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專題09 函數與方程4題型分類
一、函數的零點
對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
二、方程的根與函數零點的關系
方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.
三、零點存在性定理
如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點
所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.
五、用二分法求函數零點近似值的步驟
（1）確定區間，驗證，給定精度.
（2）求區間的中點.
（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）
（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.
（一） 求函數的零點或零點所在區間 求函數零點的方法： （1）代數法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.
題型1：求函數的零點或零點所在區間 1-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數， ，函數的零點為 . 【答案】 【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令，分類討論即可得解. 【詳解】因為， 所以，則； 令，則，即， 當時，，解得； 當時，，解得（舍去）； 綜上：函數的零點為. 故答案為：；. 1-2．（2024高三·全國·專題練習）函數的零點為 ． 【答案】4 【分析】根據對數函數的定義及函數零點的定義計算即可. 【詳解】依題意有， 所以. 故答案為：4. 1-3．（2007·湖南）函數的圖象和函數的圖象的交點個數是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【詳解】試題分析：解：在同一坐標系中畫出函數的圖象和函數g（x）=log2x的圖象，如下圖所示： 由函數圖象得，兩個函數圖象共有3個交點，故選C. 考點：1.函數的圖象與圖象變化；2.零點個數． 1-4．（2024·湖北）方程的實數解的個數為 . 【答案】2 【詳解】因為,作出函數的圖像，從圖像可以觀察到兩函數的圖像有兩個公共點，所以方程的實數解的個數為2. 1-5．（2024·北京）已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是 A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C. 考點：本小題主要考查函數的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關鍵. 1-6．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數的零點位于區間內，則 . 【答案】2 【分析】利用函數單調性和零點存在性定理可知，函數在區間內存在零點即可得出結果. 【詳解】由題意可知函數在定義域內單調遞增， 易知， 而，所以, 根據零點存在定理可知，函數在區間內存在零點， 所以可得. 故答案為： 1-7．（2024高一上·北京·期中）設函數y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區間是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】B 【解析】函數y＝x3與y＝的圖象的交點的橫坐標即為的零點，將問題轉化為確定函數的零點所在區間的問題，再由函數零點的存在性定理可得到答案． 【詳解】設，則是增函數，又 . 所以， 所以x0所在的區間是(1，2) 故選：B 【點睛】本題考查函數圖象的交點，考查函數的零點，解題的關鍵是構建函數，正確運用函數零點存在定理，屬于中檔題.
（二） 利用函數的零點確定參數的取值范圍 本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.
題型2：利用函數的零點(個數）確定參數的取值范圍 2-1．（2024·天津北辰·三模）設，對任意實數x，記．若有三個零點，則實數a的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】分析函數的零點，由條件列不等式求a的取值范圍. 【詳解】令， 因為函數有一個零點，函數至多有兩個零點， 又有三個零點， 所以必須有兩個零點，且其零點與函數的零點不相等， 且函數與函數的零點均為函數的零點， 由可得，，所以， 所以為函數的零點， 即， 所以， 令，可得， 由已知有兩個根， 設，則有兩個正根， 所以，， 所以，故， 當時，有兩個根， 設其根為，，則， 設，則，， 所以， 令，則， 則，， 且，， 所以當時，， 所以當時，為函數的零點，又也為函數的零點， 且與互不相等， 所以當時，函數有三個零點. 故答案為：. 【點睛】方法點睛：函數零點的求解與判斷方法： (1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點． (3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 2-2．（2024高一上·江西·階段練習）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判斷出在上是增函數，利用零點存在定理列不等式，即可求a的范圍. 【詳解】∵和在上是增函數， ∴在上是增函數， ∴只需即可，即，解得. 故選：D. 2-3．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）已知函數在上有零點，則實數的取值范圍 . 【答案】 【分析】通過討論的范圍，利用函數的單調性及零點存在定理判斷函數的零點個數，從而確定的范圍. 【詳解】當時，，，， 故，由零點存在性定理知：在區間上至少有1個零點； 當時，，符合題意； 當時，， ， 由零點存在性定理知，在區間至少有1個零點； 當時， ， 因為，，所以，， 當時，，，遞增， 當時，，，遞減， 故在上遞增，在上遞減， 又，即在上，， 故在區間上沒有零點． 所以，當時，函數在上有零點. 令，， 可知為奇函數，圖象關于原點對稱， 從而，當時，函數在上有零點. 又當時，，符合題意， 綜上，實數的取值范圍． 故答案為：． 2-4．（2024·浙江紹興·二模）已知函數，若在區間上有零點，則的最大值為 . 【答案】 【分析】設，即可求出b，繼而求出的表達式，將看作主元，配方得，記，即可求解最大值. 【詳解】設，則， 此時，則， 令， 當時，， 記，則， 所以在上遞增，在上遞減， 故,所以， 所以的最大值為. 故答案為：. 【點睛】關鍵點點睛：本題是雙參數函數的零點問題， 第一步消參：通過設零點，代入方程，得到其中一個參數的表達式， 第二步主元法求最值：將所求表達式通過主元法（關于另一個參數）構造函數求出最值，即可求解. 2-5．（2024·天津）設,函數,若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ． 【答案】 【分析】根據絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據根存在的條件即可判斷的取值范圍． 【詳解】（1）當時，， 即， 若時，，此時成立； 若時，或， 若方程有一根為，則，即且； 若方程有一根為，則，解得：且； 若時，，此時成立． （2）當時，， 即， 若時，，顯然不成立； 若時，或， 若方程有一根為，則，即； 若方程有一根為，則，解得：； 若時，，顯然不成立； 綜上， 當時，零點為，； 當時，零點為，； 當時，只有一個零點； 當時，零點為，； 當時，只有一個零點； 當時，零點為，； 當時，零點為． 所以，當函數有兩個零點時，且． 故答案為：． 【點睛】本題的解題關鍵是根據定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據根存在的條件求出對應的范圍，然后根據范圍討論根（或零點）的個數，從而解出． 2-6．（2024·天津）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 . 【答案】 【分析】設，，分析可知函數至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數的取值范圍進行分類討論，根據題意可得出關于實數的不等式，綜合可求得實數的取值范圍. 【詳解】設，，由可得. 要使得函數至少有個零點，則函數至少有一個零點，則， 解得或. ①當時，，作出函數、的圖象如下圖所示： 此時函數只有兩個零點，不合乎題意； ②當時，設函數的兩個零點分別為、， 要使得函數至少有個零點，則， 所以，，解得； ③當時，，作出函數、的圖象如下圖所示： 由圖可知，函數的零點個數為，合乎題意； ④當時，設函數的兩個零點分別為、， 要使得函數至少有個零點，則， 可得，解得，此時. 綜上所述，實數的取值范圍是. 故答案為：. 【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍； （2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決； （3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
（三） 嵌套函數的零點問題 1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍． 2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎實．
題型3：嵌套函數的零點問題 3-1．（2024高三上·浙江紹興·期中）已知函數有三個不同的零點.其中，則的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求得導數和單調性，畫出圖象，從而考慮有兩個不同的根，從而可得或，結合圖象可得，，，結合韋達定理即可得到所求值． 【詳解】解：令，則， 故當時，，是增函數， 當時，，是減函數， 可得處取得最小值， ，，畫出的圖象， 由可化為， 故結合題意可知，有兩個不同的根， 故，故或， 不妨設方程的兩個根分別為，， ①若，， 與相矛盾，故不成立； ②若，則方程的兩個根，一正一負； 不妨設，結合的性質可得，，，， 故 又，， ． 故選：A． 【點睛】本題考查了導數的綜合應用及轉化思想的應用，同時考查了分類討論思想的應用，屬于難題． 3-2．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數，若關于的方程有且只有三個不同的實數解，則正實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化簡函數解析式，分析可知關于的方程、共有個不同的實數解，利用代數法可知方程有兩個根，分析可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍. 【詳解】因為， 由可得， 所以，關于的方程、共有個不同的實數解. ①先討論方程的解的個數. 當時，由，可得， 當時，由，可得， 當時，由，可得， 所以，方程只有兩解和； ②下面討論方程的解的個數. 當時，由可得，可得或， 當時，由，可得，此時方程有無數個解，不合乎題意， 當時，由可得， 因為，由題意可得或或， 解得或. 因此，實數的取值范圍是. 故選：B. 3-3．（2024·河南安陽·模擬預測）已知函數，則關于的方程有個不同實數解，則實數滿足（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】令，利用換元法可得，由一元二次方程的定義知該方程至多有兩個實根、，作出函數的圖象，結合題意和圖象可得、，進而得出結果. 【詳解】令，作出函數的圖象如下圖所示： 由于方程至多兩個實根，設為和， 由圖象可知，直線與函數圖象的交點個數可能為0 2 3 4， 由于關于x的方程有7個不同實數解， 則關于u的二次方程的一根為，則， 則方程的另一根為， 直線與函數圖象的交點個數必為4，則，解得. 所以且. 故選：C. 3-4．（2024·四川廣安·一模）已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為 A． B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【詳解】在和上單增，上單減，又當時，時，故的圖象大致為： 令，則方程必有兩個根，且，不仿設 ，當時，恰有，此時，有個根，，有個根，當時必有，此時無根，有個根，當時必有，此時有個根，，有個根，綜上，對任意，方程均有個根，故選A. 【方法點睛】已知函數零點(方程根)的個數，求參數取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法，先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．一是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為的交點個數的圖象的交點個數問題 .
（四） 二分法 所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.
題型4：二分法 4-1．（2024高三·全國·專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由于長度等于1區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過次操作后，區間長度變為，若要求精確度為時則，解不等式即可求出所需二分區間的最少次數. 【詳解】因為開區間的長度等于1，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半， 所以經過次操作后，區間長度變為， 令，解得，且， 故所需二分區間的次數最少為7. 故選：C. 4-2．（2024高一上·遼寧·期中）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據零點存在定理進行判斷. 【詳解】設，易知為增函數，而，， ∴函數在區間內有零點， 即用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是． 故選：A． 4-3．（2024高一上·四川廣安·期中）函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下： 那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（ ） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 【答案】C 【分析】根據二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可 【詳解】由所給數據可知，函數在區間內有一個根， 因為，， 所以根在內， 因為，所以不滿足精確度， 繼續取區間中點， 因為 ，， 所以根在區間， 因為，所以不滿足精確度， 繼續取區間中點， 因為，， 所以根在區間內， 因為滿足精確度， 因為，所以根在內， 所以方程的一個近似解為， 故選：C 4-4．（2024高一上·貴州遵義·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】設，根據當連續函數滿足（a）（b）時，在區間上有零點，即方程在區間上有解，進而得到答案． 【詳解】解：設， 當連續函數滿足（a）（b）時，在區間上有零點， 即方程在區間上有解， 又（2），（3）， 故（2）（3）， 故方程在區間上有解， 即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是. 故選：C． 4-5．（2024高三上·寧夏·期末）用二分法求函數的一個零點，根據參考數據，可得函數的一個零點的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數據：，，，，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據函數特點及所給數據計算相關函數值，再結合零點存在定理即可獲得解答. 【詳解】由題意可知： ， ， 又因為函數在上連續，所以函數在區間上有零點， 約為 故選：C. 【點睛】函數零點的求解與判斷方法： (1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點． (3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 4-6．（2024高三上·湖南長沙·期中）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區間的次數最少為（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由題可得經過n次操作后，區間的長度為，令即可求解. 【詳解】根據題意，原來區間的長度等于1，每經過二分法的一次操作，區間長度變為原來的一半， 則經過n次操作后，區間的長度為，若，即. 故選：B．
一、單選題
1．（2024·湖北）已知是定義在上的奇函數，當時，，則函數的零點的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為是定義在上的奇函數，當時，，
所以，
所以，
由，解得或；
由解得或（舍去），
所以函數的零點的集合為.
故選：D.
考點：函數的奇偶性的運用，分段函數，函數的零點，一元二次方程的解法，難度中等.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知指數函數為，則函數的零點為（ ）
A． B．0
C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件，解指數方程即可作答.
【詳解】函數，由，即，整理得，解得，
所以函數的零點為1.
故選：C
3．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習）函數的零點為（ ）
A．2，3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，解方程求出函數零點作答.
【詳解】由，得，即或，解得或，
所以函數的零點為2，3.
故選：A
4．（2024·山東）已知當 時，函數 的圖象與 的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】當時， ， 單調遞減，且，單調遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當時， ，在 上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B.
【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；
(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．
5．（2024高三·全國·專題練習）若，則函數的兩個零點分別位于區間
A．和內 B．和內
C．和內 D．和內
【答案】A
【詳解】試題分析：，所以有零點，排除B，D選項.當時，恒成立，沒有零點，排除C，故選A.另外，也可知內有零點.
考點：零點與二分法.
【思路點晴】如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有·，那么，函數在區間內有零點，即存在使得，這個也就是方程的根.注意以下幾點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.③由函數在閉區間上有零點不一定能推出·，如圖所示.所以·是在閉區間上有零點的充分不必要條件.
6．（2024·全國）在下列區間中，函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判斷函數在上單調遞增，由,利用零點存在定理可得結果.
【詳解】因為函數在上連續單調遞增，
且,
所以函數的零點在區間內，故選C.
【點睛】本題主要考查零點存在定理的應用，屬于簡單題.應用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數是否為單調函數；（2）函數是否連續.
7．（2024高三上·寧夏·階段練習）已知函數，函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求得的解析式，畫出和的圖象，根據兩個函數圖象交點的個數，判斷出函數的零點個數.
【詳解】依題意，
，
，
，
，
即.
畫出和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數圖象有個交點.
所以函數有個零點.
故選：A

【點睛】求解函數零點個數問題，可轉化為兩個函數圖象交點個數來研究.
8．（2024高三上·江蘇淮安·期中）已知函數，則函數，的零點個數（　　）
A．3個 B．5個 C．10個 D．9個
【答案】D
【分析】設，利用導數研究圖象的性質，將零點問題轉化為函數圖象交點的問題求解.
【詳解】令，則，
令，即，
，令得或，令得，
所以函數在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減，
因為，所以方程有三個解，
當時，，，，
當時，，，，
當時，，，，
當時，方程有個根，當時，方程有個根，當
時，方程有個根，故函數零點的個數為個;
同理可得當時和時均可得到函數零點的個數為個.
故選：D.
【點睛】嵌套函數的零點問題，通常采用換元法求解，即令，轉化為求函數和圖象交點的問題，接著不斷分析，層層遞進即可求解.
9．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）的零點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由題得，在同一坐標系下，作出函數的圖象，即得解.
【詳解】令，
在同一坐標系下，作出函數的圖象，如圖所示，
由于的圖象有兩個交點，
所以的零點個數為2,
故選：B
【點睛】本題主要考查零點個數的判定，考查指數對數函數圖象的作法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析推理能力.
10．（2024·天津）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數形結合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
即可，
令，即與的圖象有個不同交點.
因為，
當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；
當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.
【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.
11．（2024·全國）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【詳解】分析：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.
詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，
再畫出直線，之后上下移動，
可以發現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，
并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，
即方程有兩個解，
也就是函數有兩個零點，
此時滿足，即，故選C.
點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.
12．（2024·廣西·一模）已知函數是奇函數，且，若是函數的一個零點，則（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用奇函數、函數零點的定義，列式求解作答.
【詳解】因為是函數的一個零點，則，于是，即，
而函數是奇函數，則有，
所以.
故選：D
13．（2024·吉林·模擬預測）已知是函數的一個零點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題可得，然后根據二倍角公式結合齊次式即得.
【詳解】因為是函數的一個零點，
所以，即，故，
則．
故選：D．
14．（2024高三上·山東聊城·階段練習）已知函數的零點依次為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別討論 的零點所在的區間，然后比較大小.
【詳解】對于 ，顯然是增函數， ，所以 的唯一零點 ；
對于 ，顯然也是增函數， ，所以 的唯一零點 ；
對于 ，顯然也是增函數， ，所以 的唯一零點 ；
；
故選：A.
15．（2024·陜西·一模）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得是方程的解，令，對求導，結合零點存在性定理即可得出答案.
【詳解】，所以，
因為是方程的一個解，
所以是方程的解，令，
則，當時，恒成立，
所以單調遞增，
又，
所以.
故選：C.
16．（2024·山西陽泉·三模）函數在區間存在零點．則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函數的單調性的性質及函數零點的存在性定理即可求解.
【詳解】由在上單調遞增，在上單調遞增，得函數在區間上單調遞增，
因為函數在區間存在零點，
所以，即，解得，
所以實數m的取值范圍是.
故選：B.
17．（2024高三·天津·學業考試）已知函數是R上的奇函數，若函數的零點在區間內，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據奇函數定義求出，確定函數的單調性，然后由的零點是0得出結論．
【詳解】∵是奇函數，∴，，，易知在上是增函數，
∴有唯一零點0，
函數的零點在區間內，∴在上有解，，∴．
故選：A．
【點睛】本題考查函數的奇偶性，考查函數的零點，解題關鍵是等價轉化，把函數零點轉化為方程在某個區間上有解，從而再轉化為求函數值域．
18．（2024高一上·四川資陽·期末）定義在R上函數，若函數關于點對稱，且則關于x的方程()有n個不同的實數解，則n的所有可能的值為
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【答案】B
【分析】由函數關于點對稱，得是奇函數，由此可作出函數的圖象，利用圖象可分析方程的根的個數，再用換元法（設）把原方程轉化為一元二次方程，通過這個二次方程根的研究得出原方程解的個數．
【詳解】∵函數關于點對稱，∴是奇函數，時，在上遞減，在上遞增，
作出函數的圖象，如圖，由圖可知的解的個數是1，2，3.
或時，有一個解，時，有兩個解，時，有三個解，
方程中設，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實根，，，，兩根一正一負，不妨設，
若，則，，和都有兩個根，原方程有4個根；
若，則，，∴，，有三個根，有一個根，原方程共有4個根；
若，則，，∴，，有一個根，有三個根，原方程共有4個根．
綜上原方程有4個根．
故選：B.
【點睛】本題考查考查函數零點與方程根的個數問題，解題時作出函數圖象利用數形結合思想求解是明智之舉．而換元把方程轉化為一元二次方程是解題關鍵．
19．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數的圖象上存在點P，函數g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得函數關于原點對稱的函數，把函數的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，轉化為在上有解，利用導數求得函數的最值，借助有解，即求解．
【詳解】由題意，函數關于原點對稱的函數為，即，
若函數的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，
則等價為在上有解，即，在上有解，
由，則，
當時，，此時函數為單調增函數；
當時，，此時函數為單調減函數，
即當時，取得極小值同時也是最小值，且，即，
當時，，即，
設，要使得有解，
則當過點 時，得，過點時，，解得，
綜上可得．
故選C．
【點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的有解問題，以及函數的對稱問題的應用，其中把函數的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，轉化為有解，利用導數求得函數的最值，結合圖象是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．
20．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數，函數與的圖象關于直線對稱，若無零點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，參變分離成的形式，畫圖可得k的取值范圍.
【詳解】由題知，，設，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當時，與無交點，即無零點.
故選：D.
21．（2024·河南洛陽·一模）已知函數的圖象上存在點，函數的圖象上存在點，且，關于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數與函數的圖象關于x軸對稱，
根據已知得函數的圖象與函數的圖象有交點，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
則，
可知在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，，
由于，，且，
所以．
故選：A．
22．（2024高三上·湖南衡陽·階段練習）已知函數（，為自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設上一點關于軸對稱點坐標為，則在上，得到方程有解，即函數與在上有交點，利用導數判斷出函數的單調性和最值，可得實數的取值范圍．
【詳解】設上一點，，且關于軸對稱點坐標為，在上，
有解，即有解.
令，則，，
當時，；當時，，在上單調遞減；在上單調遞增
，，，
有解等價于與圖象有交點， .
故選：B
【點睛】本題考查導數在最值中的應用，考查函數與方程思想，考查學生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．
23．（2024高二下·浙江寧波·期末）若函數至少存在一個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將條件轉化為有解，然后利用導數求出右邊函數的值域即可.
【詳解】因為函數至少存在一個零點
所以有解
即有解
令，
則
因為，且由圖象可知，所以
所以在上單調遞減，令得
當時，單調遞增
當時，單調遞減
所以
且當時
所以的取值范圍為函數的值域，即
故選：A
【點睛】1.本題主要考查函數與方程、導數與函數的單調性及簡單復合函數的導數，屬于中檔題.
2. 若方程有根，則的范圍即為函數的值域
24．（2024高二下·湖北·期中）設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意先求函數的定義域，由方程有解得到方程有解，
即有解，令，根據單調性求出函數的值域即為所求．
【詳解】由題意得函數的定義域為．
又，
∵函數至少存在一個零點，
∴方程有解，
即有解．
令，
則，
∴當時，單調遞增；當時，單調遞減．
∴．
又當時，；當時，．
要使方程有解，則需滿足，
∴實數的取值范圍是．
故選D．
【點睛】解答本題的關鍵是把方程有解的問題轉化為兩函數圖象有公共點的問題，解題時需要根據函數的單調性得到函數圖象的大體形狀，然后再根據數形結合求解，屬于中檔題．
25．（2024·福建廈門·一模）若至少存在一個實數，使得方程成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，且，設，則的取值范圍即的值域，利用導數的應用能求出實數的取值范圍．
【詳解】∵，∴，且，
設，則的取值范圍即的值域．
，
當時，；當時，；當時，．
∴當時，取最大值，
當時，；當時，，
∴實數的取值范圍為．
故選：D．
26．（2024高三·湖南長沙·階段練習）設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得，構造新函數，通過利用函數的單調性，可知在處取最小值，函數至少存在一個零點，只需即可，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】依題意得，函數至少存在一個零點，且，
可構造函數和，
因為，開口向上，對稱軸為，所以為單調遞減，為單調遞增；
而，則，由于，所以為單調遞減，為單調遞增；
可知函數及均在處取最小值，所以在處取最小值，
又因為函數至少存在一個零點，只需即可，即：
解得：.
故選：D.
【點睛】本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，通過構造新函數以及利用二次函數性質和導數求出函數的單調性進而求出函數最小值，結合零點求出參數范圍．
27．（2024·山東·模擬預測）已知函數有唯一零點，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】設，由函數奇偶性定義得到為偶函數，所以函數的圖象關于直線對稱，由零點唯一性得到，求出的值.
【詳解】設，定義域為R,
∴，
故函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，
故函數的圖象關于直線對稱，
∵有唯一零點，
∴，即．
故選：D．
28．（2024·內蒙古呼倫貝爾·三模）已知函數有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】換元后，根據函數的對稱性，可知是偶函數，根據只有一個零點，可知只能在對稱軸的地方取值，即可求解.
【詳解】令，則，
記，則，令則，所以是偶函數，圖象關于軸對稱，因為只有唯一的零點，所以零點只能是于是
故選：C
29．（2024高三下·重慶渝北·階段練習）已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【答案】A
【解析】根據題意，利用函數的奇偶性，求出，結合函數的對稱性得出和都關于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.
【詳解】解：已知，①
且，分別是上的偶函數和奇函數，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關于對稱，
則關于對稱，
為偶函數，關于軸對稱，
則關于對稱，
由于有唯一零點，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
【點睛】本題考查函數基本性質的應用，涉及函數的奇偶函數，對稱性和零點，考查函數思想和分析能力.
30．（2024·甘肅張掖·三模）已知函數有唯一零點，則負實數
A． B． C． D．或
【答案】A
【詳解】函數有唯一零點，
設
則函數有唯一零點，
則
設∴ 為偶函數，
∵函數 有唯一零點，
∴與有唯一的交點，
∴此交點的橫坐標為0， 解得 或（舍去），
故選A．
31．（2024高一上·天津南開·期末）已知函數，若函數有兩個零點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，數形結合求解.
【詳解】
存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，在同一直角坐標系中繪制兩個函數的圖象：
由圖可知，保證兩函數圖象有兩個交點，滿足，解得：
故選：A.
32．（2024高三上·江西·階段練習）已知，函數恰有3個零點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】分別求出兩段函數各自的零點，作出圖像利用數形結合即可得出答案.
【詳解】設，，
求導
由反比例函數及對數函數性質知在上單調遞增，
且，，故在內必有唯一零點，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
令，解得或2，可作出函數的圖像，
令，即，在之間解得或或，
作出圖像如下圖
數形結合可得：，
故選：A
33．（2024高三上·陜西西安·期末）已知函數， 若函數，則函數的零點個數為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本題首先通過函數奇偶性求出，再利用導數研究其在上的零點個數即可.
【詳解】當時，，
當時，，
，
，且定義域為，關于原點對稱，故為奇函數，
所以我們求出時零點個數即可，
，，令，解得，
故在上單調遞增，在單調遞減，
且，而，故在有1零點，
，故在上有1零點，圖像大致如圖所示：
故在上有2個零點，又因為其為奇函數，則其在上也有2個零點，且，故共5個零點，
故選：D.
34．（2024·天津和平·二模）已知函數 ，若函數在內恰有5個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，對實數的取值進行分類討論，確定函數在上的零點個數，然后再確定函數在上的零點個數，可得出關于實數的不等式（組），綜合可得出實數的取值范圍.
【詳解】當時，對任意的，在上至多個零點，不合乎題意，所以，.
函數的對稱軸為直線，.
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且.
①當時，即當時，則函數在上無零點，
所以，函數在上有個零點，
當時，，則，
由題意可得，解得，此時不存在；
②當時，即當時，函數在上只有一個零點，
當時，，則，則函數在上只有個零點，
此時，函數在上的零點個數為，不合乎題意；
③當時，即當時，函數在上有個零點，
則函數在上有個零點，
則，解得，此時；
④當時，即當時，函數在上有個零點，
則函數在上有個零點，
則，解得，此時，.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
35．（2024·河南洛陽·一模）已知函數，有三個不同的零點，（其中），則的值為
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【詳解】令f（x）=0，分離參數得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數，在（1，e）上為增函數．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
對于μ=， 則當0＜x＜e時，μ′＞0；當x＞e時，μ′＜0．而當x＞e時，μ恒大于0．不妨設μ1＜μ2，則μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故選D．
點睛：本題考查了利用導數研究函數單調性，極值等性質，訓練了函數零點的判斷方法，運用了分離變量法，換元法，函數構造法等數學轉化思想方法，綜合性強．
36．（2024高三上·重慶南岸·階段練習）設定義在R上的函數滿足有三個不同的零點且 則的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
【答案】A
【分析】將函數由三個不同零點轉化為方程有三個不同的實根，可得并令，整理得關于的一元二次方程，若兩根為可求，再由導數研究的單調性結合方程最多只有兩個根，可知，即，，進而可求目標式的值.
【詳解】由有三個不同的零點知：有三個不同的實根，即有三個不同實根，
若，則，整理得，若方程的兩根為，
∴，而，
∴當時，即在上單調遞減；當時，即在上單調遞增；即當時有極小值為，又，有，即.
∵方程最多只有兩個不同根，
∴，即，，
∴.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：將問題轉化為方程有三個不同實根的問題，應用換元法轉換方程主元為，并結合導數研究主元的單調性，由一元二次方程根只有兩個，可得即有，即可求值.
37．（2024高三上·天津南開·階段練習）設函數
①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是
④方程的不同實根的個數只能是1，2，3，6
四個結論中，正確的結論個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作出的圖像，利用函數與方程之間的關系，分析問題，即可得出答案．
【詳解】解：對于①：作出的圖像如下：
若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設，
則，是方程的兩個不等的實數根，，是方程的兩個不等的實數根，
所以，，所以，所以，
所以，故①正確；
對于②：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故②錯誤；
對于③：方程的實數根的個數，即為函數與的交點個數，
因為恒過坐標原點，當時，有3個交點，當時最多2個交點，所以，
當與相切時，設切點為，
即，所以，解得，所以，所以，
所以當與相切時， 即時，此時有4個交點，
若有4個實數根，即有4個交點，
當時由圖可知只有3個交點，當時，
令，，則，則當時，即單調遞增，當時，即單調遞減，
所以當時，函數取得極大值即最大值，，
又及對數函數與一次函數的增長趨勢可知，當無限大時，即在和內各有一個零點，即有5個實數根，故③錯誤；
對于④：，
所以，
所以或，
由圖可知，當時，的交點個數為2，
當，0時，的交點個數為3，
當時，的交點個數為4，
當時，的交點個數為1，
所以若時，則，交點的個數為個，
若時，則，交點的個數為3個，
若，則，交點有個，
若且時，則且，交點有個，
若，交點有1個，
綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數根1，2，3，6，故④正確；
故選：B．
38．（2024高一上·天津·期中）已知函數，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】畫出的圖象，根據圖象將表示為只含的形式，結合函數的單調性求得的取值范圍.
【詳解】.
先作圖象，由圖象可得
因此為，
，
從而.
故選：A

39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函數，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函數圖象，根據圖象關系，得出，，即可求解的取值范圍.
【詳解】作出函數的圖象，如圖所示：
方程有四個不同的實根，，，，滿足，
則，
即：，所以，
，所以，根據二次函數的對稱性可得：，
，
考慮函數單調遞增，
，
所以時的取值范圍為.
故選：A
【點睛】此題考查函數零點的綜合應用，涉及分段函數，關鍵在于根據對數函數和二次函數的圖象性質找出零點的等量關系，構造函數關系求解取值范圍.
40．（2024高三·全國·專題練習）已知函數f(x)＝，若互不相等的實數x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（ ）
A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）
【答案】A
【分析】由函數解析式作出圖像，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把轉化為關于t的函數求解．
【詳解】解：畫出分段函數f(x)＝的圖像如圖：
令互不相等的實數x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
則x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
則＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故選：A．
41．（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出迭代關系為，結合逐項計算可得出結果.
【詳解】令，則，
令，即，可得，
迭代關系為，
取，則，，
故選：D.
42．（2024·天津）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數零點個數情況，再結合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，
由可得，
由可得，
（1）時，當時，有4個零點，即；
當，有5個零點，即；
當，有6個零點，即；
（2）當時，，
，
當時，，無零點；
當時，，有1個零點；
當時，令，則，此時有2個零點；
所以若時，有1個零點.
綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數的零點個數情況.
43．（2024·全國）函數在的零點個數為
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根據x的取值范圍可求得零點.
【詳解】由，
得或，，
．
在的零點個數是3，
故選B．
【點睛】本題考查在一定范圍內的函數的零點個數，滲透了直觀想象和數學運算素養．采取特殊值法，利用數形結合和方程思想解題．
44．（2024·湖南）已知函數與圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題可得存在滿足
,
令,
因為函數和在定義域內都是單調遞增的,
所以函數在定義域內是單調遞增的,
又因為趨近于時,函數且在上有解(即函數有零點),
所以,
故選：B.
考點：指對數函數 方程 單調性
45．（2024·安徽）下列函數中，既是偶函數又存在零點的是
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由選項可知，項均不是偶函數，故排除，項是偶函數，但項與軸沒有交點，即項的函數不存在零點，故選A.
考點：1.函數的奇偶性；2.函數零點的概念.
46．（2024·湖南）函數的圖象與函數的圖象的交點個數為
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【詳解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數f(x)＝2ln x圖象的下方，故函數f(x)＝2ln x的圖象與函數g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點．
47．（2024·福建）若函數的零點與 的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：因為函數g(x)＝4x＋2x－2在R上連續，且，，設函數的g(x)＝4x＋2x－2的零點為，根據零點存在性定理，有，則，所以，又因為f (x)＝4x－1的零點為，函數f (x)＝(x－1)2的零點為x=1，f (x)＝ex－1的零點為，f (x)＝ln(x－0．5)的零點為，符合為，所以選A．
考點： 零點的概念，零點存在性定理．
48．（2024高三上·河南許昌·開學考試）已知二次函數的兩個零點為，若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據函數零點的定義，結合一元二次方程根與系數的關系進行求解即可.
【詳解】由，，得，，由，
由，解得，
．
，
故選：D
【點睛】關鍵點睛：根據已知不等式得到是解題的關鍵.
49．（河北省唐山市第十一中學2023-2024學年高一上學期期中數學試題）函數f(x)=的零點所在的一個區間是
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）
【答案】B
【詳解】試題分析：因為函數f(x)=2+3x在其定義域內是遞增的，那么根據f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數的零點存在性定理可知，函數的零點的區間為（-1,0），選B．
考點：本試題主要考查了函數零點的問題的運用．
點評：解決該試題的關鍵是利用零點存在性定理，根據區間端點值的乘積小于零，得到函數的零點的區間．
50．（2024高三上·江西·開學考試）函數的零點所在區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據零點存在性定理分析判斷
【詳解】因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，
所以至多有一個零點，
因為，，
所以在零點在區間，
故選：A．
51．（2024·浙江）已知是函數的一個零點，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】轉化是函數的一個零點為是函數與的交點的橫坐標，畫出函數圖像，利用圖像判斷即可
【詳解】因為是函數的一個零點，則是函數與的交點的橫坐標，畫出函數圖像，如圖所示，
則當時，在下方，即；
當時，在上方，即，
故選：B
【點睛】本題考查函數的零點問題，考查數形結合思想與轉化思想
52．（2024高二下·河南·期末）對實數和，定義運算“”：，設函數，，若函數的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據新定義的運算法則，列出函數的解析式，從而問題轉化為圖象的交點問題，結合圖象即可得解.
【詳解】由，得=，
因為函數的圖象與軸恰有兩個公共點，
所以的圖象有兩個交點，如圖：

由圖可知，當時，函數的圖象有兩個公共點，
所以的取值范圍是，
故選：B．
53．（2024高三下·上海寶山·階段練習）已知函數是定義域在R上的奇函數，且當時，，則關于在R上零點的說法正確的是（ ）
A．有4個零點，其中只有一個零點在內
B．有4個零點，其中只有一個零點在內，兩個在內
C．有5個零點，都不在內
D．有5個零點，其中只有一個零點在內，一個在
【答案】C
【分析】解法一：先研究時，零點的情況，根據零點的情況，以及函數圖象的平移，即可得出時零點的個數.然后根據奇函數的對稱性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程，也可以得出時零點的個數. 然后根據奇函數的對稱性以及特性，即可得出答案.
【詳解】解法一：根據對稱性可以分三種情況研究
(1)的情況，是把拋物線與軸交點為向上平移了0.02，則與軸交點變至之間了，所以在之間有兩個零點；
(2)當時，，根據對稱性之間也有兩個零點
(3)是定義在R上的奇函數，故，
所以有五個零點.
解法二：
(1)直接解方程的兩根
也可以得兩根為，都在之間；
(2)當時，，根據對稱性之間也有兩個零點
(3)是定義在R上的奇函數，故，
所以有五個零點.
故選：C.
【點睛】方法點睛：先求出時，零點的情況.然后根據奇函數的性質，即可得出答案.
54．（2024·湖南·模擬預測）有甲、乙兩個物體同時從A地沿著一條固定路線運動，甲物體的運動路程（千米）與時間t（時）的關系為，乙物體運動的路程（千米）與時間t（時）的關系為，當甲、乙再次相遇時，所用的時間t（時）屬于區間（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，構造函數，，利用導數探討函數零點作答.
【詳解】設當甲、乙再次相遇時，所用的時間為t小時，則，
令，，求導得，由得，
而函數在上單調遞增，即當時，，當，，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而當時，，，，因此存在唯一，使得，
所以當甲、乙再次相遇時，所用的時間t（時）屬于區間.
故選：B
55．（2024高一·上海·假期作業）關于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】令，則，作出這兩個函數的圖象，利用兩個函數的圖象可得結果.
【詳解】令，則，
作出這兩個函數的圖象，如圖：
由圖可知，
當時，只有一個大于的根，則方程恰有兩個實根；故①為真命題；
當時，由得或，
當時，，當時，或，此時原方程恰有5個實根，故③為真命題；
當時，有兩個實根，兩個實根在內，此時原方程有8個實根，故④為真命題；
當時，由得，則方程恰有4個實根；此時原方程恰有4個實根，故②為真命題.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：構造兩個函數，利用兩個函數的圖象求解是本題的解題關鍵.
56．（2024高一上·浙江金華·階段練習）是定義在區間上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的敘述正確的是（ ）
A．若，則函數的圖象關于原點對稱
B．若，，則方程有大于2的實根
C．若，，則方程有兩個實根
D．若，，則方程有三個實根
【答案】B
【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，再由上下平移判斷； C.取，判斷；D.取，判斷.
【詳解】A.若，，則函數不是奇函數，其圖象不可能關于原點對稱，故錯誤；
B.當時，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，但單調性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個單位長度，所以有大于2的實根，故正確；
C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個單位長度，那么只有1個零點，所以只有1個實根，故錯誤；
D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個單位長度，它只有1個零點，即只有一個實根，故錯誤.
故選：B.
57．（2024高一上·廣東中山·期中）下列圖像表示的函數中能用二分法求零點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判斷圖像對應的是否函數，再判斷它們是不是變號零點，逐項判斷可得答案.
【詳解】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數的圖像，
對于A，函數圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；
對于B，D，函數圖像和x軸有交點，函數均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點；
對于C，函數圖像是連續不斷的，且函數圖像與x軸有交點，并且其零點為變號零點.
故選：C．
58．（2024高一下·湖北·階段練習）某同學用二分法求函數的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【答案】B
【分析】根據二分法基本原理滿足判斷即可.
【詳解】，又
A錯誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內，則B正確，D錯誤；
， C錯誤.
故選：B.
59．（2024高一下·江蘇南京·期中）用二分法研究函數的零點時，第一次計算，得，，第二次應計算，則等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【答案】C
【分析】根據二分法的定義計算可得；
【詳解】解：因為，，所以在內存在零點，
根據二分法第二次應該計算，其中；
故選：C
二、多選題
60．（2024高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數，下列關于函數的零點個數的說法中，正確的是（ ）
A．當，有1個零點 B．當時，有3個零點
C．當，有2個零點 D．當時，有7個零點
【答案】ABD
【分析】將函數的零點個數問題轉化為解的個數問題，設，即有，然后結合每個選項中t的范圍作出函數圖象，數形結合，即可求解相應方程的解，進而確定函數零點個數.
【詳解】令，則，設，則等價于，
則函數的零點個數問題即為解的個數問題；
二次函數，其圖象開口向上，過點，對稱軸為，
對于A，當時，作出函數的圖象如圖：

由圖象可知有一個根，
則由可知此時方程只有一個解，
此時函數的零點個數為1，A正確；
對于B，當時，，
作出函數的圖象如圖：

由圖象可知有一個根，
令，令，
則有3個解，即和，
此時此時函數有3個零點，B正確；
對于C，當時，分析同A，函數有1個零點，C錯誤；
對于D，當時，，
作出函數的圖象如圖：

由圖象可知有3個根，
當時，；
當時，，
則對于，
當時，，當時，，此時共有3個解；
對于，此時有1個解，
即有2個解，
對于，此時有1個解，
即無解，
故此時函數有7個零點，D正確；
故選：ABD
【點睛】方法點睛：本題是關于復合函數的零點的判斷問題，首先將零點問題轉化為方程的解的問題；解答時要采用換元的方法，利用數形結合法，先判斷外層函數對應方程的解的個數問題，繼而求解內層函數對應方程的解.
61．（2024·廣東佛山·模擬預測）設函數有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的取值與無關 D．的最小值為10
【答案】AD
【分析】根據題意分析可得：原函數的4個零點可表示為直線與函數交點的橫坐標，結合圖象以及基本不等式逐項分析判斷.
【詳解】令，可得：
當時，即，可得；
當時，即，可得，；
當時，即，可得，.
原函數的4個零點可表示為直線與函數交點的橫坐標，
對于選項A、C：如圖所示，是方程的兩個解，
根據韋達定理可得：，即可知選項A成立，選項C不成立；
對于選項B：因為，結合圖象可得，即可知選項B不成立；
對于選項D：其中，
則有，當且僅當時，成立，
綜上所述：的最小值為10，選項D成立.
故選：AD.

【點睛】方法點睛：利用函數零點求參數值或取值范圍的方法
（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；
（2）分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解；
（3）轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解．
62．（2024高三上·重慶渝中·階段練習）已知函數，若關于的方程有個不等的實根、、、且，則下列判斷正確的是（ ）
A．當時， B．當時，的范圍為
C．當時， D．當時，的范圍為
【答案】ABC
【分析】令，求出方程的兩根，數形結合可判斷A選項；根據零點個數得出關于的不等式組，求出的范圍，可判斷BD選項；利用二次函數的對稱性與對數運算可判斷C選項.
【詳解】令，則，，
A.當時，，，由有解，有4解，故，A對；
B.當時，則方程、各有一解，
當時，，當且僅當時，等號成立，
由圖可得，解得，B對；
C.當時，如下圖所示：
由圖象可知，點、關于直線對稱，則，
由圖可知，，，由可得，所以，，
則，因此，，C對；
D.當時，有兩種情況：或，
從而可得的范圍為，D錯.
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
63．（2024高三上·廣東東莞·階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且時，，則下列結論正確的是（ ）
A．的解集為
B．當時，
C．有且只有兩個零點
D．
【答案】ABD
【分析】由函數的奇偶性求解可判斷B；利用B中的結論及已知條件解不等式可判斷A；由函數的解析式及奇函數的性質求出零點可判斷C；利用導數研究函數的最值可判斷D.
【詳解】因為函數是定義在上的奇函數，所以，
當時，，則，故B正確；
當時，，由即，解得；
當時，，由即，解得，
所以的解集為，故A正確；
當時，由，解得；
因為是定義在上的奇函數，所以；
當時，由，解得，
故有且只有三個零點，故C錯誤；
當時，，，
故在上單調遞增，所以，，
則，故D正確．
故選：ABD．
64．（2024高一上·山東菏澤·期末）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點0 B．
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
【答案】BC
【分析】根據分段函數解析式，結合對數函數性質判斷單調性和零點．
【詳解】由函數，可得有兩個零點0、1，故A錯誤；
由于，故B正確；
當時，所以在上單調遞增，故C正確；
當時，所以在上單調遞減，上單調遞增，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
65．（2024·山東）已知定義在R上的奇函數滿足，且在區間上是增函數,若方程在區間上有四個不同的根，則
【答案】
【分析】說明函數是周期為8的函數，求出其對稱軸，畫出函數的大致圖像，根據圖像判斷即可.
【詳解】解：定義在R上的奇函數，所以，，
又，所以，8是函數的一個周期，
所以，所以是函數的一條對稱軸，函數的對稱軸是，根據以上性質畫出函數的大致圖像:

有圖像知，，所以，
故答案為：
【點睛】把函數的奇偶性、單調性、周期性與方程的根的個數結合起來考查，中檔題.
66．（2024·天津）已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是 .
【答案】
【分析】函數過定點（0，-2），由數形結合：
【考點定位】本題考查函數的圖像和性質，考查學生畫圖、識圖以及利用圖像解決問題的能力.
67．（2024·安徽）在平面直角坐標系中，若直線與函數的圖像只有一個交點，則的值為 .
【答案】
【詳解】試題分析：時取得最小值．即函數的圖像的最低點為．
當時，由數形結合可知此時直線與的圖像必有兩個交點，故舍；
當時，要使直線與的圖像只有一個交點，則有直線必過點，
即，解得．
綜上可得．
考點：1函數圖像交點問題；2數形結合思想．
68．（2024高三·全國·專題練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題．牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學界已被廣泛采用．例如求方程的近似解，先用函數零點存在定理，令，，，得上存在零點，取，牛頓用公式反復迭代，以作為的近似解，迭代兩次后計算得到的近似解為 ；以為初始區間，用二分法計算兩次后，以最后一個區間的中點值作為方程的近似解，則近似解為 ．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含義，實際上是一個遞推數列，反復代入給定的表達式，計算即可；第二空，根據二分法依次取區間中點值計算即可.
【詳解】已知，則．
迭代1次后，；
選代2次后，；
用二分法計算第1次，區間的中點為，，，所以近似解在區間上；
用二分法計算第2次，區間的中點為，，，所以近似解在區間上，取其中點值，
故所求近似解為．
故答案為：，
69．（2003·全國）方程的根 ．（結果精確到0.1）
【答案】2.6
【分析】首先確定根在之間，設，通過二分法結合計算器確定其答案.
【詳解】設，函數單調遞增，
且
，
，
結果保留到,則.
故答案為：.
70．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知實數，滿足，，則 .
【答案】4
【分析】根據指數式與對數式的互化公式，結合函數單調性和零點存在原理進行求解即可.
【詳解】由，即，
即，
令，則，
即，即.
由，得，
設函數，顯然該函數增函數，
又，
所以函數在上有唯一的零點，
因此，即，
所以.
故答案為：4.
71．（2024·新疆·二模）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】通過對進行分類討論，利用導數來判斷函數的單調性，再利用函數零點的存在性定理，判斷出函數在定義上的零點，進而得出結果．
【詳解】因為，所以
當時，有，解得，所以當時，有兩個零點，不符合題意；
當時，由，解得或，且有，，
當，，在區間上單調遞增；
當，，在區間上單調遞減；
當，，在區間上單調遞增；
又因為，，
所以，存在一個正數零點，所以不符合題意；
當時，令，解得或，且有，
當，，在區間上單調遞減；
當，，在區間上單調遞增；
當，，在區間上單調遞減；
又因為，，
所以，存在一個負數零點，要使存在唯一的零點，
則滿足，解得或，又因為，所以，
綜上，的取值范圍是．
故答案為：.
72．（2024·天津濱海新·三模）已知函數，若函數在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據函數與方程之間的關系轉化兩個函數圖象交點個數問題，利用分段函數的表達式，結合題意將其轉化為二次函數根的分布問題，利用數形結合進行求解即可．
【詳解】當時，，
因為恰有三個不同的零點，
函數在上恰有三個不同的零點，即有三個解，
而無解，故.
當時，函數在上恰有三個不同的零點，
即，即與的圖象有三個交點，如下圖，
當時，與必有1個交點，
所以當時，有2個交點，
即，即令在內有兩個實數解，
，

當時，函數在上恰有三個不同的零點，
即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當時，必有1個交點，
當時，與有2個交點，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查函數方程的應用，結合分段函數的表達式轉化為兩個函數交點個數問題，數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．
73．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
【答案】
【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉化為函數圖象與直線有兩個交點.后利用導數研究單調性，畫出大致圖象，即可得答案.
【詳解】設切線切點為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數圖象
與直線有兩個交點.，
得在上單調遞增，在上單調遞減.
又，，.
據此可得大致圖象如下.則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
74．（2024·廣東·模擬預測）已知實數m，n滿足，則 .
【答案】
【分析】首先根據條件進行同構變形，從而構造函數，結合函數的單調性，即可求解.
【詳解】因為，所以，
故，即，
即.
由，得.
令，因為增函數+增函數=增函數，所以函數在R上單調遞增，
而，故，解得，則.
故答案為：
75．（2024·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
【答案】2
【分析】根據零點的定義，等價轉化為兩個函數求交點，根據反函數的定義，結合對稱性，可得答案.
【詳解】由，得， 函數與互為反函數，
在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，
如圖所示，則，，由反函數性質知A，B關于對稱，
則，.
故答案為：.
76．（2024高二下·安徽蚌埠·期末）已知函數，，若函數存在零點2023，則函數一定存在零點，且 ．（只寫一個即可）
【答案】
【分析】由函數存在零點2023求得值，代入函數，再求解方程 得答案.
【詳解】存在零點2023，
是方程的根，即，
所以.
由，得,
得，
即一定是方程的一個根，
也就是函數一定存在零點，且.
故答案為：.專題09 函數與方程4題型分類
一、函數的零點
對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
二、方程的根與函數零點的關系
方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.
三、零點存在性定理
如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點
所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.
五、用二分法求函數零點近似值的步驟
（1）確定區間，驗證，給定精度.
（2）求區間的中點.
（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）
（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.
（一） 求函數的零點或零點所在區間 求函數零點的方法： （1）代數法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.
題型1：求函數的零點或零點所在區間 1-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數， ，函數的零點為 . 1-2．（2024高三·全國·專題練習）函數的零點為 ． 1-3．（2007·湖南）函數的圖象和函數的圖象的交點個數是 A．1 B．2 C．3 D．4 1-4．（2024·湖北）方程的實數解的個數為 . 1-5．（2024·北京）已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是 A． B． C． D． 1-6．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數的零點位于區間內，則 . 1-7．（2024高一上·北京·期中）設函數y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區間是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
（二） 利用函數的零點確定參數的取值范圍 本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.
題型2：利用函數的零點(個數）確定參數的取值范圍 2-1．（2024·天津北辰·三模）設，對任意實數x，記．若有三個零點，則實數a的取值范圍是 ．2-2．（2024高一上·江西·階段練習）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 2-3．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）已知函數在上有零點，則實數的取值范圍 . 2-4．（2024·浙江紹興·二模）已知函數，若在區間上有零點，則的最大值為 . 2-5．（2024·天津）設,函數,若恰有兩個零點，則的取值范圍為 ． 2-6．（2024·天津）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 .
（三） 嵌套函數的零點問題 1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍． 2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎實．
題型3：嵌套函數的零點問題 3-1．（2024高三上·浙江紹興·期中）已知函數有三個不同的零點.其中，則的值為（ ） A．1 B． C． D． 3-2．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數，若關于的方程有且只有三個不同的實數解，則正實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024·河南安陽·模擬預測）已知函數，則關于的方程有個不同實數解，則實數滿足（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 3-4．（2024·四川廣安·一模）已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為 A． B．或 C．或 D．或或
（四） 二分法 所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.
題型4：二分法 4-1．（2024高三·全國·專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4-2．（2024高一上·遼寧·期中）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是（ ） A． B． C． D． 4-3．（2024高一上·四川廣安·期中）函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下： 那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（ ） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 4-4．（2024高一上·貴州遵義·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是（ ） A． B． C． D． 4-5．（2024高三上·寧夏·期末）用二分法求函數的一個零點，根據參考數據，可得函數的一個零點的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數據：，，，，） A． B． C． D． 4-6．（2024高三上·湖南長沙·期中）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區間的次數最少為（ ） A．6 B．7 C．8 D．9
一、單選題
1．（2024·湖北）已知是定義在上的奇函數，當時，，則函數的零點的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知指數函數為，則函數的零點為（ ）
A． B．0
C．1 D．2
3．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習）函數的零點為（ ）
A．2，3 B．2 C． D．
4．（2024·山東）已知當 時，函數 的圖象與 的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是
A． B．
C． D．
5．（2024高三·全國·專題練習）若，則函數的兩個零點分別位于區間
A．和內 B．和內
C．和內 D．和內
6．（2024·全國）在下列區間中，函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·寧夏·階段練習）已知函數，函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024高三上·江蘇淮安·期中）已知函數，則函數，的零點個數（　　）
A．3個 B．5個 C．10個 D．9個
9．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）的零點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·天津）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·全國）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
12．（2024·廣西·一模）已知函數是奇函數，且，若是函數的一個零點，則（ ）
A． B．0 C．2 D．4
13．（2024·吉林·模擬預測）已知是函數的一個零點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．（2024高三上·山東聊城·階段練習）已知函數的零點依次為，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·陜西·一模）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區間是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·山西陽泉·三模）函數在區間存在零點．則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024高三·天津·學業考試）已知函數是R上的奇函數，若函數的零點在區間內，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024高一上·四川資陽·期末）定義在R上函數，若函數關于點對稱，且則關于x的方程()有n個不同的實數解，則n的所有可能的值為
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
19．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數的圖象上存在點P，函數g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
20．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數，函數與的圖象關于直線對稱，若無零點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·河南洛陽·一模）已知函數的圖象上存在點，函數的圖象上存在點，且，關于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024高三上·湖南衡陽·階段練習）已知函數（，為自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024高二下·浙江寧波·期末）若函數至少存在一個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
24．（2024高二下·湖北·期中）設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
25．（2024·福建廈門·一模）若至少存在一個實數，使得方程成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
26．（2024高三·湖南長沙·階段練習）設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·山東·模擬預測）已知函數有唯一零點，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
28．（2024·內蒙古呼倫貝爾·三模）已知函數有唯一零點，則（ ）
A． B． C． D．
29．（2024高三下·重慶渝北·階段練習）已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
30．（2024·甘肅張掖·三模）已知函數有唯一零點，則負實數
A． B． C． D．或
31．（2024高一上·天津南開·期末）已知函數，若函數有兩個零點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
32．（2024高三上·江西·階段練習）已知，函數恰有3個零點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
33．（2024高三上·陜西西安·期末）已知函數， 若函數，則函數的零點個數為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
34．（2024·天津和平·二模）已知函數 ，若函數在內恰有5個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·河南洛陽·一模）已知函數，有三個不同的零點，（其中），則的值為
A． B． C．-1 D．1
36．（2024高三上·重慶南岸·階段練習）設定義在R上的函數滿足有三個不同的零點且 則的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
37．（2024高三上·天津南開·階段練習）設函數
①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是
③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是
④方程的不同實根的個數只能是1，2，3，6
四個結論中，正確的結論個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（2024高一上·天津·期中）已知函數，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函數，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
40．（2024高三·全國·專題練習）已知函數f(x)＝，若互不相等的實數x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（ ）
A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）
41．（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·天津）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
43．（2024·全國）函數在的零點個數為
A．2 B．3 C．4 D．5
44．（2024·湖南）已知函數與圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是
A． B． C． D．
45．（2024·安徽）下列函數中，既是偶函數又存在零點的是
A． B． C． D．
46．（2024·湖南）函數的圖象與函數的圖象的交點個數為
A．3 B．2 C．1 D．0
47．（2024·福建）若函數的零點與 的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是
A． B．
C． D．
48．（2024高三上·河南許昌·開學考試）已知二次函數的兩個零點為，若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
49．（河北省唐山市第十一中學2023-2024學年高一上學期期中數學試題）函數f(x)=的零點所在的一個區間是
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）
50．（2024高三上·江西·開學考試）函數的零點所在區間是（ ）
A． B． C． D．
51．（2024·浙江）已知是函數的一個零點，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
52．（2024高二下·河南·期末）對實數和，定義運算“”：，設函數，，若函數的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
53．（2024高三下·上海寶山·階段練習）已知函數是定義域在R上的奇函數，且當時，，則關于在R上零點的說法正確的是（ ）
A．有4個零點，其中只有一個零點在內
B．有4個零點，其中只有一個零點在內，兩個在內
C．有5個零點，都不在內
D．有5個零點，其中只有一個零點在內，一個在
54．（2024·湖南·模擬預測）有甲、乙兩個物體同時從A地沿著一條固定路線運動，甲物體的運動路程（千米）與時間t（時）的關系為，乙物體運動的路程（千米）與時間t（時）的關系為，當甲、乙再次相遇時，所用的時間t（時）屬于區間（ ）
A． B． C． D．
55．（2024高一·上海·假期作業）關于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
56．（2024高一上·浙江金華·階段練習）是定義在區間上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的敘述正確的是（ ）
A．若，則函數的圖象關于原點對稱
B．若，，則方程有大于2的實根
C．若，，則方程有兩個實根
D．若，，則方程有三個實根
57．（2024高一上·廣東中山·期中）下列圖像表示的函數中能用二分法求零點的是（ ）
A． B．
C． D．
58．（2024高一下·湖北·階段練習）某同學用二分法求函數的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
59．（2024高一下·江蘇南京·期中）用二分法研究函數的零點時，第一次計算，得，，第二次應計算，則等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
二、多選題
60．（2024高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數，下列關于函數的零點個數的說法中，正確的是（ ）
A．當，有1個零點 B．當時，有3個零點
C．當，有2個零點 D．當時，有7個零點
61．（2024·廣東佛山·模擬預測）設函數有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的取值與無關 D．的最小值為10
62．（2024高三上·重慶渝中·階段練習）已知函數，若關于的方程有個不等的實根、、、且，則下列判斷正確的是（ ）
A．當時， B．當時，的范圍為
C．當時， D．當時，的范圍為
63．（2024高三上·廣東東莞·階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且時，，則下列結論正確的是（ ）
A．的解集為
B．當時，
C．有且只有兩個零點
D．
64．（2024高一上·山東菏澤·期末）已知函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．函數有且僅有一個零點0 B．
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
三、填空題
65．（2024·山東）已知定義在R上的奇函數滿足，且在區間上是增函數,若方程在區間上有四個不同的根，則
66．（2024·天津）已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是 .
67．（2024·安徽）在平面直角坐標系中，若直線與函數的圖像只有一個交點，則的值為 .
68．（2024高三·全國·專題練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題．牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學界已被廣泛采用．例如求方程的近似解，先用函數零點存在定理，令，，，得上存在零點，取，牛頓用公式反復迭代，以作為的近似解，迭代兩次后計算得到的近似解為 ；以為初始區間，用二分法計算兩次后，以最后一個區間的中點值作為方程的近似解，則近似解為 ．
69．（2003·全國）方程的根 ．（結果精確到0.1）
70．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知實數，滿足，，則 .
71．（2024·新疆·二模）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是 ．
72．（2024·天津濱海新·三模）已知函數，若函數在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是 ．
73．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
74．（2024·廣東·模擬預測）已知實數m，n滿足，則 .
75．（2024·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
76．（2024高二下·安徽蚌埠·期末）已知函數，，若函數存在零點2023，則函數一定存在零點，且 ．（只寫一個即可）

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