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專題10 函數模型及其應用7題型分類
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 ，為常數且
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
（一） 二次函數模型與分段函數模型 1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值． 2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
題型1：二次函數模型 1-1．（2024高二上·山東濰坊·期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ） A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速 C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速 【答案】C 【分析】根據題意列出方程即可確定是否超速. 【詳解】對于甲車，令，即 解得（舍）或，所以甲未超速； 對于甲車，令，即 解得（舍）或，所以乙超速； 故選:C. 1-2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根據題意解出長度，設，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解. 【詳解】設，并根據題意作如下示意圖，由圖和題意得：，， 所以，且， 所以， 又，所以，解得，即， 設，，則， ，所以在中， 有， 令，所以， 所以， 因為，所以，則要使最大， 即要取得最小值，即取得最大值， 即在取得最大值， 令， ， 所以的對稱軸為：，所以在單調遞增，在單調遞減， 所以當時，取得最大值，即最大，此時，即， 所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大）， 則射門時甲離上方端線的距離為：. 故選：B. 1-3．（2024·北京）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為 A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 【答案】B 【詳解】由圖形可知，三點都在函數的圖象上， 所以，解得， 所以，因為，所以當時，取最大值， 故此時的t=分鐘為最佳加工時間，故選B. 考點：本小題以實際應用為背景，主要考查二次函數的解析式的求解、二次函數的最值等基礎知識，考查同學們分析問題與解決問題的能力.
題型2：分段函數模型 2-1．（2024·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格： 一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ） A．116件 B．110件 C．107件 D．106件 【答案】C 【分析】根據題意，設購買的件數為，花費為元，根據表中的數據列出滿足的函數關系式，當時，求出的最大值即可. 【詳解】設購買的件數為，花費為元， 則，當時，， 當時，，所以最多可購買這種產品件， 故選：C. 2-2．（2024·四川綿陽·模擬預測）某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按元/度收費，超過400度的部分按元/度收費. (1)求某戶居民月用電費（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式； (2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據題目條件，分段列出函數解析式即可； （2）將代入（1）中解析式得到的值，再結合頻率分布直方圖求的值； 【詳解】（1）當時，； 當時，， 當時，， 所以與之間的函數解析式為， （2）由（1）可知：當時，，則， 結合頻率分布直方圖可知：， ∴ 2-3．（2024·全國）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以（單位：t，100≤≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤. （Ⅰ）將T表示為的函數； （Ⅱ）根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0.7 【詳解】試題分析：（I）由題意先分段寫出，當X∈[100，130）時，當X∈[130，150）時，和利潤值，最后利用分段函數的形式進行綜合即可． （II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤X≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計總體的方法得出下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值． 解：（I）由題意得，當X∈[100，130）時，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000， 當X∈[130，150]時，T=500×130=65000， ∴T=． （II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤X≤150． 由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7， 所以下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7． 考點：頻率分布直方圖． 2-4．（2024高一上·江西贛州·期中）《中華人民共和國鄉村振興促進法》中指出：全面實施鄉村振興戰略，開展促進鄉村產業振興、人才振興、文化振興、生態振興、組織振興，推進城鄉融合發展．為深入踐行習近平總書記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產業發展生態化，生態建設產業化”思路．某鄉鎮為全力打造成“生態特色小鎮”，調研發現：某種農作物的單株產量（單位：）與肥料費用（單位：元）滿足如下關系：其它總成本為（單位：元），已知這種農作物的市場售價為每千克5元，且供不應求，記該單株農作物獲得的利潤為（單位：元）． (1)求的函數關系式； (2)當投入的肥料費用為多少元時，該單株農作物獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？ 【答案】(1) (2)當投入的肥料費用為6元時，該單株農作物獲得的利潤最大，最大利潤為52元 【分析】（1）根據利潤毛收入成本可得結果； （2）分段求出最大值，再兩者中的更大的為最大值. 【詳解】（1）由題意可得， 所以函數的函數關系式為 （2）當時，在上單調遞減，在上單調遞增， 又，，所以， 當時， ， 當且僅當，即時等號成立，此時 綜上：當投入的肥料費用為6元時，單株農作物獲得的利潤最大為52元. 2-5．（2024高二下·四川眉山·階段練習）某商店銷售某海鮮，統計了春節前后50天海鮮的需求量，（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調撥，銷售1公斤可獲利30元.假設商店每天該海鮮的進貨量為14公斤，商店的日利潤為元. (1)求商店日利潤關于需求量的函數表達式； (2)估計日利潤在區間內的概率. 【答案】(1) (2)0.54 【分析】（1）根據題意列出分段函數解析式，即得答案； （2）判斷的單調性，確定日利潤在區間內的概率即為求海鮮需求量在區間的頻率，結合頻率分布直方圖可得答案. 【詳解】（1）商店的日利潤關于需求量的函數表達式為：, 化簡得：. （2）由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區間的頻率是； 海鮮需求量在區間的頻率是； 由于時，, 故在區間上單調遞增， 令，得；令，得； 故求日利潤在區間內的概率即求海鮮需求量在區間的頻率， 即為； 2-6．（2024·全國）某花店每天以每枝元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理. （1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關于當天需求量（單位：枝，）的函數解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表： 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率. （i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，數學期望及方差； （ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由. 【答案】（1） 2）（i） （ii）應購進17枝 【詳解】（1）當時， 當時， 得： （2）（i）可取，， 的分布列為
（ii）購進17枝時，當天的利潤為 得：應購進17枝
（二） 對勾函數模型 1、解決此類問題一定要注意函數定義域； 2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型3：對勾函數模型 3-1．（2024高三下·河北唐山·階段練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為 ．（本題中取進行計算） 【答案】 【分析】設圓弧的半徑為x，根據平面幾何知識寫出關于x的函數關系式，運用基本不等式求解函數的最大值即可. 【詳解】設圓弧的半徑為，根據題意可得： 令，則 根據基本不等式，，當卻僅當 ，即時取“=”. ， 時， 故答案為：. 3-2．（2024高一下·浙江·期末）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則 ①關于x的函數關系式 ． ②若雕刻費用關于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為 ． 【答案】 ，； 【分析】利用弧長公式求與根據扇環周長可得關于x的函數關系式；根據扇形面積公式求出扇環面積，進而得出磚雕面積與雕刻費用之比，再利用基本不等式即可求解. 【詳解】由題意可知，， ，， 所以，，， 扇環周長， 解得， 磚雕面積即為圖中環形面積，記為， 則 ， 即雕刻面積與雕刻費用之比為， 則， 令，則， ，當且僅當時（即）取等號， 所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為. 故答案為：，； 3-3．（2024高三·全國·專題練習）某企業投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】設該企業需要更新設備的年數為，設備年平均費用為萬元，求得關于的表達式，利用基本不等式求出的最小值及其對應的值，即可得出結論. 【詳解】設該企業需要更新設備的年數為，設備年平均費用為萬元， 則年后的設備維護費用為， 所以年的平均費用為（萬元）， 當且僅當時，等號成立， 因此，為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為. 故選：B.
（三） 指數型函數、對數型函數、冪函數模型 1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型． 2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題．
題型4：指數型函數 4-1．（2024高三下·云南·階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（ ） （參考數據：， A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 【答案】B 【分析】由題意，，，由已知數據解出，再由，代入參考數據計算即可. 【詳解】據題意，，兩式相除可得， 又因為， 故選：B． 4-2．（2024·山東）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】根據題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，根據，解得即可得結果. 【詳解】因為，，，所以，所以， 設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天， 則，所以，所以， 所以天. 故選：B. 【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題. 4-3．（2024·浙江·二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經驗規則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維·提丟斯發現的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下經驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（ ） 行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06
A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入數據計算的值即可. 【詳解】由表格可得， 故選：D
題型5：對數型函數 5-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養不足.在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型:描述血氧飽和度（單位）隨機給氧時間（單位:時）的變化規律，其中為初始血氧飽和度，為參數.已知，給氧1小時后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（ ）小時.（參考數據:） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據題意，分別表示出與的范圍，然后結合對數的運算，即可得到結果. 【詳解】由題意可得，，則，， 所以， 則使血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時. 故選：D. 5-2．（2024·全國·二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根據已知的濃度解析式，代入變量，結合對數的運算，化簡求值. 【詳解】由題意，， 所以）， 即．又，所以． 因為，所以． 故選：B． 5-3．（2024·四川綿陽·二模）經研究發現：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數（A，K為非零常數）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（ ）米． A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根據已知數據可得，再根據即可求出值. 【詳解】由題知：當，時，， 代入得： ， 當，時， ， 即， 而， 解得：或（舍） 故選：D.
題型6：冪函數模型 6-1．（2024高三上·安徽亳州·階段練習）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫學家華佗的故鄉，由于一代名醫的影響，帶動了毫州醫藥的發展，到明 清時期毫州就是全國四大藥都之一，現已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規模最大 設施最好 檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校數學學習小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調查發現：該中藥材在2021年的價格浮動最大的一個月內（以30天計）日平均銷售單價（單位：元/千克）與第天（）的函數關系滿足（為正常數）.該中藥材的日銷售量（單位：千克）與的部分數據如下表所示： 4102030149155165155
已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價日銷售量） (1)求的值； (2)給出以下四種函數模型：①，②，③，④，請你根據表中的數據，幫助這組同學從中選擇最合適的一種函數模型來描述該中藥材的日銷售量與的關系，并求出該函數的解析式和日銷售收入（單位：元）的最小值. 【答案】(1) (2)③，，最小值為3125元 【分析】（1）根據題中條件，第天該中藥的日銷售收入為元，將其代入函數關系式中即可求出的值； （2）首先根據數據的變化規律和特點選定合適的銷售量函數，再根據函數的解析式結合均值定理求解日銷售收入的最小值即可. 【詳解】（1）由時，，得； （2）因為數據有增有減，①④不合符題意， 將二三組數據代入②類函數解析式可得： ，解得：， 即得②類函數解析式為. 將二三組數據代入③類函數解析式可得： ，解得：， 即得③類函數解析式為， 將第一組數據代入， 可知：， 將第一組數據代入， 可知：， 因此最合適. 當時 ， 當且僅當時，等號成立 當時 函數在上單調遞減， 所以，當且僅當時，等號成立 綜上可知，當或日銷售收入最小值為3125元. 6-2．（2024·四川瀘州·模擬預測）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】設年平均增長率為，依題意列方程求即可. 【詳解】由題意，設年平均增長率為，則， 所以，故年平均增長率為20%. 故選：B 6-3．（2024·廣西·模擬預測）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始狀態設為，變化后為，根據，的關系代入后可求解． 【詳解】設初始狀態為，則，， 又，，即， ，，，，． 故選：D．
（四） 已知函數模型的實際問題 求解已知函數模型解決實際問題的關鍵 （1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數． （2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數． （3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
題型7：已知函數模型的實際問題 7-1．（2024高三·全國·專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：），為環境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設在室內溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為 ． 【答案】 【分析】根據所給模型代入數據，即可根據指對互化求解. 【詳解】由題意，把，，，代入中， 得，所以， 所以，解得. 故答案為：. 7-2．（2024高二下·浙江寧波·學業考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關系：．經測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，那么使達到最小值的隔熱層的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【分析】根據題意可得函數，利用基本不等式求解. 【詳解】由題意及，可得，即， ∴． 隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和（萬元）， 當且僅當，即（厘米）時達到最小值． 故答案為: . 7-3．（2024·四川宜賓·模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是 年前． 【答案】 【分析】根據題意，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【詳解】由題意，生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式 ， 因為測定發現某古生物遺體中碳14含量為， 令，可得，所以，解得年. 故答案為：年. 7-4．（2024高一上·福建三明·階段練習）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（為常數）．根據圖所提供的信息，回答下列問題： （1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數關系式為 ； （2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室． 【答案】 / 【分析】（1）當時，可設，把點代入直線方程求得，得到直線方程；當時，把點代入求得，曲線方程可得．最后綜合可得答案． （2）分析可知只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到毫克以下時學生方可進入教室，可出，解此不等式組即可得解. 【詳解】解：（1）依題意，當時，設，則，解得， 將代入可得，解得. 綜上所述，. （2）由題意可得，因為藥物釋放過程中室內藥量一直在增加， 即使藥量小于毫克，學生也不能進入教室， 所以只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到毫克以下時學生方可進入教室， 即，解得， 由題意至少需要經過小時后，學生才能回到教室． 故答案為：（1）；（2）. 7-5．（2024·江西南昌·二模）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是 萬元. 【答案】 【分析】根據題意，得到，進而得到月利潤的表示，結合基本不等式，即可求解. 【詳解】由題意，產品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足， 即， 所以月利潤為 ， 當且僅當時，即時取等號， 即月最大利潤為萬元. 故答案為: . 【點睛】本題主要考查了函數的實際應用問題，以及基本不等式的應用，其中解答中認真審題，得到月利潤的函數解析式，結合基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力. 7-6．（2024·福建福州·三模）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是 .（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時， 【答案】0.52 【分析】由題可得GDP增長的速度為，進而即得. 【詳解】由題可知， 所以， 所以, 即GDP增長的速度大約是. 故答案為：.
一、單選題
1．（2024高三上·廣東深圳·期末）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產萬件該產品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（ ）
A．720萬元 B．800萬元
C．875萬元 D．900萬元
【答案】C
【分析】先求得該企業每年利潤的解析式，再利用分段函數求最值的方法即可求得該企業每年利潤的最大值.
【詳解】該企業每年利潤為
當時，
在時，取得最大值；
當時，
（當且僅當時等號成立），即在時，取得最大值；
由，可得該企業每年利潤的最大值為.
故選：C
2．（2024·浙江·二模）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（ ）（參考數據：）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【答案】B
【分析】如圖設橫截面為等腰梯形，于，求出資金3萬元都用完時，設，再根據梯形的面積公式結合二次函數的性質即可得解.
【詳解】如圖設橫截面為等腰梯形，于，，
要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，
則，解得米，
設，則，故，且，
梯形的面積，
當時，，
此時，
即當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.
故選：B.
3．（2024高三下·北京·開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據：）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【答案】D
【分析】設出未知數，列出不等式，結合指數和對數運算法則計算出答案.
【詳解】設經過次過濾后，水中雜質減少到原來的5%以下，
則，即，
不等式兩邊取常用對數得：，解得：，
故至少需要過濾5次.
故選：D
4．（2024·全國）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.
設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數學式子的變形及運算求解能力的考查．
【詳解】由，得
因為，
所以，
即，
解得，
所以
【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯．
5．（2024·全國）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.
6．（2024·河南鄭州·模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數量應根據設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護對象的水霧噴頭數量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數（其值由噴頭制造商提供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設計噴霧強度（單位：）．水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數量．當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數K為24.96，保護對象的保護面積S為，保護對象的設計噴霧強度W為時，保護對象的水霧噴頭的數量N約為（參考數據：）（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】C
【分析】把給定的數據代入公式計算即可作答.
【詳解】依題意，，，，，
由，，得，
所以保護對象的水霧噴頭的數量N約為6個.
故選：C
7．（2024·四川成都·三模）英國物理學家和數學家牛頓曾提出物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環境溫度是，則經過物體的溫度將滿足，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數．現有的物體，若放在的空氣中冷卻，經過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據及物體經過物體的溫度為得出的值，再求出時的值即可．
【詳解】由題意得，，，代入，
，即，
所以，
所以，
由題意得，，代入，
即，得，
即， 解得，
即若使物體的溫度為，需要冷卻，
故選：C．
8．（2024·福建福州·模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，銀行擬在鄉村開展小額貸款業務.根據調查的數據，建立了實際還款比例關于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（ ）（精確到0.01萬元，參考數據：，）
A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元
【答案】A
【分析】先根據題中數據代入計算函數中參數的值，然后計算時的值即可.
【詳解】由題意，即，得，所以.
令，
得，
得，
得
得.
故選：A.
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》，某造紙企業的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數量，為改良工藝的次數，假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要（ ）(參考數據：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【分析】依題運用特殊值求得函數模型中的值，然后運用函數模型得到關于的不等式，通過指、對運算求得的取值范圍，即可得解．
【詳解】依題意，，，當時，，即，可得，
于是，由，得，即，
則，又，因此，
所以若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要16次．
故選：C
10．（2024·江西·二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節免疫功能，增強機體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養胃等功效，受到眾人的喜愛.根據草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個等級，其等級（）與其對應等級的市場銷售單價單位：元千克近似滿足函數關系式.若花同樣的錢買到的級草莓比級草莓多倍，且級草莓的市場銷售單價為元千克，則級草莓的市場銷售單價最接近（ ）（參考數據：，）
A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克
【答案】C
【分析】由指數運算，可得，求得的值.
【詳解】由題可知，由則
.
故選：C.
11．（2024·重慶·模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛生標準》規定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環境下時，竣工2周后室內甲醛濃度為，4周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數關系式，則該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
【答案】B
【分析】根據題意列式求解可得，即，令運算求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以，
令，整理得，
因為，
故，則，所以至少需要放置6周.
故選：B.
12．（2024·山西朔州·模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數的關系，某開發商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數據整理成如圖所示的散點圖：
則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數的回歸方程類型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通過觀察散點圖并結合選項函數的類型得出結果.
【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調遞減的曲線圖，結合選項函數的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.
故選：C.
13．（2024·全國）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根據關系，當時，求出，再用指數表示，即可求解.
【詳解】由，當時，，
則.
故選：C.
14．（2024高二·全國·課后作業）某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車,利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
【答案】B
【詳解】主要考查構建函數模型，利用導數解決生活中的優化問題．
解：設甲地銷售輛，依題意L1 +L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以當取整數10時，最大利潤為45.6，故選B．
15．（2024高三上·北京東城·開學考試）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數值為（ ）
（參考數據）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根據已知條件求得，然后列不等式來求得的取值范圍，進而求得的最小整數值.
【詳解】當時，，
所以，由得，
，
所以的最小整數值為.
故選：B
16．（2024·四川）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：℃）滿足函數關系（為自然對數的底數，為常數）.若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是
A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．21小時
【答案】C
【詳解】試題分析：，兩式相除得，解得， 那么，當時，故選C．
考點：函數的應用
17．（2024·四川成都·模擬預測）某程序研發員開發的小程序在發布時已有1000名初始用戶，經過t天后，用戶人數，其中k和m均為常數．已知小程序發布經過10天后有4000名用戶，則用戶超過2萬名至少經過的天數為（ ）（天數按整數算，取）.
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】C
【分析】根據題中條件求得參數，繼而列出不等式，結合對數的運算，即可求得答案.
【詳解】由題意知，當時，，
又因為小程序發布經過10天后有4000名用戶，
所以，
令，
所以
，
故用戶超過2萬名至少經過的天數為22，
故選：C
18．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）苂光定量PCR是一種通過化學物質的苂光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期，苂光信號強度達到閥值時，DNA的數量與擴增次數滿足，其中為DNA的初始數量，為擴增效率.已知某被測標本DNA擴增6次后，數量變為原來的100倍，則擴增效率約為（ ）（參考數據：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，得出方程，結合對數的運算性質，即可求解.
【詳解】由題意，可得，即，
所以，可得，
解得.
故選：C.
19．（2024·湖南）某市生產總值連續兩年持續增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】試題分析：設這兩年年平均增長率為，因此解得．
考點：函數模型的應用．
20．（2024高一上·青海西寧·期末）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根據題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【詳解】由題可知加密密鑰為，
由已知可得，當時，，
所以，解得，
故，顯然令，即，
解得，即．
故選：A.
21．（2024高一上·全國·課后作業）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據．現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是（ ）
1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：利用散點圖看增長趨勢確定函數，法二：結合表中數據，根據函數的性質判斷.
【詳解】法一：由表格數據得到如下散點圖，為遞增趨勢，隨變大增長率變小，只有B符合；

法二：對于A，函數是指數函數，增長速度很快，且在時，
時，代入值偏差較大，不符合要求；
對于B，函數，是對數函數，增長速度緩慢，
且在時，時，基本符合要求；
對于C，函數是二次函數，且當時，時，
代入值偏差較大，不符合要求；
對于D，函數，當時，代入值偏差較大，不符合要求，
故選：B.
22．（2024高一·全國·課后作業）四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數關系分別是，，，，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同一平面直角坐標系中畫出函數，，，的圖象,利用數形結合法判斷.
【詳解】在同一平面直角坐標系中畫出函數，，，的圖象，如圖所示：

由圖象知：當時，，
故選：D．
二、多選題
23．（2024·遼寧大連·三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：
其中正實數分別為甲 乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲 乙兩方時刻的實力；正實數分別為甲對乙 乙對甲的比賽效果系數.規定當甲 乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為.則下列結論正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則甲比賽勝利
D．若，則甲比賽勝利
【答案】ABD
【分析】計算，A正確，確定，化簡得到B正確，甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，計算得到，C錯誤D正確，得到答案.
【詳解】對選項A：若且，則，
所以，由可得，正確；
對選項B：當時根據A中的結論可知，所以乙方實力先為0，
即，化簡可得，
即，兩邊同時取對數可得，
即，即，正確；
對選項C：，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，
設甲方實力為0時所用時間為，乙方實力為0時所用時間為，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因為都為正實數，所以可得，甲方獲得比賽勝利，錯誤；
對選項D：根據C知正確；
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用函數的性質比較函數值大小，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，利用作差法比較函數值的大小關系是解題的關鍵.
24．（2024高一上·山東德州·階段練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度
【答案】BC
【分析】根據圖中數據可計算得出A、B、D選項；根據圖像得到指數函數解析式，表示出，，，根據對數計算即可判斷C選項.
【詳解】由圖可知野生水葫蘆第一個月增長面積為，第二個月增長面積為，A錯誤；
由圖可知野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月，B正確；
野生水葫蘆的面積與時間的函數關系為，，，
，，所以，C正確；
野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為
野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為，D錯誤.
故選：BC
25．（2024高一上·山東德州·期末）牛頓曾提出了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環境溫度是（單位：℃），其中、則經過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（ ）（參考數值）
A．若，則
B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22
D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多
【答案】AC
【分析】由題知，根據指對數運算和指數函數的性質依次討論各選項求解．
【詳解】解：由題知，
A選項：若，即，所以，則，A正確；
B選項：若，則，則，兩邊同時取對數得，所以，所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘，B錯誤；
C選項：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；
D選項：為指數型函數，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時間（）比從下降到所需的時間（）少，故D錯誤．
故選：AC．
26．（2024·廣東·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32 ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數關系y＝f（t），其中（R為常數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（　　）
A．
B．
C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
【答案】BD
【分析】
由已知，找到函數模型，通過待定系數法得到函數解析式，再解不等式即可.
【詳解】
因為，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正確，A錯誤．
，
當時，即，得，
所以，即，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C錯誤，
故選：BD.
27．（2024·全國）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題
28．（2024高三·全國·專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車 .（精確到小時）
【答案】4
【分析】此駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升時，才能開車，因此只需由，求出的值即可.
【詳解】當時，由得，
解得，舍去；
當時，由得，即，
解得，
因為，所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.
故答案為：4
29．（2024·浙江）我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為，，，則當時， ， ．
【答案】
【分析】將代入解方程組可得、值.
【詳解】
【點睛】實際問題數學化，利用所學的知識將陌生的性質轉化為我們熟悉的性質，是解決這類問題的突破口．
30．（2024·北京朝陽·一模）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T．給出下列四個結論：
①若且，則；
②若且，則；
③若，則紅方獲得戰斗演習勝利；
④若，則紅方獲得戰斗演習勝利．
其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①②④
【分析】對于①根據已知條件利用作差法比較大小即可得出，所以①正確；對于②，利用①中結論可得藍方兵力先為0，即解得，②正確；對于③和④，若要紅方獲得戰斗演習勝利，分別解出紅、藍兩方兵力為0時所用時間、，比較大小即可知③錯誤，④正確.
【詳解】對于①，若且，則，
即，所以，
由可得，即①正確；
對于②，當時根據①中的結論可知，所以藍方兵力先為0，
即，化簡可得，
即，兩邊同時取對數可得，
即，所以戰斗持續時長為，
所以②正確；
對于③，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可，
設紅方兵力為0時所用時間為，藍方兵力為0時所用時間為，
即，可得
同理可得
即，解得
又因為都為正實數，所以可得，紅方獲得戰斗演習勝利；
所以可得③錯誤，④正確.
故答案為：①②④.
31．（2024高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規律一直操作下去.若經過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為 .（參考數據：）
【答案】12
【分析】設每次操作留下的長度為，得到為等比數列，公比為，首項為，求出，
從而得到去掉的所有線段長度總和為，列出不等式，求出答案.
【詳解】設每次操作留下的長度為，
則，，且每次操作留下的長度均為上一次操作留下長度的，
所以為等比數列，公比為，首項為，故，
所以經過次這樣的操作后，去掉的所有線段長度總和為，
故，即，
兩邊取對數得：，
因為，所以，則n的最小值為12.
故答案為：12
32．（2024高三上·湖南常德·階段練習）研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的 米的位置，信息素濃度為.
【答案】4
【分析】根據函數關系式將已知數據代入求解即可.
【詳解】因為釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，
所以，所以，即
當時，，
整理得即，
所以，因為，所以.
故答案為:4.
33．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：．設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為 ．
【答案】
【分析】由推導出，進而可得.
【詳解】由，得，
由，得，
將代入，得，
有，
所以，則，
所以.
故答案為：.
34．（2024·北京）李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為 ．
【答案】 130. 15.
【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.
【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,
元時,李明得到的金額為,符合要求.
元時,有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質 數學的應用意識 數學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養.
35．（2024高三上·福建龍巖·階段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即.取貝爾的倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強度（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度（單位：米）之間滿足關系式，若甲游客大喝一聲的聲強大約相當于個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為 .
【答案】
【分析】設甲、乙游客的聲強分別為、，大喝一聲激起的涌泉最高高度為、米，則代入兩式相減可得答案.
【詳解】設甲游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，
乙游客的聲強為，大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，
則，，
兩式相減得，
甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為米．
故答案為：.
36．（2024高三下·北京海淀·階段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發現單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數．而我們在做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，為縱坐標，以為橫坐標，則能夠近似得到 （曲線形狀），那么如果繼續研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式 ．
【答案】 射線 為縱坐標，以為橫坐標.
【分析】（1）由于，所以曲線是一條射線；（2）由于曲線的形狀類似，所以曲線可知可能的橫縱坐標的變量形式：為縱坐標，以為橫坐標.
【詳解】（1）因為，為玻爾茲曼常數．為縱坐標，以為橫坐標，因為，所以，所以曲線是一條射線；
（2）由于曲線的形狀類似，根據曲線可知可能的橫縱坐標的變量形式：為縱坐標，以為橫坐標，故答案為：為縱坐標，以為橫坐標.
故答案為：（1）射線；（2）為縱坐標，以為橫坐標.
【點睛】本題主要考查函數的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和應用能力.
37．（2024高三下·河南平頂山·階段練習）折紙是我國民間的一種傳統手工藝術，明德小學在課后延時服務中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙．課堂上，老師給每位同學發了一張長為12cm，寬為10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是 cm．
【答案】
【分析】求出長方形紙片的面積，不妨設折痕將紙片分成兩部分的面積分別為，，則，分三種情況，表達出折痕的平方，根據得到自變量的取值范圍，結合函數的單調性，求出折痕長度的取值范圍.
【詳解】由題意得長方形紙片的面積為，不妨設折痕將紙片分成兩部分的面積分別為，，且，則，．
如圖，其中，
當折痕MN為圖（1）所示的三角形一邊時，
設，，則，解得，
則，
令，，則，，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，故，
故．
當折痕MN為圖（2）所示的梯形一邊時，
設，，則，解得，
則，，
根據二次函數的性質可知，，則．
當折痕MN為圖（3）所示的梯形一邊時，
設，，則，解得，
則，，
根據二次函數的性質可知，，則．
綜上所述，折痕長度的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題
38．（2024高三·全國·對口高考）如圖是下水道的一種橫截面，上部為半圓，下部為矩形，若矩形下底邊長為，此橫截面面積為y，周長為l（常量），求：

(1)y與x之間的函數表達式及其定義域；
(2)的最大值.
【答案】(1)，定義域為；
(2).
【分析】（1）根據已知條件，先求出矩形的另一邊長，再結合矩形面積公式和圓的面積公式，即可求解.
（2）根據已知條件，結合（1）的結論，以及配方法，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，矩形的另一邊長為，
則面積，
又，解得，
則y與x之間的函數表達式為，
其定義域為.
（2）由（1）知
，
因，
故當時，函數取得最大值.
39．（2024·江蘇）如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
【答案】（1）炮的最大射程是10千米．
（2）當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標．
【詳解】試題分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）與x軸的橫坐標，求出后應用基本不等式求解．（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解
試題解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10千米．
（2）因為a＞0，所以炮彈可擊中目標
存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立
關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判別式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
a≤6.
所以當a不超過6（千米）時，可擊中目標．
考點：函數模型的選擇與應用
40．（2024高三上·江西贛州·階段練習）為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場.根據市場調研情況，預計每枚紀念章的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數據如下表.
上市時間/天 2 6 32
市場價/元 148 60 73
(1)根據上表數據，從①，②，③中選取一個恰當的函數描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系（無需說明理由），并求出該函數的解析式；
(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及每枚紀念章的最低市場價.
【答案】(1)，
(2)當該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元.
【分析】（1）根據表中數據的關系可選③來描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系，而根據表中數據可得關于參數的方程組，求出其解后可得函數解析式.
（2）利用基本不等式可求該紀念章市場價最低時的上市天數及每枚紀念章的最低市場價.
【詳解】（1）每枚紀念章的最低市場價不是關于上市時間的單調函數，故選.
分別把，代入，得
解得，，∴，.
此時該函數的圖象恰經過點，∴，.
（2）由（1）知，
當且僅當，即時，有最小值，且.
故當該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元.
41．（2024·湖北）圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：元）．設修建此矩形場地圍墻的總費用為y.

（Ⅰ）將y表示為x的函數；
（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
【答案】（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．
【詳解】試題分析：（1）設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m2，易得，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式；（2）根據（1）中所得函數的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應的x值
試題解析：（1）如圖，設矩形的另一邊長為a m
則45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．當且僅當225x=時，等號成立．
即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．
考點：函數模型的選擇與應用
42．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·開學考試）今年第5號臺風“杜蘇芮”顯得格外兇悍。自福建南部沿海登陸以來，“杜蘇芮”一路北上，國內不少城市因此遭遇了百年一遇的極端強降水天氣，并伴隨著洪澇、塌方、泥石流等次生災害，其中對黑龍江哈爾濱等地影響尤為巨大，此次強降雨時段，不僅帶來了嚴重的城市內澇，部分公路、橋梁發生不同程度水毀。哈爾濱五常市某農場已發現有的農田遭遇洪澇，每平方米農田受災造成直接損失400元，且滲水面積將以每天的速度擴散.災情發生后，某公司立即組織人力進行救援，每位救援人員每天可搶修農田，勞務費為每人每天400元，公司還為每位救援人員提供240元物資補貼.若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作，滲水造成總損失為元（總損失=因滲水造成的直接損失+各項支出費用）.
(1)寫出關于的函數解析式；
(2)應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小，并求出總損失.
【答案】(1) ；
(2)元.
【分析】（1）根據的關系，結合總損失的計算方法進行求解即可；
（2）利用基本不等式進行求解即可.
【詳解】（1）因為每位救援人員每天可搶修農田，需要天完成搶修工作，
所以可得，
顯然可得，且，
因為總損失=因滲水造成的直接損失+各項支出費用，
所以，
把代入中，得 ；
（2）
即，當且僅當時取等號，即當時取等號，
所以應安排名人員參與搶修，才能使總損失最小，此時總損失為元.
43．（2024·廣東）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）
【答案】為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．
【分析】設樓房應建為層，樓房每平方米的平均綜合費為元，根據平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，列出函數關系式，然后運用導數函數的最小值，并求出此時的取值即可.
【詳解】解：設樓房應建為層，樓房每平方米的平均綜合費為元，
則
，
當且僅當，即時，取最小值2000．
答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．
44．（024高三·黑龍江）某鄉鎮響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”．經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為(單位：元)
(1)寫單株利潤(元)關于施用肥料(千克)的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；
（2）根據二次函數的單調性和基本不等式求出的最大值即可．
【詳解】（1）依題意，又，
∴．
（2）當時，，開口向上，對稱軸為，
在上單調遞減，在上單調遞增，
在上的最大值為．
當時，，
當且僅當時，即時等號成立．
∵，∴當時，．
∴當投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．
45．（2024高一上·四川成都·期中）科研小組研制鈦合金產品時添加了一種新材料，該產品的性能指標值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數．研究過程中的部分數據如下表：
（單位：克） 0 2 6 10 …
－4 8 8 …
已知當時，，其中為常數．當時，和的關系為以下三種函數模型中的一個：①；②且；③且；其中均為常數．
(1)選擇一個恰當的函數模型來描述之間的關系，并求出其解析式；
(2)求該新材料的含量為多少克時，產品的性能達到最大．
【答案】(1)選擇①的函數模型，理由見詳解，此時解析式為：；
(2)當新材料的含量克時，產品的性能達到最大.
【分析】（1）根據表中所給數據，結合所給的三個函數分別驗證說明即可，然后根據數據求出所選函數的解析式；
（2）由（1）及題意得出函數的解析式，然后利用函數的性質求出最值即可.
【詳解】（1）由表格知當時，，
若選①，則，
若選②且，則，
此時且不滿足時，，
故不選，
若選③且，時無意義，故不選，
所以選①的函數模型來描述之間的關系，
由題意有當時，由，
且時得：；
當時得：；
當時得：；
聯立，解得：，
所以當時，.
（2）由（1）當時，，
又當時，，
將代入上式有：，
解得：，
即當時，
綜上有，
當時，，
所以當時，取到最大值，
當時，單調遞減，
所以當時，，
故當新材料的含量克時，產品的性能達到最大.專題10 函數模型及其應用7題型分類
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 ，為常數且
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
（一） 二次函數模型與分段函數模型 1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值． 2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
題型1：二次函數模型 1-1．（2024高二上·山東濰坊·期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ） A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速 C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速 1-2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ） A． B． C． D． 1-3．（2024·北京）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為 A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘
題型2：分段函數模型 2-1．（2024·云南·二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格： 一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ） A．116件 B．110件 C．107件 D．106件 2-2．（2024·四川綿陽·模擬預測）某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按元/度收費，超過400度的部分按元/度收費. (1)求某戶居民月用電費（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式； (2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占，求的值. 2-3．（2024·全國）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以（單位：t，100≤≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤. （Ⅰ）將T表示為的函數； （Ⅱ）根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率. 2-4．（2024高一上·江西贛州·期中）《中華人民共和國鄉村振興促進法》中指出：全面實施鄉村振興戰略，開展促進鄉村產業振興、人才振興、文化振興、生態振興、組織振興，推進城鄉融合發展．為深入踐行習近平總書記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產業發展生態化，生態建設產業化”思路．某鄉鎮為全力打造成“生態特色小鎮”，調研發現：某種農作物的單株產量（單位：）與肥料費用（單位：元）滿足如下關系：其它總成本為（單位：元），已知這種農作物的市場售價為每千克5元，且供不應求，記該單株農作物獲得的利潤為（單位：元）． (1)求的函數關系式； (2)當投入的肥料費用為多少元時，該單株農作物獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？ 2-5．（2024高二下·四川眉山·階段練習）某商店銷售某海鮮，統計了春節前后50天海鮮的需求量，（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調撥，銷售1公斤可獲利30元.假設商店每天該海鮮的進貨量為14公斤，商店的日利潤為元. (1)求商店日利潤關于需求量的函數表達式； (2)估計日利潤在區間內的概率. 2-6．（2024·全國）某花店每天以每枝元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理. （1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關于當天需求量（單位：枝，）的函數解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表： 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率. （i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，數學期望及方差； （ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.
（二） 對勾函數模型 1、解決此類問題一定要注意函數定義域； 2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型3：對勾函數模型 3-1．（2024高三下·河北唐山·階段練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為 ．（本題中取進行計算） 3-2．（2024高一下·浙江·期末）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則 ①關于x的函數關系式 ． ②若雕刻費用關于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為 ． 3-3．（2024高三·全國·專題練習）某企業投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（ ） A． B． C． D．
（三） 指數型函數、對數型函數、冪函數模型 1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型． 2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題．
題型4：指數型函數 4-1．（2024高三下·云南·階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（ ） （參考數據：， A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 4-2．（2024·山東）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 4-3．（2024·浙江·二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經驗規則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維·提丟斯發現的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下經驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（ ） 行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06
A． B． C． D．
題型5：對數型函數 5-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養不足.在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型:描述血氧飽和度（單位）隨機給氧時間（單位:時）的變化規律，其中為初始血氧飽和度，為參數.已知，給氧1小時后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（ ）小時.（參考數據:） A． B． C． D． 5-2．（2024·全國·二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5-3．（2024·四川綿陽·二模）經研究發現：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數（A，K為非零常數）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（ ）米． A． B．2 C． D．4
題型6：冪函數模型 6-1．（2024高三上·安徽亳州·階段練習）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫學家華佗的故鄉，由于一代名醫的影響，帶動了毫州醫藥的發展，到明 清時期毫州就是全國四大藥都之一，現已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規模最大 設施最好 檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校數學學習小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調查發現：該中藥材在2021年的價格浮動最大的一個月內（以30天計）日平均銷售單價（單位：元/千克）與第天（）的函數關系滿足（為正常數）.該中藥材的日銷售量（單位：千克）與的部分數據如下表所示： 4102030149155165155
已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價日銷售量） (1)求的值； (2)給出以下四種函數模型：①，②，③，④，請你根據表中的數據，幫助這組同學從中選擇最合適的一種函數模型來描述該中藥材的日銷售量與的關系，并求出該函數的解析式和日銷售收入（單位：元）的最小值. 6-2．（2024·四川瀘州·模擬預測）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ） A．10% B．20% C．22% D．32% 6-3．（2024·廣西·模擬預測）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ） A． B． C． D．
（四） 已知函數模型的實際問題 求解已知函數模型解決實際問題的關鍵 （1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數． （2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數． （3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
題型7：已知函數模型的實際問題 7-1．（2024高三·全國·專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：），為環境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設在室內溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為 ． 7-2．（2024高二下·浙江寧波·學業考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關系：．經測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，那么使達到最小值的隔熱層的厚度h＝ 厘米． 7-3．（2024·四川宜賓·模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是 年前． 7-4．（2024高一上·福建三明·階段練習）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（為常數）．根據圖所提供的信息，回答下列問題： （1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數關系式為 ； （2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室． 7-5．（2024·江西南昌·二模）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是 萬元. 7-6．（2024·福建福州·三模）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是 .（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時，
一、單選題
1．（2024高三上·廣東深圳·期末）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產萬件該產品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（ ）
A．720萬元 B．800萬元
C．875萬元 D．900萬元
2．（2024·浙江·二模）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（ ）（參考數據：）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
3．（2024高三下·北京·開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據：）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
4．（2024·全國）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.
設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為
A． B．
C． D．
5．（2024·全國）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
6．（2024·河南鄭州·模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數量應根據設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護對象的水霧噴頭數量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數（其值由噴頭制造商提供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設計噴霧強度（單位：）．水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數量．當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數K為24.96，保護對象的保護面積S為，保護對象的設計噴霧強度W為時，保護對象的水霧噴頭的數量N約為（參考數據：）（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
7．（2024·四川成都·三模）英國物理學家和數學家牛頓曾提出物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環境溫度是，則經過物體的溫度將滿足，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數．現有的物體，若放在的空氣中冷卻，經過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建福州·模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，銀行擬在鄉村開展小額貸款業務.根據調查的數據，建立了實際還款比例關于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（ ）（精確到0.01萬元，參考數據：，）
A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》，某造紙企業的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數量，為改良工藝的次數，假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要（ ）(參考數據：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
10．（2024·江西·二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節免疫功能，增強機體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養胃等功效，受到眾人的喜愛.根據草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個等級，其等級（）與其對應等級的市場銷售單價單位：元千克近似滿足函數關系式.若花同樣的錢買到的級草莓比級草莓多倍，且級草莓的市場銷售單價為元千克，則級草莓的市場銷售單價最接近（ ）（參考數據：，）
A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克
11．（2024·重慶·模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛生標準》規定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環境下時，竣工2周后室內甲醛濃度為，4周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數關系式，則該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
12．（2024·山西朔州·模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數的關系，某開發商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數據整理成如圖所示的散點圖：
則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數的回歸方程類型的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·全國）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
14．（2024高二·全國·課后作業）某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車,利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
15．（2024高三上·北京東城·開學考試）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數值為（ ）
（參考數據）
A．5 B．7 C．9 D．10
16．（2024·四川）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：℃）滿足函數關系（為自然對數的底數，為常數）.若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是
A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．21小時
17．（2024·四川成都·模擬預測）某程序研發員開發的小程序在發布時已有1000名初始用戶，經過t天后，用戶人數，其中k和m均為常數．已知小程序發布經過10天后有4000名用戶，則用戶超過2萬名至少經過的天數為（ ）（天數按整數算，取）.
A．20 B．21 C．22 D．23
18．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）苂光定量PCR是一種通過化學物質的苂光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期，苂光信號強度達到閥值時，DNA的數量與擴增次數滿足，其中為DNA的初始數量，為擴增效率.已知某被測標本DNA擴增6次后，數量變為原來的100倍，則擴增效率約為（ ）（參考數據：）
A． B． C． D．
19．（2024·湖南）某市生產總值連續兩年持續增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為
A． B．
C． D．
20．（2024高一上·青海西寧·期末）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
21．（2024高一上·全國·課后作業）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據．現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是（ ）
1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A． B． C． D．
22．（2024高一·全國·課后作業）四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數關系分別是，，，，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數關系是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
23．（2024·遼寧大連·三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：
其中正實數分別為甲 乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲 乙兩方時刻的實力；正實數分別為甲對乙 乙對甲的比賽效果系數.規定當甲 乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為.則下列結論正確的是（ ）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則甲比賽勝利
D．若，則甲比賽勝利
24．（2024高一上·山東德州·階段練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度
25．（2024高一上·山東德州·期末）牛頓曾提出了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環境溫度是（單位：℃），其中、則經過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（ ）（參考數值）
A．若，則
B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22
D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多
26．（2024·廣東·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32 ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數關系y＝f（t），其中（R為常數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（　　）
A．
B．
C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
27．（2024·全國）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
28．（2024高三·全國·專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車 .（精確到小時）
29．（2024·浙江）我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為，，，則當時， ， ．
30．（2024·北京朝陽·一模）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T．給出下列四個結論：
①若且，則；
②若且，則；
③若，則紅方獲得戰斗演習勝利；
④若，則紅方獲得戰斗演習勝利．
其中所有正確結論的序號是 ．
31．（2024高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規律一直操作下去.若經過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為 .（參考數據：）
32．（2024高三上·湖南常德·階段練習）研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的 米的位置，信息素濃度為.
33．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：．設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為 ．
34．（2024·北京）李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為 ．
35．（2024高三上·福建龍巖·階段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即.取貝爾的倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強度（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度（單位：米）之間滿足關系式，若甲游客大喝一聲的聲強大約相當于個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為 .
36．（2024高三下·北京海淀·階段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體．然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發現單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率與該黑體的絕對溫度的次方成正比，即，為玻爾茲曼常數．而我們在做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，為縱坐標，以為橫坐標，則能夠近似得到 （曲線形狀），那么如果繼續研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式 ．
37．（2024高三下·河南平頂山·階段練習）折紙是我國民間的一種傳統手工藝術，明德小學在課后延時服務中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙．課堂上，老師給每位同學發了一張長為12cm，寬為10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是 cm．
四、解答題
38．（2024高三·全國·對口高考）如圖是下水道的一種橫截面，上部為半圓，下部為矩形，若矩形下底邊長為，此橫截面面積為y，周長為l（常量），求：

(1)y與x之間的函數表達式及其定義域；
(2)的最大值.
39．（2024·江蘇）如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
40．（2024高三上·江西贛州·階段練習）為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場.根據市場調研情況，預計每枚紀念章的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數據如下表.
上市時間/天 2 6 32
市場價/元 148 60 73
(1)根據上表數據，從①，②，③中選取一個恰當的函數描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系（無需說明理由），并求出該函數的解析式；
(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及每枚紀念章的最低市場價.
41．（2024·湖北）圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：元）．設修建此矩形場地圍墻的總費用為y.

（Ⅰ）將y表示為x的函數；
（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
42．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·開學考試）今年第5號臺風“杜蘇芮”顯得格外兇悍。自福建南部沿海登陸以來，“杜蘇芮”一路北上，國內不少城市因此遭遇了百年一遇的極端強降水天氣，并伴隨著洪澇、塌方、泥石流等次生災害，其中對黑龍江哈爾濱等地影響尤為巨大，此次強降雨時段，不僅帶來了嚴重的城市內澇，部分公路、橋梁發生不同程度水毀。哈爾濱五常市某農場已發現有的農田遭遇洪澇，每平方米農田受災造成直接損失400元，且滲水面積將以每天的速度擴散.災情發生后，某公司立即組織人力進行救援，每位救援人員每天可搶修農田，勞務費為每人每天400元，公司還為每位救援人員提供240元物資補貼.若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作，滲水造成總損失為元（總損失=因滲水造成的直接損失+各項支出費用）.
(1)寫出關于的函數解析式；
(2)應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小，并求出總損失.
43．（2024·廣東）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）
44．（024高三·黑龍江）某鄉鎮響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”．經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為(單位：元)
(1)寫單株利潤(元)關于施用肥料(千克)的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
45．（2024高一上·四川成都·期中）科研小組研制鈦合金產品時添加了一種新材料，該產品的性能指標值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數．研究過程中的部分數據如下表：
（單位：克） 0 2 6 10 …
－4 8 8 …
已知當時，，其中為常數．當時，和的關系為以下三種函數模型中的一個：①；②且；③且；其中均為常數．
(1)選擇一個恰當的函數模型來描述之間的關系，并求出其解析式；
(2)求該新材料的含量為多少克時，產品的性能達到最大．

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