用點(diǎn)斜式得到切線方程；
（2）求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，極值和最值，證明出結(jié)論；
（3）求導(dǎo)，分和兩種情況，求出函數(shù)在上的單調(diào)性，得到函數(shù)最小值.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
又，故，
所以函數(shù)在處的切線方程為；
（2）當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上取得極小值，也是最小值，
且，
故在R上恒成立.
（3），
，，
令，解得，令，解得，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時在上取得極小值，也是最小值，
故在上的最小值為，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，
此時在上的最小值為
綜上：當(dāng)時，在上的最小值為，
當(dāng)時，在上的最小值為.
44．（2024·北京）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋裕?br/>設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
也是最小值為.
[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法
．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因?yàn)椋粤睿茫?br/>隨著a的變化，的變化情況如下表：
a
0
減 極小值 增
所以．
所以當(dāng)，即時，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
所以當(dāng)，即時，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點(diǎn)評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.
45．（2024高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若的單調(diào)遞增區(qū)間為，求的值．
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷出其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可解得；
（2）對參數(shù)進(jìn)行分類討論，得出其單調(diào)性即可求出函數(shù)在上的最小值．
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?br/>由于函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，且，故；
當(dāng)時，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
即可得，則．
（2），
①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以；
②當(dāng)，，，則在上單調(diào)遞減，
時，，則在單調(diào)遞增；
（i）當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，此時，
（ii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
此時．
綜上所述：
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
46．（2024高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中，．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）直接求導(dǎo)，分和討論即可；
（2）首先證明有關(guān)極值點(diǎn)的結(jié)論，再分，和討論即可.
【詳解】（1）若，則，
分兩種情況討論：
①當(dāng)時，有恒成立，
此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
②當(dāng)時，令，解得或，
當(dāng)或時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）首先證明以下結(jié)論：若存在極值點(diǎn)，且，其中，則；
若存在極值點(diǎn)，則必有，且，
由題意可得，，則，
進(jìn)而，
又，
由題意及（1）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，其中，
則有，故有；
設(shè)在區(qū)間上的最大值M，表示x、y兩個數(shù)的最大值，
下面分三種情況討論：
①當(dāng)時，，
由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上的取值范圍是，
因此
，所以。
②當(dāng)時，，
由（1）、和開頭所證的結(jié)論知，，，
所以在區(qū)間上的取值范圍是，
因此
，
③當(dāng)時，，
由（1）、和開頭所證的結(jié)論知，，，
所以在區(qū)間上的取值范圍是，
因此
，
綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值不小于.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵首先是證明有關(guān)極值點(diǎn)的結(jié)論，即若存在極值點(diǎn)，且，其中，則，再去對進(jìn)行合理分類討論.
47．（2024高三·全國·課后作業(yè)）用鐵皮做一個體積為的正三棱柱形有蓋箱子，問底面邊長為多少時，用料最省？并求出這時所有鐵皮的面積（焊縫、拼縫處所耗材料忽略不計(jì)）．
【答案】當(dāng)正三棱柱的底面邊長為14cm時，用料最省，此時所有鐵皮的面積為．
【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為a cm，高為h cm，由其體積得出a與h的關(guān)系式，則所有鐵皮的面積，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)得出的最值點(diǎn)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，
由其體積為，得．
在不計(jì)損耗的前提下，所有鐵皮的面積，
求導(dǎo)得．
令，解得a＝14，與在都是單調(diào)遞增，則為單調(diào)遞增，
則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
所以時，最小，
所以當(dāng)正三棱柱的底面邊長為14cm時，用料最省，此時所有鐵皮的面積為．
48．（2024高三上·山東煙臺·期末）某工廠擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的.
【答案】(1)，
(2)見解析
【分析】（1）由圓柱和球的體積的表達(dá)式, 得到和的關(guān)系. 再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系 式, 將表達(dá)式中的用表示，并注意到寫定義域時, 利用, 求出自變量的范圍.
（2）用導(dǎo)數(shù)的知識解決, 注意到定義域的限制, 在區(qū)間中, 極值末必存在, 將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類討論.
【詳解】（1）設(shè)該容器的體積為，則，
又，所以
因?yàn)椋?
所以建造費(fèi)用，
因此，.
（2）由（1）得，.
由于，所以，令，得.
若，即，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，此時為函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).
若，即，當(dāng)時，，為減函數(shù)，此時是的最小值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時，建造費(fèi)用最小時；當(dāng)時，建造費(fèi)用最小時.
49．（2024高三上·全國·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值求解斜率，即可由點(diǎn)斜式求解直線方程，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù) ，，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）由題，當(dāng)時，，，
，，所以切線方程為，
化簡得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2），即，即在上恒成立，
令，則.
對于，，故其必有兩個零點(diǎn)，且兩個零點(diǎn)的積為，
則兩個零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其正零點(diǎn)為，則，即，
且在上時則，此時單調(diào)遞減，
在上，，此時單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時，取最小值，
故，即.
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，
顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
50．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若存在最大值M，證明：；
(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，由零點(diǎn)存在性定理得到存在，使得，分與兩種情況，結(jié)合隱零點(diǎn)和基本不等式得到證明；
（2）對求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)得到的最小值，利用同構(gòu)得到的最小值.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>，
記，易知單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>所以存在，使得，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以無最大值，即不符題意；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，即．
（2）由（1）可知，且，所以，
，令，
則，令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，，又，
所以存在，使得，
可知，
因?yàn)椋裕裕?br/>由（1）可知，，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以．
設(shè)，易知單調(diào)遞增，且，
所以，
所以，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】隱零點(diǎn)的處理思路：
第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類
1.函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
2.不等式的恒成立與能成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
（一） 求函數(shù)的最值 1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值． 2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
題型1：求函數(shù)的最值（不含參） 1-1．（2024·全國）函數(shù)的最小值為 . 1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù). (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)求在區(qū)間上的最大值； 1-3．（2024·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為 ． 1-4．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則的最大值是 ． 1-5．（2024·全國）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ） A． B． C． D．
題型2：求函數(shù)的最值（含參） 2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值； 2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)． (1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性； (2)當(dāng)時，求在內(nèi)的最大值； 2-3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中． (1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間； (2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：） 2-4．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)，，其中. (1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值； (2)若時，求函數(shù)的最小值； (3)若的最小值為，證明：當(dāng)時，.
（二） 根據(jù)最值求參數(shù) 已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應(yīng)用．
題型3：根據(jù)最值求參數(shù) 3-1．（2024高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（ ） A． B．1 C． D．2 3-2．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)． (1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值． 3-3．（2024高三上·河南新鄉(xiāng)·周測）若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 3-4．（2024高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 3-5．（2024·山東·一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ． 3-6．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 3-7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是 ． 3-8．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是 . 3-9．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則 ．
（三） 函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用 求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法： （1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值； （3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.
題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用 4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)． (1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)； (3)求在內(nèi)的最值． 4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知． (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)； (2)求函數(shù)在上的最值． 4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中． (1)當(dāng)時，求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù). (1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值. 4-5．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)； (2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.
（四） 不等式恒成立與存在性問題 1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解. 2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．
題型5：不等式恒成立與存在性問題 5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為 5-2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 5-3．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，． (1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程； (2)討論函數(shù)的單調(diào)性； (3)若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 5-4．（2024高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中. (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍. 5-5．（2024高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)，. (1)若不等式的解集為，求不等式的解集； (2)若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 5-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值． (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值； (2)若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)若對任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
一、單選題
1．（2024·全國）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個長方形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全國·對口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為
11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時， ．
12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為 ．
13．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為 .
15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為 .
16．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為 ．
18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則 ．
19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
20．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是 .
22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式 對恒成立，則a的取值范圍是 .
三、解答題
23．（2024·北京）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．
(1)求切線l的方程；
(2)求的最大值．
25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).
(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在上的最小值.
27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍
29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為（）萬元，該容器的總建造費(fèi)用為萬元.
（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的總建造費(fèi)用最少時的的值.
32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．
(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；
(2)求折痕的長的最大值．
33．（2024高二下·廣東揭陽·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．
(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
(Ⅱ)求面積的最大值．
34．（2024·廣東廣州·一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.
月份x 1 2 3 4 5
銷售量y（萬件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；
(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報(bào)值最大？
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).
36．（2024·河北·模擬預(yù)測）5G技術(shù)對社會和國家十分重要．從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．某科技集團(tuán)生產(chǎn)A，B兩種5G通信基站核心部件，下表統(tǒng)計(jì)了該科技集團(tuán)近幾年來在A部件上的研發(fā)投入（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：
研發(fā)投入x（億元） 1 2 3 4 5
收益y（億元） 3 7 9 10 11
(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；
(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該方程回答下列問題：
①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）
②該科技集團(tuán)計(jì)劃用10億元對A，B兩種部件進(jìn)行投資，對B部件投資元所獲得的收益y近似滿足，則該科技集團(tuán)針對A，B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益P最大．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，
回歸直線方程的斜率，截距．
37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲 乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲 乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）
38．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.
39．（2024·甘肅臨夏·一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對于任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的最小值．
41．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(1)求a；
(2)求的最小值．
42．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
(2)當(dāng)時，求在上的最大值．
43．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：
(3)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值
44．（2024·北京）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
45．（2024高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若的單調(diào)遞增區(qū)間為，求的值．
(2)求在上的最小值．
46．（2024高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中，．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．
47．（2024高三·全國·課后作業(yè)）用鐵皮做一個體積為的正三棱柱形有蓋箱子，問底面邊長為多少時，用料最省？并求出這時所有鐵皮的面積（焊縫、拼縫處所耗材料忽略不計(jì)）．
48．（2024高三上·山東煙臺·期末）某工廠擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的.
49．（2024高三上·全國·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
50．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若存在最大值M，證明：；
(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．

展開更多......

收起↑