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專題01 集合4題型分類
1．集合與元素
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
（2）元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或 表示．
（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
（4）常見數集的記法．
集合 非負整數集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合間的基本關系
（1）子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A．
（2）真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
（3）相等：若A B，且B A，則A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
表示 運算 集合語言 圖形語言 記法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
補集 {x|x∈U，且x A} UA
（一） 集合的含義與表示 1．元素與集合關系的判斷 （1）元素與集合的關系： ①一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集． ②元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a A． 集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性 2．解決集合含義問題的關鍵有三點． （1）確定構成集合的元素． （2）確定元素的限制條件． （3）根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
題型1：集合的含義與表示 1-1．（2024高三·全國·專題練習）用列舉法寫出集合＝ . 【答案】 【分析】根據列舉法可得結果. 【詳解】由且，得或或或或或或， 當時，；當時，；當時，； 當時，；當時，，當時，，當時，. 故. 故答案為： 1-2．（2024高三·全國·專題練習）用適當的符號填空： （1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4） {0}；（5）{0，1} R． 【答案】 【分析】根據元素與集合的關系，以及集合與集合間的關系，逐個判定，即可求解. 【詳解】根據元素與集合的關系，以及集合與集合間的關系，可得： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）. 故答案為：，，，，. 1-3．（2024·北京海淀·模擬預測）設集合，若，則實數m=（ ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根據元素與集合的關系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗集合的互異性，可得到答案. 【詳解】設集合，若， ，或， 當時，，此時； 當時，，此時； 所以或. 故選：C
（二） 集合間的基本關系 1．集合的相等 （1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B． （2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A B，同時B A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B． 2．集合的包含關系判斷及應用 （1）如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB． （2）如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B． 3．空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解． 4．已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
題型2：集合間的基本關系 2-1．（2024·江蘇·一模）設，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分別分析兩個集合中的元素所代表的意思即可判斷選項. 【詳解】解：因為，因為， 所以集合是由所有奇數的一半組成， 而集合是由所有整數的一半組成，故 . 故選：B 2-2．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，若，則實數的取值范圍是 . 【答案】 【分析】化簡集合，根據子集關系列式可求出結果. 【詳解】依題意得，， 若，則. 故答案為： 2-3．（2024高一下·重慶萬州·開學考試）已知集合，集合．若，則實數 ． 【答案】 【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互異性，得到正確答案. 【詳解】集合，集合． ①若，解得：或. 當時，與元素的互異性相矛盾，舍去. 當時，符合題意. ②若，解得：.舍去. 故. 故答案為：-1. 2-4．（2023-2024學年山東省濟寧市兗州區高一上學期期中考試數學試卷（帶解析））已知集合，若，則實數的值為 ． 【答案】0，±1 【詳解】試題分析：當時，集合，滿足；當時，，又，所以若，則有，綜上實數的值為0，±1． 考點：利用子集關系求參數． 2-5．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，，若，則實數的取值范圍為 . 【答案】 【分析】根據，分和，兩種情況討論求解. 【詳解】因為集合，，且， 當時，則，解得， 當時，則，解得， 綜上：， 所以實數的取值范圍為， 故答案為： 2-6．（重慶市育才中學2023-2024學年高一上學期期中數學試題）滿足的集合A的個數是 . 【答案】8 【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，從而可求出集合A 【詳解】解：因為， 所以， 所以滿足集合A的個數為8， 故答案為：8
（三） 集合的運算 1．交集及其運算 （1）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （2）運算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）． 2．交、并、補集的混合運算 （1）集合交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合結合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB． （5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求補律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝ ． 3．利用集合的運算求參數的值(范圍)． （1）對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示． （2）如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．
題型3：集合的運算 3-1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）設全集，集合，，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，由補集和并集的定義即可得出答案. 【詳解】因為全集，， 所以，又因為，所以 故選：D． 3-2．（2024高三·全國·專題練習）已知全集，，則 ； 【答案】 【分析】化簡集合和，再根據補集的概念可求出結果. 【詳解】因為，所以，則， 因為，所以，則， 所以. 故答案為：. 3-3．（2024高三·全國·專題練習）已知，集合，，若只有一個元素，則滿足的關系為 . 【答案】 【分析】轉化為直線與圓相切，根據圓心到直線的距離等于半徑列式可得結果. 【詳解】因為只有一個元素， 所以直線與圓相切， 所以，即. 故答案為：. 3-4．（2024高三·全國·專題練習）已知，集合，，若，則實數的取值范圍是 . 【答案】 【分析】化簡集合，將化為，根據子集關系列式可求出結果. 【詳解】由，，得， 因為，所以， 所以，解得. 故答案為： 3-5．（2024高三上·全國·階段練習）已知集合，．若，則實數k的取值范圍是 ． 【答案】 【分析】由題可得或，然后分和討論，結合條件即得. 【詳解】因為， 所以或， 當時，，即，適合題意； 當時，則，解得， 綜上，實數k的取值范圍是. 故答案為：. 3-6．（2024高一上·吉林白城·階段練習）已知集合若，則實數的取值范圍是 【答案】 【分析】首先求得集合，對進行分類討論，根據，求得的取值范圍. 【詳解】， 當，即時，，滿足， 當，即時，由得， 綜上所述，的取值范圍是. 故答案為：
（四） 集合新定義問題 1.（1）解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義． （2）結合題目所給定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆． 2．新定義問題． （1）看清集合中的元素． （2）對集合進行化簡使問題變得簡單明了． （3）注意數形結合思想的應用：數軸、坐標系和Venn圖．
題型4：集合新定義問題 4-1．（2024·全國·模擬預測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數為（ ） A．9 B．4 C．27 D．8 【答案】C 【分析】直接列舉可得. 【詳解】當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為； 當時，集合B可以為. 故滿足題意的“AB互襯對”個數為27. 故選：C 4-2．（2024高三·江蘇·學業考試）對于兩個非空實數集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個數為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】計算，得到元素個數. 【詳解】，則，則中元素的個數為 故選：C 4-3．（2024·浙江溫州·三模）設集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數，則下列結論可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】對A、B：不妨設，可得，根據集合的定義可得Y中至少有以上5個元素，不妨設，則集合S中至少有7個元素，排除選項A，若，則集合Y中至多有6個元素，所以，排除選項B；對C：對，則與一定成對出現，根據集合的定義可判斷選項C；對D：取，則，根據集合的定義可判斷選項D. 【詳解】解：不妨設，則的值為， 顯然，，所以集合Y中至少有以上5個元素， 不妨設， 則顯然，則集合S中至少有7個元素， 所以不可能，故排除A選項； 其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則，故排除B項； 對于集合T，取，則，此時，，故D項正確； 對于C選項而言，，則與一定成對出現，，所以一定是偶數，故C項錯誤. 故選：D. 4-4．（2024·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合. 【詳解】由韋恩圖可知，， 因為，， 則，，因此，. 故選：D. 4-5．（2024·全國·模擬預測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】結合新定義可知，求得，進而根據補集的定義求解即可. 【詳解】結合新定義可知，又， 所以． 故選：A
一、單選題
1．（2024·廣東江門·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【分析】
根據題意列式求得的值，即可得出答案.
【詳解】
根據條件分別令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故選：C．
2．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根據集合新定義求解即可.
【詳解】根據題意，因為，，
所以.
故選：C.
3．（江西省五市九校協作體2023屆高三第二次聯考數學（文）試題）已知集合，，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據集合元素的互異性可確定，的值，進而得出答案.
【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，
故選：A
4．（2024·北京東城·一模）已知集合，且，則a可以為（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】B
【分析】求出集合，結合元素與集合關系判斷即可.
【詳解】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D錯誤；，故B正確.
故選：B
5．（2024·河南·模擬預測）已知，若，且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意建立不等式求解即可.
【詳解】由題意，且，
解得，
故選：B
6．（2024高一上·河南商丘·階段練習）已知集合的元素只有一個，則實數a的值為（ ）
A． B．0 C．或0 D．無解
【答案】C
【分析】集合有一個元素，即方程有一解，分， 兩種情況討論，即可得解.
【詳解】集合有一個元素，即方程有一解，
當時，，符合題意，
當時，有一解，
則，解得：，
綜上可得：或，
故選：C.
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知集合，則A中元素的個數為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】由橢圓的性質得，再列舉出集合的元素即得解.
【詳解】解：由橢圓的性質得，
又,
所以集合
共有11個元素.
故選：C
8．（2024高二下·湖南·階段練習）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據題意推出 ，由此列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意集合，
，
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故 ,
故；
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故 ,
故；
若，則，此時，滿足 ,
綜合以上可得，
故選：C
9．（2024·廣東茂名·二模）已知集合，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根據列不等式直接求解.
【詳解】集合，.
要使，只需，解得：.
故選：A
10．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，，則集合的元素個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定義求出集合，即可得解.
【詳解】因為，，則，
故集合的元素個數為.
故選：B.
11．（2024·河北張家口·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根據補集的運算得出，根據并集的運算求解即可得出答案.
【詳解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故選：C.
12．（2024·廣東·模擬預測）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據一元二次不等式的解法，結合四個選項的Venn圖逐一判斷即可.
【詳解】，
選項A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
13．（2024·北京海淀·模擬預測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數最多為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】根據集合滿足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個自然數最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數列構成，判斷集合元素的個數的最多情況，再對部分元素進行調整即可得答案.
【詳解】對于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數列構成，例如，集合中有個元素，
又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個數最多不能超過10個，
故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個元素，
例如.
故選：B.
14．（2024·全國·模擬預測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數列，則（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
【答案】C
【分析】根據集合的特征列出集合與的前若干項，找出集合中元素的特征，進而即可求解.
【詳解】因為，
所以，所以．相當于集合中除去形式的數，其前45項包含了15個這樣的數，所以．
則，
故選：C.
15．（2024·全國）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據交集、補集的定義可求.
【詳解】由題設可得，故，
故選：B.
16．（2024·全國）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
17．（2024·全國）已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.
【詳解】由題意，中的元素滿足，且，
由，得，
所以滿足的有，
故中元素的個數為4.
故選：C.
【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.
18．（2024·甘肅張掖·模擬預測）設全集，若集合，則（ ）
A．{-2，0，2，3} B．{-2，2，3} C．{0，2，3} D．{-2，-1}
【答案】C
【分析】根據集合的交并補運算，即可求解.
【詳解】由得，所以，
故選：C．
19．（2024·內蒙古包頭·二模）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一元二次不等式化簡集合,即可由集合的交運算求解.
【詳解】由得，所以，
故選：C
20．（2024·內蒙古包頭·二模）設集合，且，則（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【分析】化簡集合A、B，根據交集的結果求參數即可.
【詳解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故選：C
21．（2024·天津河東·一模）已知集合，，，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題設知，討論、求a值，結合集合的性質確定a值即可.
【詳解】由知：，
當，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.
故選：A
22．（2024·河北張家口·一模）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化簡集合A，再利用并集和補集的運算求解.
【詳解】解：由，得，故，
所以，，．
故選：B．
23．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知P，Q為R的兩個非空真子集，若 ，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據條件畫出圖，根據圖形，判斷選項.
【詳解】因為 ，所以 ，如圖，
對于選項A：由題意知 P是 Q的真子集，故，，故不正確，
對于選項B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.
對于選項C：由是的真子集知，，，故不正確，
對于選項D：Q是的真子集，故，，故不正確，
故選：B
24．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據根號下大于等于0求出集合，再利用交集和補集的含義即可得到答案.
【詳解】由題意得，解得，故，
因為，
故.
故選：B.
25．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的補集、交集運算求解.
【詳解】因為，所以或，
又，所以，故A，B，C錯誤.
故選：D.
26．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）設全集，集合，，則實數的值為（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】利用給定條件，結合元素的互異性直接列式計算作答.
【詳解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，經驗證滿足條件，
所以實數的值為0.
故選：A
27．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知集合，，若中有且僅有三個整數，則正數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意化簡集合，根據中有且僅有三個整數列不等式求解，可得答案.
【詳解】由題意可得，，
若中有且僅有三個整數，則只能是，
故，解得，
故選：B．
28．（2024·湖南懷化·二模）已知集合，則的真子集共有（ ）
A．3個 B．6個 C．7個 D．8個
【答案】C
【分析】先利用交集運算求解交集，再根據交集的元素個數來求解答案.
【詳解】因為，
所以，
所以的真子集共有個.
故選：C.
29．（2024·北京）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化簡集合，然后根據交集的定義計算.
【詳解】由題意，，，
根據交集的運算可知，.
故選：A
30．（2024·全國）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項A正確；
，則，選項B錯誤；
，則或，選項C錯誤；
或，則或，選項D錯誤；
故選：A.
31．（2024·全國）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．
【詳解】因為整數集，，所以，．
故選：A．
32．（2024·全國）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
33．（2024·天津）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對集合B求補集，應用集合的并運算求結果；
【詳解】由，而，
所以.
故選：A
34．（2024·全國）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.
【詳解】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
35．（2024高一上·湖南長沙·階段練習）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，對元素進行判斷.
【詳解】且，則；且，則，所以.
故選：A
36．（2024·天津）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根據交集的定義可求.
【詳解】，故，
故選：A.
37．（2024·全國）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
38．（2024·全國）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
39．（2024·全國）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；
方法二：根據選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優解．
40．（2024·重慶·一模）已知集合，則B中元素個數為
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】化簡集合，根據集合的元素特征，即可求解
【詳解】，
，中元素個數為4個.
故選:A.
【點睛】本題考查集合的化簡，注意集合元素的滿足的條件，屬于基礎題.
41．（2014年廣東省廣州市普通高中畢業班綜合測試一理科數學試卷（帶解析））已知集合A＝，則集合A中的元素個數為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【詳解】試題分析：，的取值有、、、，又， 值分別為、、、，故集合中的元素個數為，故選C.
考點：數的整除性
42．（2024高三上·河北衡水·階段練習）已知集合，集合中至少有3個元素，則
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：因為中到少有個元素，即集合中一定有三個元素，所以，故選C.
考點：1.集合的運算；2.對數函數的性質.
43．（2024高一下·廣西·階段練習）若集合中只有一個元素，則　　
A． B． C．0 D．0或
【答案】D
【分析】分與兩種情況討論元素的個數可得答案．
【詳解】解：集合中只有一個元素，
當時，可得，集合只有一個元素為：．
當時：方程只有一個解：即，
可得：．
故選：．
【點睛】本題主要考查了集合描述法的意義，涉及集合元素的確定和個數的判斷，屬于基礎題．
44．（2007·山西）設a,b∈R，集合，則=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計算作答.
【詳解】因，則，從而得，有，于是得，
所以.
故選：C
45．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】將兩個集合化簡后比較分子的關系可得兩個集合的關系.
【詳解】，
表示整數，表示奇數，故，
故A錯誤，B錯誤，C正確，而中的元素有分數，故D錯誤.
故選：C．
46．（2024高一·全國·專題練習）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個數為(　　)
A．10 B．16 C．8 D．7
【答案】C
【詳解】因為A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的個數為23＝8，故選C.
點睛：若集合有個元素，則的子集個數為，其中包括空集和集合本身．
47．（2024高三·河南南陽·階段練習）已知全集 ，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為
A． B．或 C． D．
【答案】D
【詳解】 ,所以陰影部分所表示的集合為 ,選D.
48．（2024高三·湖南郴州·階段練習）已知，，若，則
A．3 B．2 C．3或2 D．3或1
【答案】A
【詳解】由題，，，且，
當 ，符合題意；
當 ，此時，不符合題意.故
故選A.
49．（2024·吉林·三模）設全集集合，集合若，則應該滿足的條件是
A． B．≥ C． D．≤
【答案】B
【詳解】由得：，由，得≥，故選B.
50．（2024·全國·模擬預測）已知均為的子集，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意利用集合的包含關系或者畫出Venn圖，結合Venn圖即可確定集合的運算結果.
【詳解】解法一：,，據此可得.
故選：B.
解法二：如圖所示，設矩形ABCD表示全集R，
矩形區域ABHE表示集合M，則矩形區域CDEH表示集合，
矩形區域CDFG表示集合N，滿足，
結合圖形可得：.
故選：B.
51．（2024高一上·河北石家莊·期中）已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（ ）
A．M B．N C．I D．
【答案】A
【分析】由交集為空集可確定兩集合的包含關系，進而得到并集結果.
【詳解】
故選：
【點睛】本題考查集合運算中的交集和并集運算，關鍵是能夠通過交集運算結果確定集合的包含關系.
二、多選題
52．（2024·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據題意可得：，然后根據集合的包含關系即可求解.
【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項錯誤；
由可得，故選項正確；
因為且，所以，則，故選項正確；
由可得：不一定為空集，故選項錯誤；
故選：.
53．（河南省安陽市第一中學2023屆高三第四次全真模擬數學試題）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個選項，可得答案.
【詳解】對于A，因為，，故A錯誤；
對于B，若，則滿足戴德金分割，
此時M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；
對于C，若M有一個最大元素，設為a，N有一個最小元素，設為b，則，
則，而內也有有理數，
則，故C錯誤；
對于D，若，，
則滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，
故選：BD
54．（2024高三·全國·專題練習）若集合，且，則集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據子集關系逐項進行判斷可得答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，，，，
故選：ABD
55．（2024·山東煙臺·模擬預測）若非空集合G和G上的二元運算“”滿足：①，；②，對，：③，使，，有；④，，則稱構成一個群.下列選項對應的構成一個群的是（ ）
A．集合G為自然數集，“”為整數的加法運算
B．集合G為正有理數集，“”為有理數的乘法運算
C．集合(i為虛數單位)，“”為復數的乘法運算
D．集合，“”為求兩整數之和被7除的余數
【答案】BCD
【分析】根據新定義，判斷各選項中是否滿足題中4個條件即可得．
【詳解】A．時，不滿足③，若，則由得，若，則在中設，由得，所以不能構成群；
B．G為正有理數集，①任意兩個正有理數的積仍然為正有理數，②顯然，對任意，，③對任意正有理數，也是正有理數，且，即，④有理數的乘數滿足結合律，B中可構造群；
C．(i為虛數單位)，①可驗證中任意兩數（可相等）的乘積仍然屬于；②，滿足任意，有；③，滿足任意，存在，有，實質上有；④復數的乘法運算滿足結合律，C中可構造群；
D．，①任意兩個整數的和不是整數，它除以7的余數一定屬于，②，滿足對任意，，③，，，除以7余數為0；④加法滿足交換律，又除以7的余數等于除以7的余數加除以7的余數的和再除以7所得余數，因此，，D中可構造群；
故選：BCD．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，用新定義解題．解題方法是根據新定義的4個條件進行驗證，注意實數或復數運算的運算律與新定義中運算的聯系可以很快得出結論．
三、填空題
56．（2024·江西·模擬預測）2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經典頻傳：看電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業》的有4人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為 .
【答案】3
【分析】把大學社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數形結合計算即得.
【詳解】把大學社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，
觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，
因觀看了《建黨偉業》的有23人，則只看了《建黨偉業》的有(人)，
因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短視頻的有(人)，
所以沒有觀看任何一支短視頻的人數為.
故答案為：3
57．（2024·湖北·二模）已知X為包含v個元素的集合（，）．設A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數為 ．
【答案】7
【分析】令，列舉出所有三元子集，結合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個數.
【詳解】由題設，令集合，共有7個元素，
所以的三元子集，如下共有35個：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因為中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以中元素滿足要求的有：
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
、、、、、、，共有7個；
共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素.
故答案為：7
58．（2024·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了若干人進行調查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數據如圖，則圖中 ； ； .
【答案】
【分析】根據韋恩圖，結合看每部電影的人數可構造方程組求得結果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
59．（2024高三·全國·專題練習）集合中實數的取值范圍是 ．
【答案】.
【分析】根據集合中元素的互異性，即可求解.
【詳解】由集合，根據集合元素的互異性，可得，
即實數的取值范圍是.
故答案為：.
60．（2024高三·全國·專題練習）設集合，，已知且，則的取值集合為 .
【答案】
【分析】根據元素與集合的關系以及集合的互異性可求出結果.
【詳解】因為，即，
所以或，
若，則或；
若，即，則或.
由與互異，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
綜上所述，的取值集合為.
故答案為：
61．（2024高三·全國·專題練習）用適當的符號填空，使之成為正確的集合關系式：
① A；
②A∩ A；
③A ＝ ；
④（A∩B） （A B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
【答案】
【分析】根據集合表示方法，集合間的包含關系，以及集合的交集、并集的運算，逐項進行判定，即可求解.
【詳解】①由空集為任何集合的子集，可得；
②因為，所以；
③根據空間的概念和并集的運算，可得；
④根據集合的交集和并集的概念，可得；
⑤由和表示所有的奇數，
所以；
⑥由表示所有的偶數，表示的倍數的偶數，
所以；
⑦由，所以，
又由，所以，
所以；
⑧由，
又由，
所以.
故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
62．（2024高三·全國·專題練習）集合的子集的個數為 ．
【答案】
【分析】直接根據公式可得結果.
【詳解】集合的子集的個數為個.
故答案為：.
63．（2024高一上·四川成都·階段練習）同時滿足（1）；（2）若，則的非空集合M有 個．
【答案】7
【分析】由集合的元素所滿足的兩個性質，找出集合的元素，從而確定集合的個數，得到答案.
【詳解】因為①；②若，則，
當時，；
當時，；
當時，；
同時，集合中若有，則成對出現，有時，也成對出現，
所以滿足題意點的集合有：，
共有7個集合滿足條件.
故答案為：7
【點睛】本題主要考查了元素與集合的關系，以及集合與集合的關系的判定與應用，其中熟記元素與集合的關系，以及集合與集合的包含關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
64．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，則 ；
【答案】
【分析】解方程組求出交集中的元素，再根據列舉法可得答案.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：.
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為
【答案】12
【詳解】設兩者都喜歡的人數為x人，
則只喜愛籃球的有(15-x)人，
只喜愛乒乓球的有(10-x)人,
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3,
所以15- x= 12
故喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為12人.
66．（2024高三·全國·專題練習）已知全，A (CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝ .
【答案】
【分析】由全集，根據A (CUB)，應用韋恩圖即可求集合B.
【詳解】由題意，，

∵A (CUB)，，
∴.
故答案為：.
67．（2024高一上·廣東梅州·階段練習）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
根據題目條件可得，對進行分類討論求出實數a的取值范圍.
【詳解】因為“”是“”的必要條件，所以，
當時滿足題意，即，所以；
當時，或，
解得：或；
綜上可得，實數a的取值范圍是.
故答案為：.
68．（河南省淮陽縣陳州高級中學2023-2024學年高一上學期期中考試數學試題）當兩個集合中一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合之間構成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時稱兩集合之間構成“偏食”.對于集合，若A與B構成“全食”，或構成“偏食”，則a的取值集合為
【答案】
【分析】分“全食”和“偏食”兩種情況分類討論求出值，即可求解
【詳解】當時，，，此時A與B構成“全食”；
當時，，
若時，，此時A與B構成“全食”；
若時，，此時A與B構成“偏食”，
綜上所述，a的取值集合為
故答案為：
【點睛】本題考查集合新定義，屬于基礎題
69．（2024高三·全國·專題練習）從七名運動員中選出名參加米接力賽，其中運動員不跑第一棒，運動員不跑第二棒，則不同安排方案有 種.
【答案】
【分析】按照第一棒是否由跑分兩類討論，可求出結果.
【詳解】若運動員跑第一棒，則從剩下的六名運動員中任選三名跑另外三棒，有種；
若運動員不跑第一棒，也不能跑第二棒，則從除外的五名運動員中，任選一名跑第一棒，有，
從除和已經排好的人以外的五名運動員中任選一名跑第二棒，有，
再從剩下的五名運動員中任選兩名跑另外兩棒，有種，
故不同安排方案有種.
故答案為：.
70．（2024高三·全國·專題練習）從名學生，其中有女生，選出名學生代表參加某會議，名學生代表中至少有一名女生選法有 種.
【答案】
【分析】利用間接法可求出結果.
【詳解】從名學生中任選名學生，有種，
其中不含女生的有種，
所以名學生代表中至少有一名女生選法有種.
故答案為：.
71．（2024高三·全國·專題練習）若集合，，則滿足且的集合的個數是 .
【答案】
【分析】根據子集和交集的概念，利用列舉法可得結果.
【詳解】集合有，，，，，，，，，，，，，，，共個子集，
其中滿足的集合有：，，，，，，，，，，，,共個.
故答案為：.
72．（2024高一上·上海奉賢·階段練習）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是 .
【答案】
【分析】設有的學生既喜歡足球又喜歡游泳，則有只喜歡足球，有只喜歡游泳，列出方程能求出該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例．
【詳解】解：設有的學生既喜歡足球又喜歡游泳，
則有只喜歡足球，有只喜歡游泳，
由題意得：，
解得．
故該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是．
故答案為：．
四、解答題
73．（2024高三·全國·專題練習）選擇適當的方法表示下列集合：
(1)由方程的所有實數根組成的集合；
(2)一次函數與的圖象的交點組成的集合；
(3)函數的定義域；
(4)二次函數的函數值組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據列舉法可得答案；
（2）根據列舉法可得答案；
（3）根據描述法可得答案；
（4）根據描述法可得答案；
【詳解】（1）由，得或，
所以由方程的所有實數根組成的集合為.
（2）由，得，
所以一次函數與的圖象的交點組成的集合為.
（3）由函數有意義，得，即，
所以函數的定義域為.
（4）二次函數的函數值組成的集合為.
74．（2024高一下·新疆烏魯木齊·期末）寫出集合的所有子集．
【答案】
【分析】根據集合的子集的定義列舉出即可．
【詳解】集合的所有子集有：
【點睛】本題考查了集合的子集的定義，掌握子集的定義是解題的關鍵，本題是一道基礎題．
75．（2024高三·全國·專題練習）設集合是小于的正整數，，，求，，．
【答案】，，.
【分析】根據集合的交并補的概念可求出結果.
【詳解】由題意得，，，
所以，，.
76．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，求．
【答案】，，或.
【分析】根據集合交集、并集和補集的概念與運算，準確運算，即可求解.
【詳解】由集合，
可得，，
由補集的概念與運算，可得或.
77．（2024高三·全國·專題練習）設全集，集合，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據不等式的解法求得，，結合并集和補集的運算，即可求解；
（2）由（1）中的集合，結合交集和補集的運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，所以或.
（2）解：由（1）知，集合，
可得或，或，
所以或.專題01 集合4題型分類
1．集合與元素
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
（2）元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或 表示．
（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
（4）常見數集的記法．
集合 非負整數集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合間的基本關系
（1）子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A．
（2）真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
（3）相等：若A B，且B A，則A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
表示 運算 集合語言 圖形語言 記法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
補集 {x|x∈U，且x A} UA
（一） 集合的含義與表示 1．元素與集合關系的判斷 （1）元素與集合的關系： ①一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集． ②元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a A． 集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性 2．解決集合含義問題的關鍵有三點． （1）確定構成集合的元素． （2）確定元素的限制條件． （3）根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
題型1：集合的含義與表示 1-1．（2024高三·全國·專題練習）用列舉法寫出集合＝ . 1-2．（2024高三·全國·專題練習）用適當的符號填空： （1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4） {0}；（5）{0，1} R． 1-3．（2024·北京海淀·模擬預測）設集合，若，則實數m=（ ） A．0 B． C．0或 D．0或1
（二） 集合間的基本關系 1．集合的相等 （1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B． （2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A B，同時B A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B． 2．集合的包含關系判斷及應用 （1）如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB． （2）如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B． 3．空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解． 4．已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
題型2：集合間的基本關系 2-1．（2024·江蘇·一模）設，，則（ ） A． B． C． D． 2-2．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，若，則實數的取值范圍是 . 2-3．（2024高一下·重慶萬州·開學考試）已知集合，集合．若，則實數 ． 2-4．（2023-2024學年山東省濟寧市兗州區高一上學期期中考試數學試卷（帶解析））已知集合，若，則實數的值為 ． 2-5．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，，若，則實數的取值范圍為 . 2-6．（重慶市育才中學2023-2024學年高一上學期期中數學試題）滿足的集合A的個數是 .
（三） 集合的運算 1．交集及其運算 （1）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （2）運算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）． 2．交、并、補集的混合運算 （1）集合交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合結合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB． （5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求補律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝ ． 3．利用集合的運算求參數的值(范圍)． （1）對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示． （2）如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．
題型3：集合的運算 3-1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）設全集，集合，，則=（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024高三·全國·專題練習）已知全集，，則 ； 3-3．（2024高三·全國·專題練習）已知，集合，，若只有一個元素，則滿足的關系為 . 3-4．（2024高三·全國·專題練習）已知，集合，，若，則實數的取值范圍是 . 3-5．（2024高三上·全國·階段練習）已知集合，．若，則實數k的取值范圍是 ． 3-6．（2024高一上·吉林白城·階段練習）已知集合若，則實數的取值范圍是
（四） 集合新定義問題 1.（1）解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義． （2）結合題目所給定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆． 2．新定義問題． （1）看清集合中的元素． （2）對集合進行化簡使問題變得簡單明了． （3）注意數形結合思想的應用：數軸、坐標系和Venn圖．
題型4：集合新定義問題 4-1．（2024·全國·模擬預測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數為（ ） A．9 B．4 C．27 D．8 4-2．（2024高三·江蘇·學業考試）對于兩個非空實數集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個數為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4-3．（2024·浙江溫州·三模）設集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數，則下列結論可能成立的是（ ） A． B． C． D． 4-4．（2024·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ） A． B． C． D． 4-5．（2024·全國·模擬預測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·廣東江門·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
2．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
3．（江西省五市九校協作體2023屆高三第二次聯考數學（文）試題）已知集合，，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024·北京東城·一模）已知集合，且，則a可以為（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
5．（2024·河南·模擬預測）已知，若，且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·河南商丘·階段練習）已知集合的元素只有一個，則實數a的值為（ ）
A． B．0 C．或0 D．無解
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知集合，則A中元素的個數為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2024高二下·湖南·階段練習）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·廣東茂名·二模）已知集合，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，，則集合的元素個數為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·河北張家口·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·廣東·模擬預測）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·北京海淀·模擬預測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數最多為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
14．（2024·全國·模擬預測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數列，則（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
15．（2024·全國）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·全國）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·全國）已知集合，，則中元素的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
18．（2024·甘肅張掖·模擬預測）設全集，若集合，則（ ）
A．{-2，0，2，3} B．{-2，2，3} C．{0，2，3} D．{-2，-1}
19．（2024·內蒙古包頭·二模）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·內蒙古包頭·二模）設集合，且，則（ ）
A． B． C．8 D．6
21．（2024·天津河東·一模）已知集合，，，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·河北張家口·一模）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知P，Q為R的兩個非空真子集，若 ，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
24．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）設全集，集合，，則實數的值為（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
27．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知集合，，若中有且僅有三個整數，則正數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·湖南懷化·二模）已知集合，則的真子集共有（ ）
A．3個 B．6個 C．7個 D．8個
29．（2024·北京）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
30．（2024·全國）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
31．（2024·全國）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·全國）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·天津）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·全國）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
35．（2024高一上·湖南長沙·階段練習）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
36．（2024·天津）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
37．（2024·全國）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·全國）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·全國）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·重慶·一模）已知集合，則B中元素個數為
A．4 B．5 C．6 D．7
41．（2014年廣東省廣州市普通高中畢業班綜合測試一理科數學試卷（帶解析））已知集合A＝，則集合A中的元素個數為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
42．（2024高三上·河北衡水·階段練習）已知集合，集合中至少有3個元素，則
A． B． C． D．
43．（2024高一下·廣西·階段練習）若集合中只有一個元素，則　　
A． B． C．0 D．0或
44．（2007·山西）設a,b∈R，集合，則=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
45．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
46．（2024高一·全國·專題練習）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個數為(　　)
A．10 B．16 C．8 D．7
47．（2024高三·河南南陽·階段練習）已知全集 ，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為
A． B．或 C． D．
48．（2024高三·湖南郴州·階段練習）已知，，若，則
A．3 B．2 C．3或2 D．3或1
49．（2024·吉林·三模）設全集集合，集合若，則應該滿足的條件是
A． B．≥ C． D．≤
50．（2024·全國·模擬預測）已知均為的子集，且，則（ ）
A． B． C． D．
51．（2024高一上·河北石家莊·期中）已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（ ）
A．M B．N C．I D．
二、多選題
52．（2024·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
53．（河南省安陽市第一中學2023屆高三第四次全真模擬數學試題）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
54．（2024高三·全國·專題練習）若集合，且，則集合可能是（ ）
A． B． C． D．
55．（2024·山東煙臺·模擬預測）若非空集合G和G上的二元運算“”滿足：①，；②，對，：③，使，，有；④，，則稱構成一個群.下列選項對應的構成一個群的是（ ）
A．集合G為自然數集，“”為整數的加法運算
B．集合G為正有理數集，“”為有理數的乘法運算
C．集合(i為虛數單位)，“”為復數的乘法運算
D．集合，“”為求兩整數之和被7除的余數
三、填空題
56．（2024·江西·模擬預測）2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經典頻傳：看電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業》的有4人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為 .
57．（2024·湖北·二模）已知X為包含v個元素的集合（，）．設A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數為 ．
58．（2024·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了若干人進行調查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數據如圖，則圖中 ； ； .
59．（2024高三·全國·專題練習）集合中實數的取值范圍是 ．
60．（2024高三·全國·專題練習）設集合，，已知且，則的取值集合為 .
61．（2024高三·全國·專題練習）用適當的符號填空，使之成為正確的集合關系式：
① A；
②A∩ A；
③A ＝ ；
④（A∩B） （A B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
62．（2024高三·全國·專題練習）集合的子集的個數為 ．
63．（2024高一上·四川成都·階段練習）同時滿足（1）；（2）若，則的非空集合M有 個．
64．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，則 ；
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為
66．（2024高三·全國·專題練習）已知全，A (CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝ .
67．（2024高一上·廣東梅州·階段練習）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數a的取值范圍是 .
68．（河南省淮陽縣陳州高級中學2023-2024學年高一上學期期中考試數學試題）當兩個集合中一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合之間構成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時稱兩集合之間構成“偏食”.對于集合，若A與B構成“全食”，或構成“偏食”，則a的取值集合為
69．（2024高三·全國·專題練習）從七名運動員中選出名參加米接力賽，其中運動員不跑第一棒，運動員不跑第二棒，則不同安排方案有 種.
70．（2024高三·全國·專題練習）從名學生，其中有女生，選出名學生代表參加某會議，名學生代表中至少有一名女生選法有 種.
71．（2024高三·全國·專題練習）若集合，，則滿足且的集合的個數是 .
72．（2024高一上·上海奉賢·階段練習）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是 .
四、解答題
73．（2024高三·全國·專題練習）選擇適當的方法表示下列集合：
(1)由方程的所有實數根組成的集合；
(2)一次函數與的圖象的交點組成的集合；
(3)函數的定義域；
(4)二次函數的函數值組成的集合．
74．（2024高一下·新疆烏魯木齊·期末）寫出集合的所有子集．
75．（2024高三·全國·專題練習）設集合是小于的正整數，，，求，，．
76．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，求．
77．（2024高三·全國·專題練習）設全集，集合，求：
(1)；
(2)．

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