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專題03 不等式4題型分類
1．不等式的性質
（1）對稱性：a>b b（2）傳遞性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac（5）同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
2．兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
3．基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的條件：a>0，b>0．
（3）等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．
（4）其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
4．幾個重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b同號)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）≥(a，b∈R)．
5．三個“二次”的關系
判別式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
6．分式不等式與絕對值不等式
（1）>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集為(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集為(－a,a)．
（一） 不等式的性質 1．常用結論 （1）若ab>0，且a>b <． （2）若a>b>0，m>0 <． （3）若b>a>0，m>0 >． 2．判斷不等式的常用方法． （1）利用不等式的性質逐個驗證． （2）利用特殊值法排除錯誤選項． （3）作差法． （4）構造函數，利用函數的單調性．
題型1：不等式的性質 1-1．（2024高三上·廣東·期末）已知，，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據不等式的同向可加性，結合待定系數法可得，即可得的取值范圍. 【詳解】解：設，所以， 則，又， 所以，，由不等式的性質得：， 則的取值范圍為. 故選：D. 1-2．（2024·全國）若a>b，則 A．ln(a b)>0 B．3a<3b C．a3 b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【分析】本題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數，所以，故B錯；因為冪函數是增函數，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯． 【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數是增函數，，所以，故選C． 【點睛】本題主要考查對數函數性質、指數函數性質、冪函數性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養，利用特殊值排除即可判斷． 1-3．（2024·山東）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】因為，且，所以 設，則，所以單調遞增， 所以 ，所以選B. 【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、對數函數的性質及基本不等式作出判斷.
（二） 比較大小 1．不等式大小比較的常用方法 （1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果． （2）作商（常用于分數指數冪的代數式）． （3）分析法． （4）平方法． （5）分子（或分母）有理化． （6）利用函數的單調性． （7）尋找中間量或放縮法． （8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．
題型2：比較大小 2-1．（2024·全國）已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出． 【詳解】［方法一］：（指對數函數性質） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.綜上，. ［方法二］：【最優解】（構造函數） 由，可得． 根據的形式構造函數 ，則， 令，解得 ，由 知 . 在 上單調遞增，所以 ，即 ， 又因為 ，所以 . 故選：A. 【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法； 法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解． 2-2．（2024高三·全國·課后作業）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：； （2）設x，，比較與的大小. 【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析 【分析】（1）由不等式的性質即可證明. （2）要比較與的大小，將兩式做差展開化簡，得到即可判斷正負并比較出結果. 【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得. 又a＞b＞0，所以. （2）因為，當且僅當x＝y時等號成立， 所以當x＝y時，； 當時，. 2-3．（2024高一上·江蘇南京·階段練習）（1）試比較與的大??； （2）已知，，求證：． 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【分析】（1）與作差，判斷差的正負即可得出結論； （2）結合不等式的性質分析即可證出結論. 【詳解】（1）由題意， ， 所以． （2）證明：因為，所以，即， 而，所以，則．得證．
（三） 基本不等式 1．基本不等式 （1）基本不等式：≤( a>0，b>0)． （2）等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立． 2．幾個重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同號)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 3．基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”． （2）要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式． （3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法．
題型3：基本不等式 3-1．（2024高一下·廣西柳州·期末）若，則的最小值為 . 【答案】0 【分析】構造，利用基本不等式計算即可得出結果. 【詳解】由，得， 所以， 當且僅當即時等號成立. 故答案為：0 3-2．（2024高三·河北·學業考試）若，，且，則的最大值為 ． 【答案】 【分析】根據基本不等式得即可解決. 【詳解】由題知，，，且 因為， 所以， 所以，即， 當且僅當，即時，取等號， 故答案為： 3-3．（2024高三上·湖南婁底·期末）已知a，b為正實數，且，則的最小值為 ． 【答案】6 【分析】利用已知化簡可得，根據基本不等式計算即可. 【詳解】由已知條件得，， 當且僅當，即，時取等號． 故答案為：6. 3-4．（2024·天津南開·一模）已知實數，則的最小值為 . 【答案】 【分析】運用基本不等式求和的最小值即可. 【詳解】∵，，， ∴，當且僅當即時取等號. 故答案為：. 3-5．（2024高三上·江蘇常州·開學考試）已知正實數滿足，則的最小值為 . 【答案】8 【分析】根據結合基本不等式即可得解. 【詳解】解：因為， 所以 ， 當且僅當，即時，取等號， 所以的最小值為8. 故答案為：8. 3-6．（2024·上海浦東新·二模）函數在區間上的最小值為 ． 【答案】． 【分析】對函數變形后，利用基本不等式求出最小值. 【詳解】， 因為，所以，故， 故， 當且僅當，即時，等號成立. 故答案為： 3-7．（2024·上海長寧·二模）某小學開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要 米柵欄． 【答案】 【分析】設矩形植物種植園的寬、長為，由題意結合均值不等式求解即可. 【詳解】設矩形植物種植園的寬、長為， 所以， 則，當且僅當“”時取等. 故至少需要米柵欄． 故答案為：．
（四） 不等式的求解 1．含參一元二次不等式的解法 （1）根據二次項系數為正、負及零進行分類． （2）根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數． （3）有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論． 2．一元二次不等式恒成立問題 （1）弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論．
題型4：不等式的求解 4-1．（2024·全國）已知集合則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結果. 【詳解】由解得， 所以， 又因為，所以， 故選：D. 【點睛】本題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于基礎題目. 4-2．（2024高一下·廣東陽江·期末）不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據一元二次不等式的解法即可求解. 【詳解】解：原不等式可以轉化為：， 當時，可知，對應的方程的兩根為1，， 根據一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：. 故選：A. 4-3．（2024高三·全國·專題練習）解下列關于的不等式． 【答案】見解析 【分析】一元二次不等式，討論開口方向即可. 【詳解】方程： 且 解得方程兩根：； 當時，原不等式的解集為： 當時，原不等式的解集為： 綜上所述, 當時，原不等式的解集為： 當時，原不等式的解集為： 4-4．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是 . 【答案】 【分析】把題意轉化為，設，由一次函數的單調性列不等式組，即可求解. 【詳解】可轉化為. 設，則是關于m的一次型函數. 要使恒成立，只需， 解得. 故答案為： 4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】根據題意，，使關于的不等式成立，則，即，，再結合對勾函數找到最大值即可求出實數的取值范圍． 【詳解】解：，使關于的不等式成立， 則，即，， 令，，則對勾函數在上單調遞增， 所以， 故 故答案為： 4-6．（2024·廣西·模擬預測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】通過參數分離等價轉化不等式，再求二次函數在給定區間的最值，即可求出a的取值范圍． 【詳解】由不等式對恒成立， 可轉化為對恒成立，即， 而， 當時，有最大值，所以， 故答案為：． 4-7．（2024高三上·北京·期中）若關于x的不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是 . 【答案】 【分析】根據題中條件，由分離參數的方法得到，求出在給定區間的最大值，進而可求出結果. 【詳解】因為，所以由得， 因為關于的不等式在區間上有解， 所以只需小于等于的最大值， 當時，， 當時，，當且僅當時，等號成立， 故的最大值為1， 所以， 即實數的取值范圍是. 故答案為：.
一、單選題
1．（2024高一上·吉林延邊·期末）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求的范圍，再根據不等式的性質，求的范圍.
【詳解】因為，所以，
由，得.
故選：A.
2．（2024·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.
【詳解】解：由圖知：，
在中，，
所以，即，
故選：C
3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據基本不等式判斷．
【詳解】x，y都是正數，
由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；
中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．
故選：D．
4．（2024高二上·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數是（ ）
已知，求的最小值；解答過程：；
求函數的最小值；解答過程：可化得；
設，求的最小值；解答過程：，
當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】利用基本不等式成立的條件，對三個求解過程分別進行判斷即可得到答案．
【詳解】對：基本不等式適用于兩個正數，當，均為負值，
此時，
當且僅當，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；
對：，
當且僅當，即時取等號，
但，則等號取不到，故的用法有誤；
對：，，，
當且僅當，即時取等號，故的用法有誤；
故使用正確的個數是0個，
故選：.
5．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根據變形得，進而轉化為，
用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
當且僅當，即取等號.
故選：B.
6．（2024高三下·浙江·期中）設，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：設，進而將問題轉化為已知，求的最大值問題，再根據基本不等式求解即可；
法二：由題知進而根據三角換元得，再根據三角函數最值求解即可.
【詳解】解：法一：（基本不等式）
設，則，
條件，
所以，即.
故選：D.
法二：（三角換元）由條件，
故可設，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,當且僅當時取等號.
故選：D.
7．（2024高三上·河北承德·階段練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解分式不等式可求得集合；根據充分不必要條件的定義可知 ；解一元二次不等式，分別討論，和的情況，根據包含關系可求得結果.
【詳解】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要條件， ，
當時，，不滿足 ；當時，，不滿足 ；
當時，，若 ，則需；
綜上所述：實數的取值范圍為.
故選：A.
8．（2024·全國·模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有4個整數，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】討論m與2的大小關系，求得不等式的解集， 根據解集中恰有4個整數，確定m的取值范圍.
【詳解】不等式即 ，
當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數，
這四個整數只能是3,4,5,6，故，
當時，不等式解集為 ，此時不符合題意；
當 時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數，
這四個整數只能是 ，故，，
故實數m的取值范圍為，
故選：C
9．（2024高一下·浙江湖州·開學考試）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
【答案】B
【分析】根據解集形式確定選項A錯誤；化不等式為即可判斷選項B正確；設，則，判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.
【詳解】解：因為關于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；
由題得，所以為.所以選項B正確；
設，則，所以選項C錯誤；
不等式為，所以選項D錯誤.
故選：B
10．（2024高一上·上海浦東新·期中）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題可知，再利用中間量，根據與之間的關系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關系.
【詳解】由題可得：，.由，，設，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故選：A.
11．（安徽省合肥一六八中學2023-2024學年高一上學期期末數學試題）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關系，列出根與系數的關系，得到的關系，代入不等式化簡求解.
【詳解】的解集是，，得，
則不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故選：D
12．（2024·北京海淀·模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．若關于x的不等式的解集為，則
D．若關于x的不等式的解集為，且，則
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關系以及韋達定理，基本不等式進行求解即可.
【詳解】由題意，所以正確;
對于:，當且僅當，即時成立,
所以正確;
對于,由韋達定理，可知，所以錯誤;
對于,由韋達定理，可知，
則，解得，
所以正確,
故選：.
13．（2024高三上·江蘇南通·期中）已知關于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【分析】由不等式的解集結合基本不等式得到，，從而利用基本不等式求出的最小值.
【詳解】由題意可知，方程的兩個根為m，，則，解得：，故，，
所以，當且僅當，即時取等號，則，
所以，當且僅當，即時取等號，
故的最小值為2.
故選：C.
14．（2024·山東）已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題可根據圖像得出結果.
【詳解】結合圖像易知，
不等式的解集，
故選：A.
15．（2024·全國）已知集合，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據集合補集中元素的特征，求得結果.
詳解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故選B.
點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.
16．（2024·四川成都·三模）設為正項等差數列的前項和．若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差數列的求和公式和等差中項公式，求得且，
化簡，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】由等差數列的前項和公式，可得，可得，
又由且，
所以，當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
17．（2024·北京房山·二模）下列函數中，是偶函數且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判斷二次函數的對稱軸，可得函數不是偶函數，判斷選項A，根據函數的定義域判斷選項B，判斷得，從而得函數為偶函數，結合三角函數的性質可判斷得該函數不具有最小值，從而判斷選項C，根據，得函數為偶函數，再利用基本不等式求解出最小值，即可判斷選項D.
【詳解】對A，二次函數的對稱軸為，
不是偶函數，故A錯誤；
對B，函數的定義域為，
定義域不關于原點對稱，所以不是偶函數，故B錯誤；
對C，，
定義域為，所以函數是偶函數，
結合三角函數的性質易判斷函數無最小值，故C錯誤；
對D，，定義域為，
所以函數是偶函數，因為，，
所以，當且僅當，即時取等號，
所以函數有最小值，故D正確.
故選：D
18．（2024·海南?？凇つM預測）若正實數，滿足．則的最小值為（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【分析】根據基本不等式“1”的用法求解即可；
【詳解】解：因為，所以．
因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，
所以，的最小值為27．
故選：C
19．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知實數滿足，則的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
【答案】B
【分析】根據對數的運算法則，求得，且，利用，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，所以，
即，且，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
20．（2024·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據對數的運算判斷A，根據不等式的性質判斷BCD.
【詳解】，即，即.
對于 A， 成立.
對于 B， ，成立.
對于 C， ，即.故C錯誤；
對于 D， 成立.
故選：C.
21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】運用對數運算及換底公式可得，運用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，當且僅當即時取等號，
即：，當且僅當時取等號，
故的最小值為16.
故選：C.
22．（2024·河南安陽·三模）已知，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．若，則的最大值為2
D．若，則的最大值為
【答案】D
【分析】直接使用基本不等式即可判斷A，C，D；若，則，展開后使用基本不等式即可判斷B.
【詳解】∵，∴，∴，故A正確；
若，則，
當且僅當時等號成立，故B正確；
若，則，當且僅當時等號成立，故C正確；
若，則，即，當且僅當時等號成立，故D錯誤.
故選：D.
23．（2024·廣東湛江·二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將左側分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結論進行計算即可以得到結果.
【詳解】當，時，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為．
所以，即．
故選：A.
二、多選題
24．（2024·重慶·模擬預測）已知，，則下列關系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】得到或，分兩種情況，結合基本不等式和不等式的性質對四個選項一一進行判斷，得到正確答案.
【詳解】因為，所以或，
當時，，A不成立，，，
由，故，當且僅當，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
當時，，，
不妨設，則，故此時C不成立，
由，故，當且僅當，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
綜上：BD一定成立.
故選：BD
25．（2024·山東·二模）已知實數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根據已知等式可確定，結合不等式性質和作差法依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，，，A錯誤；
對于B，，，，，，，
，即，B正確；
對于C，，，，即，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：BC.
26．（2024高三上·山東泰安·期末）若，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性質判斷.
【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；
例如，，，，， 顯然，B錯誤；
由得，，∴，即，C正確；
易知，，，
，
∴，D正確；
故選：ACD．
27．（2024高三上·江蘇·階段練習）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性質直接求解.
【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；
因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；
因為，所以，則，故C錯誤；
因為，所以，則，故D正確.
故選：ABD.
28．（2024高三下·河北衡水·階段練習）已知，，且滿足，．則的取值可以為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【分析】根據條件及基本不等式可得，進而即得.
【詳解】因為，，
所以， ，
故，
當，且，而時，即等號不能同時成立，
所以，故AB錯誤，CD正確.
故選：CD.
29．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據條件可得，，進而根據即可求解A,根據基本不等式即可判斷BC,根據二次函數的性質即可判斷D.
【詳解】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正確，
，當時，，由于，當且僅當時，等號成立，故，當時，，所以，故B正確，
，當且僅當時取等號，故，所以C錯誤，
，當且僅當取等號，又，所以或者等號成立，
故選：ABD
30．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則（ ）
A． B．
C． D．的最小值為1
【答案】BC
【分析】根據不等式的性質可得.結合對數函數、冪函數的單調性即可判斷AB；利用作差法計算即可判斷C；結合基本不等式計算即可判斷D.
【詳解】由可知，，由不等式的性質可知，則．
選項A：因為對數函數為減函數，，所以，故A錯誤；
選項B：由函數的單調性可知，故B正確；
選項C：因為，所以，故C正確；
選項D：，
當且僅當，即時取得等號，顯然等號不成立，故D錯誤．
故選：BC.
31．（2024·江蘇·模擬預測）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據這個事實，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】依題意得到，再根據不等式的性質一一判斷即可；
【詳解】對于A，由題意可知，正確；
對于B，因為，所以，正確；
對于C，即，錯誤；
對于D，，正確.
故選：ABD
32．（2024·全國）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
33．（2024·重慶·模擬預測）若實數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，討論，可得的范圍，再利用的范圍求出的范圍.
【詳解】,
當時，，當且僅當或時等號成立，得，
當時，，當且僅當或時等號成立，得，
當時，由可得或
綜合可得，故C正確，D錯誤；
，
當時，，故A錯誤，B正確；
故選：BC.
34．（2024高三下·湖北·階段練習）已知，且，則（ ）
A．的最小值為4 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】結合已知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.
【詳解】，當且僅當，即時取等號，則正確；
，即，當且僅當，即時取等號，則B錯誤；
，當，即時，，則C正確；
，當且僅當時取等號，則D正確.
故選：ACD
35．（2024·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】對于選項AB：根據已知結合基本不等式將已知等式中的或轉化，即可解不等式得出答案；對于選項CD：將要求的式子通過完全平方或分式運算轉化為或，即可根據選項AB求出的范圍根據不等式的性質或一元二次函數的值域得出要求的式子的范圍.
【詳解】對于A：由，得，當且僅當時，等號成立，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當且僅當時，等號成立即，解得，或（舍去），故B正確；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：BC．
36．（2024·山西·一模）設，，，則下列結論正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為9 D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】對于AD，利用基本不等式判斷即可；對于B，利用不等式判斷即可，對于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.
【詳解】對于A，因為，，，
則，當且僅當時取等號，故A正確；
對于B，因為，
故，當且僅當時取等號，即的最小值，故B正確；
對于C，，
當且僅當且，即，時取等號，
所以的最小值為9，故C正確；
對于D，，
故，當且僅當時取等號，即的最大值，故D錯誤．
故選：ABC.
37．（2024·山東）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據，結合基本不等式及二次函數知識進行求解.
【詳解】對于A，，
當且僅當時，等號成立，故A正確；
對于B，，所以，故B正確；
對于C，，
當且僅當時，等號成立，故C不正確；
對于D，因為，
所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；
故選：ABD
【點睛】本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數函數及對數函數的單調性，側重考查數學運算的核心素養.
38．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】BC
【分析】利用特殊值法、基本不等式和對數函數的單調性即可判斷正誤.
【詳解】A選項：，由于函數在R上單調遞增，則，即，
已知，即，若取，，則，故A錯誤.
B選項：因為，，，
所以，
當且僅當，即時等號成立，故B正確.
C選項：若，則，且，
，由于函數在上單調遞增，
所以，即，故C正確.
D選項：令，，則，故D錯誤.
故選：BC.
39．（2024高一上·浙江溫州·期中）已知，且則下列結論一定正確的有（ ）
A． B．
C．ab有最大值4 D．有最小值9
【答案】AC
【分析】A、C選項，分別根據基本不等式計算即可得到；B選項找出反例即可；D選項由基本不等式“1”的代換計算，漏除了4.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，找反例，當時，，，，B不正確；
C選項，，，當且僅當時取“=”，C正確；
D選項，，D不正確.
故選：AC.
40．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
【答案】AC
【分析】根據逆否命題的真假性即可判斷A，根據冪的運算性質即可判斷B，根據不等式的性質即可判斷C,根據對勾函數的單調性即可判斷D.
【詳解】對于A,若，均不大于2，則 ，則 ，故，則，至少有一個大于2為真命題，故A正確，
對于B, B. ，，故 B錯誤，
對于C,由得，由得，所以，故C正確，
對于D，由于 ，函數 在單調遞增，故，D錯誤，
故選:AC
41．（2024·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
【答案】ABD
【分析】對于AD，利用指數函數的性質即可判斷；對于BC，利用指數的運算法則與基本不等式的性質即可判斷.
【詳解】由，可得，所以且，故A正確；
由，可得，即，所以，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；
，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為9，故C錯誤；
因為，則，
所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
42．（2024高一·全國·單元測試）若,則將從小到大排列為 .
【答案】
【分析】不妨令，分別求得的值，即可得到的大小順序.
【詳解】，不妨令，
則有，
有，
即.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查不等式與不等關系，利用特殊值代入法比較幾個式子在限定條件下的大小關系，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題.
43．（2024高二·全國·單元測試）如果a>b，給出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序號是 ．
【答案】②⑥
【分析】對分別賦值，然后對各個不等式進行排除，對于無法排除的選項利用函數的單調性和差比較法證明成立.
【詳解】令，，排除①，，排除③選項，，排除⑤.當時，排除④.由于冪函數為上的遞增函數，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正確.所以一定成立的是②⑥.
【點睛】本小題主要考查實數比較大小，使用的方法較多，一個是特殊值比較法，也就是對問題中的舉出一些具體的數值，然后對不等式的正確與否進行判斷.第二個是用函數的單調性的方法來比較，即是如果要比較的兩個數和某個函數有點接近，如本題中②，用冪函數的單調性來判斷.第三個是用差比較法來判斷，如本題中的⑥.
44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三個實數a、b、c，當時，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】當時滿足：且，可得，進而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函數的單調性即可求解最值.
【詳解】當時滿足：且，
，即，進而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在單調遞增，在單調遞減，
當時，，當時，，
所以
故答案為：．
45．（2024·浙江）已知實數、、滿足，，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】試題分析：因為，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故實數的最大值為.
考點：一元二次方程的根的判別式，容易題.
46．（2024·山西·一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜．這句話用數學符號可表示為：，其中，且a，b，．據此可以判斷兩個分數的大小關系，比如 （填“＞”“＜”）．
【答案】>
【分析】設、，類比題設的不等關系，判斷兩個分數的大小.
【詳解】令，則，
令，則，
所以，，
根據題設知：.
故答案為：>
47．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式 .
【答案】
【分析】根據題中糖水不等式，結合對數的運算性質和換底公式進行解題即可.
【詳解】空1：因為，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案為：；
48．（2024高三上·天津南開·階段練習）若，，且，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得結果.
【詳解】因為（當且僅當時，等號成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值為.
故答案為：
49．（2024·重慶·模擬預測）已知，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】將原式變形為，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】解：，當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：3.
50．（2024高三·全國·專題練習）若，則的最小值為
【答案】/
【分析】由已知可得，變形可得，然后根據基本不等式即可得出答案.
【詳解】由，則.
因為，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
51．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）若關于x的不等式的解集為，則的最小值為 ．
【答案】8
【分析】由題意可得化簡得，所以，利用基本不等式即可求解
【詳解】因為不等式的解集為，則，
因為，所以，
∴．
當且僅當，即時，取到等號．
故答案為：8
52．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據題中所給等式可化為，再通過平方關系將其與聯系起來，運用基本不等式求解最小值即可.
【詳解】因為且，則兩邊同除以，得，
又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.
故答案為:
53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，滿足，則的最小值是 ．
【答案】.
【分析】由已知得，進而，利用基本不等式計算即可.
【詳解】由，得，
所以.
當且僅當即時等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
54．（2024·天津·一模）若，，，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】令 ，則，由此可將變形為，結合基本不等式，即可求得答案。
【詳解】由題意，，，，得：，
設 ，則 ，
故
，
當且僅當 ，即 時取得等號，
故的最小值為，
故答案為：
55．（2024高三上·浙江寧波·期中）已知，，，則取到最小值為 ．
【答案】．
【詳解】試題分析：令，∴，
∴
，當且僅當時，等號成立，
即的最小值是．
考點：基本不等式求最值．
【思路點睛】用基本不等式求函數的最值，關鍵在于將函數變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值．在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函數最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件．
56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直線過點，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】由直線過點，可得，利用基本不等式“1”的代換，求出最小值．
【詳解】∵直線過點，
．
，當且僅當，即，時取等號．
的最小值為．
故答案為：．
57．（2024高三下·河北·階段練習）已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由已知得，利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】，
，
當且僅當時取等號，則的最小值為.
故答案為：
58．（2024高一上·山東煙臺·階段練習）已知，，且，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】構造，展開，利用基本不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，
即，
因為，，所以，
，
當且僅當，即時取等號.
所以的最小值為1.
故答案為：1
59．（2024高三下·浙江·開學考試）已知正實數a，b，c，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】利用變形為，再將變形為
，利用基本不等式整理為，進而再用基本不等式求得答案.
【詳解】由正實數a，b，，可得 ，
所以
而，當且僅當 即 時取等號，
故
，
當且僅當 時，即 時取等號，
故答案為：
60．（2024·天津濱海新·模擬預測）已知，則的最大值是 .
【答案】
【解析】先化簡原式為，再換元設得原式，再換元設得原式可化為，再利用函數單調性得到函數的最大值.
【詳解】，設，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函數在上單調遞增)
故答案為：
【點睛】(1)本題主要考查基本不等式，考查函數y=+的圖像和性質，考查換元法的運用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化的能力及數形結合的思想方法；(2)解答本題的關鍵是兩次換元，第一次是設，第二次是設，換元一定要注意新元的范圍.
61．（2024·上海金山·二模）若實數滿足不等式，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】不等式，即，解得，則的取值范圍是.
故答案為：.
62．（2024高三·全國·課后作業）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據不等式，解出即可.
【詳解】解:由題知不等式為,
即,
即,
解得,
所以解集為.
故答案為:
63．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】由偶次根式、對數的性質求解即可.
【詳解】要使函數有意義，則 ，解得.
所以函數的定義域為.
故答案為：.
64．（2024高三·全國·課后作業）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】求得不等式對應的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【詳解】不等式即，
的根為，
故的解集為，
即不等式的解集為，
故答案為：
65．（2024高一上·上海松江·階段練習）不等式的解集為 ．
【答案】或
【分析】將分式不等式轉化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結果.
【詳解】根據分式不等式解法可知等價于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集為或.
故答案為：或
66．（2024·江西）不等式的 的解集是
【答案】：
【詳解】：則或
【考點定位】本題考查將分式不等式等價轉化為高次不等式、考查高次不等式的解法
67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據絕對值的幾何意義解不等式.
【詳解】∵，則，解得，
∴x的取值范圍是.
故答案為：.
68．（2024·上海浦東新·三模）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】零點分段法求解絕對值不等式.
【詳解】當時，，解得，此時解集為空集，
當時，，即，符合要求，此時解集為，
當時，，解得，此時解集為空集，
綜上：不等式的解集為.
故答案為：
69．（2024高三下·上海楊浦·階段練習）已知集合，則 ．
【答案】
【分析】計算，，再計算交集得到答案.
【詳解】，
.
故.
故答案為：
70．（2024高一上·全國·專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】令，即可得到，依題意可得，解得即可；
【詳解】解：令，圖象恒過點，
方程0在區間內有兩個不同的根，
，解得.
故答案為：
71．（2024高一·全國·專題練習）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數值是 .
【答案】1
【分析】方程化為，有兩個不相等的實根即，解不等式即可求出答案.
【詳解】方程化為，
由，解得，
所以最大整數值是.
故答案為：1.
72．（2024高三·全國·專題練習）已知，，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】確定，得到，，根據方程根的關系得到，解得答案.
【詳解】，故，
，，
將看成方程的兩根，則，
即，故，解得.
故答案為：
73．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先移項，根據不等式是否為二次不等式分類討論，當是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.
【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．
（1）當時，若不等式對恒成立，
只需，解得；
（2）當時，若該二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
綜上：.
故答案為：
四、解答題
74．（2024高三·江蘇·專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數，求證：
【答案】證明見解析
【分析】對不等式左側每個因式應用基本不等式即可得到結論.
【詳解】都是正數，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；
（當且僅當時取等號），
即.
75．（2024高三下·河南·階段練習）已知x，y，z為正數，證明：
(1)若，則；
(2)若，則．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用基本不等式進行證明；
（2）根據柯西不等式可以證明.
【詳解】（1）因為，所以，
同理可得，，
所以，故，
當且僅當時等號成立．
（2），
因為，所以，當且僅當時等號成立．
76．（2024·四川綿陽·二模）已知函數，若的解集為.
(1)求實數，的值；
(2)已知，均為正數，且滿足，求證：.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據得到，利用零點分段法解不等式，得到解集，求出；
（2）結合（1）得到，并用基本不等式進行證明.
【詳解】（1）由題意得，故，即，
解得，
故的解集為，
當時，，解得，故，
當時，，解得，故，
當時，，解得，解集為空集，
綜上，的解集為，故；
（2）由（1）知，
已知，均為正數，故，即，，
當且僅當，時，等號成立，
所以，當且僅當時，等號成立.
77．（2024高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數關系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
【答案】(1)400噸；
(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
【分析】（1）由題設平均每噸二氧化碳的處理成本為，應用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
（2）根據獲利，結合二次函數的性質判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.
【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；
當且僅當 ，即 時等號成立，
故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.
（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則 ，
因為，則，
故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
78．（2024高一上·貴州安順·期末）某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為．
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？
(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？
【答案】(1)該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元；
(2)該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．
【分析】（1）由已知可得，根據二次函數的性質，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出該式的最值.
【詳解】（1）該單位每月的月處理成本：
，
因，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
從而得當時，函數取得最小值，即.
所以該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.
（2）由題意可知：，
每噸二氧化碳的平均處理成本為：
當且僅當，即時，等號成立.
所以該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．
79．（2024高一下·湖北孝感·開學考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數突破人疫情嚴峻，請同學們利用數學模型解決生活中的實際問題.
(1)我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數模型描述，假定某藥物的消除速率常數（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數據：，）
(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側面長為多少時，總價最低？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用已知條件，求解指數不等式得答案．
（2）根據題意表達出總造價，再根據基本不等式，結合對勾函數的性質分類討論分析即可.
【詳解】（1）由題意得，，
設該藥在病人體內的血藥含量變為時需要是時間為，
由，得，
故，．
該新藥對病人有療效的時長大約為．
（2）由題意，正面長為米，故總造價，即.
由基本不等式有，當且僅當，即時取等號.
故當，即，時總價最低；
當，即時，由對勾函數的性質可得，時總價最低；
綜上，當時，時總價最低；當時，時總價最低.專題03 不等式4題型分類
1．不等式的性質
（1）對稱性：a>b b（2）傳遞性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac（5）同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
2．兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
3．基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的條件：a>0，b>0．
（3）等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．
（4）其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
4．幾個重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b同號)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）≥(a，b∈R)．
5．三個“二次”的關系
判別式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
6．分式不等式與絕對值不等式
（1）>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集為(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集為(－a,a)．
（一） 不等式的性質 1．常用結論 （1）若ab>0，且a>b <． （2）若a>b>0，m>0 <． （3）若b>a>0，m>0 >． 2．判斷不等式的常用方法． （1）利用不等式的性質逐個驗證． （2）利用特殊值法排除錯誤選項． （3）作差法． （4）構造函數，利用函數的單調性．
題型1：不等式的性質 1-1．（2024高三上·廣東·期末）已知，，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 1-2．（2024·全國）若a>b，則 A．ln(a b)>0 B．3a<3b C．a3 b3>0 D．│a│>│b│ 1-3．（2024·山東）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是 A． B． C． D．
（二） 比較大小 1．不等式大小比較的常用方法 （1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果． （2）作商（常用于分數指數冪的代數式）． （3）分析法． （4）平方法． （5）分子（或分母）有理化． （6）利用函數的單調性． （7）尋找中間量或放縮法． （8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．
題型2：比較大小 2-1．（2024·全國）已知，則（ ） A． B． C． D． 2-2．（2024高三·全國·課后作業）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：； （2）設x，，比較與的大小. 2-3．（2024高一上·江蘇南京·階段練習）（1）試比較與的大小； （2）已知，，求證：．
（三） 基本不等式 1．基本不等式 （1）基本不等式：≤( a>0，b>0)． （2）等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立． 2．幾個重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同號)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 3．基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”． （2）要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式． （3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法．
題型3：基本不等式 3-1．（2024高一下·廣西柳州·期末）若，則的最小值為 . 3-2．（2024高三·河北·學業考試）若，，且，則的最大值為 ． 3-3．（2024高三上·湖南婁底·期末）已知a，b為正實數，且，則的最小值為 ． 3-4．（2024·天津南開·一模）已知實數，則的最小值為 . 3-5．（2024高三上·江蘇常州·開學考試）已知正實數滿足，則的最小值為 . 3-6．（2024·上海浦東新·二模）函數在區間上的最小值為 ． 3-7．（2024·上海長寧·二模）某小學開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要 米柵欄．
（四） 不等式的求解 1．含參一元二次不等式的解法 （1）根據二次項系數為正、負及零進行分類． （2）根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數． （3）有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論． 2．一元二次不等式恒成立問題 （1）弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論．
題型4：不等式的求解 4-1．（2024·全國）已知集合則（ ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一下·廣東陽江·期末）不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 4-3．（2024高三·全國·專題練習）解下列關于的不等式． 4-4．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是 . 4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是 ． 4-6．（2024·廣西·模擬預測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 ． 4-7．（2024高三上·北京·期中）若關于x的不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是 .
一、單選題
1．（2024高一上·吉林延邊·期末）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數是（ ）
已知，求的最小值；解答過程：；
求函數的最小值；解答過程：可化得；
設，求的最小值；解答過程：，
當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
5．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值是（　?。?br/>A．2 B． C． D．6
6．（2024高三下·浙江·期中）設，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·河北承德·階段練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國·模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有4個整數，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·浙江湖州·開學考試）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
10．（2024高一上·上海浦東新·期中）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
安徽省合肥一六八中學2023-2024學年高一上學期期末數學試題）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·北京海淀·模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．若關于x的不等式的解集為，則
D．若關于x的不等式的解集為，且，則
13．（2024高三上·江蘇南通·期中）已知關于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
14．（2024·山東）已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·全國）已知集合，則
A． B．
C． D．
16．（2024·四川成都·三模）設為正項等差數列的前項和．若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·北京房山·二模）下列函數中，是偶函數且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·海南?？凇つM預測）若正實數，滿足．則的最小值為（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
19．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知實數滿足，則的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
20．（2024·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關系是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
22．（2024·河南安陽·三模）已知，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．若，則的最大值為2
D．若，則的最大值為
23．（2024·廣東湛江·二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
24．（2024·重慶·模擬預測）已知，，則下列關系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·山東·二模）已知實數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024高三上·山東泰安·期末）若，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2024高三上·江蘇·階段練習）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
28．（2024高三下·河北衡水·階段練習）已知，，且滿足，．則的取值可以為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
29．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
30．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則（ ）
A． B．
C． D．的最小值為1
31．（2024·江蘇·模擬預測）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據這個事實，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·全國）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·重慶·模擬預測）若實數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024高三下·湖北·階段練習）已知，且，則（ ）
A．的最小值為4 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
35．（2024·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
36．（2024·山西·一模）設，，，則下列結論正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為9 D．的最小值為
37．（2024·山東）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A． B．
C． D．
38．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
39．（2024高一上·浙江溫州·期中）已知，且則下列結論一定正確的有（ ）
A． B．
C．ab有最大值4 D．有最小值9
40．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
41．（2024·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
三、填空題
42．（2024高一·全國·單元測試）若,則將從小到大排列為 .
43．（2024高二·全國·單元測試）如果a>b，給出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序號是 ．
44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三個實數a、b、c，當時，且，則的取值范圍是 ．
45．（2024·浙江）已知實數、、滿足，，則的最大值為 .
46．（2024·山西·一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜．這句話用數學符號可表示為：，其中，且a，b，．據此可以判斷兩個分數的大小關系，比如 （填“＞”“＜”）．
47．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式 .
48．（2024高三上·天津南開·階段練習）若，，且，則的最小值是 ．
49．（2024·重慶·模擬預測）已知，則的最小值為 .
50．（2024高三·全國·專題練習）若，則的最小值為
51．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）若關于x的不等式的解集為，則的最小值為 ．
52．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若，，則的最小值為 .
53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，滿足，則的最小值是 ．
54．（2024·天津·一模）若，，，，則的最小值為 ．
55．（2024高三上·浙江寧波·期中）已知，，，則取到最小值為 ．
56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直線過點，則的最小值為 ．
57．（2024高三下·河北·階段練習）已知，則的最小值為 .
58．（2024高一上·山東煙臺·階段練習）已知，，且，則的最小值為 .
59．（2024高三下·浙江·開學考試）已知正實數a，b，c，，則的最小值為 ．
60．（2024·天津濱海新·模擬預測）已知，則的最大值是 .
61．（2024·上海金山·二模）若實數滿足不等式，則的取值范圍是 .
62．（2024高三·全國·課后作業）不等式的解集為 ．
63．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數的定義域為 ．
64．（2024高三·全國·課后作業）不等式的解集為 ．
65．（2024高一上·上海松江·階段練習）不等式的解集為 ．
66．（2024·江西）不等式的 的解集是
67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，則x的取值范圍是 ．
68．（2024·上海浦東新·三模）不等式的解集是 ．
69．（2024高三下·上海楊浦·階段練習）已知集合，則 ．
70．（2024高一上·全國·專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為 ．
71．（2024高一·全國·專題練習）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數值是 .
72．（2024高三·全國·專題練習）已知，，則的取值范圍為 .
73．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是 ．
四、解答題
74．（2024高三·江蘇·專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數，求證：
75．（2024高三下·河南·階段練習）已知x，y，z為正數，證明：
(1)若，則；
(2)若，則．
76．（2024·四川綿陽·二模）已知函數，若的解集為.
(1)求實數，的值；
(2)已知，均為正數，且滿足，求證：.
77．（2024高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數關系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
78．（2024高一上·貴州安順·期末）某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為．
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？
(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？
79．（2024高一下·湖北孝感·開學考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數突破人疫情嚴峻，請同學們利用數學模型解決生活中的實際問題.
(1)我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數模型描述，假定某藥物的消除速率常數（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數據：，）
(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側面長為多少時，總價最低？

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