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專題12 導數的應用--函數的單調性問題5題型分類
一、單調性基礎知識
1、函數的單調性
函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
2、已知函數的單調性問題
①若在某個區間上單調遞增，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區間上單調遞增；
②若在某個區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區間上單調遞減.
二、討論單調區間問題
類型一：不含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導.
（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；
類型二：含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖象定區間；
（一） 利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象 原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）.
題型1：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象 1-1．（天津市西青區為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數學試題）已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即得. 【詳解】因為的圖像經過與兩點，即，， 由導數的幾何意義可知在與處的切線的斜率為，故AD錯誤； 由的圖象知，在上恒成立，故在上單調遞增， 又在上越來越大，在上越來越小， 所以在上增長速度越來越快，在上增長速度越來越慢，故C錯誤，B正確. 故選：B. 1-2．（天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數學試題）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據導函數的圖象得出函數的單調區間，根據函數的單調性即可判斷. 【詳解】由導函數的圖象可得當時，，函數單調遞增； 當時，，函數單調遞減； 當時，，函數單調遞增. 只有C選項的圖象符合. 故選：C. 1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中可能是圖象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根據的圖像，得到不同范圍下，的正負，得到的單調性，得到答案. 【詳解】 由的圖象知，當時，，故，單調遞增； 當時，，故，當，，故， 等號僅有可能在x＝0處取得， 所以時，單調遞減； 當時，，故，單調遞增，結合選項只有C符合. 故選：C. 1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數的大致圖像如圖所示，是的導函數，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、兩種情況求解即可. 【詳解】若，則單調遞減，圖像可知，， 若，則單調遞增，由圖像可知， 故不等式的解集為． 故選：C
（二） 求單調區間 1.求函數的單調區間的步驟如下： （1）求的定義域 （2）求出. （3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線. （4）在定義域內，令，解出的取值范圍，得函數的單調遞增區間；令，解出的取值范圍，得函數的單調遞減區間.若一個函數具有相同單調性的區間不只一個，則這些單調區間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開. 2.導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面： （1）在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域； （2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式； （3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用. 3.已知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍 （1）已知函數在區間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數的形式及圖象特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等. （2）已知區間上函數不單調，轉化為導數在區間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍. （3）已知函數在區間上存在單調遞增或遞減區間，轉化為導函數在區間上大于零或小于零有解.
題型2：求單調區間 2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求導，求出不等式的解集即可. 【詳解】函數的定義域為. ，則. 令，解得. 故選：D 2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數的單調遞增區間（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據，結合函數的定義域，即可得出單調遞增區間. 【詳解】由，可得或， 所以函數的定義域為. 求導可得，當時，，由函數定義域可知，， 所以函數的單調遞增區間是. 故選：A. 2-3．（2024·上海靜安·二模）函數（　?。?A．嚴格增函數 B．在上是嚴格增函數，在上是嚴格減函數 C．嚴格減函數 D．在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數 【答案】D 【分析】求導后利用導函數的正負判斷函數的單調性，并根據嚴格增減函數的定義即可得到選項. 【詳解】解：已知，，則， 令，即，解得， 當時，，所以在上是嚴格減函數， 當時，，所以在上是嚴格增函數， 故選：D. 【點睛】導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面： （1）在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域； （2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式； （3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.
題型3：已知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍 3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由導數與函數的單調性的關系結合條件可得在上恒成立，由此可得在區間上恒成立，求函數的值域可得的取值范圍. 【詳解】因為函數在區間上單調遞增， 所以在區間上恒成立， 即在區間上恒成立， 令， 則， 所以在上遞增，又， 所以. 所以的取值范圍是. 故選：B 3-2．（2024·山東濟寧·一模）若函數且在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用導數求出函數的單調區間，再分和兩種情況討論，結合復合函數的單調性即可得解. 【詳解】令，則， 當或時，，當時，， 所以在和上遞減，在上遞增， 當時，為增函數，且函數在區間內單調遞增， 所以，解得， 此時在上遞增，則恒成立， 當時，為減函數，且函數在區間內單調遞增， 所以，無解， 綜上所述，的取值范圍是. 故選：A. 3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區間內，且，得出關于的不等式組，求解即可． 【分析】函數的定義域為， 且， 令，得， 因為在區間上不單調， 所以，解得： 故選：B. 3-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函數的導數，問題轉化為在有解，進而求函數的最值，即可求出的范圍. 【詳解】∵， ∴， 若在區間內存在單調遞增區間，則有解， 故， 令，則在單調遞增， ， 故. 故選：D. 3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數（）在區間上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】試題分析：函數在區間上存在單調增區間，函數在區間上存在子區間使得不等式成立．，設，則或，即或，得，故選B. 考點：導數的應用. 【思路點睛】該題考查的是函數存在增區間的條件，屬于較難題目，在解題的過程中，緊緊抓住導數的應用，相當于在區間上有解，最后將問題轉化為不等式在區間上有解，設，結合二次函數的性質，可知只要或即可，將和分別代入，求得結果，取并求得答案. 3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數的單調遞減區間是，則（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用導數結合韋達定理得出的值. 【詳解】函數，則導數 令，即， ∵，的單調遞減區間是， ∴0，4是方程的兩根， ∴，， ∴ 故選：B.
（三） 函數單調性的討論 1.確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開. 2、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減.（注意定義域的間斷情況）. 3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區間段. 4、利用草稿圖象輔助說明.
題型4：不含參數單調性討論 4-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.試判斷函數在上單調性并證明你的結論； 【答案】函數在上為減函數，證明見解析 【分析】求出函數的導數，根據導數取值范圍求解函數單調性. 【詳解】函數在上為減函數，證明如下： 因為，所以， 又因為，所以，，所以， 即函數在上為減函數. 4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，若，求的單調區間. 【答案】為單調遞減區間；為單調遞增區間. 【分析】利用導數求得的單調性. 【詳解】若，則， 求導得， 令可得，令可得， 故在上單調遞減；在上單調遞增. 4-3．（2024·貴州·二模）已知函數． (1)求曲線在點處的切線方程； (2)討論在上的單調性． 【答案】(1) (2)在上是減函數． 【分析】（1）求導，計算斜率，再用點斜式求解即可； （2）令，求出，根據、可得使，可得、時的單調性，從而得解. 【詳解】（1）， ∴，又， ∴曲線在點處的切線方程是， 即； （2）令， 則在上遞減，且，， ∴，使，即， 當時，，當時，， ∴在上遞增，在上遞減， ∴， 當且僅當，即時，等號成立，顯然，等號不成立，故， ∴在上是減函數． 【點睛】方法點睛：判斷一個函數是單調增還是單調減，我們可以通過求導函數來判斷，如果導函數為正值，那么原函數就是單調增的，如果導函數為負值，那么原函數就是單調減的，而如果導函數為0，那么可能是函數的極值點.
題型5：含參數單調性討論 5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．討論的單調性； 【答案】答案見解析 【分析】根據題意，求導得，然后分，，分別討論，即可得到結果； 【詳解】，， ①當，即時，，在區間單調遞增． ②當，即時， 令，得，令，得， 所以在區間單調遞增；在區間單調遞減． ③當，即時， 若，則，在區間單調遞增． 若，令，得，令，得， 所以在區間單調遞減；在區間單調遞增． 綜上，時，在區間單調遞增；在區間單調遞減； 時，在區間單調遞增 時，在區間單調遞減、在區間單調遞增． 5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 【答案】答案見解析 【分析】 求導，分和兩種情況，利用導數判斷原函數的單調性. 【詳解】 由題意可知：的定義域為，且， 若，則恒成立，所以在上單調遞增； 若，令，解得或（舍去）， 當時，，函數在上單調遞增， 當時，，函數在上單調遞減； 綜上所述：若，在上單調遞增； 若，在上單調遞增，在上單調遞減. 5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 【答案】答案見解析. 【分析】 將函數求導，對的正負性進行分類討論，進而得到的單調性. 【詳解】因為的定義域為， 所以，其中， 當時，即，在上單調遞增， 當時，即， 令，得； 令，得， 所以在上單調遞增，在上單調遞減. 綜上，當時，在上單調遞增； 當時，在上單調遞增，在上單調遞減. 5-4．（2024高二下·全國·課后作業）已知函數.討論函數的單調性. 【答案】答案見解析. 【分析】求出導函數，再分類討論確定的正負得單調性. 【詳解】函數的定義域為R，求導得， 當時，恒成立，在上是增函數， 當時，當時，，遞減，當時，，遞增， 所以當時，在R上是增函數，當時，在上是減函數，在上是增函數. 5-5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 【答案】答案見解析. 【分析】求出導函數，然后分類討論確定的正負得單調區間. 【詳解】因為，該函數的定義域為， . 因為，由得：或. ①當，即時，對任意的恒成立，且不恒為零， 此時，函數的增區間為，無減區間； ②當，即時，由得或；由得. 此時，函數的增區間為、，減區間為； ③當，即時，由得或；由得. 此時函數的增區間為、，減區間為. 綜上所述：當時，函數的增區間為，無減區間； 當時，函數的增區間為、，減區間為； 當時，函數的增區間為、，減區間為. 5-6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，其中，討論函數的單調性. 【答案】答案見解析. 【分析】先將函數求導并對導函數分子進行因式分解，再對參數進行分類討論，最后得到不同情況下的函數的單調性. 【詳解】 ， 所以的定義域為， ， ①若時， 100極小值極大值
②若時，恒成立，單調遞減， ③若時 100極小值極大值
④若時令，解得，此時單調遞增， 令解得，此時單調遞減， 綜上所述，當時，在和單調遞減，在單調遞增； 當時，在單調遞減； 當時，在和單調遞減，在單調遞增； 當時，在單調遞增，在單調遞減. 5-7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調區間. 【答案】答案見解析 【分析】 先求得，對進行分類討論，由此求得的單調區間. 【詳解】 的定義域為，， 若，當時，，單調遞增； 當時，，單調遞減； 當時，，單調遞增. 若，則恒成立，在上單調遞增. 綜上，當時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為； 當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間. 5-8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.判斷函數的單調性. 【答案】在上單調遞增，在上單調遞減 【分析】求函數的定義域，對函數求導數，分析其正負號，得到函數的單調性. 【詳解】因為，定義域為， ， 令，因為，則， 可得在上單調遞減，所以， 所以當時，，當時，， 所以在上單調遞增，在上單調遞減.
一、單選題
1．（2024高三·全國·課后作業）函數（a、b為正數）的嚴格減區間是（ ）．
A． B．與
C．與 D．
【答案】C
【分析】由題得，再利用導數求出函數的單調遞減區間得解.
【詳解】解：由題得.
由，令解得或．
所以函數的嚴格減區間是與.
選項D，本題的兩個單調區間之間不能用“”連接，所以該選項錯誤.
故選：C
2．（2024高二上·浙江·開學考試）已知函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的單調性知導數小于等于0恒成立，分離參數后由正切函數單調性求解.
【詳解】由題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因為在上單調遞增，所以，
所以在時，，
所以.
故選：B
3．（2024高三·全國·專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可得在上恒成立，結合恒成立問題分析運算.
【詳解】對函數求導，得
因為函數在上是減函數，則在上恒成立，
即恒成立，
當，即時，恒成立；
當，即時，，則，即，
因為，所以，即；
又因為當時，不是三次函數，不滿足題意，
所以.
故選：A．
4．（2024高三下·青海西寧·開學考試）已知函數.若對任意，，且，都有，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，轉化為，然后構造，得到，從而求得的取值范圍.
【詳解】根據題意，不妨取，則可轉化為，
即.
令，則對任意，，且，
都有，
所以在上單調遞增，即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，則，，
令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，
即實數a的取值范圍是，
故選:A
5．（2024高三·全國·專題練習）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數的定義域，則有，對函數求導后，令求出極值點，使極值點在內，從而可求出實數的取值范圍.
【詳解】因為函數的定義域為，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因為在定義域的一個子區間內不是單調函數，
所以，得，
綜上，，
故選：D
6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在，上單調遞增，在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得兩個根分別位于和上，所以，從而解不等式組可求出實數的取值范圍.
【詳解】由，得．
因為在，上單調遞增，在上單調遞減，
所以方程的兩個根分別位于區間和上，
所以，即
解得.
故選：A．
7．（2024·全國）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由結合三角函數的性質可得;構造函數,利用導數可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構造函數
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優解．
8．（2024·全國）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
9．（2024高三上·河南·階段練習）下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的奇偶性和單調性分別判斷即可，利用導數即可判斷函數在的單調性.
【詳解】對于A，的定義域為，定義域不關于原點對稱，
函數為非奇非偶函數，不符合題意；
對于B，，定義域為，
因為，所以為奇函數，不符合題意；
對于C，，所以，所以為偶函數，
又，
令，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，
故函數在上單調遞增，符合題意；
對于D，，
令，在上單調遞增，
而函數在上單調遞減，
所以函數在上單調遞減，不符合題意．
故選：C．
10．（2024高三上·河南·階段練習）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用導數求解單調區間即可.
【詳解】令，
，，，，
則在上單調遞減，在上單調遞增.
故選：A
11．（2024高二下·河南許昌·階段練習）函數在下面哪個區間內是增函數
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求后令可得函數的單調間區間，逐一比較可得正確選項.
【詳解】令，則，令，可得或，
故選B.
【點睛】一般地，若在區間上可導，且，則在上為單調增（減）函數；反之，若在區間上可導且為單調增（減）函數，則.
12．（2024·全國）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數的導函數的圖像如下圖，那么的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據導函數的函數值反映的是原函數的斜率大小可得答案.
【詳解】
因為，的導數大于零，因此，，單調遞增，
又，的導數表示曲線與的曲線上任一點切線的斜率，
是單調遞減的，故增的慢，
是單調遞增的，故增的快，排除A、C，
又，即與在的切線是平行的，排除B．
故選：D.
14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】原函數先減再增，再減再增，且位于增區間內，因此選D．
【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續分布于軸上下方，則為原函數單調性的拐點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數的正負，得出原函數的單調區間．
15．（2024·湖南）若函數的導函數在區間上是增函數，則函數在區間上的圖象可能是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：∵函數y=f（x）的導函數在區間[a，b]上是增函數，∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有
也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A 滿足上述條件，
對于B 存在使，對于C 對任意的a＜x1＜x2＜b，都有，對于D 對任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，故選A．
考點：單調性與導函數的關系.
16．（2024·全國）函數的圖像大致為
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】分析：根據函數圖象的特殊點，利用函數的導數研究函數的單調性，由排除法可得結果.
詳解：函數過定點，排除，
求得函數的導數，
由得，
得或，此時函數單調遞增，排除，故選D.
點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.
17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函數的奇偶性，單調性，的正負，結合排除法可得出合適的選項.
【詳解】因為的定義域為，又，所以是偶函數，
因為，排除BC選項，
當時，，所以，
令，所以，
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
又，，，
所以存在，，使得，，
所以當時，，當時，，
當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故A符合.
故選：A.
18．（2024·全國）函數的圖像大致為 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】分析：通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數圖像.
詳解：為奇函數，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此選B.
點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．
19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知實數滿足：，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造，，求導，得到函數單調性，得到，從而；構造，，求導后得到函數單調性，得到，設，則，從而得到，取得到，從而求出答案.
【詳解】令，，
故在上恒成立，
故在上單調遞增，
故，即，，
所以，，
令，，
則在上恒成立，
故，所以，
設，則，
故，所以，
即，由于，，
故，取得：.
所以.
故選：A
20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求導分析單調性，進而可得的大小關系，令，求導分析單調性，進而可得的大小關系.
【詳解】令得
令，解得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故
即，當且僅當時，等號成立，
所以，
則，所以
因為，
所以
令
得，
令得令得
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以
所以即
所以則
所以，
故選：B.
21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，．且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
構造函數，利用已知可判斷出其奇偶性和單調性，進而即可得出不等式的解集．
【詳解】
令，則，因此函數在上是奇函數．
①當時，，在時單調遞增，
故函數在上單調遞增．
，
，
．
②當時，函數在上是奇函數，可知：在上單調遞增，且（3），
，的解集為．
③當時，，不符合要求
不等式的解集是，，．
故選：D
22．（2024高三·全國·專題練習）已知在上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定圖象，求出和的解集，再求解給定不等式作答.
【詳解】由題圖可知，且當和時，，
當時，，則原不等式等價于，
等價于或，
等價于或，
解得:或或．
故選：D．
23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）若函數為定義在上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據不等式的結構，構造函數，判斷其奇偶性及單調性，解不等式即可.
【詳解】令，
因為為偶函數，即，
故，為偶函數，當時，，則在上單調遞增，
因為，即，
所以，故，解，
所以不等式的解集為.
故選：D
24．（2024·全國·模擬預測）已知冪函數，若，則下列說法正確的是（ ）
A．函數為奇函數 B．函數為偶函數
C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減
【答案】B
【分析】根據冪函數的解析式得出等式，構造函數應用導數求最值后確定參數值可得答案．
【詳解】依題意，則，設
單調遞減,
單調遞增,
知該方程有唯一解，故，易知該函數為偶函數.
故選：B．
25．（2024·江西鷹潭·模擬預測）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求導，再由求解.
【詳解】解：因為，
所以，
由，即，
解得，
所以函數的單調遞增區間為，
故選：D
26．（2024高二下·重慶·期中）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求導數，利用在上恒成立，分離參數進行求解.
【詳解】，因為在區間上單調遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因為二次函數的圖象的對稱軸為，且開口向上
所以的最小值為1，所以.
故選：B.
27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題干條件得到時，，故在上單調遞減，結合為偶函數，得到在上單調遞增，從而判斷出大小關系.
【詳解】時，即，
∴在上單調遞減，又為偶函數，
∴在上單調遞增．
∴，
∴.
故選：A．
28．（2024·全國·模擬預測）已知，且，，，其中是自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，，，令，利用導函數可得，再令，利用導函數求單調性即可求解.
【詳解】由題意可得，，，
令，則，
因為當時，單調遞增，
所以，即，
令，則，
因為當時，，所以在上單調遞增，
又因為且，
所以，
故選：A
29．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知實數，滿足，，其中是自然對數的底數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題可得，，構造函數，利用導數討論其單調性，即可得，再結合即可求解.
【詳解】由可得，，即，也即，
由可得，所以，
即，
構造函數，在恒成立，
所以函數在定義域上單調遞減，
所以，即，
又因為，所以，所以，解得，
故選:B.
30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習）已知，，對，且，恒有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，確定函數單調遞增，得到，設，求導得到函數的單調區間，計算最值得到答案.
【詳解】設， ，
對，且，恒有，即，
在上單調遞增，故恒成立，
即，設，，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
故，即，即.
故選：A
31．（2024·四川南充·三模）已知函數使（為常數）成立，則常數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的單調性不妨設，即可得到，令，，則問題轉化為函數在上存在單調遞增區間，即在上有解，參變分離，在構造函數求出函數的最大值，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】因為，在定義域上單調遞增，
又使（為常數）成立，
顯然，所以不妨設，則，
即，
令，，則，即函數在上存在單調遞增區間，
又，則在上有解，
則在上有解，
令，，則，所以在上單調遞增，
所以，所以，即常數的取值范圍為.
故選：C
二、多選題
32．（2024高二上·山東濟寧·期末）已知函數的定義域為且導函數為，如圖是函數的圖像，則下列說法正確的是

A．函數的增區間是
B．函數的增區間是
C．是函數的極小值點
D．是函數的極小值點
【答案】BD
【解析】先由題中圖像，確定的正負，得到函數的單調性；從而可得出函數極大值點與極小值點，進而可得出結果.
【詳解】由題意，當時，；當，；當時，；
當時，；
即函數在和上單調遞增，在上單調遞減，
因此函數在時取得極小值，在時取得極大值；
故A錯，B正確；C錯，D正確.
故選：BD.
【點睛】本題主要考查導函數對原函數的影響，根據導數的正負確定原函數單調性與極值點，屬于?？碱}型.
33．（2024·湖北武漢·二模）函數的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分類討論函數的單調性及極值點判斷各個選項即可.
【詳解】，
當時, ,A選項正確；
，
，
,
時, 有兩個根,且時
,根據極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；
當時, 有兩個根,且此時
,故B選項正確.
故選：ABC．
34．（2024·山東濰坊·模擬預測）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據函數的奇偶性的定義可判斷奇偶性，由導數即可判斷單調性.
【詳解】對于A, ,故為奇函數， ，故為定義域內的單調遞增函數，故A正確，
對于B，，故為非奇非偶函數，故B錯誤，
對于C，在定義域內不是單調增函數，故C錯誤，
對于D，，，所以 定義域內既是奇函數又是增函數，故D正確，
故選：AD
35．（2024高二下·廣東潮州·開學考試）已知函數，則（ ）
A．在單調遞增
B．有兩個零點
C．曲線在點處切線的斜率為
D．是奇函數
【答案】AC
【分析】利用導數研究函數的單調性，結合單調性即可判斷零點個數，根據導數的幾何意義，以及奇偶性的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：，定義域為，則，
由都在單調遞增，故也在單調遞增，
又，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故A正確；
對B：由A知，在單調遞減，在單調遞增，又，
故只有一個零點，B錯誤；
對C：，根據導數幾何意義可知，C正確；
對D： 定義域為，不關于原點對稱，故是非奇非偶函數，D錯誤.
故選：AC.
36．（2024·河北·模擬預測）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】構造函數后根據函數單調性，結合對數函數，指數函數單調性判斷各個選項即可.
【詳解】設，，則在上恒成立，
所以在上單調遞增，因為，所以，A正確；
由得，即，又因為單調遞增，所以，B正確；
由得，即 ，所以，C錯誤；
因為，所以，D正確．
故選：ABD.
37．（2024·浙江金華·模擬預測）當且時，不等式恒成立，則自然數可能為（ ）
A．0 B．2 C．8 D．12
【答案】BC
【分析】構造函數利用導數確定單調性進而最值，將問題轉化成，進一步由對數運算得恒成立，即可代入選項逐一求解.
【詳解】由于且，所以，所以，
構造函數，
當，且時，
故當 當，因此 在單調遞減，在 單調遞增，故當 時，取最小值 ，
當時， 單調遞增，當時， 單調遞減，故當時， 取最大值，
當時，不妨取 ，則而，不滿足，故A錯誤，
當時，，，顯然，故滿足題意，B正確，
要使恒成立，則需要，即恒成立即可
由于，因此
當 時，， C正確，
當 時，，不滿足題意，錯誤，
故選：BC
【點睛】處理多變量函數最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關注代數式和積關系的轉化.
（3）構造函數，利用導數求解最值.
三、填空題
38．（2024高二下·四川眉山·階段練習）的單調遞減區間是 .
【答案】
【分析】求導，利用導函數求出函數的遞減區間.
【詳解】的定義域是，，
令，解得，
故的單調遞減區間是.
故答案為：
39．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）已知函數，則的單調遞減區間為 .
【答案】
【分析】由題得定義域，解即得函數的單調遞減區間.
【詳解】由題得的定義域為，
由可得，
令，，得，所以的單調遞減區間為.
故答案為：
40．（2024·四川雅安·模擬預測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數 ．（寫出一個滿足條件的函數即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由條件①可選指數函數，由條件②可選單調減函數，結合①②寫出函數式作答.
【詳解】由，知，函數可以為指數函數，
因當時，，則函數在上單調遞減，
所以函數可以為.
故答案為：
41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習）已知函數，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】先根據函數特點構造，得到其奇偶性和單調性，再對不等式變形得到，根據單調性得到，解不等式求出答案.
【詳解】令，定義域為R，
且，
所以為奇函數，
變形為，
即，
其，當且僅當，即時，等號成立，
所以在R上單調遞增，
所以，解得：，
所以解集為.
故答案為：
42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據函數解析式，利用導數判斷出函數單調區間，根據題意可得,即可得實數的取值范圍為
【詳解】由可知，其定義域為，
則，
易知當時，；當時，；
即函數在單調遞減，在上單調遞增；
若函數在區間上不單調，則需滿足，
解得；
所以實數的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題
43．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，.
(1)若，求a的取值范圍；
(2)求函數在上的單調性.
【答案】(1)
(2)在上單調遞增
【分析】（1）對進行分類討論，結合分離常數法、構造函數法以及導數求得的取值范圍.
（2）先得到、，然后得到，從而求得正確答案.
【詳解】（1）由題意知的定義域為.
①當時，由得，設，則，
當時，，故在上單調遞減；
當時，，故在上單調遞增，
所以，因此.
②當時，若，因為，不合題意.
所以，此時恒成立.
③當時，，此時.
綜上可得，a的取值范圍是.
（2）設，，則，所以在上單調遞減，
所以，即在上恒成立. 所以.
又由（1）知，
所以當時，，
所以在上單調遞增.
44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，判斷的單調性，并說明理由.
【答案】在上單調遞增，理由見解析
【分析】先求導得到，再通過求導判斷分子恒為正，得到，最后得到單調遞增.
【詳解】，
令，則，
所以在區間單調遞增，
所以，而在區間恒成立，
所以在區間恒成立，
所以在上單調遞增.
45．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】先求導得到的解析式，再設函數進行求導，根據參數的取值不同分別判斷單調性即可.
【詳解】由函數，可得，
設，可得，
①當時，恒成立，所以在單調遞增；
②當時，令，解得，此時單調遞增，
令，解得，此時單調遞減，
綜上，當時，在單調遞增；
當時，在單調遞減，在單調遞增.
46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性；
【答案】在上單調遞減，在上單調遞增
【分析】求出函數的導數，討論其導數的正負，即可判斷函數的單調性.
【詳解】函數的定義域為，．
令，解得，
則有當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
47．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)設，討論函數的單調性.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）當，對求導，求出，在由導數的幾何意義求解即可；
（2）先對原函數求導，然后利用分類討論的思想進行分析求解即可.
【詳解】（1），，，
當時，，
切點坐標為，
又，切線斜率為，
曲線在處切線方程為：.
（2），，
，， ，，
①當時，成立，
的單調遞減區間為，無單調遞增區間.
②當時，令，
所以當時，，在上單調遞減
時，，在上單調遞增
綜上: 時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間；
時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
48．（2024高三·北京海淀·專題練習）設函數．
(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；
(2)求的單調區間．
【答案】(1)1
(2)答案見解析
【分析】由曲線在點處的切線與軸平行知，，可得，驗證與軸不重合.
，根據的范圍不同，對的符合影響，及兩根的比較，將分類進而求單調區間.
【詳解】（1）因為，
所以
.
.
由題設知，即，解得.
此時.
所以的值為1.
（2）由（1）得．
1）當時，令，得，
所以的變化情況如下表：
單調遞增 極大值 單調遞減
2）當，令，得或2
①當時，，所以的變化情況如下表：
2
0 0
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減
②當時，
（?。┊敿磿r，
2
0 0
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
（ⅱ）當即時，恒成立，所以在上單調遞增；
（ⅲ）當即時，
2
0 0
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
綜上，
當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；
當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；
當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間為；
當時，的單調遞增區間是，無單調遞減區間；
當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．
【點睛】方法點睛：討論含參函數的單調性問題，需根據參數的導函數符號的影響，及導函數的零點大小比較進行分類.
49．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】
先對求導通分，然后對分子因式分解，最后對參數分類討論得到不同情況下的函數的單調性.
【詳解】因為定義域為，
所以，
①當時恒成立，此時在上單調遞增；
②當時令，解得或，
此時在，上單調遞增，
令，解得，此時在單調遞減；
③當時恒成立，此時單調遞增；
④當時令，解得或，此時在，上單調遞增，
令，解得，此時在上單調遞減，
綜上可得，當或時在上單調遞增；
當時在上單調遞減，在和上單調遞增；
當時在上單調遞減，在和上單調遞增.
50．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】
求出函數的導數，通過討論的范圍，判斷函數的單調性即可；
【詳解】由題意可得的定義域為，且．
令，則，又．
當，即時，，在上單調遞增．
當，即或時，有兩個根，．
若，，，則當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減；
若，，則當或時，，單調遞增，
當時，，單調遞減．
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．
51．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性；
【答案】答案見解析
【分析】求出函數的導數，再分類討論求解為正為負時的不等式作答.
【詳解】函數的定義域為，求導得，
①當，即時，恒成立，此時在上單調遞減；
②當，即時，由解得，，
由解得，，由解得或，
此時在上單調遞增，在和上單調遞減；
③當，即時，由解得或(舍)，
由解得，由解得，
此時在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，函數在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在和上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
52．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】
求函數的導數，討論參數a，結合導數的符號判斷函數單調性即可.
【詳解】依題意，
若，則，當時，當時.
若，令，，令，解得或.
若，則；若，則；
若且，令，得，.
若，則，
當時，當時，當時；
若，則，
當時，當時，當時.
綜上所述：時在R上單調遞增；
時在和上單調遞增，在上單調遞減；
時在上單調遞減，在上單調遞增；
時在和上單調遞減，在上單調遞增；
時在R上單調遞減；
53．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】
求導，結合二次函數的性質，即可根據導函數的正負確定函數的單調區間.
【詳解】
， ()
令，，
①當，即時，即，恒成立，所以，此時，在區間上是增函數；
②當，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，
當時，，所以在區間上恒成立，
即在區間上恒成立，此時在區間上是增函數；
當時，，且，
由，得到或，時，，時，，
即時，，時，
此時，在上是減函數，在上是增函數.
綜上所述，當時，在上是增函數；
當時，在上是減函數，
在上是增函數.
54．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，其中，討論函數的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調區間.
【詳解】，，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，當時，，當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.
55．（2024高三·全國·專題練習）已知.（），討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調區間.
【詳解】因為，
所以，
若時，單調遞減，
時，，單調遞增；
若，由得或，
設，則，
時，單調遞減，
時，單調遞增，
所以，所以，
所以時，單調遞減，
，時，，單調遞增.
綜上得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.
56．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】求導，分，，，討論求解.
【詳解】由題知，.
當時，當時，；當時，，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，；當或時，；當時，；
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增；
當時，；當或時，；當時，；
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
綜上所述，當時，在區間上單調遞減，在區間上是增函數；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
57．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
【答案】答案見解析
【分析】先求導得出，然后解，得出兩根.然后分，，三種情況，比較的大小關系，根據導函數即可得出答案.
【詳解】因為，
所以，
令，則兩根分別為，.
①當時，此時有，
在恒成立，故的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
②當時，此時有.
令，得或，所以的單調遞增區間為，；
令，得，所以的單調遞減區間為.
③當時，此時有.
令得或時，所以的單調遞增區間為，；
令得，所以的單調遞減區間為.
綜上所述，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，單調遞增區間為，，單調遞減區間為；當時，單調遞增區間為，，單調遞減區間為.
58．（2024高三·全國·專題練習）已知函數（，且）求函數的單調區間；
【答案】單調遞增區間為，單調遞減區間為
【分析】對函數求導且，分別在、上討論、對應導函數的符號，進而求其單調區間.
【詳解】定義域為，（，且），則.
當時，，，
若，則，，得，于是，
若，則，，得，于是，
∴當時， 即在上單調遞增；
當時，，，
若，則，，得，于是，
若，則，，得，于是，
∴當時，即在上單調遞減；
綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
59．（2024高三·全國·專題練習）設函數，其中，討論的單調性.
【答案】答案見解析.
【分析】求導，分，，，討論求解.
【詳解】由
①時，由，令，解得，
所以時，時，，
則在單調遞增，在單調遞減；
②時，由，
（i）時，因為，則在單調遞增，
（ii）時，，解得或，
所以時，時，，
則在，上單調遞增，在單調遞減；
（iii）時，由，
所以時，時，，
則在，上單調遞增，在單調遞減；
綜上：時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
時，的單調遞增區間為；
時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
60．（2024高三·全國·專題練習）設，函數，討論在的單調性.
【答案】在單調遞減，在單調遞增.
【分析】利用多次求導的方法來求得在區間上的單調性.
【詳解】因為，所以在有定義，
，
設，
則，
當時，，
所以 在單調遞增，
而，所以當時時 ，
因此在單調遞減，在單調遞增.
61．（2024·北京）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數在上的單調性；
(3)證明：對任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調遞增.
(3)證明見解析
【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導數無法判斷的情況下，構造新的函數，再求一次導數，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞）上單調遞增，即得證.
【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因為，
所以，
令，
則，
∴在上單調遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調遞增.
（3）解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調遞增，
∴，
∴
∴在上單調遞增，又因為，
∴，所以命題得證.
62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質量檢測文科數學試題）設函數的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11）．
(1)求a、b的值．
(2)討論函數f（x）的單調性．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據導數的幾何意義進行求解即可；
（2）根據函數導函數與單調性的關系進行求解即可.
【詳解】（1）由，
因為函數的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11），
所以有，解得；
（2）由（1）可知，所以，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增，
所以當時，單調遞增；當時，單調遞減；
當時，單調遞增.
【點睛】關鍵點睛：根據函數導函數的正負性判斷函數的單調性是解題的關鍵.
63．（2024·甘肅天水·一模）設函數
(1)若函數在上遞增，在上遞減，求實數的值.
(2)討論在上的單調性.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）先求得，由求得.
（2）先求得，對進行分類討論，由此求得在上的單調性.
【詳解】（1）的定義域為，，
由，解得，
此時，
則在區間上單調遞增；
在區間上單調遞減，符合題意.
所以的值為.
（2）∵，
∴，
①當時，在上單調遞增.
②當，即或時，，
∴在上單調遞減.
③當且時，
由 得.
令得；令得.
∴在上單調遞增，在上單調遞減.
綜上，當時，在上遞增；
當或時，在上遞減；
當且時，在上遞增，在上遞減.
【點睛】利用導數研究函數的單調性，當導函數含有參數時，要對參數進行分類討論.分類討論標準的制定主要是根據導函數的結構來進行，分類討論要做到不重不漏.部分題目，一次求導無法求得函數的單調區間，則可以考慮利用多次求導來進行研究.
64．（2024·全國）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論導函數的符號即可確定原函數的單調性；
(2)首先求得導數過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據此即可求得公共點坐標.
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
導函數的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯立得，
化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.
【點睛】本題考查利用導數研究含有參數的函數的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數，要依據其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數曲線的公共點坐標時，要注意除了已經求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
65．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數（）．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據導數的幾何意義求切線方程：求出導函數，計算并計算出，由點斜式得切線方程并化簡；
（2）求出導函數，然后分類討論確定和的解得單調區間．
【詳解】（1）若，則，所以，
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
（2），
當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增
當時，令，解得或，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，由在上恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令，解得或，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
66．（2024·全國）已知函數f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設a>0時，討論函數g（x）=的單調性．
【答案】（1）；（2）在區間和上單調遞減，沒有遞增區間
【分析】（1）[方法三]不等式轉化為，構造新函數，利用導數求出新函數的最大值，進而進行求解即可；
（2）對函數求導，把導函數的分子構成一個新函數 ，再求導得到，根據的正負，判斷 的單調性，進而確定的正負性，最后求出函數的單調性.
【詳解】（1）
[方法一]【最優解】：
等價于．
設，則．
當時，，所以在區間內單調遞增；
當時，，所以在區間內單調遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當時恒成立，
而在點處的切線為，從而有，
當時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數的定義域為：
，
設，則有 ，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以當時，函數有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設 ，
則有，
當時，，所以， 單調遞減，因此有，即
，所以單調遞減；
當時，，所以， 單調遞增，因此有，即 ，所以單調遞減，
所以函數在區間和 上單調遞減，沒有遞增區間.
【整體點評】(1)方法一：分類參數之后構造函數是處理恒成立問題的最常用方法，它體現了等價轉化的數學思想，同時是的導數的工具也得到了充分利用；
方法二：切線放縮體現了解題的靈活性，將數形結合的思想應用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎.
方法二：利用最值確定參數取值范圍也是一種常用的方法，體現了等價轉化的數學思想.
67．（2023·重慶）設函數若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求：
（Ⅰ）的值;
（Ⅱ）函數的單調區間.
【答案】（1）;（2）單調增區間是和，減區間是.
【分析】（1）求出，利用，解方程可得結果；(2）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間.
【詳解】（1）的定義域為R
所以，
由條件得，解得或（舍）
所以
(2）因為，所以，
，解得或
所以當或時，
當時，，
所以的單調增區間是和，減區間是.
【點睛】利用導數的幾何意義可求出函數在某一點出的切線斜率，求增區間需解不等,，求減區間需解不等式
68．（2024·北京）設函數，曲線在點處的切線方程為，
（1）求，的值；
（2）求的單調區間.
【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區間為.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據題意求出，根據求a,b的值即可；
（Ⅱ）由題意判斷的符號，即判斷的單調性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的單調區間.
試題解析：（Ⅰ）因為，所以.
依題設，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，與同號.
令，則.
所以，當時，，在區間上單調遞減；
當時，，在區間上單調遞增.
故是在區間上的最小值，
從而.
綜上可知，，.故的單調遞增區間為.
【考點】導數的應用；運算求解能力
【名師點睛】用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間．在對函數劃分單調區間時，除必須確定使導數等于0的點外，還要注意定義區間內的間斷點．
69．（2024·山東）設函數，其中，求的單調區間．
【答案】答案見解析
【分析】求出函數的定義域，對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的增區間和減區間.
【詳解】函數的定義域為，.
①當時，對任意的，，
此時，函數的減區間為，無增區間；
②當時，由可得，由可得.
此時，函數的減區間為，增區間為.
綜上所述，當時，函數的減區間為，無增區間；
當時，函數的減區間為，增區間為.
70．（2024·陜西）設函數，其中為實數．
(1)若的定義域為，求的取值范圍；
(2)當的定義域為時，求的單調減區間．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由已知，，，則，可解得實數的取值范圍；
（2）求出，對實數的取值范圍進行討論，利用導數與函數單調性之間的關系可求得函數的單調遞減區間.
【詳解】（1）解：由題意可知，，，則，解得.
因此，實數的取值范圍是.
（2）解：由題意可知，，.
因為時，.
①當時，即當時，由可得，
此時函數的單調遞減區間為；
②當時，即當時，對任意的，且不恒為零，
此時函數無單調遞減區間；
③當時，即當時，由可得，
此時函數的單調遞減區間為.
綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為；
當時，函數無單調遞減區間；
當時，函數的單調遞減區間為.
71．（2008·北京）已知函數，求導函數，并確定的單調區間．
【答案】導函數為；
當時，函數的增區間為，減區間為和，
當時，函數的增區間為，減區間為和，
當時，函數的減區間為和．
【分析】根據函數的求導法則進行求導，然后由導數大于0時原函數單調遞增，導數小于0時原函數單調遞減可得答案．
【詳解】解：．
令，得．
當，即時，的變化情況如下表：
0
當，即時，的變化情況如下表：
0
所以，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減．
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
當，即時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減．
綜上：
導函數為；
當時，函數的增區間為，減區間為和，
當時，函數的增區間為，減區間為和，
當時，函數的減區間為和．
72．（2024·全國）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
（2）原問題即在區間上恒成立，整理變形可得在區間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據此可得，
所以函數在處的切線方程為，即.
（2）由函數的解析式可得，
滿足題意時在區間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區間上恒成立，
則，
當時，由于，故，在區間上單調遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
即在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，滿足題意.
當時，由可得，
當時，在區間上單調遞減，即單調遞減，
注意到，故當時，，單調遞減，
由于，故當時，，不合題意.
綜上可知：實數得取值范圍是.
【點睛】方法點睛：
（1）求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
（2）由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
①函數在區間上單調，實際上就是在該區間上(或)恒成立．
②函數在區間上存在單調區間，實際上就是(或)在該區間上存在解集．
73．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數．
(1)若函數的單調遞減區間為，求實數a的值；
(2)若函數在單調遞減，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的單調遞減區間為，得出是兩個根，求出實數a的值并驗證成立；
（2）由函數在單調遞減，得出對恒成立，再求解實數a的取值范圍．
【詳解】（1），
∵函數的單調遞減區間為，
所以是的兩個根，
所以，解得.
經檢驗當時，由，解得，
所以函數的單調遞減區間為.
所以.
（2）∵在單調遞減
∴對恒成立，
即，恒成立
∴.
74．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.若函數為增函數，求的取值范圍.
【答案】
【分析】對求導，利用已知單調性分離參數轉換成恒成立問題，再構造函數，求出最值即可.
【詳解】∵，
則，
若是增函數，則，且，
可得，
故原題意等價于對恒成立，
構建，則，
令，解得；
令，解得；
則在上遞增，在遞減，
故，
∴的取值范圍為.
75．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若單調遞增，求a的值.
【答案】1
【分析】先對求導，因為單調遞增，所以恒成立，再構造函數，分別討論時的符號和單調性，最終得到值.
【詳解】由可得，，
由于函數單調遞增，則恒成立，
當時，，可知時，，不滿足題意；
設，則，
當時，，函數單調遞增，
又因為，即，不滿足題意；
當時，令，解得，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，
由可得，，令，則，
可知時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減，
則，由于恒成立，
所以，，當且僅當時取等號，
故函數單調遞增時，實數的值為1.
76．（2024·貴州貴陽·模擬預測）實數，，．
(1)若恒成立，求實數的取值范圍；
(2)討論的單調性并寫出過程．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）采用分離參數，轉化為函數的最值問題即可求解.
(2)對分類討論，根據單調性即可求解.
【詳解】（1）由題意得，令，的定義域為，
由得：．
設，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
，即實數的取值范圍為．
（2）令，的定義域為．
①當時，時，，在上是增函數；
時，，在上是減函數；
時，，在上是增函數；
②當時，，
時，在上是減函數；
時，在上是增函數；
③當時，單調遞增；
④當時，時，，在上是增函數，
時，，在上是減函數，
時，，是增函數．
【點睛】方法點睛:1.兩招破解不等式的恒成立問題
(1)分離參數法
第一步:將原不等式分離參數,轉化為不含參數的函數的最值問題
第二步:利用導數求該函數的最值;
第三步:根據要求得所求范圍.
(2)函數思想法
第一步將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題;
第二步:利用導數求該函數的極值;
第三步:構建不等式求解.
2.利用導數解決不等式存在性問題的方法技巧
根據條件將問題轉化為某函數在該區間上最大(小)值滿足的不等式成立問題,進而用導數求該函數在該區間上的最值問題,最后構建不等式求解.專題12 導數的應用--函數的單調性問題5題型分類
一、單調性基礎知識
1、函數的單調性
函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
2、已知函數的單調性問題
①若在某個區間上單調遞增，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區間上單調遞增；
②若在某個區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區間上單調遞減.
二、討論單調區間問題
類型一：不含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導.
（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；
類型二：含參數單調性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；
（5）導數圖象定區間；
（一） 利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象 原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）.
題型1：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象 1-1．（天津市西青區為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數學試題）已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 1-2．（天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數學試題）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ） A． B． C． D． 1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中可能是圖象的是（ ） A． B． C． D． 1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數的大致圖像如圖所示，是的導函數，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D．
（二） 求單調區間 1.求函數的單調區間的步驟如下： （1）求的定義域 （2）求出. （3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線. （4）在定義域內，令，解出的取值范圍，得函數的單調遞增區間；令，解出的取值范圍，得函數的單調遞減區間.若一個函數具有相同單調性的區間不只一個，則這些單調區間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開. 2.導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面： （1）在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域； （2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式； （3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用. 3.已知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍 （1）已知函數在區間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數的形式及圖象特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等. （2）已知區間上函數不單調，轉化為導數在區間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍. （3）已知函數在區間上存在單調遞增或遞減區間，轉化為導函數在區間上大于零或小于零有解.
題型2：求單調區間 2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數的單調遞增區間（ ） A． B． C． D． 2-3．（2024·上海靜安·二模）函數（　?。?A．嚴格增函數 B．在上是嚴格增函數，在上是嚴格減函數 C．嚴格減函數 D．在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數
題型3：已知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍 3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024·山東濟寧·一模）若函數且在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ） A． B． C． D．m>1 3-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數（）在區間上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是 A． B． C． D． 3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數的單調遞減區間是，則（ ） A．3 B． C．2 D．
（三） 函數單調性的討論 1.確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開. 2、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減.（注意定義域的間斷情況）. 3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區間段. 4、利用草稿圖象輔助說明.
題型4：不含參數單調性討論 4-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.試判斷函數在上單調性并證明你的結論； 4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，若，求的單調區間. 4-3．（2024·貴州·二模）已知函數． (1)求曲線在點處的切線方程； (2)討論在上的單調性．
題型5：含參數單調性討論 5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．討論的單調性； 5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 5-4．（2024高二下·全國·課后作業）已知函數.討論函數的單調性. 5-5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性. 5-6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，其中，討論函數的單調性. 5-7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調區間. 5-8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.判斷函數的單調性.
一、單選題
1．（2024高三·全國·課后作業）函數（a、b為正數）的嚴格減區間是（ ）．
A． B．與
C．與 D．
2．（2024高二上·浙江·開學考試）已知函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·青海西寧·開學考試）已知函數.若對任意，，且，都有，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全國·專題練習）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在，上單調遞增，在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全國）已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國）設，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·河南·階段練習）下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的函數是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·河南·階段練習）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·河南許昌·階段練習）函數在下面哪個區間內是增函數
A． B． C． D．
12．（2024·全國）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數的導函數的圖像如下圖，那么的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·湖南）若函數的導函數在區間上是增函數，則函數在區間上的圖象可能是
A．B．
C．D．
16．（2024·全國）函數的圖像大致為
A． B．
C． D．
17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·全國）函數的圖像大致為 (　　)
A． B．
C． D．
19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知實數滿足：，則（ ）
A． B． C． D．
20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，．且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024高三·全國·專題練習）已知在上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）

A． B．
C． D．
23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）若函數為定義在上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·全國·模擬預測）已知冪函數，若，則下列說法正確的是（ ）
A．函數為奇函數 B．函數為偶函數
C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減
25．（2024·江西鷹潭·模擬預測）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
26．（2024高二下·重慶·期中）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·全國·模擬預測）已知，且，，，其中是自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知實數，滿足，，其中是自然對數的底數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習）已知，，對，且，恒有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·四川南充·三模）已知函數使（為常數）成立，則常數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
32．（2024高二上·山東濟寧·期末）已知函數的定義域為且導函數為，如圖是函數的圖像，則下列說法正確的是

A．函數的增區間是
B．函數的增區間是
C．是函數的極小值點
D．是函數的極小值點
33．（2024·湖北武漢·二模）函數的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·山東濰坊·模擬預測）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024高二下·廣東潮州·開學考試）已知函數，則（ ）
A．在單調遞增
B．有兩個零點
C．曲線在點處切線的斜率為
D．是奇函數
36．（2024·河北·模擬預測）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若，則（ ）
A． B．
C． D．
37．（2024·浙江金華·模擬預測）當且時，不等式恒成立，則自然數可能為（ ）
A．0 B．2 C．8 D．12
三、填空題
38．（2024高二下·四川眉山·階段練習）的單調遞減區間是 .
39．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）已知函數，則的單調遞減區間為 .
40．（2024·四川雅安·模擬預測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數 ．（寫出一個滿足條件的函數即可）
41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習）已知函數，則不等式的解集為 ．
42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題
43．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，.
(1)若，求a的取值范圍；
(2)求函數在上的單調性.
44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，判斷的單調性，并說明理由.
45．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.
46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性；
47．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)設，討論函數的單調性.
48．（2024高三·北京海淀·專題練習）設函數．
(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；
(2)求的單調區間．
49．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調性.
50．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.
51．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性；
52．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調性.
53．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
54．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，其中，討論函數的單調性.
55．（2024高三·全國·專題練習）已知.（），討論的單調性.
56．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數的單調性.
57．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.
58．（2024高三·全國·專題練習）已知函數（，且）求函數的單調區間；
59．（2024高三·全國·專題練習）設函數，其中，討論的單調性.
60．（2024高三·全國·專題練習）設，函數，討論在的單調性.
61．（2024·北京）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數在上的單調性；
(3)證明：對任意的，有．
62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質量檢測文科數學試題）設函數的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11）．
(1)求a、b的值．
(2)討論函數f（x）的單調性．
63．（2024·甘肅天水·一模）設函數
(1)若函數在上遞增，在上遞減，求實數的值.
(2)討論在上的單調性.
64．（2024·全國）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
65．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數（）．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性．
66．（2024·全國）已知函數f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設a>0時，討論函數g（x）=的單調性．
67．（2023·重慶）設函數若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求：
（Ⅰ）的值;
（Ⅱ）函數的單調區間.
68．（2024·北京）設函數，曲線在點處的切線方程為，
（1）求，的值；
（2）求的單調區間.
69．（2024·山東）設函數，其中，求的單調區間．
70．（2024·陜西）設函數，其中為實數．
(1)若的定義域為，求的取值范圍；
(2)當的定義域為時，求的單調減區間．
71．（2008·北京）已知函數，求導函數，并確定的單調區間．
72．（2024·全國）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
73．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數．
(1)若函數的單調遞減區間為，求實數a的值；
(2)若函數在單調遞減，求實數a的取值范圍．
74．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.若函數為增函數，求的取值范圍.
75．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若單調遞增，求a的值.
76．（2024·貴州貴陽·模擬預測）實數，，．
(1)若恒成立，求實數的取值范圍；
(2)討論的單調性并寫出過程．

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