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專題04 函數的概念與性質5題型分類
1．函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2．函數的單調性
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D I，如果 x1，x2∈D
當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
3．函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
結論 M為最大值 M為最小值
4．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
5．函數的周期性
周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.
（一） 函數的概念與表示 1．函數的三要素 （1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域． （2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數． 2．函數的表示法 表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數 若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數． 4．函數的定義域 （1）無論抽象函數的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合． （2）若f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出． （3）若復合函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域． 5．函數解析式的求法 （1）配湊法． （2）待定系數法． （3）換元法． （4）解方程組法． 6．分段函數求值問題的解題思路 （1）求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． （2）求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
題型1：函數的概念與表示 1-1．（2024高二下·寧夏吳忠·學業考試）如圖，可以表示函數的圖象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據函數的概念判斷 【詳解】根據函數的定義，對于一個，只能有唯一的與之對應，只有D滿足要求 故選：D 1-2．（2024高三·全國·課后作業）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】對四個選項從定義域和對應關系兩個方面一一驗證，即可得到正確答案. 【詳解】對于A：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數.故A錯誤； 對于B：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數.故B錯誤； 對于C：的定義域為，的定義域為，所以定義域相同.又對應關系也相同，所以為同一個函數.故C正確； 對于D：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數.故D錯誤； 故選：C 1-3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則 （ ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】 由分段函數解析式，利用周期性求得，進而求目標函數值. 【詳解】 由分段函數知：當時，周期， 所以， 所以． 故選：A 1-4．（2024·北京朝陽·二模）函數的定義域為 . 【答案】 【分析】解不等式即可得函數的定義域. 【詳解】令，可得，解得. 故函數的定義域為. 故答案為:. 1-5．（2024高三·全國·課后作業）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ． 【答案】 【分析】由題意知，解不等式即可求得答案. 【詳解】因為函數的定義域為， 所以在函數中，，解得或， 故函數的定義域為. 故答案為：. 1-6．（2024高一上·湖南邵陽·期末）已知的定義域為，那么a的取值范圍為 ． 【答案】 【分析】根據題意可知，的解集為，由即可求出． 【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得． 故答案為：． 1-7．（2024高三·全國·專題練習）若函數的值域是，則函數的值域為 ． 【答案】 【分析】根據的值域是，分步求出的值域. 【詳解】因為函數的值域是， 所以函數的值域為， 則的值域為， 所以函數的值域為． 故答案為：． 1-8．（2024高三·全國·課后作業）函數的值域為 . 【答案】 【分析】先求函數的定義域，由于，在結合二次函數性質和根式的性質求函數的值域． 【詳解】由有意義可得，所以， 的定義域為， ， 設，則，，則. 故答案為：． 1-9．（2024高一·上海·專題練習）求下列函數的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）. 【分析】（1）先分離常數，利用分式函數有意義直接得到值域即可； （2）直接利用二次函數性質求分母取值范圍，再求y的取值范圍即得結果； （3）先求定義域，再利用函數單調性求函數取值范圍即可； （4）變形得，即可得解； （5）利用二次函數的單調性逐步求值域即可； （6）令，則，將函數變形為，利用二次函數的性質計算可得； （7）求出函數定義域，平方后利用二次函數的性質求值域即可； （8）直接利用二次函數的單調性逐步求值域即可； （9）先分離常數，利用分式函數有意義直接得到值域即可； （10）先進行換元，再利用對勾函數單調性求解值域即可. 【詳解】解：（1）分式函數， 定義域為，故，所有， 故值域為； （2）函數中，分母， 則，故值域為； （3）函數中，令得， 易見函數和都是減函數， 故函數在時是遞減的，故時， 故值域為； （4）， 故值域為且； （5）， 而，， ，， 即，故值域為； （6）函數，定義域為，令， 所以，所以，對稱軸方程為， 所以時，函數，故值域為； （7）由題意得，解得， 則， 故，，， 由y的非負性知，，故函數的值域為； （8）函數，定義域為，，故，即值域為； （9）函數，定義域為， 故，所有，故值域為； （10）函數， 令，則由知，，， 根據對勾函數在遞減，在遞增, 可知時，，故值域為. 【點睛】方法點睛： 求函數值域常見方法： （1）單調性法：判斷函數單調性，利用單調性求值域（包括常見一次函數、二次函數、分式函數、對勾函數等）； （2）換元法：將復雜函數通過換元法轉化到常見函數上，結合圖象和單調性求解值域； （3）判別式法：分式函數分子分母的最高次冪為二次時，可整理成關于函數值y的二次方程，方程有解，判別式大于等于零，即解得y的取值范圍，得到值域. 1-10．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)已知是一次函數且，求的解析式； (4)已知滿足，求的解析式. 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】（1）設，由換元法可得出答案. （2）由，由配湊法可得答案. （3）可設f(x)=ax+b(a≠0)，利用待定系數法可得答案. （4）將x用替換,由方程消元法可得答案. 【詳解】（1）設，，則 ∵ ∴ ， 即， （2）∵ 由勾型函數的性質可得，其值域為 所以 （3）由f(x)是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. （4）∵2f(x)+f(-x)=3x，① ∴將x用替換，得，② 由①②解得f(x)=3x.
（二） 函數的單調性與最值 1．函數的單調性 （1） x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在區間I上單調遞增(減)． （2）在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數． （3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝的單調性相反． （4）復合函數的單調性：同增異減． 2．確定函數單調性的四種方法 （1）定義法． （2）導數法． （3）圖象法． （4）性質法． 3．函數單調性的應用 （1）比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決． （2）求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域． （3）利用單調性求參數的取值(范圍)．根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值．
題型2：函數的單調性與最值 2-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知條件判斷函數的單調性然后轉化分段函數推出不等式組，即可求出a的范圍. 【詳解】對任意的實數，都有,即成立， 可得函數圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數是減函數； 可得：， 解得， 故選：C 2-2．（2024高三上·新疆烏魯木齊·階段練習）若函數在區間上的最大值為，則實數 . 【答案】3 【分析】 先分離變量，再由復合函數的單調性知，分類研究即可. 【詳解】 ∵函數， 由復合函數的單調性知， 當時，在上單調遞減，最大值為； 當時，在上單調遞增，最大值為， 即，顯然不合題意， 故實數. 故答案為：3 2-3．（2024·河南·模擬預測）已知函數為定義在R上的單調函數，且，則在上的值域為 ． 【答案】 【分析】易知是一個固定的數記為，得到，進而有，即，求得，利用函數的單調性求得其值域. 【詳解】因為為定義在R上的單調函數， 所以存在唯一的，使得， 則，，即， 因為函數為增函數，且，所以， ． 易知在上為增函數，且，， 則在上的值域為． 故答案為：. 2-4．（2024高三下·河南·階段練習）已知函數且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為 . 【答案】 【分析】求導，根據兩直線垂直得到切線在的斜率為2，得到方程，求出，由是增函數求出，得到的單調性，得到最大值. 【詳解】由題意得，所以， 因為切線與直線垂直，而的斜率為， 所以切線斜率為2，即，解得， 所以，且， 顯然是增函數， 當時，， 所以在上單調遞增，故. 故答案為： 2-5．（2024·天津河西·模擬預測）已知函數是上的偶函數，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和對稱性判斷函數在上的單調性，再比較大小，結合的單調性即可得出答案． 【詳解】解：因為函數是R上的偶函數， 所以函數的對稱軸為， 又因為對任意，，且都有成立． 所以函數在上單調遞增， 而，，， 所以， 所以， 因為函數的對稱軸為， 所以， 而， 因為， 所以， 所以， 所以． 故選：A．
（三） 函數的奇偶性 1．函數的奇偶性 （1）奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性． （2）偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性． 2．函數奇偶性的判斷 （1）定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數． （2）判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立． 3．函數奇偶性的應用 （1）利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值． （2）利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
題型3：函數的奇偶性 3-1．（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數則 ． 【答案】 【分析】根據奇函數的定義，先求當時，，，再進一步求解. 【詳解】當時，，， 則． 故答案為：. 3-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則函數的解析式為 ． 【答案】 【分析】利用函數的奇偶性求解即可. 【詳解】由于函數是上的奇函數，則. 當時，， 設，則，則， 所以. 綜上所述，. 故答案為： 【點睛】方法點睛：根據函數奇偶性求解析式的步驟： （1）設：要求哪個區間的解析式，就設在哪個區間； （2）代：利用已知區間的解析式代入進行推導； （3）轉：根據的奇偶性，把寫成或，從而解出. 3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函數為偶函數，則 . 【答案】2 【分析】由偶函數的概念列方程即可求得. 【詳解】∵函數為偶函數 ∴ 即 又∵,∴ 故答案為： 3-4．（2024高三下·江西·階段練習）若函數是偶函數，則 ． 【答案】1 【分析】根據偶函數的定義結合對數運算求得的值即可. 【詳解】∵為偶函數，定義域為， ∴對任意的實數都有， 即， ∴， 由題意得上式對任意的實數恒成立， ∴，解得,所以 故答案為：1 3-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數，滿足：①；②為奇函數；③，；④任意的，，. （1）判斷并證明函數的奇偶性； （2）判斷并證明函數在上的單調性. 【答案】（1）偶函數，證明見解析；（2）在上單調遞增，證明見解析. 【解析】（1）取結合得出，再由證明函數的奇偶性； （2）由奇偶性得出，再由函數單調性的定義結合證明函數在上的單調性. 【詳解】解：（1）依題意，. ∴ ∴， 又因為的定義域為，所以函數為偶函數. （2）由④知， ， ∵，，，∴， ∴ 即在上單調遞增. 【點睛】關鍵點睛：在證明奇偶性時關鍵是利用求出，再由定義證明函數為偶函數；在證明單調性時，關鍵是由，結合，證明在上單調遞增.
（四） 函數的周期性 1．函數周期性常用結論 （1）若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)． （2）若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)． 2．函數的周期性 （1）求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期． （2）利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
題型4：函數的周期性 4-1．（2024高一下·全國·課后作業）在如圖所示的的圖象中，若，則 . 【答案】3 【分析】根據圖象確定函數周期，利用函數的周期求值即可. 【詳解】由圖象知：周期為0.02， 所以. 故答案為：3 4-2．（2024高一上·陜西寶雞·期末）已知是定義在上的函數，對任意實數都有，且當時，，則 . 【答案】/ 【分析】先求出函數的周期，再通過周期以及時的解析式可得. 【詳解】由得的周期， ， 又當時，， . 故答案為：. 4-3．（2024高三·全國·對口高考）已知是定義在上的偶函數，并且滿足，當時，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推導出函數為周期函數，確定該函數的周期，結合函數的周期性和奇偶性可求得的值. 【詳解】因為函數是定義在上的偶函數，并且滿足， 則， 所以，函數是周期為的周期函數， 且當時，，則 . 故選：B. 4-4．（2024高一下·全國·課后作業）函數是以4為周期的周期函數，且當時，，試求當時，的解析式. 【答案】 【分析】根據函數的周期性求得正確答案. 【詳解】依題意，函數是以4為周期的周期函數， 當時，， 所以， 當時，， 所以， 綜上所述，.
（五） 函數的對稱性 1、函數自身的對稱性 (1)函數的圖像關于點對稱的充要條件是： ，即。 推論：函數的圖像關于原點對稱的充要條件是。 (2)函數的圖像關于直線對稱的充要條件是： ，即。 推論：函數的圖像關于軸對稱的充要條件是。 2、不同函數對稱性 (1)函數與的圖像關于直線成軸對稱。 推論1:函數與圖象關于直線對稱 推論2:函數與 圖象關于直線對稱 推論3:函數與圖象關于直線對稱
題型5：函數的對稱性 5-1．（2024高三上·湖北武漢·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則函數在時的值域為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由對稱性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函數的性質得出其值域. 【詳解】設為的圖像上一點，則點關于直線對稱的點為 由題意點在函數的圖象上，則 所以，則 當時，，則 所以 故選：C 5-2．（2024·全國·模擬預測）已知函數，且對任意的實數x，恒成立.若存在實數，，…，（），使得成立，則n的最大值為（ ） A．25 B．26 C．28 D．31 【答案】B 【分析】求解本題的關鍵：一是根據已知條件得到，，從而求出函數的解析式；二是根據函數的解析式的結構特征換元求得時的值域；三是根據題意得到. 【詳解】由題意得，，所以解得所以 . 令，若，則. 令，，故，即當時，.存在，，…，（）使得成立，即存在，，…，（），使得，由時，的最小值為2，最大值為51，得，得，又，所以可得n的最大值為26. 故選：B. 5-3．（2024·全國·模擬預測）已知定義在上的圖象連續的函數的導數是，，當時，，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由題設，易知，構造，利用導數研究其在上的單調性，并確定對稱軸，進而得到的單調性，由等價于，即可求解集. 【詳解】當時，，即有． 令，則當時，，故在上單調遞增． ∵， ∴關于直線對稱，故在上單調遞減， 由等價于，則，得． ∴的解集為． 故選：A. 【點睛】關鍵點點睛：首先確定符號，構造函數研究單調性、對稱性，由等價于求解集． 5-4．（2024·貴州畢節·三模）已知定義在R上的函數滿足：對任意，都有，且當時，（其中為的導函數）．設，，，則a，b，c的大小關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知確定函數的對稱性與單調性，然后把“”后面自變量的值轉化為同一單調區間上，可得大小關系． 【詳解】由，得的圖象關于直線對稱，又時，，所以，即在上單調遞減，所以在上單調遞增， ，，，， ，，所以， 所以． 故選：C．
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）函數y=f(x)的圖象與直線的交點個數（ ）
A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個D．有0個、1個或多個
【答案】B
【分析】利用函數的定義判斷.
【詳解】若1不在函數f(x)的定義域內，y=f(x)的圖象與直線沒有交點，
若1在函數f(x)的定義域內，y=f(x)的圖象與直線有1個交點，
故選：B.
2．（2024高一上·湖南·期中）下列四組函數中，表示同一個函數的一組是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函數的三要素：定義域，對應法則和值域；函數的三要素相同，則為同一個函數，判斷函數的三要素即可求解.
【詳解】對于，和的定義域都是，對應關系也相同，是同一個函數，故選項正確；
對于，函數的定義域為，函數的定義域為，定義域不同，不是同一個函數，故選項錯誤；
對于，函數的定義域為，函數的定義域為，定義域不同，不是同一個函數，故選項錯誤；
對于，函數的定義域為，函數的定義域為，定義域不同，不是同一個函數，故選項錯誤，
故選：.
3．（2024高三·全國·專題練習）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【分析】根據函數的定義域和同一函數的定義逐一判斷可得選項.
【詳解】解：對于A：的定義域是，的定義域是，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數，
對于B：，，的定義域是，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數，
對于C：的定義域為，的定義域是，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數，
對于D：對應點的坐標為，，，對應點的坐標為，，，兩個函數對應坐標相同，是同一函數，
故選：D．
4．（2024·河南·模擬預測）已知函數且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根據函數解析式，結合指數對數運算性質分類討論進行求解即可.
【詳解】當時，，
當時，，
所以，
故選：C
5．（2024·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：當時，，
所以，即，解得，
當時，，
所以，即，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D
6．（2024·江西）已知函數f(x)=(a∈R)，若，則a=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案
【詳解】解：由題意得，
所以，解得a=.
故選：A
【點睛】此題考查分段函數求值問題，屬于基礎題
7．（2024·山東）已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數
【答案】C
【分析】利用函數單調性定義即可得到答案.
【詳解】對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，
等價于對于任意兩個不相等的實數，總有.
所以函數一定是增函數.
故選：C
8．（2024高一上·全國·課后作業）若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有（ ）
A．f(x)在R上是增函數 B．f(x)在R上是減函數
C．函數f(x)先增后減 D．函數f(x)先減后增
【答案】A
【分析】根據條件可得當ab時，f(a)>f(b)，從而可判斷.
【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當ab時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數.
故選：A.
9．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
【答案】B
【分析】去絕對值符號表示出分段函數的解析式，根據函數的解析式作出函數圖象，進而根據函數圖象求出單調區間，即可求出結果.
【詳解】
如圖所示：
函數的單調遞增區間是和．
故選：B.
10．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數的定義域，再利用復合函數的單調性，結合冪函數與二次函數的單調性即可得解.
【詳解】由題意，得，解得或，
所以函數的定義域為，
令，則開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
而在上單調遞增，
所以函數的單調遞減區間為.
故選：D.
11．（2024高二下·陜西寶雞·期末）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函定義域，再通過換元法利用復合函數“同增異減”的性質得到結果
【詳解】由，得，
令，則，
在上遞增，在上遞減，
因為在定義域內為增函數，
所以的單調遞減區間為，
故選：A
12．（2024高三上·山東·階段練習）若函數（且）在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分和分析函數內外層的單調性，列不等式求解
【詳解】函數在區間 內有意義，
則，
設則 ，
( 1 ) 當 時， 是增函數，
要使函數在區間內單調遞增，
需使 在區間內內單調遞增，
則需使，對任意恒成立 , 即對任意恒成立；
因為時，所以與矛盾，此時不成立.
( 2 ) 當時，是減函數，
要使函數在區間內單調遞增，
需使在區間內內單調遞減，
則需使 對任意恒成立，
即對任意恒成立，
因為，
所以，
又，所以.
綜上，的取值范圍是
故選：B
13．（2024高一上·四川廣安·期末）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數單調性即可求出實數a的取值范圍.
【詳解】由題意，，
在中，函數單調遞增，
∴，解得：，
故選：C.
14．（2024高三上·江西撫州·期末）已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定的函數，結合對數函數、二次函數單調性，分類討論求解作答.
【詳解】函數在上是減函數，
當時，恒成立，
而函數在區間上不單調，因此，不符合題意，
當時，函數在上單調遞增，于是得函數在區間上單調遞減，
因此，并且，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：D
15．（2024高一上·天津紅橋·期末）已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】首先求出二次函數的對稱軸，再結合題意求解即可.
【詳解】函數的對稱軸為，
因為函數在上具有單調性，
所以或，即或.
故選：C
16．（2024·北京朝陽·一模）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據函數的奇偶性和單調性，對四個函數逐一判斷可得答案.
【詳解】函數是奇函數，不符合；
函數是偶函數，但是在上單調遞減，不符合；
函數不是偶函數，不符合；
函數既是偶函數又在區間上單調遞增，符合.
故選：D
【點睛】本題考查了函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題.
17．（2024·北京順義·一模）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的奇偶性和初等函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，函數的定義域為R，且滿足，所以其為偶函數，
在上單調遞減，在上單調遞減，故A不符合題意；
對于B，設，函數的定義域為R，
且滿足，所以函數為偶函數，
當時，為單調遞增函數，故B符合題意；
對于C，函數的定義域為，不關于原點對稱，
所以函數為非奇非偶函數，故C不符合題意；
對于D，設，函數的定義域為，關于原點對稱，
且滿足，所以函數為奇函數，
又函數在上單調遞減，故D不符合題意.
故選：B.
18．（2024·北京海淀·二模）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性以及單調性，結合基本初等函數的性質，即可由選項逐一判斷.
【詳解】對于A, 的定義域為，定義域不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數，故A錯誤，
對于B，的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以為奇函數，但在單調遞減，故B錯誤，
對于C，的定義域為,關于原點對稱，又，故 為偶函數，故C錯誤，
對于D， 由正切函數的性質可知為奇函數，且在單調遞增，故D正確，
故選：D
19．（2024·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根據函數的奇偶性結合已知等式可得，聯立可得，即得答案.
【詳解】由函數是奇函數，函數是偶函數，，
故，即，
將該式和相減可得，
則，
故選：C
20．（2024高三·全國·專題練習）設函數與的定義域是，函數是一個偶函數，是一個奇函數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據函數的奇偶性得到，，再結合題意即可求出的表達式．
【詳解】由函數是一個偶函數，是一個奇函數，
所以，，
因為①，
則②，
所以①+②得，
所以．
故選：A．
21．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】代入計算并運用函數奇偶性求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：C.
22．（2024·河南·模擬預測）已知在R上單調遞增，且為奇函數.若正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據奇函數的性質可得，進而根據基本不等式即可求解.
【詳解】由于為奇函數，所以，
由得 ，
由于 所以，
當且僅當時取等號，故的最小值為，
故選：A
23．（2024高三·重慶渝中·階段練習）已知函數在區間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】令，則，f(x)和g(x)在上單調性相同，g(x)時奇函數，可得g(x)在，據此可求M＋m，從而求出.
【詳解】令，則，
∴f(x)和g(x)在上單調性相同，
∴設g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上為奇函數，∴，
∴，∴，
.
故選：C.
24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函數，若，則（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定
【答案】C
【分析】首先證明是奇函數，由此可得也是奇函數，進而可得結果.
【詳解】設，顯然定義域為，
又，
則，所以是上的奇函數；
又也是上的奇函數，所以也是上的奇函數，
因此，則.
故選：C.
25．（2024高一上·山西長治·階段練習）定義域為的函數滿足，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出時，的解析式，把恒成立轉化為，求出，解不等式即可.
【詳解】若，則
∵，∴
即
∵時，恒成立，∴只需.
當時，最小值為（當時）；
當時，最小值為（當時），
∴
所以只需，解得：或
∴實數的取值范圍是
故選：D
【點睛】方法點睛：分離參數法是求參數范圍的一種非常常用的方法，結合最值即可求出結果.
26．（2024·全國·一模）已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立，設，只需找到數列的最大值即可.
【詳解】當時，則，，
所以，，顯然當時，
，故，，若對于任意正整數不等式
恒成立，即對于任意正整數恒成立，即對于任
意正整數恒成立，設，，令，解得，
令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，
當時，有單調遞減，故數列的最大值為，
所以.
故選：C.
【點睛】本題考查數列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識，是一道較為綜合的數列題.
27．（2024·四川內江·二模）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意首先得得到函數的具體表達式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達式，在根據函數思維求出f（x）最小值解不等式即可.
【詳解】因為，所以，
因為時，，
所以,
因為函數滿足，
所以，
所以，，
又因為，恒成立，
故，
解不等式可得或.
【點睛】考查函數的解析求法，解本題關鍵就是要能合理的運用已知條件將變量的范圍變化到已知表達式范圍中，然后根據函數的最值思維即可得出結論.
28．（2024高三·全國·專題練習）設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．為奇函數
C．在上是減函數 D．方程僅有6個實數解
【答案】C
【分析】根據為奇函數，為偶函數，推出函數的一個周期為、的圖象關于點對稱、關于直線對稱，再根據這些性質可判斷A正確，B正確，C錯誤；作出與的大致圖象，結合圖像可判斷D正確.
【詳解】因為為奇函數，所以，則關于對稱，即，
又為偶函數，所以，則關于對稱，即，
所以，則，故，
所以，即，故，
所以的周期為8，
又當時，，
所以，故A正確；
由周期性知：，
所以，從而為奇函數，故B正確；
由題意，在與上單調性相同，而上遞增，
關于對稱知：上遞增，故上遞增，
所以在上是增函數，故C錯誤；
的根等價于與交點橫坐標，
根據、對數函數性質得：，，
所以如圖示函數圖象：函數共有6個交點，故方程僅有6個實數解，故D正確．

故選：C
29．（2024·湖北·模擬預測）已知函數是定義在上的偶函數，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】將不等式轉化為或，根據奇偶性和單調性可解.
【詳解】已知是定義在上的偶函數，則，
又對任意，且，都有，
所以函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，又，所以，
根據函數的單調性可知：等價為或，
即或，解得或，
即不等式的解集為.
故選：.
30．（2024·廣西·模擬預測）已知定義在上的函數在上單調遞減，且為偶函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由為偶函數求得函數對稱軸，再結合函數的單調性進行求解即可.
【詳解】∵函數為偶函數，∴，即，
∴函數的圖象關于直線對稱，
又∵函數定義域為，在區間上單調遞減，
∴函數在區間上單調遞增，
∴由得，，解得.
故選：D.
31．（2024·北京西城·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判斷的奇偶性與單調性，根據單調性轉化不等式．再解不等式即可.
【詳解】由得，即函數的定義域為．
因為，
所以為上的偶函數，
當時，，
因為函數在上單調遞減,所以在上單調遞減，
又都是在上單調遞減，
根據單調性的性質，可知函數在上單調遞減，
又因為函數為偶函數，所以函數在上單調遞增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
32．（2024·河南商丘·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意不等式等價于，再根據函數的單調性分和兩種情況討論即可得解.
【詳解】因為是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
由，得，
當時，由，得，
當時，由，得，
所以原不等式的解集為.
故選：A.
33．（2024·安徽黃山·二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的單調性和奇偶性，即可轉化為自變量的大小關系進行求解.
【詳解】由題意可知：的定義域為或，關于原點對稱，
由得，故 為偶函數，
當時，，由于函數，均為單調遞增函數，在單調遞增，因此 為上的單調遞增函數，所以不等式等價于 ，解得,
故選：C
34．（2024·河北唐山·一模）已知函數,則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化簡，得到，令，令，求得，得到在上單調遞增，且函數為偶函數，進而得到上單調遞減，把不等式轉化為，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上單調遞增，
又由，
所以函數為偶函數，則在上單調遞減，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集為.
故選：B.
35．（2024高二下·江蘇鎮江·階段練習）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
【答案】A
【分析】根據題意可判斷函數為奇函數且在上單調遞增，進而根據奇偶性與單調性解不等式即可.
【詳解】函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以函數為奇函數，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數在上單調遞增，
所以可化為，即，
所以，
即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：A
二、多選題
36．（2024高一上·甘肅慶陽·期中）已知函數在區間上是偶函數，在區間上是單調函數，且，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據函數的單調性和奇偶性直接求解.
【詳解】函數在區間上是單調函數，又，且，
故此函數在區間上是減函數．
由已知條件及偶函數性質，知函數在區間上是增函數．
對于A，，故，故A錯誤；
對于B，，故，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選:BD.
37．（2024高一上·浙江杭州·階段練習）設函數的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是偶函數
【答案】CD
【分析】根據函數奇偶性的定義逐一判斷即可.
【詳解】因為函數的定義域都為R，
所以各選項中函數的定義域也為R，關于原點對稱，
因為是奇函數，是偶函數，
所以，
對于A，因為，
所以函數是奇函數，故A錯誤；
對于B，因為，
所以函數是偶函數，故B錯誤；
對于C，因為，
所以函數是奇函數，故C正確；
對于D，因為，
所以函數是偶函數，故D正確.
故選：CD.
38．（2024·河北·模擬預測）已知函數，的定義域均為，導函數分別為，，若，，且，則（ ）
A．4為函數的一個周期 B．函數的圖象關于點對稱
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據題中條件可得即可判斷A,由的關系可判斷B，由得進而可得 ，結合周期性即可判斷CD.
【詳解】由得，
由求導得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4為函數的一個周期，A正確；
，故，
因此，
故函數的圖象關于點對稱，B正確，
在中，令
由得 為常數，故，
由函數的圖象關于點對稱，
，
因此，
所以由于的周期為4，所以的周期也為4，
由于，所以， ，
所以，故C正確，
由于
,故D錯誤，
故選:ABC
39．（2024·山東濱州·二模）函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足，函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期
C．一定存在零點 D．
【答案】ACD
【分析】根據的圖象關于點對稱得的圖象關于點對稱，進而構造函數判斷為偶函數，且關于對稱，進一步得到的單調性，進而結合可求解ABD,由零點存在性定理即可判斷C.
【詳解】對于A,由于的圖象關于點對稱，所以，故，所以的圖象關于點對稱，故A正確，
由得，令所以，故為偶函數，又的圖象關于點對稱，所以，又，從而，
所以的圖象關于對稱，
對于C,在中,令，所以，由于在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，由零點存在性定理可得在有零點，故C正確
對于D,由于的圖象關于對稱以及得，又，所以，所以是周期為8的周期函數，，故D正確，
對于B，，所以8不是的周期，
故選：ACD
【點睛】本題考查了函數性質的綜合運用，函數的常用性質有：奇偶性、單調性、對稱性、周期性等.常見的奇偶性與對稱性結合的結論有：
(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．
(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．
(3)若，則函數關于對稱．
(4)若，則函數關于點對稱．
40．（2024高二下·江蘇南通·期末）已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（ ）．
A．是偶函數 B．的周期
C． D．在單調遞減
【答案】ABC
【分析】由的圖象關于直線對稱，則，即，故是偶函數，可判斷A的正誤；由，令，可得，則，得到的周期，可判斷B的正誤；又在遞增，結合奇偶性，周期性，再判斷CD是否正確.
【詳解】由的圖象關于直線對稱，則，
即，故是偶函數，A正確；
由，令，可得，則，
則的周期，B正確；
，故C正確；
又在遞增，則遞減，由周期，則在單調遞增，
故D錯誤.
故答案為：ABC
【點睛】本題考查了抽象函數的性質，綜合考查了函數的對稱性，奇偶性，周期性，單調性，屬于中檔題.
三、填空題
41．（2024高三·全國·專題練習）若，則 .
【答案】或
【分析】由解析式有意義可求，再求，由此可求.
【詳解】由有意義可得
，
所以或，
當時，，，
當時，，，
故答案為：或.
42．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】由偶次根式、對數的性質求解即可.
【詳解】要使函數有意義，則 ，解得.
所以函數的定義域為.
故答案為：.
43．（2024高三上·海南·階段練習）已知正數a，b滿足，則函數的定義域為 .
【答案】
【分析】根據指對數的運算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函數的定義域.
【詳解】由可得，即，所以，代入
即，解得或（舍），則
所以
解得
所以函數定義域為
故答案為:
44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為， 則函數的定義域為
【答案】
【分析】令進行換元，根據已知函數的定義求u的范圍即可.
【詳解】令，由得：，
所以，即，
所以，函數的定義域為.
故答案為：
45．（2024高一上·全國·專題練習）已知函數定義域為 ，則函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用函數的定義，結合復合函數定義域求法求解作答.
【詳解】因的定義域為，則當時，，
即的定義域為，于是中有，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：
46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為
【答案】
【分析】由函數的定義域可推得的定義域，再結合對數的真數大于0、要使函數有意義即可得出結論.
【詳解】由函數的定義域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函數的定義域是：.
故答案為：.
47．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】直接解不等式可得.
【詳解】由解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：
48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由恒成立可得．
【詳解】的定義域是R，則恒成立，
時，恒成立，
時，則，解得，
綜上，．
故答案為：．
49．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）函數的定義域為，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得恒成立，分和兩種情況分別考慮，解不等式即可得到所求范圍．
【詳解】因為函數的定義域為 R，所以的解為R，
即函數的圖象與x軸沒有交點，
（1）當時，函數與x軸沒有交點，故成立；
（2）當時，要使函數的圖象與x軸沒有交點，則，解得.
綜上：實數的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數的定義域問題，注意運用分母不為，以及二次不等式恒成立問題解法，屬于中檔題．
50．（2024高一上·黑龍江佳木斯·階段練習）若函數的定義域是R，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由函數定義域為R且負數不存在平方根的性質,推導出,轉化成一元二次不等式恒成立的問題,利用判別式求解參數的取值范圍.
【詳解】由函數的定義域為R,得恒成立,化簡得恒成立,所以由解得:.
故答案為:.
【點睛】本題考查了已知復合函數定義域求參數的問題,考查了轉化思想,由函數定義域為R,轉化為一元二次不等式恒成立的問題,考查了運算能力,屬于一般難度的題.
51．（2024高三·廣東深圳·階段練習）寫出一個滿足：的函數解析式為 .
【答案】
【分析】賦值法得到，，求出函數解析式.
【詳解】中，令，解得，
令得，故，
不妨設，滿足要求.
故答案為：
52．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在上的單調函數，若對任意都有，則方程的解集為 ．
【答案】．
【分析】由題可求，再利用數形結合即求.
【詳解】∵定義在上的單調函數，對任意都有，
令，則，
在上式中令，則，解得，
故，
由得，即，
在同一坐標系中作出函數和的圖像，

可知這兩個圖像有2個交點，即和，
則方程的解集為．
故答案為：.
53．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為
【答案】
【分析】將問題轉化為圓上的點與點連線的斜率的取值范圍的求解，利用直線與圓的位置關系可求得過的圓的切線的斜率，結合圖象可確定結果.
【詳解】表示點與點連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點與點連線的斜率，
由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，
則設過的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，
即的值域為.
故答案為：.
54．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）函數的最大值為 .
【答案】/
【分析】依題意可得，根據對勾函數的性質求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，
令，則，
令，，因為函數在上單調遞增，所以，
即，則，
即函數的最大值為，當且僅當時取等號.
故答案為：
55．（2024·浙江）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】結合分段函數的解析式求函數值，由條件求出的最小值,的最大值即可.
【詳解】由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
56．（2024·上海靜安·二模）已知函數為偶函數，則函數的值域為 .
【答案】
【分析】利用偶函數的定義求出，則，設，利用基本不等式，即可求出結果．
【詳解】函數（）是偶函數，
，
，易得，
設，
則，
當且僅當即時，等號成立，
所以，
所以函數的值域為．
故答案為：．
57．（2024高三下·四川成都·期末）已知函數是偶函數，則 ．
【答案】-1
【分析】由，列出方程，求出的值.
【詳解】定義域為R，
由得：，
因為，所以，故.
故答案為：-1
58．（2024高三下·湖南·階段練習）已知函數，若是偶函數，則 ．
【答案】
【分析】由的奇偶性可得，代入函數解析式列出等式求解，即可求得.
【詳解】因為是偶函數，
所以，
，
即，
解得.
故答案為：.
四、解答題
59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根據下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數，且滿足；
(3)已知滿足
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用換元法即可求解；
（2）設，然后結合待定系數法即可得解；
（3）由題意可得，利用方程組思想即可得出答案.
【詳解】（1）解：令，則，
故，
所以；
（2）解：設，
因為，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）解：因為①，
所以②，
②①得，
所以.
60．（2024高三·全國·專題練習）根據下列條件，求函數的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用換元法或者配湊法求解析式；
(2)構造方程組即可求解析式；
(3)令即可求得解析式.
【詳解】（1）方法一（換元法）：令，則，．
所以，
所以函數的解析式為．
方法二（配湊法）：．
因為，所以函數的解析式為．
（2）將代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
61．（2024高一上·浙江·課后作業）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，則，代入函數解析式可得解.
【詳解】由，令，則，
所以，
所以.
【點睛】本題主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解題的關鍵是換元法，但是需要主要定義域的變化，屬于基礎題
62．（2024高一上·陜西延安·階段練習）已知函數．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞減,證明見解析；
(2)
【分析】（1）任取，且，作差判斷符號，結合單調性的定義即可證明；
（2）利用單調性解不等式.
【詳解】（1）在上遞減，理由如下：
任取，且，則
，
因為，且，則有，，
可得，即，
所以在上單調遞減；
（2）由（1）可知在上遞減，
所以由，得
，解得，
所以實數的取值范圍為．
63．（2024高三·全國·專題練習）設，，證明：函數是x的增函數．
【答案】證明見解析
【分析】利用函數單調性定義以及伯努利不等式進行證明即可.
【詳解】證明：當，在伯努利不等式定理3中取，，
則有，即，
則有，從，
即.
所以當時，是x的增函數．
64．（2024高三上·上海靜安·期中）已知函數，且.
(1)求的值，并指出函數的奇偶性；
(2)在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數在上是增函數.
【答案】(1)，為奇函數
(2)證明見解析
【分析】（1）求出的值，根據與的關系判斷的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義，任取，判斷的符號得到的單調性.
【詳解】（1）因為，又，所以，
所以，，
此時，所以為奇函數；
（2）任取，則
，
因為,所以,所以,
所以即，
所以函數在上是增函數.
65．（2024高三·全國·專題練習）利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)奇函數
(2)偶函數
(3)偶函數
(4)非奇非偶函數
(5)偶函數
【分析】根據函數解析式，結合二次函數的圖象畫出（1）（2）（5）的圖形，結合指數函數的圖象畫出（3）的圖形，結合對數函數的圖象畫出（4）的圖形，由奇偶函數圖象的對稱性依次判斷即可.
【詳解】（1）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數；
（2）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于y軸對稱，故為偶函數；
（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，
再作出的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，
即得的圖象，如圖實線部分．
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
（4）將函數的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，
即可得到函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象既不關于y軸對稱，也不關于x軸對稱，
所以該函數為非奇非偶函數；
（5）函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
66．（2024高一上·四川遂寧·期末）定義在上的函數，對任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數；
【答案】（1）存在，；（2）證明見解析.
【解析】（1）利用待定系數法，設出一次函數，代入①即可得，再代入②可得解析式；（2）首先令，計算出，然后令，即可得，得證.
【詳解】解析：假設存在一次函數，設
則，
，所以，.
，故滿足條件的一次函數為：
（2）定義在上的函數對任意的，
都有成立，
令，則，得
令，則
所以，即，于是
∴為奇函數.
【點睛】方法點睛：一般常見的求函數解析式常用方法有以下三種，
（1）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數），可用待定系數法；
（2）換元法：已知復合函數的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；
（3）方程法：已知關于與或的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出．
67．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數，滿足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數的奇偶性.
【答案】（1）1；（2）偶函數，證明見解析.
【解析】（1）令，代入，可得答案；
（2）由（1）知，且，得出，利用偶函數的定義判斷可得函數的奇偶性．
【詳解】（1）依題意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因為的定義域為，
所以函數為偶函數.專題04 函數的概念與性質5題型分類
1．函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2．函數的單調性
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D I，如果 x1，x2∈D
當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
3．函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
結論 M為最大值 M為最小值
4．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
5．函數的周期性
周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.
（一） 函數的概念與表示 1．函數的三要素 （1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域． （2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數． 2．函數的表示法 表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數 若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數． 4．函數的定義域 （1）無論抽象函數的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合． （2）若f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出． （3）若復合函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域． 5．函數解析式的求法 （1）配湊法． （2）待定系數法． （3）換元法． （4）解方程組法． 6．分段函數求值問題的解題思路 （1）求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． （2）求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
題型1：函數的概念與表示 1-1．（2024高二下·寧夏吳忠·學業考試）如圖，可以表示函數的圖象的是（ ） A． B． C． D． 1-2．（2024高三·全國·課后作業）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）． A．， B．， C．， D．， 1-3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則 （ ） A．-6 B．0 C．4 D．6 1-4．（2024·北京朝陽·二模）函數的定義域為 . 1-5．（2024高三·全國·課后作業）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ． 1-6．（2024高一上·湖南邵陽·期末）已知的定義域為，那么a的取值范圍為 ． 1-7．（2024高三·全國·專題練習）若函數的值域是，則函數的值域為 ． 1-8．（2024高三·全國·課后作業）函數的值域為 . 1-9．（2024高一·上海·專題練習）求下列函數的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 1-10．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)已知是一次函數且，求的解析式； (4)已知滿足，求的解析式.
（二） 函數的單調性與最值 1．函數的單調性 （1） x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在區間I上單調遞增(減)． （2）在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數． （3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝的單調性相反． （4）復合函數的單調性：同增異減． 2．確定函數單調性的四種方法 （1）定義法． （2）導數法． （3）圖象法． （4）性質法． 3．函數單調性的應用 （1）比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決． （2）求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域． （3）利用單調性求參數的取值(范圍)．根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值．
題型2：函數的單調性與最值 2-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 2-2．（2024高三上·新疆烏魯木齊·階段練習）若函數在區間上的最大值為，則實數 . 2-3．（2024·河南·模擬預測）已知函數為定義在R上的單調函數，且，則在上的值域為 ． 2-4．（2024高三下·河南·階段練習）已知函數且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為 . 2-5．（2024·天津河西·模擬預測）已知函數是上的偶函數，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（ ） A． B． C． D．
（三） 函數的奇偶性 1．函數的奇偶性 （1）奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性． （2）偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性． 2．函數奇偶性的判斷 （1）定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數． （2）判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立． 3．函數奇偶性的應用 （1）利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值． （2）利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
題型3：函數的奇偶性 3-1．（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數則 ． 3-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則函數的解析式為 ． 3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函數為偶函數，則 . 3-4．（2024高三下·江西·階段練習）若函數是偶函數，則 ． 3-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數，滿足：①；②為奇函數；③，；④任意的，，. （1）判斷并證明函數的奇偶性； （2）判斷并證明函數在上的單調性.
（四） 函數的周期性 1．函數周期性常用結論 （1）若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)． （2）若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)． 2．函數的周期性 （1）求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期． （2）利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
題型4：函數的周期性 4-1．（2024高一下·全國·課后作業）在如圖所示的的圖象中，若，則 . 4-2．（2024高一上·陜西寶雞·期末）已知是定義在上的函數，對任意實數都有，且當時，，則 . 4-3．（2024高三·全國·對口高考）已知是定義在上的偶函數，并且滿足，當時，，則等于（ ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一下·全國·課后作業）函數是以4為周期的周期函數，且當時，，試求當時，的解析式.
（五） 函數的對稱性 1、函數自身的對稱性 (1)函數的圖像關于點對稱的充要條件是： ，即。 推論：函數的圖像關于原點對稱的充要條件是。 (2)函數的圖像關于直線對稱的充要條件是： ，即。 推論：函數的圖像關于軸對稱的充要條件是。 2、不同函數對稱性 (1)函數與的圖像關于直線成軸對稱。 推論1:函數與圖象關于直線對稱 推論2:函數與 圖象關于直線對稱 推論3:函數與圖象關于直線對稱
題型5：函數的對稱性 5-1．（2024高三上·湖北武漢·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則函數在時的值域為（ ） A． B． C． D． 5-2．（2024·全國·模擬預測）已知函數，且對任意的實數x，恒成立.若存在實數，，…，（），使得成立，則n的最大值為（ ） A．25 B．26 C．28 D．31 5-3．（2024·全國·模擬預測）已知定義在上的圖象連續的函數的導數是，，當時，，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 5-4．（2024·貴州畢節·三模）已知定義在R上的函數滿足：對任意，都有，且當時，（其中為的導函數）．設，，，則a，b，c的大小關系是（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）函數y=f(x)的圖象與直線的交點個數（ ）
A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個D．有0個、1個或多個
2．（2024高一上·湖南·期中）下列四組函數中，表示同一個函數的一組是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
4．（2024·河南·模擬預測）已知函數且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
5．（2024·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江西）已知函數f(x)=(a∈R)，若，則a=（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2024·山東）已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數
8．（2024高一上·全國·課后作業）若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有（ ）
A．f(x)在R上是增函數 B．f(x)在R上是減函數
C．函數f(x)先增后減 D．函數f(x)先減后增
9．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
10．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·陜西寶雞·期末）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高三上·山東·階段練習）若函數（且）在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高一上·四川廣安·期末）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024高三上·江西撫州·期末）已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024高一上·天津紅橋·期末）已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（ ）．
A． B．
C．或 D．或
16．（2024·北京朝陽·一模）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·北京順義·一模）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·北京海淀·二模）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
20．（2024高三·全國·專題練習）設函數與的定義域是，函數是一個偶函數，是一個奇函數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
22．（2024·河南·模擬預測）已知在R上單調遞增，且為奇函數.若正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
23．（2024高三·重慶渝中·階段練習）已知函數在區間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函數，若，則（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定
25．（2024高一上·山西長治·階段練習）定義域為的函數滿足，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·全國·一模）已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·四川內江·二模）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　 )
A． B．
C． D．
28．（2024高三·全國·專題練習）設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．為奇函數
C．在上是減函數 D．方程僅有6個實數解
29．（2024·湖北·模擬預測）已知函數是定義在上的偶函數，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
30．（2024·廣西·模擬預測）已知定義在上的函數在上單調遞減，且為偶函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
31．（2024·北京西城·模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·河南商丘·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·安徽黃山·二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·河北唐山·一模）已知函數,則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
35．（2024高二下·江蘇鎮江·階段練習）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
二、多選題
36．（2024高一上·甘肅慶陽·期中）已知函數在區間上是偶函數，在區間上是單調函數，且，則（　　）
A． B．
C． D．
37．（2024高一上·浙江杭州·階段練習）設函數的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是偶函數
38．（2024·河北·模擬預測）已知函數，的定義域均為，導函數分別為，，若，，且，則（ ）
A．4為函數的一個周期 B．函數的圖象關于點對稱
C． D．
39．（2024·山東濱州·二模）函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足，函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期
C．一定存在零點 D．
40．（2024高二下·江蘇南通·期末）已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（ ）．
A．是偶函數 B．的周期
C． D．在單調遞減
三、填空題
41．（2024高三·全國·專題練習）若，則 .
42．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數的定義域為 ．
43．（2024高三上·海南·階段練習）已知正數a，b滿足，則函數的定義域為 .
44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為， 則函數的定義域為
45．（2024高一上·全國·專題練習）已知函數定義域為 ，則函數的定義域為 .
46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為
47．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是 ．
49．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）函數的定義域為，則實數a的取值范圍是 .
50．（2024高一上·黑龍江佳木斯·階段練習）若函數的定義域是R，則實數的取值范圍是 .
51．（2024高三·廣東深圳·階段練習）寫出一個滿足：的函數解析式為 .
52．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在上的單調函數，若對任意都有，則方程的解集為 ．
53．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為
54．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）函數的最大值為 .
55．（2024·浙江）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
56．（2024·上海靜安·二模）已知函數為偶函數，則函數的值域為 .
57．（2024高三下·四川成都·期末）已知函數是偶函數，則 ．
58．（2024高三下·湖南·階段練習）已知函數，若是偶函數，則 ．
四、解答題
59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根據下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數，且滿足；
(3)已知滿足
60．（2024高三·全國·專題練習）根據下列條件，求函數的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數x，y都有，求的解析式．
61．（2024高一上·浙江·課后作業）已知，求的解析式.
62．（2024高一上·陜西延安·階段練習）已知函數．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
63．（2024高三·全國·專題練習）設，，證明：函數是x的增函數．
64．（2024高三上·上海靜安·期中）已知函數，且.
(1)求的值，并指出函數的奇偶性；
(2)在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數在上是增函數.
65．（2024高三·全國·專題練習）利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
66．（2024高一上·四川遂寧·期末）定義在上的函數，對任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數；
67．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數，滿足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數的奇偶性.

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