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專題11 導數的概念、運算及幾何意義9題型分類
一、導數的概念和幾何性質
1.概念
函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．
注：①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近；
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．
2.幾何意義
函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．
3.物理意義
函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．
二、導數的運算
1.求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2.導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3.復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
4.導數的幾何意義
（1）在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
（2）過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
（一） 導數的定義 對所給函數式經過添項.拆項等恒等變形與導數定義結構相同，然后根據導數定義直接寫出．
題型1：導數的定義 1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】結合圖象以及導數的知識求得正確答案. 【詳解】由圖象可知， 即. 故選：D 1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（ ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 【答案】C 【分析】利用導數的定義直接求得. 【詳解】由，求導得：. 當時，，解得（舍去）. 故當時，液體上升高度的瞬時變化率為. 故選：C 1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函數的導函數是，若，則（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】 根據導數定義，將增量化成即可得到. 【詳解】因為 所以 故選：B 1-4．（2024高二下·重慶·階段練習）若函數在處可導，且，則（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根據導數的定義進行求解即可． 【詳解】由導數定義可得， 所以． 故選：A． 1-5．（2024高三·全國·課后作業）若在處可導，則可以等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用導數的定義對各選項逐一分析計算并判斷得出結果. 【詳解】由導數定義， 對于A， ，A滿足； 對于B，， ，B不滿足； 對于C，， ，C不滿足； 對于D，， ，D不滿足. 故選：A.
（二） 求函數的導數 對所給函數求導，其方法是利用和.差.積.商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求導問題．
題型2：求函數的導數 2-1．（2024·湖北武漢·三模）已知函數，則 . 【答案】-2 【分析】利用復合函數求導法則求導，求出函數，再求函數值作答. 【詳解】由函數求導得：，當時，，解得， 因此，，所以. 故答案為：-2 2-2．（2024高三下·河南·階段練習）已知函數的導函數為，且，則 ． 【答案】 【分析】對等式兩邊求導得，將代入可得關于的等式，解之即可. 【詳解】因為，則，故，故． 故答案為：. 2-3．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的導數． (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函數的導數和求導法則，逐一對各個求導即可求出結果. 【詳解】（1）因為，所以. （2）因為，所以. （3）因為，所以 （4）因為，所以 2-4．（2024高三·全國·課后作業）求下列函數的導數： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【分析】根據導數的運算法則求解即可. 【詳解】（1） . （2）， 所以. （3）. （4） . （5）. （6）， 故 .
（三） 導數的幾何意義 函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經過某點的切線的區別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上．
題型3：在某點處的切線方程 3-1．（2024·廣東廣州·三模）曲線在點處的切線方程為 ． 【答案】 【分析】利用導數的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程. 【詳解】函數的導函數為， 所以函數在處的導數值， 所以曲線在點處的切線斜率為， 所以曲線在點處的切線方程為，即， 故答案為：. 3-2．（2024·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函數的導數，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可. 【詳解】，，，， 因此，所求切線的方程為，即. 故選：B. 【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題 3-3．（2024高三上·陜西·階段練習）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據導數求解出直線的斜率，然后求出直線方程即可； 【詳解】因為， 所以所求切線的斜率， 故該切線的方程為,即 故選：A. 3-4．（2024·全國）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解. 【詳解】設曲線在點處的切線方程為， 因為， 所以， 所以 所以 所以曲線在點處的切線方程為. 故選：C 3-5．（2024·全國）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定點是否為切點，再利用導數的幾何意義求解. 【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C． 【點睛】本題考查利用導數工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養．采取導數法，利用函數與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．
題型4：過某點的切線方程 4-1．（2024·湖南·模擬預測）過點作曲線的切線，則切點的橫坐標為 ，這條切線在x軸上的截距為 ． 【答案】 【分析】設出切點坐標為，利用導數的幾何意義可得切線斜率為，再由兩點間斜率公式可得，解得，即可求得切線方程，進而得出結果. 【詳解】設切點坐標為， 因為，所以， 即，解得， 所以切線方程為， 可知該切線在x軸上的截距為． 故答案為：， 4-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）曲線過坐標原點的兩條切線方程為 ， . 【答案】 【分析】由對稱性，只需先求當時，的切線方程.設切點，利用斜率相等建立方程求解即可. 【詳解】當時，， 設切點為，則，即，解得， 則切線斜率為，切線方程為. 又因為為偶函數，所以當時，切線方程為. 故答案為：，. 4-3．（山東新高考聯合質量測評2023-2024學年高三上學期9月聯考數學試題）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出函數的導函數，設切點坐標為，即可得到切線方程，依題意關于的方程有兩個不同的解、，利用韋達定理計算可得. 【詳解】因為，所以，設切點坐標為， 所以，所以切線方程為， 所以，即， 依題意關于的方程有兩個不同的解、， 即關于的方程有兩個不同的解、， 所以. 故選：D
題型5：已知切線求參數問題 5-1．（2024·重慶·三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根據導數的幾何意義可得，求解即可. 【詳解】由且x不為0，得 設切點為，則，即， 所以，可得. 故選：C 5-2．（2024·全國）設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【詳解】D 試題分析：根據導數的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算． 解：， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案選D． 考點：利用導數研究曲線上某點切線方程． 5-3．（2024·全國）曲線在點處的切線的斜率為，則 ． 【答案】 【分析】求導，利用導數的幾何意義計算即可． 【詳解】解： 則 所以 故答案為-3. 【點睛】本題主要考查導數的計算和導數的幾何意義，屬于基礎題． 5-4．（2024·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得． 【詳解】詳解： ， 將代入得，故選D． 【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系．
題型6：切線平行、垂直、重合問題 6-1．（2024·安徽六安·三模）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設函數圖象上切點為，求出函數的導函數，根據求出切點坐標與切線方程，設函數的圖象上的切點為，根據，得到，再由，即可求出，從而得解； 【詳解】解：設函數圖象上切點為，因為，所以，得， 所以，所以切線方程為，即，設函數的圖象上的切點為，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以． 故選：A 6-2．（2024·湖南長沙·一模）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數的值為（ ） A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3 【答案】B 【分析】求出導函數.設，由曲線在處的切線平行，得到.易得都是方程的解，因此可代入后兩式比較從而得出只含有的方程，可解出值，代入檢驗是我們都容易忘記的，是易錯點，解題時要注意． 【詳解】設，由得， 由題意，因為，則有． 把代入得， 由題意都是此方程的解，即①， ， 化簡為②， 把①代入②并化簡得，即，， 當時，①②兩式相同，說明，舍去．所以． 故選：B． 6-3．（2024高三上·浙江·期中）若函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求導，由導數的幾何意義和直線垂直的性質，以及余弦函數進行求解. 【詳解】因為，所以， 因為函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線， 不妨設函數在和的切線互相垂直， 則，即①， 因為a一定存在，即方程①一定有解，所以， 即，解得或， 又，所以或，， 所以方程①變為，所以，故A，B，D錯誤. 故選：C. 6-4．（2024高三·江西撫州·開學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函數的導數，根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線方程，繼而求得的坐標，可得的表達式，由此設，可利用導數判斷函數單調性，即可求得答案. 【詳解】由題意知，當時，， 當時，， 因為切線互相垂直，所以， 所以，所以， 直線的方程為，令，得， 故， 直線的方程為，令，得， 故， 所以， 設，則， 在上單調遞減，所以，即， 故選：A. 6-5．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習）設函數在處的切線與直線平行，則（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由條件，根據導數的幾何意義及兩平行直線的斜率關系列方程求. 【詳解】函數的定義域為， 由已知，故， 函數的導函數， 所以， 因為函數在處的切線與直線平行， 所以，所以，經驗證，此時滿足題意. 故選：D. 6-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標為（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】設P點坐標，求出函數的導數，根據導數的幾何意義列出方程，求得答案. 【詳解】設，點 ， 則， 由在點P處的切線與直線垂直可得，即， 又，∴, 故選：B
題型7：公切線問題 7-1．（2024·山東煙臺·三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為 ． 【答案】 【分析】利用導數的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉化為方程的根的個數問題，構造函數，利用導數研究其性質，作出圖象，數形結合求解即可． 【詳解】令，，則，， 設，則曲線在處切線為， 設，則曲線在處切線為， 由題意，消去得， 由題意，方程有兩個不同的實數根， 令，則， 當時，單調遞增； 當時，單調遞減； 當時，單調遞增， 故當時，取極大值；當時，取極小值， 又當時，根據以上信息作出的大致圖象， 由圖可知當，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數根， 所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為． 故答案為：． 7-2．（2024·全國）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ． 【答案】 【詳解】試題分析：對函數求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得. 【考點】導數的幾何意義 【名師點睛】函數f （x）在點x0處的導數f ′（x0）的幾何意義是曲線y＝f （x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y y0＝f ′（x0）（x x0）． 注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同． 7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為 . 【答案】1 【分析】構造函數，設切點為，設，設切點為，結合條件得到是函數和的圖象與曲線交點的橫坐標，利用對稱性得出關于直線對稱，從而得出，，然后計算出． 【詳解】設，則，設切點為，則， 則切線方程為，即， 直線過定點， 所以，所以， 設，則，設切點為，則， 則切線方程為，即， 直線過定點， 所以，所以， 則是函數和的圖象與曲線交點的橫坐標， 易知與的圖象關于直線對稱，而曲線也關于直線對稱， 因此點關于直線對稱， 從而，， 所以． 故答案為：1.
題型8：切線的條數問題 8-1．（2024高二下·福建廈門·期中）若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數的取值范圍是 . 【答案】或 【分析】 設切點，然后利用導數的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程化簡，得到關于的二次方程，則此方程有兩個不相等的實根，從而由可求得答案. 【詳解】 ，設切點，則切線的斜率為， 故切線方程為， 取，代入，得， ∵，∴有兩個不等實根， 故，解之，得或， 故答案為：或 8-2．（2024·福建廈門·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則的范圍是 ． 【答案】 【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉化為函數圖象與直線有兩個交點，然后利用導數研究單調性，畫出大致圖象，即可得答案． 【詳解】設切線切點為,，又，所以切線斜率為 因為，所以切線方程為：． 又切線過，則，即 則由題可知函數圖象與直線有兩個交點， 由得，由得 所以在上單調遞增，在上單調遞減． 又，又，，，． 據此可得大致圖象如下． 則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線． 故答案為：. 8-3．（2024高三上·福建漳州·階段練習）已知函數，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】設出切線的方程，根據切點和斜率列方程組，利用構造函數法，結合導數求得的取值范圍. 【詳解】設過點的直線為， ，設切點為， 則 ，得有三個解， 令，， 當，得或，，得， 所以在，單調遞增，單調遞減， 又，，有三個解， 得，即. 故答案為： 【點睛】利用導數研究曲線的切線方程，首先要關注的是給定的點是在曲線上還是在曲線外，兩種情況的求法有區別，也有共同點，共同點是關注切點和斜率，這兩個是求解切線問題的突破口.求“解的個數”問題，可轉化為極值或值域問題來進行研究. 8-4．（2024高三上·河北·階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函數的圖象，由圖象觀察得出結論． 【詳解】作出函數的圖象，由圖象可知點在函數圖象上方時，過此點可以作曲線的兩條切線， 所以， 故選：B．
題型9：最值問題 9-1．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 . 【答案】4. 【分析】將原問題轉化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數確定切點坐標可得最小距離 【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小. 由，得，， 即切點， 則切點Q到直線的距離為， 故答案為． 【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數學運算素養.采取導數法和公式法，利用數形結合和轉化與化歸思想解題. 9-2．（2024·山東聊城·三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用導數的幾何意義得到，然后利用導數分析單調性求最值即可. 【詳解】設切點坐標為，因為， 所以，故切線的斜率為：， ，則. 又由于切點在切線與曲線上， 所以，所以. 令，則，設， ，令得：， 所以當時，，是增函數； 當時，，是減函數. 所以. 所以的最大值為：1. 故選：B. 9-3．（2024·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根據導數的幾何意義結合已知方程求出的關系，再根據不等式中“1”的整體代換即可得出答案. 【詳解】對求導得， 由得，則，即， 所以， 當且僅當時取等號． 故選：D． 9-4．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考慮到兩曲線關于直線對稱，求的最小值可轉化為求P到直線的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線對應的切點坐標，從而得此距離 【詳解】解：與互為反函數，其圖像關于直線對稱 先求出曲線上的點到直線的最小距離． 設與直線平行且與曲線相切的切點，． ，，解得．． 得到切點，點P到直線的距離． 最小值為． 故選：B． 9-5．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考慮到兩曲線關于直線對稱，求的最小值可轉化為求P到直線的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得最小距離. 【詳解】解：與互為反函數，它們圖像關于直線對稱； 故可先求點P到直線的最近距離d， 又，當曲線上切線的斜率時，得，， 則切點到直線的距離為， 所以的最小值為． 故選：D． 9-6．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由題知過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據導數的幾何意義求解即可. 【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小. 設切點為，， 所以，切線斜率為， 由題知得或（舍）， 所以，，此時點到直線距離. 故選：C
一、單選題
1．（2024·云南保山·二模）若函數與函數的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得公切線方程為，聯立方程組，結合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數的單調性和最小值，進而得到，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
因為，設切點為，則，
則公切線方程為，即，
與聯立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數在上單調遞增，且，
當時，，即，此時函數單調遞減，
當時，，即，此時函數單調遞增，
所以，且當時，，所以函數的值域為，所以且，解得，即實數的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
2．（2024·海南·模擬預測）已知偶函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由導數的幾何意義及偶函數的性質計算即可.
【詳解】因為是偶函數，所以，即；
由題意可得：，
所以.
故選：A
3．（2024高二下·四川成都·階段練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知對任意的恒成立，結合參變量分離法以及基本不等式可求得實數的取值范圍.
【詳解】函數的定義域為，且，
因為曲線在其上任意一點點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，
所以，對任意的恒成立，則，
當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，
所以，，解得.
故選：B.
4．（2024高三·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設切點坐標為，由切點坐標求出切線方程，代入坐標，關于的方程有兩個不同的實數解，變形后轉化為直線與函數圖象有兩個交點，構造新函數由導數確定函數的圖象后可得.
【詳解】
設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，
設，函數定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，
當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；當時，時，，單調遞減，
時，，單調遞增，所以，結合圖像知，即.
故選：D.
5．（2024·湖南·二模）若經過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
設出切點，利用導數的幾何意義寫出切線，由切線經過可得出一個方程，根據題意切線只有一條，也就是轉化成關于的方程只有一個解的問題.
【詳解】設切點．因為，所以，
所以點處的切線方程為，
又因為切線經過點，所以，即.
令，則與有且僅有1個交點，，
當時，恒成立，所以單調遞增，顯然時，，于是符合題意；
當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，
則，即．
綜上，或．
故選：D
6．（2024高三上·上海閔行·期末）若函數的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數”，下列函數中不是“切線重合函數”的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】“切線重合函數”的充分條件是，存在 有 ，據此逐項分析驗證即可.
【詳解】對于A， 顯然是偶函數， ，
當 時， ，單調遞減，當 時， 單調遞增，
當 時， ，單調遞減，當 時，單調遞增；
在 時， ，都取得極小值，由于是偶函數，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數”；
對于B， 是正弦函數，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數”；
對于C，考察 兩點處的切線方程， ，
兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為 ，化簡得： ，
在B點處的切線方程為 ，化簡得 ，顯然重合，
C是“切線重合函數”；
對于D， ，令 ，則 ，
是增函數，不存在 時， ，所以D不是“切線重合函數”；
故選：D.
7．（2024高二·江蘇·專題練習）已知A，B是函數，圖象上不同的兩點，若函數在點A、B處的切線重合，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據導數的幾何意義寫出函數在點A、B處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系式，從而得出，令函數，利用導數求其范圍，可得實數a的取值范圍.
【詳解】當時，的導數為；
當時，的導數為，
設，為函數圖象上的兩點，且，
當或時，，故，
當時，函數在處的切線方程為：；
當時，函數在處的切線方程為
兩直線重合的充要條件是①，②，
由①②得：，，
令，則，
令，則，
由，得，即時有最大值，
在上單調遞減，則.
a的取值范圍是.
故選：B.
8．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判斷出與關于直線對稱，然后說明與無交點，再求出曲線上的點到直線的最小距離，則的最小值為，即可得出答案．
【詳解】解：與互為反函數，
所以與的圖像關于直線對稱，
設，則，
令得，
則當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
所以，
所以與無交點，則與也無交點，
下面求出曲線上的點到直線的最小距離，
設與直線平行且與曲線相切的切點，，
，
，解得，
，
得到切點，到直線的距離，
的最小值為，
故選：D．
9．（2024高三·全國·專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【分析】利用絕對值的性質及兩點間的距離公式，結合導數的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由得，，，即，，
的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，
不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，
顯然直線與直線的距離的平方即為所求，
由，得，設切點為，，
則，解得，
直線與直線的距離為，
的最小值為8．
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是將問題轉化為求曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，進而再轉化為求曲線上的點到直線上點的距離的平方，利用導數的幾何意義及點到直線的距離公式即可.
10．（2024高三·全國·專題練習）設函數，其中，．若存在正數，使得成立，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】動點在函數的圖像上，在直線的圖像上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為2的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值．
【詳解】解：函數可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數的圖像上，在直線的圖像上，
問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，當時，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點為，
曲線上點到直線的距離，則，
根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，
由，解得．
故選：A．
11．（2024·寧夏銀川·一模）已知實數滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
將問題轉化為求解直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的問題，利用導數可求得與平行的切線對應的切點，求解該切點到直線的距離即可.
【詳解】，又，
表示點與曲線上的點之間的距離；
點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；
令，則，
令，即，解得：或（舍），
又，
的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題求解最小值的關鍵是將所求式子進行變形后，根據其幾何意義，將問題轉化為直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的求解問題，從而利用求解切線的方式來求得最小值.
12．（2024·全國）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
13．（2024·全國）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.
【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，
函數的導數為，則直線的斜率，
設直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.
14．（2024高二下·四川宜賓·期末）已知為函數圖象上一點，則曲線在點處切線斜率的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】求出函數的導函數，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【詳解】函數定義域為，
，當且僅當，即時取等號，
所以曲線在點處切線斜率的最小值為.
故選：C
15．（2024高三·全國·專題練習）函數的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由導數求切線斜率不范圍，利用斜率和傾斜角的關系，求傾斜角的取值范圍.
【詳解】
設切線的傾斜角為，則，∵，
∴切線的斜率，則.
故選：B
16．（2024·全國）曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】B
【分析】首先求出導函數，再求出導數值，即可得到切線的斜率，從而得到切線的傾斜角；
【詳解】解：因為，所以，所以，
所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線的傾斜角為
故選：B
17．（2024高二下·陜西西安·期中）設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】偶函數的圖象關于軸對稱，為極值點，是上以5為周期，也是極值點，極值點處導數為零
【詳解】解：是上可導偶函數，
的圖象關于軸對稱，
在處取得極值，即，
又的周期為5，
，即曲線在處的切線的斜率0，
故選：．
【點睛】本題考查函數的周期性、奇偶性、導數的幾何意義、極值點滿足的條件，屬于基礎題.
18．（2024·山東）若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數中具有性質的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若函數y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數y＝f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，進而可得答案．
【詳解】解：函數y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，
則函數y＝f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，
當y＝sinx時，y′＝cosx，滿足條件；
當y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；
當y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；
當y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；
故選A．
考點：導數及其性質.
19．（2024高二下·河南鄭州·期中）若曲線在處的切線與直線垂直，則實數（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出函數的導函數，即可表示出切線的斜率，再得到直線的斜率，根據兩直線垂直斜率之積為得到方程，即可求出參數的值.
【詳解】因為，所以，則，
所以曲線在點處的切線的斜率為，
又直線的斜率，
由切線與直線垂直可知，即，解得．
故選：B．
20．（2024·湖南郴州·模擬預測）定義：若直線l與函數，的圖象都相切，則稱直線l為函數和的公切線．若函數和有且僅有一條公切線，則實數a的值為（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】設直線與的切點為，然后根據導數的幾何意義可推得切線方程為，.兩條切線重合，即可得出有唯一實根.構造，根據導函數得出函數的性質，作出函數的圖象，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】設直線與的切點為，
因為，根據導數的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
設直線與的切點為，
因為，根據導數的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
因為函數和有且只有一條公切線，
所以有，
即有唯一實根.
令，則.
解，可得.
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減.
所以在處取得最大值.
當時，，，函數圖象如圖所示，

因為，有唯一實根，所以只有.
故選：C
21．（2024·全國）已知函數，若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函數的圖像，和函數的圖像，結合圖像可知直線介于與軸之間，利用導數求出直線的斜率，數形結合即可求解.
【詳解】由題意可作出函數的圖像，和函數的圖像.
由圖像可知：函數的圖像是過原點的直線，
當直線介于與軸之間符合題意，
直線為曲線的切線，且此時函數在第二象限的部分的解析式為
，
求其導數可得，因為，故，
故直線的斜率為，
故只需直線的斜率.
故選：D
【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數取值范圍，考查了數形結合的思想，屬于中檔題.
二、多選題
22．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（ ）
A． B．切線：
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函數零點的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設切點，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當時，求得，得出切線方程，可判定B正確；計算求得的值，可得判定C錯誤.
【詳解】由，可得，即，
根據函數零點的存在性定理，可得，所以A正確；
又由，設切點，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
令，可得，所以D正確；
當時，可得，則，
所以的方程為，即，所以B正確；
由，可得，，此時，
所以C錯誤；
故選：ABD
23．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續下去，可得到一系列的數，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，
B．若，且，則對任意，
C．當時，需要作2條切線即可確定的值
D．無論在上取任何有理數都有
【答案】BCD
【分析】利用特殊情況判斷選項A；求出曲線在處的切線方程與軸的交點橫坐標，即可判斷選項B；求出，，即可判斷選項C、D
【詳解】A，因為，則，
設，則切線方程為，
切線與軸的交點橫坐標為，所以，故A錯誤；
B，處的切線方程為，
所以與軸的交點橫坐標為，故B正確；
C，因為，，
所以兩條切線可以確定的值，故C正確；
D，由選項C可知，，所以無論在上取
任何有理數都有，故D正確.
故選：BCD
24．（2024·海南海口·一模）直線是曲線的切線，則實數的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
【答案】AB
【分析】設切點為，由題意可得，解得，由導數的幾何意義可得，即，即可得出答案.
【詳解】設切點為，∵直線恒過定點，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由導數的幾何意義知，，
則，則，
所以，
∴當時，；當，，故A，B正確，C，D不正確.
故選：AB.
三、填空題
25．（2024·海南·模擬預測）在等比數列中，，函數，則 ．
【答案】
【分析】先求函數的導數，代入0，再利用等比數列的性質可求答案.
【詳解】因為
，
所以．
因為數列為等比數列，所以，
于是．
故答案為：
26．（2024·遼寧大連·一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求 .
【答案】
【分析】利用函數值的定義及函數的求導法則，結合導數值的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，令，則，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案為：.
27．（2024高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據求導公式和導數幾何意義和直線方程的點斜式求法即可求解.
【詳解】因為，
所以 ，
則，
又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
故答案為：.
28．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，為的導函數.若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為
【答案】
【分析】，令，，易得直線x＝1為的一條對稱軸，從而可得的圖象也關于直線x＝1對稱，再根據二次函數的對稱性可求得，再根據導數的幾何意義即可得解.
【詳解】，
令，，則，
令，，解得x＝2k＋1，，
當k＝0時，x＝1，所以直線x＝1為的一條對稱軸，
故的圖象也關于直線x＝1對稱，則有，解得b＝－1，
則，，
，，
故切線方程為.
故答案為；.
29．（2024·湖南·模擬預測）若函數是奇函數，則曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】首先根據函數是奇函數，求的值，再利用導數的幾何意義求切線方程.
【詳解】因為是奇函數，
所以對恒成立，
即對恒成立，
所以，則，故，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
化簡得.
故答案為：
30．（2024·江西·模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是 ．
【答案】
【分析】根據題意，設出切點，然后求導，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，
設該切線方程，且與相切于點，
，整理得，
∴，可得，∴.
故答案為：.
31．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設切點為，利用導數幾何意義寫出過的切線方程，進而有有三個不同值，即與有三個不同交點，導數研究的極值，即可求參數范圍.
【詳解】由，設切點為，則切線斜率為，
所以，過的切線方程為，
綜上，，即，
所以有三個不同值使方程成立，
即與有三個不同交點，而，
故、上，遞減，上，遞增；
所以極小值為，極大值為，故時兩函數有三個交點，
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
32．（2024·浙江紹興·模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程： .
【答案】或（寫出一條即可）
【分析】設切點坐標，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點坐標，即可得切線方程.
【詳解】由可得，
設過點作曲線的切線的切點為，則，
則該切線方程為，
將代入得，解得或，
故切點坐標為或，
故切線方程為或，
故答案為：或
33．（2024·海南海口·模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為 ．
【答案】，，，只需寫出一個答案即可
【分析】設切點為，利用導數求切線方程，代入一點，關于的方程沒有實數解，由判別式解不等式求整數的值.
【詳解】設切點為，因為，所以切線方程為．
因為切線經過點，所以，
由題意關于的方程沒有實數解，
則，解得．
因為為整數，所以的取值可能是，，.
故答案為：，，，只需寫出一個答案即可
34．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為 .
【答案】或
【分析】設切點為，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.
【詳解】由可得，設切點坐標為，
所以切線斜率，又因為，
則切線方程為，
把代入并整理可得，解得或.
故答案為：或
35．（2024·河南商丘·模擬預測）若過點有條直線與函數的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設過點的直線與的圖象的切點為，根據導數的幾何意義求出切線方程，再根據切線過點，可得，則方程解的個數即為切線的條數，構造函數，利用導數求出函數的單調區間及極值，作出函數的大致圖象，結合圖象即可得解.
【詳解】設過點的直線與的圖象的切點為，
因為，
所以切線的斜率為，
所以切線的方程為，
將代入得，
即，
設，則，
由，得或，
當或時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增，
所以，
又0，所以恒成立，
所以的圖象大致如圖所示，
由圖可知，方程最多個解，
即過點的切線最多有條，
即的最大值為3，此時.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
36．（2024·全國·模擬預測）已知函數，其導函數為，則曲線過點的切線方程為 ．
【答案】或
【分析】設切點為，對函數進行求導，且代入可得，故可由點斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程
【詳解】設切點為，由，得，
∴，得，∴，，
∴切點為，，
∴曲線在點M處的切線方程為①，
又∵該切線過點，∴，解得或．
將代入①得切線方程為；
將代入①得切線方程為，即．
∴曲線過點的切線方程為或．
故答案為：或
37．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】易得曲線在點處的切線方程為，再根據切線與圓相切，得到，化簡為，根據曲線與圓有三條公切線，則方程有三個不相等的實數根，令，由曲線與直線有三個不同的交點求解.
【詳解】解：曲線在點處的切線方程為，
由于直線與圓相切，得（*）
因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數根，
即方程有三個不相等的實數根.
令，則曲線與直線有三個不同的交點.
顯然，.
當時，，當時，，當時，，
所以，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
且當時，，當時，，
因此，只需，即，
解得.
故答案為：
38．（2024·湖南長沙·模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，根據導數的幾何意義寫出切線方程，可得到，由此構造函數，將問題轉化為方程有兩解問題即可.
【詳解】由題意得，
設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，
則切線方程為，即，
，即，
由于兩切線為同一直線，所以，得．
令，則，
當時，，在單調遞減，
當時，，在單調遞增．
即有處取得極小值，也為最小值，且為．
又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，
結合當時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，
當時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，
由此結合圖像可得a的范圍是，
故答案為：
39．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則 ．
【答案】
【分析】設公切線的切點坐標，根據導數的幾何意義、斜率公式列出方程化簡，分離出后，構造函數，利用導數求出函數的單調區間、最值，即可求.
【詳解】設曲線在處的切線與曲線相切于處，
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
故
由(1)再結合知，將(1)代入(2) ，得，
解得且，
將代入(1) ，解得且，
即且，令，則，.
令，，
則在區間單調遞增，在區間單調遞減，且，
又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個根，由圖和知.
故答案為：.
40．（2024·福建南平·模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為 ．
【答案】
【分析】設切點坐標為，根據導數的幾何意義可得，即可求得，繼而求出切點坐標以及切線斜率，即得答案.
【詳解】設曲線和曲線在公共點處的切線相同，
則，
由題意知，
即，解得，
故切點為，切線斜率為，
所以切線方程為，即，
故答案為：
41．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
【答案】
【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉化為函數圖象與直線有兩個交點.后利用導數研究單調性，畫出大致圖象，即可得答案.
【詳解】設切線切點為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數圖象
與直線有兩個交點.，
得在上單調遞增，在上單調遞減.
又，，.
據此可得大致圖象如下.則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
42．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若曲線的某一切線與直線平行，則切點坐標為 ，切線方程為 .
【答案】
【分析】用導數和切線的斜率，求得切點的橫坐標，進而求得的坐標，代入點斜式即可求出切線方程.
【詳解】因為，所以，又切線與直線平行，
所以切線的斜率為，設切線與曲線相切于點，則，解得，
則切點的坐標為.
由于切線的斜率為，過點，所以該切線方程為：，即.
故答案為：，
43．（2024·陜西）設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為 ．
【答案】
【詳解】設.
對y＝ex求導得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率為1，故曲線上點P處的切線斜率為－1，由，得，則，所以P的坐標為(1，1)．
考點：導數的幾何意義．
44．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是 .
【答案】.
【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.
【詳解】設點，則.又，
當時，，
點A在曲線上的切線為，
即，
代入點，得，
即，
考查函數，當時，，當時，，
且，當時，單調遞增，
注意到，故存在唯一的實數根，此時，
故點的坐標為.
【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題：
一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．
45．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 .
【答案】（-2，15）
【詳解】試題分析：設點p（a,b）(a<0),∵，∴，∴點P處的切線的斜率為,解得a=-2,∴，故點P的坐標為
考點：本題考查了導數的幾何意義
點評：導數的幾何意義：導數的幾何意義就是曲線在點處切線的斜率，即
四、解答題
46．（2024·北京）已知函數.
（1）求在區間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）
【答案】(1) (2) (3)見解析
【詳解】試題分析：（1）求導數，導數等于0求出，再代入原函數解析式，最后比較大小，即可；（2）設切點，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結果;(3)由（2）容易得出結果.
由得，令，得或，
因為，，，，
所以在區間上的最大值為.
（2）設過點P（1，t）的直線與曲線相切于點，則
，且切線斜率為，所以切線方程為，
因此，整理得：，
設，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”， =，
與的情況如下：
0 1
+ 0 0 +
t+3
所以，是的極大值，是的極小值，
當即時，過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是.
（3）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；
過點B（2，10）存在2條直線與曲線相切；
過點C（0，2）存在1條直線與曲線相切.
考點：本小題主要考查導數的幾何意義、導數在函數中的應用等基礎知識的同時，考查分類討論、函數與方程、轉化與化歸等數學思想，考查同學們分析問題與解決問題的能力.利用導數研究函數問題是高考的熱點，在每年的高考試卷中占分比重較大，熟練這部分的基礎知識、基本題型與基本技能是解決這類問題的關鍵.
47．（2024·北京）設函數=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【詳解】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．
詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此時f (1)=3e≠0．
所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，則當x∈(，2)時，f ′(x)<0；
當x∈(2，+∞)時，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2處取得極小值．
若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的極小值點．
綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．
點睛：利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯系起來求解.
48．（2024·全國）已知函數，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數值求出即可；
（2）設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數，求導求出函數值域，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，
即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；
（2），則在點處的切線方程為，整理得，
設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：
0 1
0 0 0
則的值域為，故的取值范圍為.
49．（2024·福建）已知函數（為自然對數的底數）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數的極值；
（3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
【答案】（1）（2）當時，函數無極小值；當，在處取得極小值，無極大值（3）的最大值為
【分析】（1）求出，由導數的幾何意義，解方程即可；（2）解方程，注意分類討論，以確定的符號，從而確定的單調性，得極大值或極小值（極值點多時，最好列表表示）；（3）題意就是方程無實數解，即關于的方程在上沒有實數解．一般是分類討論，時，無實數解，時，方程變為，因此可通過求函數的值域來求得的范圍．
【詳解】（1）由,得．
又曲線在點處的切線平行于軸,
得,即,解得．
（2）,
①當時,,為上的增函數,
所以函數無極值．
②當時,令,得,．
,;,．
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值．
綜上,當時,函數無極小值
當,在處取得極小值,無極大值．
（3）當時,
令,
則直線:與曲線沒有公共點,
等價于方程在上沒有實數解．
假設,此時,,
又函數的圖象連續不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數解”矛盾,故．
又時,,知方程在上沒有實數解．
所以的最大值為．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）當時,．
直線:與曲線沒有公共點,
等價于關于的方程在上沒有實數解,即關于的方程:
（*）
在上沒有實數解．
①當時,方程（*）可化為,在上沒有實數解．
②當時,方程（*）化為．
令,則有．
令,得,
當變化時,的變化情況如下表:
減 增
當時,,同時當趨于時,趨于,
從而的取值范圍為．
所以當時,方程（*）無實數解, 解得的取值范圍是．
綜上,得的最大值為．
考點：導數的幾何意義，極值，導數與單調性、值域，方程根的分布．
50．（2024·北京）已知函數．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據導數的幾何意義可得切點的坐標，然后由點斜式可得結果；
（Ⅱ）根據導數的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標軸上的截距，進一步得到三角形的面積，最后利用導數可求得最值.
【詳解】（Ⅰ）因為，所以，
設切點為，則，即，所以切點為，
由點斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導數法
顯然，因為在點處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設時，結果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
也是最小值為.
[方法二]【最優解】：換元加導數法
．
因為為偶函數，不妨設，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因為，所以令，得．
隨著a的變化，的變化情況如下表：
a
0
減 極小值 增
所以．
所以當，即時，．
因為為偶函數，當時，．
綜上，當時，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當且僅當，即時取等號．
所以當，即時，．
因為為偶函數，當時，．
綜上，當時，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數求導數，方法二利用換元方法，簡化了運算，確定為最優解；方法三在方法二換元的基礎上，利用多元均值不等式求得最小值，運算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.
51．（2024·全國）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論導函數的符號即可確定原函數的單調性；
(2)首先求得導數過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據此即可求得公共點坐標.
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
導函數的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯立得，
化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.
【點睛】本題考查利用導數研究含有參數的函數的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數，要依據其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數曲線的公共點坐標時，要注意除了已經求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
52．（2024高三上·黑龍江雙鴨山·階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．
【答案】(1)
(2)，切點為
【分析】（1）根據導數的幾何意義求解即可；
（2）根據導數的幾何意義求出切線方程，再將原點代入即可求解.
【詳解】（1）由，得，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）設切點為，由（1）得，
所以切線方程為，
因為切線經過原點，
所以，
所以，．
則，
所以所求的切線方程為，切點為．專題11 導數的概念、運算及幾何意義9題型分類
一、導數的概念和幾何性質
1.概念
函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．
注：①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近；
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．
2.幾何意義
函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．
3.物理意義
函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．
二、導數的運算
1.求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2.導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3.復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
4.導數的幾何意義
（1）在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
（2）過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
（一） 導數的定義 對所給函數式經過添項.拆項等恒等變形與導數定義結構相同，然后根據導數定義直接寫出．
題型1：導數的定義 1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（ ） A． B． C． D． 1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（ ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函數的導函數是，若，則（ ） A． B．1 C．2 D．4 1-4．（2024高二下·重慶·階段練習）若函數在處可導，且，則（ ） A．1 B． C．2 D． 1-5．（2024高三·全國·課后作業）若在處可導，則可以等于（ ）． A． B． C． D．
（二） 求函數的導數 對所給函數求導，其方法是利用和.差.積.商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求導問題．
題型2：求函數的導數 2-1．（2024·湖北武漢·三模）已知函數，則 . 2-2．（2024高三下·河南·階段練習）已知函數的導函數為，且，則 ． 2-3．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的導數． (1)； (2)； (3) (4)； 2-4．（2024高三·全國·課后作業）求下列函數的導數： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)．
（三） 導數的幾何意義 函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經過某點的切線的區別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上．
題型3：在某點處的切線方程 3-1．（2024·廣東廣州·三模）曲線在點處的切線方程為 ． 3-2．（2024·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024高三上·陜西·階段練習）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 3-4．（2024·全國）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024·全國）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為 A． B． C． D．
題型4：過某點的切線方程 4-1．（2024·湖南·模擬預測）過點作曲線的切線，則切點的橫坐標為 ，這條切線在x軸上的截距為 ． 4-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）曲線過坐標原點的兩條切線方程為 ， . 4-3．（山東新高考聯合質量測評2023-2024學年高三上學期9月聯考數學試題）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（ ） A． B． C． D．3
題型5：已知切線求參數問題 5-1．（2024·重慶·三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（ ） A．0 B． C． D． 5-2．（2024·全國）設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= A．0 B．1 C．2 D．3 5-3．（2024·全國）曲線在點處的切線的斜率為，則 ． 5-4．（2024·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則 A． B． C． D．
題型6：切線平行、垂直、重合問題 6-1．（2024·安徽六安·三模）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ） A． B． C． D． 6-2．（2024·湖南長沙·一模）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數的值為（ ） A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3 6-3．（2024高三上·浙江·期中）若函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的值是（ ） A． B． C． D． 6-4．（2024高三·江西撫州·開學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（ ） A． B． C． D． 6-5．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習）設函數在處的切線與直線平行，則（ ） A． B．2 C． D．1 6-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標為（ ） A．1 B． C．2 D．
題型7：公切線問題 7-1．（2024·山東煙臺·三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為 ． 7-2．（2024·全國）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ． 7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為 .
題型8：切線的條數問題 8-1．（2024高二下·福建廈門·期中）若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數的取值范圍是 . 8-2．（2024·福建廈門·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則的范圍是 ． 8-3．（2024高三上·福建漳州·階段練習）已知函數，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是 ． 8-4．（2024高三上·河北·階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ） A． B． C． D．
題型9：最值問題 9-1．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 . 9-2．（2024·山東聊城·三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（ ） A．0 B．1 C．2 D． 9-3．（2024·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 9-4．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ） A． B． C． D． 9-5．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 9-6．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·云南保山·二模）若函數與函數的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·海南·模擬預測）已知偶函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024高二下·四川成都·階段練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南·二模）若經過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024高三上·上海閔行·期末）若函數的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數”，下列函數中不是“切線重合函數”的為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二·江蘇·專題練習）已知A，B是函數，圖象上不同的兩點，若函數在點A、B處的切線重合，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三·全國·專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．8 C．4 D．16
10．（2024高三·全國·專題練習）設函數，其中，．若存在正數，使得成立，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．1
11．（2024·寧夏銀川·一模）已知實數滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·全國）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·全國）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
14．（2024高二下·四川宜賓·期末）已知為函數圖象上一點，則曲線在點處切線斜率的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．4
15．（2024高三·全國·專題練習）函數的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·全國）曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
17．（2024高二下·陜西西安·期中）設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·山東）若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數中具有性質的是
A． B． C． D．
19．（2024高二下·河南鄭州·期中）若曲線在處的切線與直線垂直，則實數（ ）
A．1 B． C． D．2
20．（2024·湖南郴州·模擬預測）定義：若直線l與函數，的圖象都相切，則稱直線l為函數和的公切線．若函數和有且僅有一條公切線，則實數a的值為（ ）
A．e B． C． D．
21．（2024·全國）已知函數，若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
22．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（ ）
A． B．切線：
C． D．
23．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續下去，可得到一系列的數，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，
B．若，且，則對任意，
C．當時，需要作2條切線即可確定的值
D．無論在上取任何有理數都有
24．（2024·海南海口·一模）直線是曲線的切線，則實數的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空題
25．（2024·海南·模擬預測）在等比數列中，，函數，則 ．
26．（2024·遼寧大連·一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求 .
27．（2024高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線方程為 ．
28．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，為的導函數.若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為
29．（2024·湖南·模擬預測）若函數是奇函數，則曲線在點處的切線方程為 ．
30．（2024·江西·模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是 ．
31．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是 .
32．（2024·浙江紹興·模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程： .
33．（2024·海南海口·模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為 ．
34．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為 .
35．（2024·河南商丘·模擬預測）若過點有條直線與函數的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為 .
36．（2024·全國·模擬預測）已知函數，其導函數為，則曲線過點的切線方程為 ．
37．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是 ．
38．（2024·湖南長沙·模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為 ．
39．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則 ．
40．（2024·福建南平·模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為 ．
41．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
42．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若曲線的某一切線與直線平行，則切點坐標為 ，切線方程為 .
43．（2024·陜西）設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為 ．
44．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是 .
45．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 .
四、解答題
46．（2024·北京）已知函數.
（1）求在區間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）
47．（2024·北京）設函數=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
48．（2024·全國）已知函數，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
49．（2024·福建）已知函數（為自然對數的底數）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數的極值；
（3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
50．（2024·北京）已知函數．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
51．（2024·全國）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
52．（2024高三上·黑龍江雙鴨山·階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．

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