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專題05 冪函數與二次函數4題型分類
1、冪函數的定義
一般地，（為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數.
2、冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數
①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.
（3）冪函數的圖象和性質
3、常見的冪函數圖像及性質：
函數
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減，在上單調遞增 在上單調遞增 在上單調遞增 在和上單調遞減
公共點
4、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.
（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.
5、二次函數的圖像
二次函數的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.
（1）單調性與最值
①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；
②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，
（2）與軸相交的弦長
當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.
6、二次函數在閉區間上的最值
閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.
對二次函數，當時，在區間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
（一） 冪函數的定義及其圖像 1、冪函數在第一象限內圖象的畫法如下： ①當時，其圖象可類似畫出； ②當時，其圖象可類似畫出； ③當時，其圖象可類似畫出．
題型1：冪函數的定義及其圖像 1-1．（2024·江西·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，則（ ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根據冪函數的形式及過定點即可求解. 【詳解】解：因為為冪函數 所以 又的圖象過點 即 解得 所以 故選：C. 1-2．（2024高三·河北·學業考試）已知冪函數的圖象過點，則的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】設冪函數為，代入點計算得到，計算得到答案. 【詳解】設冪函數為，圖象過點，故，故， ，. 故選：B 1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數 且 的圖象經過定點， 若冪函數 的圖象也經過該點， 則 ． 【答案】 【分析】根據對數型函數的性質，結合冪函數的定義進行求解即可. 【詳解】因為，所以，設冪函數， 因為冪函數 的圖象經過， 所以， 因此， 故答案為： 1-4．（2024高一·全國·課后作業）已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ） A．p，q均為奇數，且 B．q為偶數，p為奇數，且 C．q為奇數，p為偶數，且 D．q為奇數，p為偶數，且 【答案】D 【分析】根據函數的單調性可判斷出；根據函數的奇偶性及，互質可判斷出為偶數，為奇數. 【詳解】因為函數的定義域為，且在上單調遞減， 所以0， 因為函數的圖象關于y軸對稱， 所以函數為偶函數，即p為偶數， 又p、q互質，所以q為奇數， 所以選項D正確， 故選：D. 1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數中a的取值集合C是的子集，當冪函數的值域與定義域相同時，集合C為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分別求出各冪函數的定義域和值域，得到答案. 【詳解】當時，定義域和值域均為，符合題意； 時，定義域為，值域為，故不合題意； 時，定義域為，值域為，符合題意； 時，定義域與值域均為R，符合題意； 時，定義域為R，值域為，不符合題意； 時，定義域與值域均為R，符合題意. 故選：C
（二） 冪函數性質的綜合應用 函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點
題型2：冪函數性質的綜合應用 2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數奇函數，且在上為嚴格減函數，則 . 【答案】-1 【分析】根據冪函數在上為嚴格減函數，可得，再由冪函數奇函數即可得答案. 【詳解】解：因為冪函數在上為嚴格減函數， 所以， 所以， 又因為冪函數奇函數，且， 所以， 故答案為：-1 2-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數是冪函數，且在上遞減，則實數（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由冪函數定義以及性質即可求出. 【詳解】因為是冪函數，所以，解得或，又因為在上單調遞減，則. 故選：A 2-3．（2024·海南·模擬預測）已知為冪函數，則（ ）． A．在上單調遞增 B．在上單調遞減 C．在上單調遞增 D．在上單調遞減 【答案】B 【分析】首先根據冪函數的定義求出參數的值，即可得到函數解析式，再分析其性質. 【詳解】因為是冪函數，所以，解得或， 所以或， 對于，函數在上單調遞增，在上單調遞減； 對于，函數在上單調遞減，且為奇函數，故在上單調遞減； 故只有B選項“在上單調遞減”符合這兩個函數的性質． 故選：B 2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時， ，則f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根據奇函數求 【詳解】，因為為奇函數，所以 故答案為： 【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 2-5．（2024高三·全國·課后作業）已知冪函數（m為正整數）的圖像關于y軸對稱，且在上是嚴格減函數，求滿足的實數a的取值范圍． 【答案】 【分析】根據函數為冪函數以及函數的性質，可確定參數m的取值，結合冪函數的單調性，分類討論求解不等式，可得答案. 【詳解】因為函數在上是嚴格減函數，所以，解得． 由m為正整數，則或, 又函數的圖像關于y軸對稱，得是偶函數， 而當時，，為奇函數，不符題意， 當時，，為偶函數，于是． 因為為奇函數，在與上均為嚴格減函數， 所以等價于或或， 解得或，即.
（三） 二次方程的實根分布及條件 一般情況下需要從以下4個方面考慮： （1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區間端點的關系；（4）區間端點函數值的正負.
題型3：二次方程的實根分布及條件 3-1．（2024高三·全國·階段練習）方程的一根在區間內，另一根在區間內，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函數根的分布性質有，，，求得的取值范圍. 【詳解】令，由二次函數根的分布性質，若一根在區間內， 另一根在區間（3，4）內， 只需，即， 解不等式組可得，即的取值范圍為， 故選：C. 【點睛】本題考查了二次函數根的分布性質，屬于中檔題. 3-2．（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】說明時，不合題意，從而將化為，令，結合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，可列不等式即可求得答案. 【詳解】當時，即為，不符合題意； 故，即為， 令， 由于關于的方程有兩個不相等的實數根，且， 則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側， 故時，，即，解得，故， 故選：D 3-3．（2024高一·江蘇·課后作業）設a為實數，若方程在區間上有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據方程根的分布結合二次函數的圖象列出不等式組求解即可. 【詳解】令， 由方程在區間上有兩個不相等的實數解可得 ，即或， 解得， 故選：C
（四） 二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題 （1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區間和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區間的左側；②軸處在區間的右側；③軸穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論. （2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數值正負.
題型4：二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題 4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區間 上的值域為. (1)求實數的值； (2)若不等式 當上恒成立，求實數k的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據區間 討論 的對稱軸 的位置，滿足值域是 ，求出a； （2）運用換元法構造函數根據單調性求解. 【詳解】（1）函數 是開口向上，對稱軸為 的二次函數，根據 的圖像有： 當 時， 在 上的最小值 ， 不符合 ，舍； 當 時， 在 上的最小值 或 （舍）， ， ，滿足題意； 當 時， 在 上的最小值 （舍）， ； （2）由(1)， ，不等式為 ， 即 ，令 ，則 ， 在 時恒成立， 令 ，是對稱軸為 開口向上的拋物線，在 時單調遞減， ， ，即k的取值范圍是 ； 綜上， . 4-2．（2024·浙江）設函數. （1）當時，求函數在上的最小值的表達式； （2）已知函數在上存在零點，，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【詳解】（1）將函數進行配方，利用對稱軸與給定區間的位置關系，通過分類討論確定函數在給定區間上的最小值，并用分段函數的形式進行表示；（2）設定函數的零點，根據條件表示兩個零點之間的不等關系，通過分類討論，分別確定參數的取值情況，利用并集原理得到參數的取值范圍. 試題解析：（1）當時，，故其對稱軸為. 當時，. 當時，. 當時，. 綜上， （2）設為方程的解，且，則. 由于，因此. 當時，， 由于和， 所以. 當時，， 由于和，所以. 綜上可知，的取值范圍是. 考點：1.函數的單調性與最值；2.分段函數；3.不等式性質；4.分類討論思想. 4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數在區間上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求實數的取值范圍； (3)若且方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根據二次函數的性質，分類討論函數的單調性，結合已知列出方程組，即可得出； （2）由已知可轉化為在上恒成立.根據基本不等式即可求出實數的取值范圍； （3）由已知可推得有三個不同的實數解.令，作出的函數圖象，可得.結合函數圖象，該方程一個根大于0小于1，一個根大于等于1.令，根據二次函數的性質與圖象，即可得出不等關系，進而求出實數的取值范圍. 【詳解】（1）由已知可得. 當時，在上為增函數，所以，解得； 當時，在上為減函數，所以，解得. 由于，所以. （2）由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因為，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，當且僅當時取等號. 所以，即. 所以求實數的范圍為. （3）方程化為， 化為，且. 令，則方程化為. 作出的函數圖象 因為方程有三個不同的實數解， 所以有兩個根， 且一個根大于0小于1，一個根大于等于1. 設， 記， 根據二次函數的圖象與性質可得 ，或， 解得. 所以實數的取值范圍為. 【點睛】關鍵點點睛：根據構成復合函數的函數特性，即可得出零點的分布情況. 4-4．（2024·浙江）已知函數，記是在區間上的最大值. （1）證明：當時，； （2）當，滿足，求的最大值. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【詳解】（1）分析題意可知在上單調，從而可知 ，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知 ，再由可得， ，即可得證. 試題解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得 ，故在上單調，∴，當時，由 ，得，即，當時，由 ，得，即，綜上，當時， ；（2）由得，，故，，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為.. 考點：1.二次函數的性質；2.分類討論的數學思想. 4-5．（2024高一上·浙江·階段練習）已知函數． (1)當時，解方程； (2)當時，記函數在上的最大值為，求的最小值． 【答案】(1)和1 (2) 【分析】（1）分與兩種情況，結合二次方程求解即可； （2）根據分段函數中的二次函數性質，分析可得最大值在中取得，再根據區間端點與對稱軸的關系分情況討論，數形結合分析函數的最大值，進而求得的解析式，從而得到最小值即可. 【詳解】（1）當時，令． 當時，，解得： 當時，，解得： 故方程的解為：和1； （2），其中， 因為對稱軸為，開口向下；對稱軸為，開口向上，于是最大值在中取得． 當，即時，在上單調遞減．； 當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，； 當，即時，在上單調遞減，上單調遞增，在上單調遞減， ； 當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
一、單選題
1．（2024高一·全國·假期作業）關于x的方程有兩個實數根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】，利用韋達定理可得答案.
【詳解】關于x的方程有兩個實數根，
，
解得：，
關于x的方程有兩個實數根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故選：A.
2．（2024·山東）關于函數，以下表達錯誤的選項是（ ）
A．函數的最大值是1 B．函數圖象的對稱軸是直線
C．函數的單調遞減區間是 D．函數圖象過點
【答案】C
【分析】根據二次函數的圖像與性質，直接進行求解即可.
【詳解】，最大值是1，A正確；
對稱軸是直線，B正確；
單調遞減區間是，故C錯誤；
令的，故在函數圖象上，故D正確，
故選：C
3．（2024·浙江）若函數在區間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值
A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關
C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關
【答案】B
【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關，選B．
【名師點睛】對于二次函數的最值或值域問題，通常先判斷函數圖象對稱軸與所給自變量閉區間的關系，結合圖象，當函數圖象開口向上時，若對稱軸在區間的左邊，則函數在所給區間內單調遞增；若對稱軸在區間的右邊，則函數在所給區間內單調遞減；若對稱軸在區間內，則函數圖象頂點的縱坐標為最小值，區間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數的最大值．
4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數則函數，則函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知 圖像與的圖像關于軸對稱，由 的圖像即可得出結果.
【詳解】因為，所以 圖像與的圖像關于軸對稱，
由解析式，作出的圖像如圖
從而可得圖像為B選項.
故選：B.
5．（2024·湖南婁底·模擬預測）已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】將函數在區間上單調遞增，轉化為且在區間上恒成立可求解.
【詳解】因為函數在區間上單調遞增，
所以且在區間上恒成立，
所以，解得或.
故選：B
6．（2024·海南·模擬預測）已知函數，，的圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數圖象可確定大小關系，結合指數函數單調性可得結果.
【詳解】由圖象可知：，.
故選：C.
7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合二次函數和分段函數性質，研究給定函數的單調性，再借助單調性求解不等式作答.
【詳解】因為開口向下的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減；
為開口向上的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減，且，因此函數在R上單調遞減，則，即，
解得或，
所以實數的取值范圍是。
故選：D
8．（2024高三·河北·專題練習）設，二次函數的圖象為下列之一，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函數的性質得該函數的對稱軸不能為軸，當開口向上時，對稱軸，進而得該函數圖象，進而結合函數圖象過坐標原點且開口向下即可得答案.
【詳解】由題知，，
所以二次函數的圖象不關于軸對稱，故排除第一、二個函數圖象，
當時，該二次函數的對稱軸為，故第四個圖象也不滿足題意，
當時，該二次函數的對稱軸為，開口向下，故第三個函數圖象滿足題意.
此時函數圖象過坐標原點，故，解得，
由于，故.
故選：B
9．（2024高三下·河南新鄉·開學考試）已知函數若的最小值為6，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得在時的最小值是6，因此時函數的最小值不小于6，根據二次函數性質分類討論求解．
【詳解】因為當時，，當且僅當時，等號成立，
所以當時，，當時，的最小值大于或等于6.
當時，在上單調遞減，則.
由得；
當時，.
由得.
綜合可得.
故選：C．
10．（2024·全國·模擬預測）已知x，，滿足，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】令，，易得為奇函數且為增函數，再由和，變形得到，求解．
【詳解】解：令，，則，
∴為奇函數．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上單調遞增，
∴，即．
故選：B．
11．（2024·貴州畢節·二模）已知，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數函數，冪函數，對數函數的單調性即可解出的范圍.
【詳解】，根據指數函數在上單調遞減得，
，根據冪函數在上單調遞增知，則，
，根據對數函數在上單調遞減得，
綜上.
故選：D.
12．（2024高三·全國·專題練習）已知a，b，c∈R，函數f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），則（ ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【分析】由已知得f (x)的圖象的對稱軸為x＝2且f (x)先減后增，可得選項.
【詳解】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先減后增，于是a>0，
故選：A.
【點睛】本題考查二次函數的對稱軸，單調性，屬于基礎題.
13．（2024·浙江）已知函數f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】試題分析：由題意知，最小值為．
令，則，
當時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；
當時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．
考點：充分必要條件．
14．（2024高三·全國·專題練習）如果函數在區間上單調遞減，則的最大值為（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【分析】分，，，結合二次函數的單調性與基本不等式即可求解.
【詳解】當時，在區間上單調遞減，則，
所以，沒有最大值，舍去；
當時，拋物線的對稱軸為.
當時，據題意，可得，即.
.
當且僅當且，得，等號成立；
當時，拋物線開口向下，據題意得，，即..
當且僅當且，得，故應舍去.
要使得取得最大值，應有.
因為在上單調遞減.
所以.
綜上所述，的最大值為18.
故選：B.
15．（2024·陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結
論是錯誤的，則錯誤的結論是
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
【答案】A
【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．
【考點定位】1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值．
16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數和，其中，則有下列說法：
①和圖象都過點；
②和圖象都過點；
③在區間上，增長速度更快的是；
④在區間上，增長速度更快的是.
則其中正確命題的序號是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】由冪函數的性質進行分析判斷即可
【詳解】冪函數的圖象過定點，①正確，
在區間上，越大增長速度更快，③正確，
故選：A.
17．（2024·河北衡水·模擬預測）已知冪函數是定義在區間上的奇函數，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由奇函數定義域的對稱性得，然后可得函數解析式，計算函數值．
【詳解】因為冪函數在上是奇函數，所以，所以，所以，
故選：A．
18．（2024·北京東城·一模）下列函數中，定義域與值域均為R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指數函數，對數函數，冪函數和反比例函數的性質判斷.
【詳解】A. 函數的定義域為，值域為R；
B. 函數的定義域為R，值域為；
C. 函數的定義域為R，值域為R；
D. 函數的定義域為，值域為，
故選：C
二、多選題
19．（2024·江蘇·模擬預測）若函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用冪函數的性質及函數的單調性的性質，結合特殊值法及構造函數法即可求解.
【詳解】由冪函數的性質知， 在上單調遞增.
因為,所以，即，，
所以．故A正確；
令，則，故B錯誤；
令，則
由函數單調性的性質知，在上單調遞增，在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
因為，所以，即，于是有，故C正確；
令，則，
所以因為，故D錯誤．
故選：AC.
20．（2024·吉林長春·模擬預測）已知冪函數圖像經過點，則下列命題正確的有（ ）
A．函數為增函數 B．函數為偶函數
C．若，則 D．若，則
【答案】BD
【分析】先代點求出冪函數的解析式，根據冪函數的性質直接可得單調性和奇偶性，可判斷A，B，由，可判斷C，
假設，對不等式進行證明，即可判斷D.
【詳解】將點代入函數得：，則.
所以，顯然在定義域上為減函數，所以A錯誤；
，所以為偶函數，所以B正確；
當時，，即，所以C錯誤；
當若時，
假設，整理得
，化簡得，，
即證明成立，
利用基本不等式，，因為，故等號不成立，成立；
即成立，所以D正確.
故選：BD.
21．（2024高一上·重慶·階段練習）已知關于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結論正確的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數根的充要條件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數根的必要條件是m∈{m|m>1}
【答案】BCD
【分析】根據二次方程根與系數的關系和充要條件和必要條件的定義，依次判斷每個選項的正誤得到答案.
【詳解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數根的充要條件是，解得，A錯誤；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是，解得，B正確；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數根的充要條件是，解得，C正確；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數根的充要條件是，解得，
，故必要條件是m∈{m|m>1}，故D正確.
故選：BCD.
22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設二次函數的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由二次函數的性質與基本不等式求解即可
【詳解】因為二次函數的值域為，
所以，所以，解得，
所以
，
由于，，當且僅當時取等號，
所以，
對于A：，故A 錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：令，則，故C錯誤；
對于D：，
，故D正確；
故選：BD
三、填空題
23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用冪函數的定義及性質求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【詳解】因函數是冪函數，則，解得或，
當時，是偶函數，其圖象關于y軸對稱，與已知的圖象關于原點對稱矛盾，
當時，是奇函數，其圖象關于原點對稱，于是得，
不等式化為：，即，解得：，
所以實數a的取值范圍為.
故答案為：
24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數的定義域是，則它的值域是；④若函數的定義域是，則它的值域是；⑤若函數的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是 ．
【答案】②③④⑤
【分析】根據函數的性質以及函數定義域值域等性質分別進行判斷即可．
【詳解】解：冪函數圖象不過第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點，②錯誤；函數的定義域是，則它的值域是，③錯誤；函數的定義域是，則它的值域是，④錯誤；若函數的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯誤，
故答案為：②③④⑤．
【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用函數的性質以及函數定義域，值域，單調性的性質是解決本題的關鍵，屬于基礎題．
25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據，，，由求解.
【詳解】因為對，，，
所以只需即可，
因為，，
所以，，
由，
解得
故答案為：.
【點睛】本題主要考查不等式恒能成立問題以及函數的最值的求法，屬于中檔題.
26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實數的取值范圍是
【答案】
【分析】由題意利用指數函數、對數函數、冪函數的單調性，求出實數的取值范圍．
【詳解】已知，或①；
，②；
，③．
綜合①②③，求得實數的取值范圍為．
故答案為：﹒
27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習）已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】判斷單調遞增，討論或，根據分段函數的值域可得且，解不等式即可求解.
【詳解】由函數單調遞增，
①當時，若，有，
而，此時函數的值域不是；
②當時，若，有，而，
若函數的值域為，必有，可得．
則實數的取值范圍為．
故答案為：
28．（2024高三·全國·專題練習）不等式的解集為： ．
【答案】
【分析】不等式變形為，即，構造函數，判斷出函數得單調性，再根據函數的單調性解不等式即可.
【詳解】不等式變形為，
所以，
令，則有，
因為函數在R上單調遞增，
所以在R上單調遞增，
則，解得，
故不等式的解集為．
故答案為：.
29．（2024高一上·全國·課后作業）已知冪函數，若，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意得到冪函數的定義域和單調性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.
【詳解】由冪函數，
可得函數的定義域為，且是遞減函數，
因為，可得，解得，
即實數的取值范圍為.
故答案為：
30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數的值域為，則函數的值域為 ．
【答案】
【分析】由二次函數的值域為，分析求出參數，然后代入中求出值域即可
【詳解】由二次函數的值域為得：
解得：或（舍去）
所以
因為
所以函數的值域為：
故答案為：.
31．（2024·貴州畢節·模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的非常值函數 .
①在上恒成立；②是偶函數；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【分析】結合①②可聯想到函數是奇函數，再由③結合聯想冪函數寫出解析式作答.
【詳解】由②知，函數可以是奇函數，由①知，函數在上可以是減函數，
由③結合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數，滿足②；
，滿足③，
所以.
故答案為：
32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數（a，b為常數）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為 .
【答案】1
【分析】由有兩等根，可得得，由可得 為對稱軸，可得，則可得到的解析式，對分類討論，利用函數單調性可得的最大值.
【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，
，解得；
，得，是函數圖象的對稱軸.
而此函數圖象的對稱軸是直線，，
故，
若在上的最大值為，
當時，在上是增函數，，
當時，在上是增函數，在上是減函數，，
綜上，的最大值為1.
故答案為：1.
33．（2024·湖北）為實數，函數在區間上的最大值記為. 當 時，的值最小.
【答案】．
【詳解】因為函數，所以分以下幾種情況對其進行討論：
①當時，函數
在區間上單調遞增，所以；
②當時，此時
，，而，所以；
③當
時，在區間上遞增，在上遞減．當時，取得最
大值；
④當時，在區間上遞增，當時，取得最
大值，
則在上遞減，上遞增，即當
時，的值最小．
故答案為：．
考點：本題考查分段函數的最值問題和函數在區間上的最值問題，屬高檔題．
四、解答題
34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）已知.
(1)若，，解關于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意求出，將用表示，然后再把分類討論，結合一元二次不等式的解法即可得出答案；
（2）利用反證法證明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）與互為相反數，不合題意；若不為0，由，解得，代入中，求出二次函數的對稱軸，假設對稱軸小于或大于2，即可得到對稱軸在區間的左外側或右外側，得到為單調函數，函數的最值在，取到，把2和代入得到最值互為相反數，不合題意，所以假設錯誤，綜上，得證；
【詳解】（1）解：因為，
所以，
又因，所以，
所以，
則不等式即為，
即，
若，則不等式的解集為；
若，則不等式的解集為；
若，
當時，則不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
（2）解：若，則，，
當時，
則無解，
所以；
若時，由，得，
對稱軸為，假設，，，
區間，在對稱軸的左外側或右外側，所以在，上是單調函數，
則的最值必在，處取到，
，，，
所以假設錯誤，則，
綜上，得到.
35．（2024高一下·貴州黔東南·開學考試）已知函數是定義在上的奇函數，且時，，.
(1)求在區間上的解析式；
(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設，由奇函數的定義可得出，即可得出函數在區間上的解析式；
（2）求得函數在區間上的值域為，分析函數在區間上的單調性，可得出，即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：設，則，，
即當時，.
（2）解：當時，；當時，；
又因為，所以，函數在上的值域為，
在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，，
因為，則，使得成立，則，解得.
36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數．
(1)利用函數單調性的定義證明是單調遞增函數；
(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用單調性的定義，取值、作差、整理、定號、得結論，即可得證.
（2）令，根據x的范圍，可得t的范圍，原式等價為，，只需即可，分別討論、和三種情況，根據二次函數的性質，計算求值，分析即可得答案.
【詳解】（1）由已知可得的定義域為，
任取，且，
則，
因為，，，
所以，即，
所以在上是單調遞增函數．
（2），
令，則當時，，
所以．
令，，
則只需．
當，即時，在上單調遞增，
所以，解得，與矛盾，舍去；
當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，解得；
當即時，在上單調遞減，
所以，解得，與矛盾，舍去．
綜上，實數的取值范圍是．
37．（2024高一上·貴州畢節·期末）已知函數．
(1)當時，解關于x的不等式；
(2)函數在上的最大值為0，最小值是，求實數a和t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）代入解不等式組可得答案；
（2）由題意，結合最大值為0最小值是分、數形結合可得答案.
【詳解】（1）當時，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
（2），
由題意或，這時解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域為的二次函數滿足，且方程的兩個實根滿足．
(1)求的表達式；
(2)函數在區間上的最大值為，最小值為，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據可以判斷函數的對稱軸，再根據函數的值域可以確定二次函數的頂點坐標，則可設，根據一元二次方程根與系數的關系，結合已知進行求解，求出的值，即可得出的表達式；
（2）根據題意，可以判斷出函數在區間上的單調性，由，求得，進而可知的對稱軸方程為，結合二次函數的圖象與性質以及單調性，得出，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，可得的圖象關于直線對稱，
函數的值域為，所以二次函數的頂點坐標為，
所以設，
根據根與系數的關系，可得，，
因為方程的兩個實根滿足
則，
解得：，所以.
（2）解：由于函數在區間上的最大值為，最小值為，
則函數在區間上單調遞增，
又，即，
所以的對稱軸方程為，則，即，
故的取值范圍為.
39．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數為偶函數.
（1）求的值；
（2）設函數，是否存在實數，使得函數在區間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根據題意得出，代入函數解析式，從而求出的值；
（2）根據（1）得出，利用換元得出二次函數，討論對稱軸與區間的關系即可求出的值.
【詳解】（1）由題意知函數的定義域為，
因為為偶函數，所以對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知所以，
令，則，其對稱軸為，
①當，即時，在上單調遞減，
所以，
由，
解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；
②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③當，即時，在上單調遞增，
所以，
由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.
綜上所述，存在，使得函數在區間上的最小值為.
40．（2024高一上·湖南衡陽·期末）二次函數為偶函數，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數在上的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1) 設，由，恒成立，列出不等式組，求解即可；
(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.
【詳解】（1）解：依題設，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）解：由題意可得：，，
若，則，則在[0,1]上單調遞增，
所以；
若，當，即時，在[0,1]上單調遞增，
當，只須比較與的大小，
由，得：，此時，
時，，此時，
綜上，，
時，，
時，，
時，，
綜上可知：的最小值為．
41．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，當時，設的最大值為，求的最小值．
【答案】最小值為．
【分析】根據絕對值三角不等式可得，結合不等式即可確定等號成立的條件，即可求解.
【詳解】令，分別取，1，2，可得，
，．
由，利用絕對值三角不等式可得
，因此
當，時，，當且僅當時取等號，而，得在上的最大值為，說明等號能成立．
故的最小值為．
42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數，
(1)當時，①求函數單調遞增區間；②求函數在區間的值域；
(2)當時，記函數的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)①函數單調遞增區間為和；②；
(2)
【分析】（1）由已知，將代入原函數，去掉絕對值，分別在和兩種情況下討論二次函數的單調區間，根據得到的函數的單調性，在區間上可確定最值點，從而確定值域；
（2）分別在，以及三種情況下，結合二次函數的對稱軸與端點值的大小即可確定函數的最大值，從而求解出的解析式，然后根據函數的單調性，再求解的最小值.
【詳解】（1）當時，函數，
當時，函數，
此時，函數在上單調遞增，
當時，函數，
此時，函數在上單調遞增，
所以函數單調遞增區間為和；
因為函數單調遞增區間為和，
所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，，
因為，，
，，
所以函數在區間的值域為；
（2）由已知可得，，
當時，即時，，對稱軸為，
當時，即時，函數在區間上單調遞增，
所以，
當時，即時，
函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，
當時，即時，若，，若，，
因為當時，，對稱軸為，
所以函數在區間上單調遞增，所以，
當，即時，此時，
函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以
若，即時，，
若，即時，，
綜上所述，，
函數在區間上單調遞減，
函數在區間上單調遞減，
函數在區間上單調遞增，
所以.
【點睛】在涉及二次函數有關的函數單調性、最值和值域的求解問題時，解題的關鍵是能夠夠結合對稱軸的位置，分段函數分段處對參數進行討論，在參數不同范圍的情況下確定最值點的位置.
43．（2024高一上·山東濰坊·階段練習）已知是一元二次方程的兩個實數根.
(1)是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)求使的值為整數的實數的整數值.
【答案】(1)不存在，理由見解析；
(2)
【分析】（1）利用反證法先假設存在實數，使得成立，根據一元二次方程有兩個實數根可得，因此原假設不成立，故不存在；
（2）根據題意，可得能被整除，即可求出的值.
【詳解】（1）假設存在實數，使得成立，
一元二次方程的兩個實數根，
，(不要忽略判別式的要求)，
由韋達定理得，
，
但，
不存在實數，使得成立.
（2），
要使其值是整數，只需要能被整除，
故，即，
，
.
44．（2024高一上·安徽·階段練習）已知函數，且函數的值域為.
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的不等式在上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程有三個不同的實數根，求實數k的取值范圍.
【答案】（1）1；（2）；（3）.
【分析】（1）由題意知，，計算可得；
（2）依題意參變分離可得在恒成立；令則在上恒成立，記，利用二次函數的性質計算可得；
（3）依題意可化為有三個不同根，令，設有兩個不同的實數根且.
原方程有3個不同實數根等價于或.根據二次函數根的分布問題求出參數的取值范圍；
【詳解】解：（1）由題意知，，即，解得.
（2）由在上恒成立，可化為在恒成立；
令，由，可得，
則在上恒成立.
記，函數在上單調遞減，所以.
所以，解得，所以實數m的取值范圍是.
（3）方程有三個不同的實數根，
可化為有三個不同根.
令，則.當時，且遞減，
當時，且遞增，當時，，
當時，且遞增.
設有兩個不同的實數根且.
原方程有3個不同實數根等價于或.
記，則或
解得.
綜上，實數k的取值范圍是.
【點睛】含參不等式恒成立問題常用方法：1.轉化為有關函數的最值的不等式關系；2．分離參數，轉化為參數與函數最值關系.
45．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習）已知冪函數的定義域為R.
(1)求實數的值；
(2)若函數在上不單調，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由冪函數定義求得參數值；
（2）由二次函數的單調性知對稱軸在開區間上，再由指數函數性質，對數的定義得結論．
【詳解】（1）由題意且，解得；
（2）由（1），的對稱軸 ，
因為在上不單調，所以，
解得．專題05 冪函數與二次函數4題型分類
1、冪函數的定義
一般地，（為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數.
2、冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數
①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.
（3）冪函數的圖象和性質
3、常見的冪函數圖像及性質：
函數
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減，在上單調遞增 在上單調遞增 在上單調遞增 在和上單調遞減
公共點
4、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.
（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.
5、二次函數的圖像
二次函數的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.
（1）單調性與最值
①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；
②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，
（2）與軸相交的弦長
當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.
6、二次函數在閉區間上的最值
閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.
對二次函數，當時，在區間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
（一） 冪函數的定義及其圖像 1、冪函數在第一象限內圖象的畫法如下： ①當時，其圖象可類似畫出； ②當時，其圖象可類似畫出； ③當時，其圖象可類似畫出．
題型1：冪函數的定義及其圖像 1-1．（2024·江西·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，則（ ） A．0 B．2 C．4 D．5 1-2．（2024高三·河北·學業考試）已知冪函數的圖象過點，則的值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數 且 的圖象經過定點， 若冪函數 的圖象也經過該點， 則 ． 1-4．（2024高一·全國·課后作業）已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ） A．p，q均為奇數，且 B．q為偶數，p為奇數，且 C．q為奇數，p為偶數，且 D．q為奇數，p為偶數，且 1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數中a的取值集合C是的子集，當冪函數的值域與定義域相同時，集合C為（ ） A． B． C． D．
（二） 冪函數性質的綜合應用 函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點
題型2：冪函數性質的綜合應用 2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數奇函數，且在上為嚴格減函數，則 . 2-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數是冪函數，且在上遞減，則實數（ ） A． B．或 C． D． 2-3．（2024·海南·模擬預測）已知為冪函數，則（ ）． A．在上單調遞增 B．在上單調遞減 C．在上單調遞增 D．在上單調遞減 2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時， ，則f(-8)的值是 . 2-5．（2024高三·全國·課后作業）已知冪函數（m為正整數）的圖像關于y軸對稱，且在上是嚴格減函數，求滿足的實數a的取值范圍．
（三） 二次方程的實根分布及條件 一般情況下需要從以下4個方面考慮： （1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區間端點的關系；（4）區間端點函數值的正負.
題型3：二次方程的實根分布及條件 3-1．（2024高三·全國·階段練習）方程的一根在區間內，另一根在區間內，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·江蘇·課后作業）設a為實數，若方程在區間上有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（ ）. A． B． C． D．
（四） 二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題 （1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區間和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區間的左側；②軸處在區間的右側；③軸穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論. （2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數值正負.
題型4：二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題 4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區間 上的值域為. (1)求實數的值； (2)若不等式 當上恒成立，求實數k的取值范圍. 4-2．（2024·浙江）設函數. （1）當時，求函數在上的最小值的表達式； （2）已知函數在上存在零點，，求的取值范圍. 4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數在區間上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求實數的取值范圍； (3)若且方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍. 4-4．（2024·浙江）已知函數，記是在區間上的最大值. （1）證明：當時，； （2）當，滿足，求的最大值. 4-5．（2024高一上·浙江·階段練習）已知函數． (1)當時，解方程； (2)當時，記函數在上的最大值為，求的最小值．
一、單選題
1．（2024高一·全國·假期作業）關于x的方程有兩個實數根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
2．（2024·山東）關于函數，以下表達錯誤的選項是（ ）
A．函數的最大值是1 B．函數圖象的對稱軸是直線
C．函數的單調遞減區間是 D．函數圖象過點
3．（2024·浙江）若函數在區間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值
A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關
C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關
4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數則函數，則函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南婁底·模擬預測）已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·海南·模擬預測）已知函數，，的圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·河北·專題練習）設，二次函數的圖象為下列之一，則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·河南新鄉·開學考試）已知函數若的最小值為6，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·模擬預測）已知x，，滿足，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
11．（2024·貴州畢節·二模）已知，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高三·全國·專題練習）已知a，b，c∈R，函數f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），則（ ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
13．（2024·浙江）已知函數f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
14．（2024高三·全國·專題練習）如果函數在區間上單調遞減，則的最大值為（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
15．（2024·陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結
論是錯誤的，則錯誤的結論是
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數和，其中，則有下列說法：
①和圖象都過點；
②和圖象都過點；
③在區間上，增長速度更快的是；
④在區間上，增長速度更快的是.
則其中正確命題的序號是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
17．（2024·河北衡水·模擬預測）已知冪函數是定義在區間上的奇函數，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
18．（2024·北京東城·一模）下列函數中，定義域與值域均為R的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
19．（2024·江蘇·模擬預測）若函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024·吉林長春·模擬預測）已知冪函數圖像經過點，則下列命題正確的有（ ）
A．函數為增函數 B．函數為偶函數
C．若，則 D．若，則
21．（2024高一上·重慶·階段練習）已知關于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結論正確的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數根的充要條件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數根的必要條件是m∈{m|m>1}
22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設二次函數的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數a的取值范圍為 .
24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數的定義域是，則它的值域是；④若函數的定義域是，則它的值域是；⑤若函數的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是 ．
25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實數的取值范圍是 .
26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實數的取值范圍是
27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習）已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
28．（2024高三·全國·專題練習）不等式的解集為： ．
29．（2024高一上·全國·課后作業）已知冪函數，若，則a的取值范圍是 .
30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數的值域為，則函數的值域為 ．
31．（2024·貴州畢節·模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的非常值函數 .
①在上恒成立；②是偶函數；③.
32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數（a，b為常數）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為 .
33．（2024·湖北）為實數，函數在區間上的最大值記為. 當 時，的值最小.
四、解答題
34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）已知.
(1)若，，解關于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
35．（2024高一下·貴州黔東南·開學考試）已知函數是定義在上的奇函數，且時，，.
(1)求在區間上的解析式；
(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.
36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數．
(1)利用函數單調性的定義證明是單調遞增函數；
(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．
37．（2024高一上·貴州畢節·期末）已知函數．
(1)當時，解關于x的不等式；
(2)函數在上的最大值為0，最小值是，求實數a和t的值．
38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域為的二次函數滿足，且方程的兩個實根滿足．
(1)求的表達式；
(2)函數在區間上的最大值為，最小值為，求實數的取值范圍．
39．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數為偶函數.
（1）求的值；
（2）設函數，是否存在實數，使得函數在區間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
40．（2024高一上·湖南衡陽·期末）二次函數為偶函數，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數在上的最大值為，求的最小值．
41．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，當時，設的最大值為，求的最小值．
42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數，
(1)當時，①求函數單調遞增區間；②求函數在區間的值域；
(2)當時，記函數的最大值為，求的最小值．
43．（2024高一上·山東濰坊·階段練習）已知是一元二次方程的兩個實數根.
(1)是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)求使的值為整數的實數的整數值.
44．（2024高一上·安徽·階段練習）已知函數，且函數的值域為.
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的不等式在上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程有三個不同的實數根，求實數k的取值范圍.
45．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習）已知冪函數的定義域為R.
(1)求實數的值；
(2)若函數在上不單調，求實數的取值范圍.

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