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專題02 常用邏輯用語3題型分類
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
2．全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
（2）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，﹁p(x) x∈M，﹁p(x)
（一） 充分、必要條件的判定 1．充分條件與必要條件 （1）判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件 （2）充要條件：如果既有“p q”，又有“q p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p q”．p與q互為充要條件． 2．充分條件、必要條件的判定方法． （1）定義法：根據(jù)p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． （2）集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．
題型1：充分、必要條件的判定 1-1．（2024高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐標公式得出，從而得出答案. 【詳解】若，則，所以； 若，則，解得，得不出． 所以“”是“”的充分不必要條件． 故選：A． 1-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可. 【詳解】若“直線平面”成立，設(shè)，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立； 若“平面平面”成立，且直線平面，可推出平面或平面， 所以“直線平面”不一定成立. 綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件. 故選：A. 1-3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【分析】通過反例可說明充分性和必要性均不成立，由此可得結(jié)論. 【詳解】當，時，滿足，此時； 當，時，滿足，此時； ，， “”是“”的既不充分也不必要條件. 故選：D. 1-4．（2024高一下·湖北孝感·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【分析】由求得，從而判斷出充分、必要條件. 【詳解】， 所以“”是“”的必要不充分條件. 故選：B 1-5．（2024·北京房山·二模）已知函數(shù)則“”是“在上單調(diào)遞減”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【分析】求得在上單調(diào)遞減時的取值范圍，從而判斷出充分、必要條件. 【詳解】若在上單調(diào)遞減， 則，解得. 所以“”是“在上單調(diào)遞減”的必要而不充分條件. 故選：B 1-6．（2024·安徽合肥·三模）已知，為實數(shù)，則使得“”成立的一個充分不必要條件為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義逐項分析. 【詳解】對于A，如果 ，例如 ，則 ，不能推出 ，如果 ，則必定有 ，既不是充分條件也不是必要條件，錯誤； 對于B，如果 ，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分條件， 如果 ，則 ，是必要條件，即 是 的必要不充分條件，錯誤； 對于C，如果 ，因為 是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以 ，不能推出 ，例如 ， 如果 ，則必有 ，是必要不充分條件，錯誤； 對于D，如果 ，則必有 ，是充分條件，如果 ，例如 ，則不能推出 ，所以是充分不必有條件，正確. 故選：D.
（二） 充分、必要條件的應(yīng)用 1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系 若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，則 （1）若A B，則p是q的充分條件． （2）若B A，則p是q的必要條件． （3）若A B，則p是q的充分不必要條件． （4）若B A，則p是q的必要不充分條件． （5）若A= B，則p是q的充要條件． 2．求參數(shù)問題的解題策略． （1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解． （2）要注意區(qū)間端點值的檢驗．
題型2：充分、必要條件的應(yīng)用 2-1．（2024·山東濰坊·二模）若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能值是 . 【答案】（只需滿足即可） 【分析】解不等式，可得出滿足條件的一個的值. 【詳解】由可得，則， 所以，，解得， 因為“”是“”的一個充分條件，故的一個可能取值為. 故答案為：（只需滿足即可）. 2-2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是 .（寫出滿足條件的一個值即可） 【答案】（答案不唯一，滿足即可） 【分析】根據(jù)必要不充分條件列不等式，由此求得的可能取值. 【詳解】由于“”是“”的必要不充分條件，所以， 所以的值只需小于即可. 故答案為：（答案不唯一，滿足即可） 2-3．（2024·福建三明·模擬預(yù)測）已知集合，. (1)若，求； (2)是的___________條件，若實數(shù)的值存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.（請在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任選一個，補充到空白處）注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分. 【答案】(1)或 (2)條件選擇見解析，答案見解析 【分析】（1）求出集合、，利用補集和的交集的定義可求得結(jié)果； （2）求出集合，根據(jù)所選條件可得出集合、的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可得出結(jié)論. 【詳解】（1）解：由不等式，解得，可得 當時，不等式，解得，即， 可得或， 所以或. （2）解：由不等式，解得， 所以. 若選擇條件①，則集合是的真子集，得，解得. 當時，， ，合乎題意； 若選擇條件②，則集合是的真子集，得，解得. 當時，，則 ，合乎題意； 若選擇條件③，則集合，得無解，所以不存在滿足條件③的實數(shù).
（三） 全稱量詞與存在量詞 1．量詞與命題 （1）存在量詞命題：含有存在量詞的命題．“ x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“ x0∈M，p（x0）”． （2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題．“ x∈M，有p（x）成立”簡記成“ x∈M，p（x）”． 2．全稱量詞命題與存在量詞命題 （1）全稱量詞命題的否定是存在量詞命題． （2）存在量詞命題的否定是全稱量詞命題． 3．含量詞命題的解題策略． （1）判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假． （2）由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍．
題型3：全稱量詞與存在量詞 3-1（2024·四川成都·三模）命題“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)果. 【詳解】由題意可得，“”的否定是， 故選：B 3-2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知命題，不是素數(shù)，則為（ ） A．，是素數(shù) B．，是素數(shù) C．，是素數(shù) D．，是素數(shù) 【答案】D 【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論. 【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，是素數(shù). 故選：D. 3-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）若命題“”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等價于“”為真命題．令，解不等式即得解. 【詳解】解：命題“”為假命題，其否定為真命題， 即“”為真命題． 令， 則，即， 解得，所以實數(shù)x的取值范圍為. 故選：C 3-4．（2024·江西九江·二模）已知命題：，，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實數(shù)a的取值范圍． 【詳解】因為命題：，， 所以：，， 又因為為假命題，所以為真命題， 即，恒成立， 所以，即， 解得， 故選：D． 3-5．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出題設(shè)假命題的否命題“，”，則等價于，，求最小值即可. 【詳解】因為命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，所以，． 易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取最小值，所以．所以實數(shù)a的取值范圍為． 故選：D．
一、單選題
1．（2024高三·安徽合肥·階段練習(xí)）設(shè)非空集合，滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【分析】利用元素與集合的關(guān)系和集合間的包含關(guān)系對選項逐一判斷即可．
【詳解】，，
當 時，，使得，故A錯誤；
，，必有，即，必有，故B正確；
由B正確，得，必有，，使得錯誤，即C錯誤；
當時，不存在，使得，故D錯誤，
綜上只有B是正確的．
故選：B．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，下列四個命題：①，，②，，③，，④，．
其中是真命題的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【分析】作商并結(jié)合單調(diào)性判斷①；作差并結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)換底公式判斷②；利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較判斷③；在給定條件下，借助“媒介”數(shù)比較判斷作答.
【詳解】對于①，由得：，，，則，①正確；
對于②，，，即，則，②正確；
對于③，函數(shù)在上為減函數(shù)，而，則，即，，③錯誤；
對于④，當時，，，即，④錯誤，
所以所給命題中，真命題的是①②．
故選：C
3．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數(shù)的值，可判斷②；取可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.
【詳解】對于①，若，則，該方程組無解，①錯；
對于②，若，則，解得，②對；
對于③，當時，直線的方程為，即，此時，、重合，③錯；
對于④，直線的方程為，
若，使得原點到的距離為，則，整理可得，
，方程有解，④對.
故選：C.
4．（2024·天津河?xùn)|·一模）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（ ）
A．任意一個奇數(shù)是素數(shù) B．任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)
C．存在一個奇數(shù)不是素數(shù) D．存在一個偶數(shù)不是素數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)存在量詞命題，否定為，即可解得正確結(jié)果.
【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是“任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)”.
故選：B
5．（2024高一上·湖南·階段練習(xí)）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出命題“，”是真命題，然后分為、、三種情況進行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】因為命題“，”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
若，即或，
當時，不等式為，恒成立，滿足題意；
當時，不等式為，不恒成立，不滿足題意；
當時，則需要滿足，
即，解得，
綜上所述，的范圍是，
故選：B.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】用充分條件、必要條件的定義判斷.
【詳解】由為整數(shù)能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分條件，
由,為整數(shù)不能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的不必要條件，
綜上所述，“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件，
故選：A.
7．（2024高三上·上海楊浦·期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
8．（2024·北京）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；
若存在正整數(shù)，當時，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.
故選：C.
9．（2024·廣西南寧·一模）有下列四個命題，其中是假命題的是（ ）
A．已知，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點落在第四象限
B．“全等三角形的面積相等”的否命題
C．在中，“”是“”的必要不充分條件
D．命題“，”的否定是“，”
【答案】B
【分析】對于A項，利用復(fù)數(shù)的幾何意義來判定；
對于B項，利用原命題與否命題的關(guān)系判定；
對于C項，利用充分必要條件的定義來判定；
對于D項，利用全稱命題的否定的定義來判定.
【詳解】對于A：，所以對應(yīng)的點為，在第四象限，故A正確；
對于B：“全等三角形的面積相等”的否命題是，不全等三角形的面積不相等，這顯然是假命題．
對于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件．故C正確；
對于D：命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是：“，”．故D正確；
故選：B
10．（2024·安徽黃山·三模）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.
【詳解】令，，
若在上單調(diào)遞增，
因為是上的增函數(shù)，
則需使是上的增函數(shù)且，
則且，解得.
因為 ，故是的必要不充分條件，
故選：C.
11．（2024·重慶·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，然后通過函數(shù)是偶函數(shù)求出的取值范圍，最后與進行對比，即可得出“”與“為偶函數(shù)”之間的關(guān)系．
【詳解】因為函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，
所以，
因為為偶函數(shù)，
所以，即，
當時，可以推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，
而函數(shù)為偶函數(shù)不能推導(dǎo)出，
所以“”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A
12．（2024·新疆烏魯木齊·三模）定義表示不超過的最大整數(shù)，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要條件；④方程的所有實根之和為，則上述命題為真命題的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】易于判定①正確，②錯誤，③錯誤，④不易判定，可以繞開，利用排除法得到只有答案正確.也可用分離函數(shù)法，借助于數(shù)形結(jié)合思想判定④正確.
【詳解】,故①正確；
由可知，可知，所以，故②錯誤，故AC錯誤；
, ,，故③錯誤，故B錯誤；
對于，顯然不是方程的解，可化為，
考察函數(shù)和的圖象的交點，除了(-1,0)外，其余點關(guān)于點(0,1)對稱，從而和為零，故總和為，故④正確.故D正確.
故選：D
【點睛】選擇題中有些問題不易確定時，常常要嘗試使用排除方法，本題就是一個典型的例子.
13．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）命題：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.
【詳解】“，”的否定是“，”.
故選：C
14．（2024·天津河北·二模）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】若，令，滿足，但；
若，則一定成立，
所以“ ”是“”的必要不充分條件.
故選：B
15．（2024·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，設(shè)甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】D
【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.
【詳解】不妨設(shè)，則，滿足，
但是嚴格減數(shù)列，充分性不成立，
當時，是嚴格增數(shù)列，但，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要條件.
故選：D
16．（2024·北京）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
17．（2024·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，是兩個平面，直線與垂直的一個充分條件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【分析】結(jié)合空間線面以及面面的位置關(guān)系，判斷各選項中條件能否推出直線與垂直，即可判斷出答案.
【詳解】A，當且時，則或或，不能得出一定是，A錯誤，
B，當且時，則或，不能得出，B錯誤，
C，當且時，則或或或與相交不垂直，
不能得出一定是，C錯誤，
D，當且時，則，
故“且”是直線與垂直的一個充分條件，D正確，
故選：D．
19．（2024高一上·山東煙臺·期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】求解二次不等式可得：或，
據(jù)此可知：是的充分不必要條件.
故選：A.
【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.
20．（2024·浙江）已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.
【詳解】依題意是空間不過同一點的三條直線，
當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.
當兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.
綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.
故選：B
【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運用，屬于中檔題.
21．（2024·廣東揭陽·二模）下列結(jié)論正確的是 （ ）
① “”是“對任意的正數(shù)x，均有”的充分非必要條件．
②隨機變量服從正態(tài)分布，則
③線性回歸直線至少經(jīng)過樣本點中的一個．
④若10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】對①：當時，利用均值不等式可得成立；反之，對任意的正數(shù)x，均有成立，不一定成立；根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷正確；
對②：由正態(tài)分布的定義知②不正確；
對③：線性回歸直線不一定經(jīng)過樣本點中的一個知③不正確；
對④：由平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)定義，計算可判斷正確.
【詳解】解：①當時，由基本不等式得；但對任意的正數(shù)x，均有時，不一定成立，所以“”是“對任意的正數(shù)x，均有”的充分非必要條件，故①正確；
②因為，所以②不正確；
③線性回歸直線不一定經(jīng)過樣本點中的一個，所以③不正確；
④因為平均數(shù)為，中位數(shù)為15，眾數(shù)為17，所以，故④正確．
所以正確的為①④．
故選:D．
22．（2024·江蘇南通·三模）1943年深秋的一個夜晚，年僅19歲的曹火星在晉察冀邊區(qū)創(chuàng)作了歌曲《沒有共產(chǎn)黨就沒有中國》，毛主席得知后感覺歌名的邏輯上有點問題，遂提出修改意見，將歌名改成《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》，今年恰好是建黨100周年，請問“沒有共產(chǎn)黨”是“沒有新中國”的（ ）條件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】直接利用充分條件的定義進行判斷即可.
【詳解】記條件p: “沒有共產(chǎn)黨”，條件q：“沒有新中國”，由歌詞知，p可推出q，故“沒有共產(chǎn)黨”是“沒有新中國”的充分條件.
故選：A.
23．（高考廣西桂林、崇左市2022屆高三5月聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)為兩個不同的平面，則的一個充分條件可以是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．垂直于同一條直線
C．平行于同一條直線 D．垂直于同一個平面
【答案】B
【分析】利用線面，面面平行垂直的判定或性質(zhì)對各個選項進行分析即可得到答案.
【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行不能得出兩個平面可以相交，故A錯；
對于B，垂直于同一條直線可以得出，反之當時，若垂直于某條直線，則也垂直于該條直線，正確；
對于C，平行于同一條直線，則兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；
對于D，垂直于同一平面的兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；
故選：B．
24．（2024·浙江嘉興·二模）若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】解：當時，
，
當且僅當，即時，取等號，
所以，
當時，，此時，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
25．（2024·廣東湛江·二模）已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】，，只有一條垂直直線，不能得出，不充分，
當時，由于，則有，是必要的，
因此是必要不充分條件．
故選：B．
26．（天津市第四中學(xué)2022屆高三下學(xué)期線上檢測數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先求出兩個不等式的解集，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可
【詳解】由，得，解得，
由，得，得，
因為當時，一定成立，
而當時，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
27．（2024·北京通州·一模）若a，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用重要不等式即可由“”推出“”；“”成立時，“”不一定成立，舉反例證明.
【詳解】，當且僅當時，取等號，
當，時，，但，
故“”是“”的充分不必要條件
故選：A
28．（2024·山東棗莊·一模）命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定求解即可.
【詳解】命題“，”的否定為“，”.
故選：D.
29．（2024·江西九江·二模）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由否定定義求解即可.
【詳解】由否定的定義可知，為，.
故選：D
30．（2024高三下·湖南衡陽·開學(xué)考試）下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A．若，則
B．“”的一個必要不充分條件是“”
C．若命題：，，則命題：，
D．、是兩個平面，、是兩條直線，如果，，，那么
【答案】C
【分析】A：根據(jù)向量加法的性質(zhì)即可判斷；
B：根據(jù)充分條件的概念即可判斷；
C：根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的改寫方法判斷即可；
D：根據(jù)空間線面關(guān)系即可判斷.
【詳解】A：若，則方向相反且，故A錯誤；
B：若，則，故“”是“”的充分條件，故B錯誤；
C：命題：，，則其否定為：，，故C正確；
D：如果，，，則無法判斷α、β的位置關(guān)系，故D錯誤.
故選：C.
31．（重慶市2022屆高三上學(xué)期1月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）命題的否定為“，使得”，則命題為（ ）
A．
B．，使得
C．
D．，使得
【答案】C
【分析】把所給的命題否定可得命題
【詳解】因為命題的否定為“，使得”，
所以命題為“”，
故選：C
32．（2024·全國）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
33．（2024·山東）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】當時，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
34．（2024·北京）已知，則“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.
【詳解】(1)當存在使得時，
若為偶數(shù)，則；
若為奇數(shù)，則；
(2)當時，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要條件.
故選：C.
【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
35．（甘肅省甘南藏族自治州合作第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】將代入可判斷充分性,求解方程可判斷必要性,即可得到結(jié)果.
【詳解】將代入中可得,即“”是“”的充分條件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要條件,
故選:A
【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題.
36．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性得到不等式組，求出所滿足的的取值范圍，進而判斷出結(jié)果.
【詳解】因為定義域為，且為增函數(shù)，又，所以，解得：，因為，而，故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
37．（2024·全國·模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】直接利用充分條件和必要條件得定義判斷即可
【詳解】由已知條件得，
則“” “”， “”“”，
即“”是“”的必要不充分條件，
故選：.
38．（2024·山東臨沂·一模）已知圓C：，點，，則“”是“直線AB與圓C有公共點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】先求出圓心C到直線AB的距離為，利用定義法判斷.
【詳解】圓C：的圓心為,半徑R.
由點，求出直線AB的方程為：.
所以圓心C到直線AB的距離為.
充分性：時，有，所以直線直線AB與圓C相交，有公共點，故充分性滿足；
必要性：“直線AB與圓C有公共點”，則有，即“”，故必要性不滿足.
所以“”是“直線AB與圓C有公共點”的充分不必要條件.
故選：A.
39．（山東省淄博市2023-2024學(xué)年高三模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試題）若向量，，則“”是“向量，夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由向量，夾角為鈍角可得且，不共線，然后解出的范圍，然后可得答案.
【詳解】若向量，夾角為鈍角，則且，不共線
所以，解得且
所以“”是“向量，夾角為鈍角”的必要不充分條件
故選：B
40．（2024·河北·模擬預(yù)測）“”是“圓上有四個不同的點到直線的距離等于1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出，然后利用充分條件和必要條件的定義進行判斷.
【詳解】∵圓的半徑，
若圓C上恰有4個不同的點到直線l的距離等于1，則
必須滿足圓心到直線的距離
，解得.
又，
∴“”是“圓上有四個不同的點到
直線的距離等于1”的充分不必要條件.
故選：A.
41．（2024·山東·模擬預(yù)測）“”是“過點有兩條直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先由已知得點在圓外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷
【詳解】由已知得點在圓外，
所以，解得，
所以“”是“過點有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件，
故選：B
42．（2024·北京西城·模擬預(yù)測）設(shè)p：，q：，則p是q成立的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解不等式化簡命題q，再利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.
【詳解】解不等式得：，即，顯然 ，
所以p是q成立的必要不充分條件.
故選：C
43．（2024·山東濰坊·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】對的取值進行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若，由可得，此時；
若，則，不合乎題意；
若，由可得，此時.
因此，滿足的的取值范圍是或，
因為或 ，
因此，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
44．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“與的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先求出與的夾角為鈍角時k的范圍，即可判斷.
【詳解】當與的夾角為鈍角時，，且與不共線，即所以且.故“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.
故選B.
45．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得；將變形化同構(gòu)，進而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解．
【詳解】由，得．
由，得．
記函數(shù)，則，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，
則，所以．
因此“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
46．（2024·黑龍江·一模）已知a，，則“”的一個必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用否定ACD選項，進而得答案.
【詳解】解：對于A選項，當時，，此時，故不是的必要條件，故錯誤；
對于B選項，當時，成立，反之，不成立，故是的必要條件，故正確；
對于C選項，當時，，但此時，故不是的必要條件，故錯誤；
對于D選項，當時，，但此時，故故不是的必要條件，故錯誤.
故選：B
二、多選題
47．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)m，n是空間中兩條不同直線，，是空間中兩個不同平面，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．當時，“”是“”的充要條件．
B．當時，“”是“”的充要條件．
C．當時，“”是“”的充分不必要條件．
D．當時，“”是“”的必要不充分條件．
【答案】AD
【分析】根據(jù)線面之間的位置關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當時，若，則或或m，相交,
若，則或或m，相交，
故不是的充分條件，也不是必要條件，故A錯誤；
對于B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)B正確；
對于C，當時，若，由面面垂直的判定定理得，
若，則或或m，相交，故C正確；
對于D，當時，若，則m，n平行或異面，
若，則或，
所以不是的充分條件也不是必要條件，故D錯誤．
故選：AD．
48．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列四個條件中，是的一個充分不必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判斷AD選項；利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷BC選項.
【詳解】對于A選項，取，，則，但，A不滿足條件；
對于B選項，由可知，，由不等式的性質(zhì)可得，
所以，，
因為，但，
所以，是的一個充分不必要條件，B滿足條件；
對于C選項，若，則，由不等式的性質(zhì)可得，
另一方面，若，取，則，
所以，，，
所以，是的一個充分不必要條件，C滿足條件；
對于D選項，取，，則，則，但，D不滿足條件.
故選：BC.
49．（2024·湖南·一模）下列選項中，與“”互為充要條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先求出的范圍，再逐項求出對應(yīng)的范圍，從而可得正確的選項.
【詳解】的解為，
對于A，因為為的真子集，故A不符合；
對于B，因為等價于，其范圍也是，故B符合；
對于C，即為，其解為，故C符合；
對于D，即，其解為，
為的真子集，故D不符合，
故選：BC.
50．（2024·湖南邵陽·一模）給出下列命題，其中正確的命題有（ ）
A．“”是“”的必要不充分條件
B．已知命題：“，”，則：“，”
C．若隨機變量，則
D．已知隨機變量，且，則
【答案】BCD
【分析】選項A：利用充分條件和必要條件的概念，并結(jié)合同角或終邊相同的角的三角函數(shù)值相同即刻判斷；選項B：利用特稱命題的否定的概念即可判斷；選項C：利用二項分布的期望公式即可求解；選項D：利用正態(tài)曲線的對稱性即可求解.
【詳解】選項A：若，則；若，則，，
從而“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤；
選項B：由特稱命題的否定的概念可知，B正確；
選項C：因為，所以，故C正確；
選項D：結(jié)合已知條件可知，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，
又因為，從而，解得，故D正確.
故選：BCD
51．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）關(guān)于充分必要條件，下列判斷正確的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“，，成等比數(shù)列”的充分不必要條件
C．“的圖象經(jīng)過點”是“是冪函數(shù)”的必要不充分條件
D．“直線與平行”是“直線與的傾斜角相等”的充要條件
【答案】BC
【分析】按照必要不充分條件的定義容易判斷A；
求出的等價結(jié)論，即可判斷B；
根據(jù)冪函數(shù)的定義可以判斷C；
考慮直線是否重合可以判斷D.
【詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以A錯誤；
因為（，，均大于0），所以“”是“，，成等比數(shù)列”的充分不必要條件，所以B正確；
冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，反之不成立，比如：，所以C正確；
若直線與平行，則直線與的傾斜角相等；若直線與的傾斜角相等，則直線與平行或重合，所以D錯誤.
故選：BC.
52．（2024·遼寧沈陽·二模）下列四個選項中，是的充分必要條件的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABC
【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要條件；
B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要條件；
C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要條件；
D．由，，可得，；反之不成立，
例如取，．∴是的必要不充分條件．
故選：ABC．
53．（2024·重慶九龍坡·二模）下列說法正確的是（ ）
A．是的充分不必要條件
B．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合
D．函數(shù)的最大值為2
【答案】ABD
【分析】由相等向量的定義和充分條件、必要條件的判定方法，可判定A正確；根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，可判定B正確；根據(jù)拋物線和橢圓的性質(zhì)，可判定C不正確；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，可得成立，反之：若，但向量與的方向不一定相同，所以向量與不一定相等，所以是的充分不必要條件，所以A正確；
對于B中，由冪函數(shù)，可得，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以B正確；
對于C中，拋物線的焦點坐標為，橢圓的右焦點的坐標為，
可得拋物線的焦點與橢圓的右焦點不重合，所以C不正確；
對于D中，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得，
當時，可得，所以當時，函數(shù)取得最大值2，
所以D正確.
故選：ABD.
54．（2024·山東·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．“”是“直線與直線垂直”的充分條件
C．已知回歸直線方程，且，，則
D．函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱
【答案】AB
【分析】選項A. 由指數(shù)對數(shù)互化可得，由均值不等式可判斷;選項B. 根據(jù)兩直線垂直得出的值，再根據(jù)充分、必要條件的判斷方法可判斷；選項C. 根據(jù)回歸直線一定過樣本中心點可判斷；選項D. 先由函數(shù)圖像平移得出平移后的解析式，再判斷其奇偶性可判斷.
【詳解】A.由，得 ，，，，， ，
所以(由于所以等號不成立)，
故A正確.
B. 由兩直線垂直，可得，解得或；
所以“”是“直線與直線垂直”的充分條件，
故B正確.
C.回歸直線一定過樣本中心點，，；故C不正確.
D.將的圖象向左平移個單位，可得，
函數(shù)，由，所以，
所以不是奇函數(shù)，其圖像不關(guān)于原點對稱，所以D不正確.
故選：AB.
55．（2024·湖南常德·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題的否定
B．二項式的展開式的各項的系數(shù)和為32
C．已知直線平面，則“”是”的必要不充分條件
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】AD
【分析】根據(jù)特稱命題的否定求解方法可判斷A；令代入二項式即可求得各項的系數(shù)和，可判斷B；由于直線與的關(guān)系不確定故能判斷C；判斷是否等于，就能判斷D是否正確．
【詳解】解：對于A：命題的否定，故A正確；
對于B：二項式的展開式的各項的系數(shù)和為，故B錯誤；
對于C：已知直線平面，由于直線與的關(guān)系不確定，
故“”是”的既不必要不充分條件，故C錯誤；
對于D：由于關(guān)于的對稱點為，
故，滿足，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：AD．
56．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）下列說法不正確的是（　　）
A．等比數(shù)列，，則
B．拋物線的焦點
C．命題“”的否定是：“”
D．兩個事件，“與互斥”是“與相互對立”的充分不必要條件.
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)判斷選項A；根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷選項B；根據(jù)全稱命題和特稱命題的關(guān)系判斷選項C；根據(jù)互斥事件、對立事件的關(guān)系判斷選項D；
【詳解】A. 等比數(shù)列，，所以，
則，又，所以，故A錯誤；
B.拋物線化成標準式得：，所以其焦點，故B錯誤；
C.命題“”的否定是：“”,故C錯誤；
D.兩個事件，若與互斥，則與不一定相互對立，但若與相互對立，則與一定互斥，故“與互斥”是“與相互對立”的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：ABCD;
【點睛】本題中有一些易錯知識點，比如拋物線的焦點在哪個坐標軸上，需要把拋物線化成標準形式再進行判斷，再比如事件相互互斥和相互對立間的關(guān)系等等，在平時備考中要清楚這些易錯點，謹防出錯.
57．（2024·山東淄博·三模）下列說法正確的是（ ）
A．某高中為了解在校學(xué)生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，已知該校高一、高二，高三年級學(xué)生之比為，則應(yīng)從高二年級中抽取20名學(xué)生
B．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點
C．命題“，”的否定是“，"
D．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小
【答案】ACD
【分析】根據(jù)分層抽樣計算公式即可判斷A；根據(jù)線性回歸方程定義即可判斷B；根據(jù)全稱命題的否定原理即可判斷C；根據(jù)方差定義即可判斷D．
【詳解】對于A，高二年級中抽取為，正確；
對于B，線性回歸方程對應(yīng)的直線不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的點，故錯誤；
對于C，否定是“，"正確；
對于D，方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，正確．
故選：ACD
58．（2024·湖南岳陽·一模）下列敘述正確的是（ ）
A．命題“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要條件
C．的展開式中的系數(shù)為
D．在空間中，已知直線滿足，，則
【答案】AC
【分析】對于A運用全稱命題否定形式的相關(guān)知識判斷；對于B根據(jù)對數(shù)函數(shù)相關(guān)知識判斷；對于C根據(jù)二項式展開式相關(guān)知識即可判斷；對于D直觀想象即可得出直線和的位置關(guān)系.
【詳解】對于A，命題“，”為全稱命題，其否定是“，”，故A正確.
對于B，充分性：當時，顯然不成立，故充分性不滿足；必要性：當時，，顯然此時成立，故必要性滿足.所以“”是“”的必要不充分條件，故B錯誤.
對于C，的展開式中的系數(shù)為，故C正確.
對于D，若在空間中直線滿足，，則和相交或異面或平行，故D錯誤.
故選：AC
59．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合可得，然后根據(jù)充分條件、必要條件的判定逐項分析即可判斷.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，
則函數(shù)，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，
當時，，
，
所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.
若，則，即.
A：若，滿足，但，故A錯誤；
B：若，滿足，但，故B錯誤；
C：由可得，即，故C正確；
D：由，故D正確.
故選：CD
60．（2024·重慶渝中·一模）下列命題中，正確的有（ ）
A．線性回歸直線必過樣本點的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．“若，則”的否命題為真命題
D．若為銳角三角形，則
【答案】AD
【分析】直接利用回歸直線方程和中心點的關(guān)系，面面垂直的性質(zhì)定理，命題真假的判定，三角形形狀的判定的應(yīng)用判定A、B、C、D的結(jié)論．
【詳解】解：線性回歸直線必過樣本點的中心，所以A正確；
若平面⊥平面，平面⊥平面，則平面與平面也可能相交，所以B不正確；
“若，則”的否命題為：若，則，顯然不正確，如，，所以C不正確；
∵為銳角三角形，∴為銳角，∴，∴，
∴∴，故D正確.
故選：AD.
61．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則“”的一個必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】題中為必要條件，則能推出選項，逐一判斷
【詳解】對于A，若，則成立；
對于B，若，則，成立；
對于C，，無法判斷出；
對于D，，且，因為，所以不能得出與2的大小關(guān)系.
故選：AB
62．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．有零點的充要條件是 B．當且僅當，有最小值
C．存在實數(shù)，使得在R上單調(diào)遞增 D．是有極值點的充要條件
【答案】BCD
【分析】對于A，將函數(shù)有零點的問題轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，根據(jù)一元二次方程有根的條件可判斷其正誤；對于B，分類討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值情況；對于C，可舉一具體實數(shù)，說明在R上單調(diào)遞增，即可判斷其正誤；對于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)有零點方程有解，
當時，方程有一解；
當時，方程有解，
綜上知有零點的充要條件是，故A錯誤；
對于B，由得，
當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時有最大值，無最小值；
當時，方程有兩個不同實根，，
當時，有最小值，當時，；當時，有最小值0；
當時，且當時，，無最小值；
當時，時，，無最小值,
綜上，當且僅當時，有最小值，故B正確；
對于C，因為當時，，在R上恒成立，此時在R上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，由知，當時，是的極值點，
當，時，和都是的極值點，
當時，在R上單調(diào)遞增，無極值點，
所以是有極值點的充要條件，故D正確，
故選:BCD.
【點睛】本題以函數(shù)為背景，考查二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).
三、填空題
63．（2024·上海長寧·二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由充分條件定義直接求解即可.
【詳解】“”是“”的充分條件，，，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
64．（2024·浙江·二模）命題“，”的否定為 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)全稱命題的否定：任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.
【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知，原命題的否定為.
故答案為：.
65．（2024·寧夏中衛(wèi)·二模）命題，命題，則是的 條件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】先解，然后根據(jù)條件判斷即可.
【詳解】因為或，
而，
所以是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
66．（2024·北京順義·一模）能說明“若對任意的都成立，則在上單調(diào)遞增”為假命題的一個函數(shù)是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】舉例，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】令，則對任意的都成立，
但在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上不是增函數(shù).
故答案為：.
67．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)命題：，.若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)是假命題，得到是真命題，利用恒成立求解.
【詳解】解：因為是假命題，
所以是真命題，
因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
68．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）命題“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
【詳解】解：命題為特稱命題，則命題的否定為“，”，
故答案為：，．
四、解答題
69．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，不等式的解集為集合．
（1）求集合和；
（2）已知“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；或；（2）或．
【分析】（1）使式子有意義可得，解不等式可求出；解一元二次不等式可求出；
（2）由題意可得集合是集合的真子集，再由集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)有意義，
則，解得，
所以集合，
由不等式得或，
所以集合或．
（2）因為“”是“”的充分不必要條件，
所以集合是集合的真子集，
所以或，所以或．
70．（2024·海南·一模）已知，；，.
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若與的真假性相同，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）即求解集為時，的取值范圍，對分類討論，結(jié)合根的判別式，即可求解；
（2）先求出為真時的范圍，轉(zhuǎn)化為求，再由命題的真假，求出結(jié)論.
【詳解】（1）∵，∴且，
解得.所以當為真命題時，實數(shù)的取值范圍是.
（2），.
又∵當時，，∴.
∵與的真假性相同.
當假假時，有，解得；
當真真時，有，解得.
∴當與的真假性相同時，可得或.
【點睛】本題考查不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，考查命題的真假判斷，意在考查對這些知識的掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.專題02 常用邏輯用語3題型分類
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
2．全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
（2）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，﹁p(x) x∈M，﹁p(x)
（一） 充分、必要條件的判定 1．充分條件與必要條件 （1）判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件 （2）充要條件：如果既有“p q”，又有“q p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p q”．p與q互為充要條件． 2．充分條件、必要條件的判定方法． （1）定義法：根據(jù)p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． （2）集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．
題型1：充分、必要條件的判定 1-1．（2024高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 1-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 1-3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 1-4．（2024高一下·湖北孝感·期中）“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 1-5．（2024·北京房山·二模）已知函數(shù)則“”是“在上單調(diào)遞減”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 1-6．（2024·安徽合肥·三模）已知，為實數(shù)，則使得“”成立的一個充分不必要條件為（ ） A． B． C． D．
（二） 充分、必要條件的應(yīng)用 1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系 若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，則 （1）若A B，則p是q的充分條件． （2）若B A，則p是q的必要條件． （3）若A B，則p是q的充分不必要條件． （4）若B A，則p是q的必要不充分條件． （5）若A= B，則p是q的充要條件． 2．求參數(shù)問題的解題策略． （1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解． （2）要注意區(qū)間端點值的檢驗．
題型2：充分、必要條件的應(yīng)用 2-1．（2024·山東濰坊·二模）若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能值是 . 2-2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是 .（寫出滿足條件的一個值即可） 2-3．（2024·福建三明·模擬預(yù)測）已知集合，. (1)若，求； (2)是的___________條件，若實數(shù)的值存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.（請在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任選一個，補充到空白處）注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
（三） 全稱量詞與存在量詞 1．量詞與命題 （1）存在量詞命題：含有存在量詞的命題．“ x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“ x0∈M，p（x0）”． （2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題．“ x∈M，有p（x）成立”簡記成“ x∈M，p（x）”． 2．全稱量詞命題與存在量詞命題 （1）全稱量詞命題的否定是存在量詞命題． （2）存在量詞命題的否定是全稱量詞命題． 3．含量詞命題的解題策略． （1）判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假． （2）由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍．
題型3：全稱量詞與存在量詞 3-1（2024·四川成都·三模）命題“”的否定是（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知命題，不是素數(shù)，則為（ ） A．，是素數(shù) B．，是素數(shù) C．，是素數(shù) D．，是素數(shù) 3-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）若命題“”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 3-4．（2024·江西九江·二模）已知命題：，，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024高三·安徽合肥·階段練習(xí)）設(shè)非空集合，滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，下列四個命題：①，，②，，③，，④，．
其中是真命題的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
4．（2024·天津河?xùn)|·一模）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（ ）
A．任意一個奇數(shù)是素數(shù) B．任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)
C．存在一個奇數(shù)不是素數(shù) D．存在一個偶數(shù)不是素數(shù)
5．（2024高一上·湖南·階段練習(xí)）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024高三上·上海楊浦·期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2024·北京）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2024·廣西南寧·一模）有下列四個命題，其中是假命題的是（ ）
A．已知，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點落在第四象限
B．“全等三角形的面積相等”的否命題
C．在中，“”是“”的必要不充分條件
D．命題“，”的否定是“，”
10．（2024·安徽黃山·三模）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
11．（2024·重慶·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（2024·新疆烏魯木齊·三模）定義表示不超過的最大整數(shù)，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要條件；④方程的所有實根之和為，則上述命題為真命題的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
13．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）命題：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2024·天津河北·二模）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
15．（2024·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，設(shè)甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
16．（2024·北京）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．（2024·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，是兩個平面，直線與垂直的一個充分條件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
19．（2024高一上·山東煙臺·期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
20．（2024·浙江）已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
21．（2024·廣東揭陽·二模）下列結(jié)論正確的是 （ ）
① “”是“對任意的正數(shù)x，均有”的充分非必要條件．
②隨機變量服從正態(tài)分布，則
③線性回歸直線至少經(jīng)過樣本點中的一個．
④若10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
22．（2024·江蘇南通·三模）1943年深秋的一個夜晚，年僅19歲的曹火星在晉察冀邊區(qū)創(chuàng)作了歌曲《沒有共產(chǎn)黨就沒有中國》，毛主席得知后感覺歌名的邏輯上有點問題，遂提出修改意見，將歌名改成《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》，今年恰好是建黨100周年，請問“沒有共產(chǎn)黨”是“沒有新中國”的（ ）條件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
23．（高考廣西桂林、崇左市2022屆高三5月聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)為兩個不同的平面，則的一個充分條件可以是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．垂直于同一條直線
C．平行于同一條直線 D．垂直于同一個平面
24．（2024·浙江嘉興·二模）若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
25．（2024·廣東湛江·二模）已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
26．（天津市第四中學(xué)2022屆高三下學(xué)期線上檢測數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
27．（2024·北京通州·一模）若a，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
28．（2024·山東棗莊·一模）命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
29．（2024·江西九江·二模）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
30．（2024高三下·湖南衡陽·開學(xué)考試）下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A．若，則
B．“”的一個必要不充分條件是“”
C．若命題：，，則命題：，
D．、是兩個平面，、是兩條直線，如果，，，那么
31．（重慶市2022屆高三上學(xué)期1月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）命題的否定為“，使得”，則命題為（ ）
A．
B．，使得
C．
D．，使得
32．（2024·全國）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
33．（2024·山東）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
34．（2024·北京）已知，則“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
35．（甘肅省甘南藏族自治州合作第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題）“x=1”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
36．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
37．（2024·全國·模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
38．（2024·山東臨沂·一模）已知圓C：，點，，則“”是“直線AB與圓C有公共點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
39．（山東省淄博市2023-2024學(xué)年高三模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試題）若向量，，則“”是“向量，夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
40．（2024·河北·模擬預(yù)測）“”是“圓上有四個不同的點到直線的距離等于1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
41．（2024·山東·模擬預(yù)測）“”是“過點有兩條直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
42．（2024·北京西城·模擬預(yù)測）設(shè)p：，q：，則p是q成立的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
43．（2024·山東濰坊·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
44．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“與的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
45．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
46．（2024·黑龍江·一模）已知a，，則“”的一個必要條件是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
47．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)m，n是空間中兩條不同直線，，是空間中兩個不同平面，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．當時，“”是“”的充要條件．
B．當時，“”是“”的充要條件．
C．當時，“”是“”的充分不必要條件．
D．當時，“”是“”的必要不充分條件．
48．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列四個條件中，是的一個充分不必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
49．（2024·湖南·一模）下列選項中，與“”互為充要條件的是（ ）
A． B． C． D．
50．（2024·湖南邵陽·一模）給出下列命題，其中正確的命題有（ ）
A．“”是“”的必要不充分條件
B．已知命題：“，”，則：“，”
C．若隨機變量，則
D．已知隨機變量，且，則
51．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）關(guān)于充分必要條件，下列判斷正確的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“，，成等比數(shù)列”的充分不必要條件
C．“的圖象經(jīng)過點”是“是冪函數(shù)”的必要不充分條件
D．“直線與平行”是“直線與的傾斜角相等”的充要條件
52．（2024·遼寧沈陽·二模）下列四個選項中，是的充分必要條件的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
53．（2024·重慶九龍坡·二模）下列說法正確的是（ ）
A．是的充分不必要條件
B．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合
D．函數(shù)的最大值為2
54．（2024·山東·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．“”是“直線與直線垂直”的充分條件
C．已知回歸直線方程，且，，則
D．函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱
55．（2024·湖南常德·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題的否定
B．二項式的展開式的各項的系數(shù)和為32
C．已知直線平面，則“”是”的必要不充分條件
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
56．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）下列說法不正確的是（　　）
A．等比數(shù)列，，則
B．拋物線的焦點
C．命題“”的否定是：“”
D．兩個事件，“與互斥”是“與相互對立”的充分不必要條件.
57．（2024·山東淄博·三模）下列說法正確的是（ ）
A．某高中為了解在校學(xué)生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，已知該校高一、高二，高三年級學(xué)生之比為，則應(yīng)從高二年級中抽取20名學(xué)生
B．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點
C．命題“，”的否定是“，"
D．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小
58．（2024·湖南岳陽·一模）下列敘述正確的是（ ）
A．命題“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要條件
C．的展開式中的系數(shù)為
D．在空間中，已知直線滿足，，則
59．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
60．（2024·重慶渝中·一模）下列命題中，正確的有（ ）
A．線性回歸直線必過樣本點的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．“若，則”的否命題為真命題
D．若為銳角三角形，則
61．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則“”的一個必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．
62．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．有零點的充要條件是 B．當且僅當，有最小值
C．存在實數(shù)，使得在R上單調(diào)遞增 D．是有極值點的充要條件
三、填空題
63．（2024·上海長寧·二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 ．
64．（2024·浙江·二模）命題“，”的否定為 ．
65．（2024·寧夏中衛(wèi)·二模）命題，命題，則是的 條件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
66．（2024·北京順義·一模）能說明“若對任意的都成立，則在上單調(diào)遞增”為假命題的一個函數(shù)是 ．
67．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)命題：，.若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
68．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）命題“，”的否定是 ．
四、解答題
69．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，不等式的解集為集合．
（1）求集合和；
（2）已知“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
70．（2024·海南·一模）已知，；，.
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若與的真假性相同，求實數(shù)的取值范圍.

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